1 Wyznaczenie nachylenia przeciwprostokątnej
Wysokość CD jest prostopadła do AB. Współczynnik kierunkowy CD obliczamy z punktów C i D, a współczynnik prostej prostopadłej jest jego ujemną odwrotnością.
\[a_{CD}=\frac{4-0}{3-0}=\frac43,\qquad a_{AB}=-\frac34\]
2 Równanie prostej AB
Prosta AB przechodzi przez punkt D=(3,4), więc podstawiamy jego współrzędne do równania kierunkowego.
\[y-4=-\frac34(x-3),\qquad y=-\frac34x+\frac{25}{4}\]
3 Współrzędne wierzchołków
Punkt A leży na osi Ox, zatem ma drugą współrzędną równą zero. Punkt B leży na osi Oy, więc ma pierwszą współrzędną równą zero.
\[A:\quad 0=-\frac34x+\frac{25}{4}\ \Longrightarrow\ x=\frac{25}{3};\qquad B:\quad x=0\ \Longrightarrow\ y=\frac{25}{4}\]
4 Długość przeciwprostokątnej
Stosujemy wzór na odległość punktów A i B.
\[|AB|=\sqrt{\left(\frac{25}{3}\right)^2+\left(\frac{25}{4}\right)^2}=25\sqrt{\frac19+\frac1{16}}=\frac{125}{12}\]
Odpowiedź
Wierzchołki mają współrzędne A=(25/3, 0) i B=(0, 25/4), a długość przeciwprostokątnej AB wynosi 125/12.
\[A=\left(\frac{25}{3},0\right),\qquad B=\left(0,\frac{25}{4}\right),\qquad |AB|=\frac{125}{12}\]
Sprawdzenie
Punkt D leży na wyznaczonej prostej AB, a iloczyn współczynników kierunkowych CD i AB wynosi −1, więc CD jest wysokością. Obie współrzędne punktu D mieszczą się między współrzędnymi końców odcinka AB.
\[4=-\frac34\cdot3+\frac{25}{4},\qquad \frac43\cdot\left(-\frac34\right)=-1,\qquad 0<3<\frac{25}{3},\quad 0<4<\frac{25}{4}\]
