Zbiór zadań maturalnych

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej — zadania maturalne

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

110 zadańStrona 1 z 8

Sortuj:

Zadanie 22

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte3 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dany jest równoległobok \(ABCD\), w którym \(D=(6,19)\). Bok \(AB\) tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu \(y=\frac{1}{2}x+9\), a bok \(AD\) zawiera się w prostej o równaniu \(y=4x-5\). Punkt \(K=(10,14)\) jest środkiem odcinka \(AB\). Przekątne równoległoboku \(ABCD\) przecinają się w punkcie \(S\).

Oblicz współrzędne punktu \(S\). Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie punktu A

Punkt A należy do obu prostych zawierających boki AB i AD, więc jego współrzędne spełniają oba równania.

\[\frac{1}{2}x+9=4x-5\quad\Rightarrow\quad 14=\frac{7}{2}x\quad\Rightarrow\quad x=4,\qquad y=4\cdot4-5=11.\]

2 Wyznaczenie punktu B

Punkt K jest środkiem odcinka AB, dlatego z jego współrzędnych i współrzędnych A obliczamy B.

\[\left(\frac{4+x_B}{2},\frac{11+y_B}{2}\right)=(10,14)\quad\Rightarrow\quad x_B=16,\ y_B=17.\]

3 Wyznaczenie punktu S

Przekątne równoległoboku dzielą się na połowy, więc S jest środkiem przekątnej BD.

\[S=\left(\frac{16+6}{2},\frac{17+19}{2}\right)=(11,18).\]

Odpowiedź

Punkt S ma współrzędne (11,18).

\[S=(11,18)\]

Sprawdzenie

Punkt B=(16,17) leży na prostej AB, ponieważ połowa z 16 plus 9 daje 17. Środek odcinka BD o końcach (16,17) i (6,19) ma współrzędne (11,18).

\[\frac{1}{2}\cdot16+9=17,\qquad \left(\frac{16+6}{2},\frac{17+19}{2}\right)=(11,18).\]

Zadanie 23

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) punkty \(A=(-3,1)\) oraz \(B=(1,-3)\) są kolejnymi wierzchołkami kwadratu \(ABCD\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Obwód kwadratu \(ABCD\) jest równy

\(4\sqrt{2}\)

\(16\sqrt{2}\)

\(16\)

\(32\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie długości boku

Punkty A i B są kolejnymi wierzchołkami, więc odcinek AB jest bokiem kwadratu. Jego długość obliczamy ze wzoru na odległość punktów.

\[|AB|=\sqrt{(1-(-3))^2+(-3-1)^2}=\sqrt{4^2+(-4)^2}=4\sqrt{2}\]

2 Obliczenie obwodu

Kwadrat ma cztery boki jednakowej długości, więc mnożymy długość AB przez 4.

\[O=4|AB|=4\cdot4\sqrt{2}=16\sqrt{2}\]

Odpowiedź

Obwód wynosi 16√2. Odpowiedź B.

\[O=16\sqrt{2}\]

Sprawdzenie

Różnice współrzędnych wynoszą 4 i −4, zatem kwadrat długości boku to 16+16=32. Obliczona długość 4√2 również ma kwadrat równy 32.

\[(4\sqrt{2})^2=32=4^2+(-4)^2\]

Zadanie 24

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) odcinek o końcach \(A=(1,1)\) oraz \(B=(3,-1)\) jest średnicą okręgu \(O\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Okrąg \(O\) jest określony równaniem

\((x-1)^2+(y-1)^2=8\)

\(x^2+(y-2)^2=2\)

\((x-2)^2+y^2=2\)

\((x-2)^2+y^2=8\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie środka

Środek okręgu jest środkiem odcinka będącego średnicą.

\[S=\left(\frac{1+3}{2},\frac{1+(-1)}{2}\right)=(2,0)\]

2 Obliczenie promienia

Promień jest odległością środka od końca średnicy.

\[r^2=(1-2)^2+(1-0)^2=2\]

3 Zapisanie równania

Podstawiamy współrzędne środka i kwadrat promienia do równania okręgu.

\[(x-2)^2+y^2=2\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[(x-2)^2+y^2=2\]

Sprawdzenie

Oba końce średnicy spełniają otrzymane równanie.

\[A:\ (1-2)^2+1^2=2,\qquad B:\ (3-2)^2+(-1)^2=2\]

Zadanie 19

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W układzie współrzędnych \((x,y)\) punkty \(A=(-3,1)\) oraz \(B=(1,-3)\) są kolejnymi wierzchołkami kwadratu \(ABCD\).

Obwód kwadratu \(ABCD\) jest równy

\(4\sqrt{2}\)

\(16\sqrt{2}\)

\(16\)

\(32\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie długości boku

Punkty A i B są kolejnymi wierzchołkami, więc odcinek AB jest bokiem kwadratu. Jego długość obliczamy ze wzoru na odległość punktów.

\[|AB|=\sqrt{(1-(-3))^2+(-3-1)^2}=\sqrt{4^2+(-4)^2}=4\sqrt{2}\]

2 Obliczenie obwodu

Kwadrat ma cztery boki tej samej długości, więc mnożymy długość boku przez 4.

\[O=4\cdot|AB|=4\cdot4\sqrt{2}=16\sqrt{2}\]

Odpowiedź

Obwód kwadratu wynosi \(16\sqrt{2}\). Odpowiedź B.

\[O=16\sqrt{2}\]

Sprawdzenie

Kwadrat obliczonej długości boku wynosi \(32\), tyle samo co suma kwadratów różnic współrzędnych: \(16+16=32\).

\[(4\sqrt{2})^2=32=4^2+(-4)^2\]

Zadanie 20

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W układzie współrzędnych \((x,y)\) punkty \(A=(-1,-4)\) oraz \(B=(2,y_B)\) leżą na prostej \(l\). Współczynnik kierunkowy prostej \(l\) jest równy \(3\).

Liczba \(y_B\) jest równa

\((-3)\)

\(5\)

\(7\)

\((-13)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie współczynnika kierunkowego

Dla dwóch punktów prostej współczynnik kierunkowy jest ilorazem różnicy współrzędnych \(y\) i różnicy współrzędnych \(x\).

\[\frac{y_B-(-4)}{2-(-1)}=3\]

2 Obliczenie współrzędnej

Upraszczamy równanie i wyznaczamy \(y_B\).

\[\frac{y_B+4}{3}=3\quad\Rightarrow\quad y_B+4=9\quad\Rightarrow\quad y_B=5\]

Odpowiedź

Liczba y_B jest równa 5. Odpowiedź B.

\[y_B=5\]

Sprawdzenie

Dla punktów A=(-1,-4) i B=(2,5) współczynnik kierunkowy wynosi 3, zgodnie z treścią zadania.

\[\frac{5-(-4)}{2-(-1)}=\frac{9}{3}=3\]

Zadanie 32

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W układzie współrzędnych \((x,y)\) dany jest równoległobok \(ABCD\), w którym \(D=(6,19)\).

Bok \(AB\) tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu \(y=\frac{1}{2}x+9\), a bok \(AD\) zawiera się w prostej o równaniu \(y=4x-5\).

Punkt \(K=(10,14)\) jest środkiem odcinka \(AB\).

Przekątne równoległoboku \(ABCD\) przecinają się w punkcie \(S\).

Oblicz odległość punktu \(S\) od początku układu współrzędnych.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie punktu A

Punkt A leży na obu podanych prostych, więc znajdujemy ich punkt przecięcia.

\[\frac{1}{2}x+9=4x-5\;\Rightarrow\;x=4,\quad y=11,\quad A=(4,11)\]

2 Wyznaczenie punktu B

K jest środkiem odcinka AB, więc współrzędne B obliczamy ze wzoru na środek odcinka.

\[B=(2\cdot10-4,\;2\cdot14-11)=(16,17)\]

3 Wyznaczenie punktu S

Przekątne równoległoboku dzielą się na połowy, zatem S jest środkiem odcinka BD.

\[S=\left(\frac{16+6}{2},\frac{17+19}{2}\right)=(11,18)\]

4 Obliczenie odległości

Stosujemy wzór na odległość punktu od początku układu współrzędnych.

\[|OS|=\sqrt{11^2+18^2}=\sqrt{445}\]

Odpowiedź

Odległość punktu S od początku układu współrzędnych wynosi \(\sqrt{445}\).

\[|OS|=\sqrt{445}\]

Sprawdzenie

Punkty A i B leżą na prostej zawierającej AB, punkt D leży na prostej zawierającej AD, a środek AB ma współrzędne K. Druga przekątna ma ten sam środek S.

\[\frac{1}{2}\cdot4+9=11,\quad\frac{1}{2}\cdot16+9=17,\quad4\cdot6-5=19;\quad\frac{A+B}{2}=(10,14),\quad C=B+D-A=(18,25),\quad\frac{A+C}{2}=(11,18)\]

Zadanie 24.1

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) punkty \(A=(0,-3)\), \(B=(2,1)\) oraz \(C=(0,2)\) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole trójkąta \(ABC\) jest równe

\(3\)

\(5\)

\(6\)

\(10\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Długość podstawy

Punkty A i C mają tę samą współrzędną x, więc odcinek AC jest pionowy. Jego długość to różnica współrzędnych y.

\[|AC|=|2-(-3)|=5\]

2 Wysokość i pole

Wysokością opuszczoną z B na prostą AC jest odległość pozioma od tej prostej, równa 2. Stosujemy wzór na pole trójkąta.

\[h=|2-0|=2,\qquad P=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 2=5\]

Odpowiedź

B. Pole trójkąta ABC wynosi 5 jednostek kwadratowych.

\[P=5\]

Sprawdzenie

Wyznacznik wektorów AB=(2,4) i AC=(0,5) ma wartość 10, więc połowa jego wartości bezwzględnej daje ponownie pole 5.

\[P=\frac{1}{2}|2\cdot 5-4\cdot 0|=5\]

Zadanie 24.2

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) punkty \(A=(0,-3)\), \(B=(2,1)\) oraz \(C=(0,2)\) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Środek okręgu opisanego na trójkącie \(ABC\) ma współrzędne

\(\left(\frac{2}{3},0\right)\)

\(\left(-\frac{1}{2},0\right)\)

\(\left(0,-\frac{2}{3}\right)\)

\(\left(0,-\frac{1}{2}\right)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie przeciwprostokątnej

Iloczyn skalarny wektorów wychodzących z punktu B jest równy zeru, więc kąt przy B jest prosty, a przeciwprostokątną jest AC.

\[\overrightarrow{BA}=(-2,-4),\quad \overrightarrow{BC}=(-2,1),\quad (-2)(-2)+(-4)\cdot1=0\]

2 Wyznaczenie środka okręgu

W trójkącie prostokątnym środek okręgu opisanego jest środkiem przeciwprostokątnej. Obliczamy więc środek odcinka AC.

\[S=\left(\frac{0+0}{2},\frac{-3+2}{2}\right)=\left(0,-\frac12\right)\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: środek okręgu ma współrzędne (0, −1/2).

\[S=\left(0,-\frac12\right)\]

Sprawdzenie

Punkt S jest jednakowo odległy od wszystkich trzech wierzchołków: kwadraty odległości wynoszą 25/4.

\[SA^2=SC^2=\left(\frac52\right)^2=\frac{25}{4},\qquad SB^2=2^2+\left(\frac32\right)^2=\frac{25}{4}\]

Zadanie 25

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dany jest okrąg \(\mathcal{O}\) o środku w punkcie \(S=(1,-3)\) i o promieniu \(5\).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Punkt \(A=(4,-7)\) leży na okręgu \(\mathcal{O}\).	P	F
Okrąg \(\mathcal{O}\) jest określony równaniem \((x-1)^2+(y+3)^2=5\).	P	F

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Sprawdzenie położenia punktu A

Punkt leży na okręgu, gdy jego odległość od środka jest równa promieniowi.

\[|SA|=\sqrt{(4-1)^2+(-7-(-3))^2}=\sqrt{3^2+(-4)^2}=5\]

2 Wyznaczenie równania okręgu

W równaniu okręgu prawa strona jest kwadratem promienia, więc wynosi 25, a nie 5.

\[(x-1)^2+(y+3)^2=5^2=25\]

Odpowiedź

Pierwsze stwierdzenie: P. Drugie stwierdzenie: F.

Sprawdzenie

Po podstawieniu współrzędnych punktu A do poprawnego równania otrzymujemy 25. W równaniu podanym w drugim stwierdzeniu prawa strona wynosi 5, więc nie opisuje ono tego okręgu.

\[(4-1)^2+(-7+3)^2=9+16=25\]

Zadanie 26

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dana jest prosta \(k\) o równaniu \(y=-\frac{1}{3}x+2\). Prosta \(l\) jest równoległa do prostej \(k\) i przechodzi przez punkt \((2,-2)\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Prosta \(l\) przecina oś \(Oy\) w punkcie

\((0,-3)\)

\(\left(0,-\frac{1}{2}\right)\)

\((0,-1)\)

\(\left(0,-\frac{4}{3}\right)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie równania prostej

Proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy. Podstawiamy współrzędne punktu (2,−2), aby obliczyć wyraz wolny.

\[y=-\frac{1}{3}x+b,\qquad -2=-\frac{1}{3}\cdot2+b,\qquad b=-\frac{4}{3}\]

2 Przecięcie z osią Oy

Każdy punkt osi Oy ma pierwszą współrzędną równą zero, więc podstawiamy x=0.

\[y=-\frac{1}{3}\cdot0-\frac{4}{3}=-\frac{4}{3}\]

Odpowiedź

Prosta l przecina oś Oy w punkcie (0,−4/3). Odpowiedź D.

\[D:\ \left(0,-\frac{4}{3}\right)\]

Sprawdzenie

Dla x=2 równanie prostej l daje y=−2, więc prosta przechodzi przez podany punkt. Jej współczynnik kierunkowy wynosi −1/3, tak samo jak prostej k.

\[-\frac{1}{3}\cdot2-\frac{4}{3}=-2\]

Zadanie 21

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W układzie współrzędnych \((x,y)\) dana jest prosta \(k\) o równaniu \(y=-\frac{1}{3}x+2\). Prosta \(l\) jest równoległa do prostej \(k\) i przechodzi przez punkt \((2,-2)\).

Prosta \(l\) przecina oś \(Oy\) w punkcie

\((0,-3)\)

\(\left(0,-\frac{1}{2}\right)\)

\((0,-1)\)

\(\left(0,-\frac{4}{3}\right)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie współczynnika kierunkowego

Proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy, więc prosta l ma równanie o postaci podanej we wzorze.

\[y=-\frac{1}{3}x+b\]

2 Obliczenie wyrazu wolnego

Podstawiamy współrzędne punktu, przez który przechodzi prosta l, aby obliczyć b.

\[-2=-\frac{1}{3}\cdot 2+b=-\frac{2}{3}+b\quad\Longrightarrow\quad b=-\frac{4}{3}\]

3 Wyznaczenie punktu przecięcia

Na osi Oy współrzędna x jest równa zeru. Po jej podstawieniu otrzymujemy współrzędną y.

\[x=0\quad\Longrightarrow\quad y=-\frac{1}{3}\cdot 0-\frac{4}{3}=-\frac{4}{3}\]

Odpowiedź

Prosta l przecina oś Oy w punkcie (0, −4/3). Odpowiedź D.

\[D:\ \left(0,-\frac{4}{3}\right)\]

Sprawdzenie

Punkt (2, −2) należy do wyznaczonej prostej, a jej współczynnik kierunkowy jest równy współczynnikowi prostej k.

\[-\frac{1}{3}\cdot 2-\frac{4}{3}=-2\]

Zadanie 34

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W układzie współrzędnych \((x,y)\) punkty \(A=(-4,-2)\) i \(B=(-2,10)\) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Wierzchołek \(C\) leży na osi \(Ox\) układu współrzędnych.

Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\) oraz pole trójkąta \(ABC\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Oznaczenie współrzędnych

Ponieważ punkt C leży na osi Ox, jego druga współrzędna jest równa zero.

\[C=(t,0)\]

2 Wyznaczenie punktu C

Równość ramion oznacza równość kwadratów ich długości. Korzystamy ze wzoru na odległość punktów.

\[(t+4)^2+2^2=(t+2)^2+10^2\quad\Longrightarrow\quad t^2+8t+20=t^2+4t+104\quad\Longrightarrow\quad t=21\]

3 Obliczenie pola

Pole jest połową wartości bezwzględnej wyznacznika wektorów wychodzących z punktu A.

\[\overrightarrow{AB}=(2,12),\quad\overrightarrow{AC}=(25,2),\quad P=\frac12|2\cdot2-12\cdot25|=148\]

Odpowiedź

Wierzchołek C ma współrzędne (21,0), a pole trójkąta ABC wynosi 148 jednostek kwadratowych.

\[C=(21,0),\qquad P_{ABC}=148\]

Sprawdzenie

Kwadraty długości obu ramion wynoszą 629, więc warunek równoramienności jest spełniony. Wektorów AB i AC nie można przedstawić jako wielokrotności, zatem punkty tworzą trójkąt.

\[|AC|^2=25^2+2^2=629=23^2+10^2=|BC|^2,\qquad \det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=-296\ne0\]

Zadanie 22

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dana jest prosta \(k\) o równaniu \(y=5x+7\). Prosta \(l\) jest równoległa do prostej \(k\) i przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,-4)\). Punkt o współrzędnych \((p,2)\) należy do prostej \(l\).

Oblicz \(p\). Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie równania prostej l

Proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy. Ponieważ prosta l przecina oś Oy w punkcie (0,−4), jej wyraz wolny wynosi −4.

\[l:\ y=5x-4\]

2 Obliczenie p

Punkt (p,2) należy do prostej l, więc jego współrzędne spełniają jej równanie.

\[2=5p-4\quad\Rightarrow\quad 5p=6\quad\Rightarrow\quad p=\frac{6}{5}\]

Odpowiedź

p = 6/5

\[p=\frac{6}{5}\]

Sprawdzenie

Dla p = 6/5 prawa strona równania prostej l wynosi 2, więc punkt należy do tej prostej. Jej współczynnik kierunkowy to 5, tak samo jak prostej k.

\[5\cdot\frac{6}{5}-4=6-4=2\]

Zadanie 23

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dany jest okrąg \(\mathcal{O}\) o równaniu

\(\mathcal{O}:\ (x+1)^2+(y-2)^2=9\)

Okrąg \(\mathcal{K}\) jest obrazem okręgu \(\mathcal{O}\) w symetrii osiowej względem osi \(Oy\) układu współrzędnych.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Okrąg \(\mathcal{K}\) jest określony równaniem

\((x+1)^2+(y+2)^2=9\)

\((x+1)^2+(y-2)^2=9\)

\((x-1)^2+(y+2)^2=9\)

\((x-1)^2+(y-2)^2=9\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczytanie środka i promienia

Porównujemy równanie z postacią \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\), aby ustalić środek i promień okręgu.

\[S=(-1,2),\qquad r=\sqrt{9}=3\]

2 Odbicie względem osi \(Oy\)

Symetria względem osi \(Oy\) zmienia znak pierwszej współrzędnej środka, a zachowuje drugą współrzędną i promień.

\[(-1,2)\mapsto(1,2),\qquad r=3\]

3 Zapisanie równania obrazu

Podstawiamy środek \((1,2)\) i promień \(3\) do równania okręgu.

\[\mathcal{K}:\ (x-1)^2+(y-2)^2=3^2=9\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[(x-1)^2+(y-2)^2=9\]

Sprawdzenie

Środek otrzymanego okręgu to \((1,2)\), czyli odbicie środka \((-1,2)\) względem osi \(Oy\). Promień obu okręgów wynosi \(3\).

\[(-1,2)\mapsto(1,2),\qquad \sqrt{9}=3\]

Zadanie 21

Matura 2025 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W układzie współrzędnych \((x, y)\) dana jest prosta \(k\) o równaniu \(y=x-4\). Prosta \(l\) jest obrazem prostej \(k\) w symetrii osiowej względem osi \(Oy\) układu współrzędnych.

Prosta \(l\) jest określona równaniem

\(y=x-4\)

\(y=x+4\)

\(y=-x-4\)

\(y=-x+4\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie symetrii

Symetria względem osi \(Oy\) zmienia znak współrzędnej \(x\), a pozostawia \(y\) bez zmian. Dlatego w równaniu prostej zastępujemy \(x\) przez \(-x\).

\[y=(-x)-4=-x-4\]

Odpowiedź

Prosta \(l\) ma równanie \(y=-x-4\). Odpowiedź C.

\[y=-x-4\]

Sprawdzenie

Punkt \((4,0)\) leży na prostej \(k\). Jego obraz \((-4,0)\) spełnia otrzymane równanie: \(0=-(-4)-4\).

\[0=-(-4)-4=0\]