Zbiór zadań maturalnych

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej — zadania maturalne

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

110 zadańStrona 6 z 8

Sortuj:

Zadanie 21

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie parę prostych prostopadłych opisują równania

\(y=2x\) i \(y=-\frac{1}{2}\)

\(y=-2x\) i \(y=\frac{1}{2}x\)

\(y=2x\) i \(y=\frac{1}{2}x\)

\(y=2\) i \(y=-2x\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek prostopadłości

Dwie proste o współczynnikach kierunkowych różnych od zera są prostopadłe, gdy iloczyn tych współczynników wynosi \(-1\).

\[a_1a_2=-1\]

2 Sprawdzenie odpowiedzi B

Współczynniki kierunkowe podanych prostych to \(-2\) oraz \(\frac{1}{2}\). Ich iloczyn spełnia warunek prostopadłości.

\[(-2)\cdot\frac{1}{2}=-1\]

Odpowiedź

B — proste \(y=-2x\) i \(y=\frac{1}{2}x\).

\[y=-2x\quad\text{i}\quad y=\frac{1}{2}x\]

Sprawdzenie

W odpowiedzi C iloczyn współczynników wynosi \(1\). W odpowiedziach A i D jedna prosta jest pozioma, a druga nie jest pionowa. Żadna z tych par nie jest prostopadła.

\[2\cdot\frac{1}{2}=1\ne-1\]

Zadanie 22

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Dane są punkty \(A=(4,1)\), \(B=(1,3)\), \(C=(4,-1)\). Pole trójkąta \(ABC\) jest równe

\(3\)

\(6\)

\(8\)

\(16\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wybór podstawy

Punkty A i C mają tę samą pierwszą współrzędną, więc odcinek AC jest pionowy, a jego długość wynosi 2.

\[|AC|=|1-(-1)|=2\]

2 Obliczenie wysokości i pola

Wysokość opuszczona z punktu B to jego odległość od prostej x=4, czyli 3. Stosujemy wzór na pole trójkąta.

\[h=|4-1|=3,\qquad P=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 3=3\]

Odpowiedź

Pole trójkąta wynosi 3. Odpowiedź A.

\[P=3\]

Sprawdzenie

Odcinek AC ma długość 2, a punkt B leży 3 jednostki od prostej zawierającej AC. Połowa pola prostokąta o tych bokach wynosi 3, zgodnie z obliczeniem.

\[\frac{2\cdot 3}{2}=3\]

Zadanie 34

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Prosta o równaniu \(y=-2x+7\) jest symetralną odcinka \(PQ\), gdzie \(P=(4,5)\). Oblicz współrzędne punktu \(Q\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek prostopadłości

Symetralna jest prostopadła do odcinka \(PQ\). Prosta o współczynniku kierunkowym \(-2\) jest prostopadła do prostej o współczynniku \(\frac12\). Dla \(Q=(a,b)\) otrzymujemy:

\[b-5=\frac12(a-4),\quad b=\frac12a+3.\]

2 Warunek środka odcinka

Środek odcinka \(PQ\) leży na symetralnej, więc jego współrzędne spełniają równanie danej prostej.

\[\frac{5+b}{2}=-2\cdot\frac{4+a}{2}+7,\quad b=1-2a.\]

3 Wyznaczenie punktu

Porównujemy otrzymane wyrażenia na \(b\), a następnie obliczamy drugą współrzędną.

\[\frac12a+3=1-2a\quad\Longrightarrow\quad a=-\frac45,\qquad b=1-2\left(-\frac45\right)=\frac{13}{5}.\]

Odpowiedź

Punkt Q ma współrzędne \(\left(-\frac45,\frac{13}{5}\right)\).

\[Q=\left(-\frac45,\frac{13}{5}\right)\]

Sprawdzenie

Środek odcinka leży na podanej prostej. Współczynnik kierunkowy odcinka wynosi \(\frac12\), a iloczyn współczynników prostych wynosi \(-1\), więc proste są prostopadłe.

\[S=\left(\frac85,\frac{19}{5}\right),\quad -2\cdot\frac85+7=\frac{19}{5},\qquad \frac{\frac{13}{5}-5}{-\frac45-4}=\frac12,\quad (-2)\cdot\frac12=-1.\]

Zadanie 15

Matura 2019 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Pole trójkąta \(ABC\) o wierzchołkach \(A=(0,0)\), \(B=(4,2)\), \(C=(2,6)\) jest równe

\(5\)

\(10\)

\(15\)

\(20\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie pola

Ponieważ A jest początkiem układu współrzędnych, pole trójkąta jest połową wartości bezwzględnej wyznacznika wektorów AB i AC.

\[P=\frac12\left|4\cdot6-2\cdot2\right|=\frac12\cdot20=10\]

Odpowiedź

Pole wynosi 10 jednostek kwadratowych. Odpowiedź B.

\[P=10\]

Sprawdzenie

Podstawa AB ma długość 2√5, a wysokość opuszczona z C na prostą AB ma długość 2√5. Ich iloczyn podzielony przez 2 daje 10.

\[|AB|=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt5,\quad h=\frac{|2-2\cdot6|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}}=2\sqrt5,\quad P=\frac12\cdot2\sqrt5\cdot2\sqrt5=10\]

Zadanie 17

Matura 2019 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W układzie współrzędnych na płaszczyźnie dany jest odcinek \(AB\) o końcach w punktach \(A=(7,4)\), \(B=(11,12)\). Punkt \(S\) leży wewnątrz odcinka \(AB\) oraz \(|AS|=3\cdot|BS|\). Wówczas

\(S=(8,6)\)

\(S=(9,8)\)

\(S=(10,10)\)

\(S=(13,16)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie położenia punktu S

Ponieważ S leży wewnątrz odcinka i |AS|=3|BS|, odcinek AS stanowi trzy czwarte odcinka AB.

\[\frac{|AS|}{|AB|}=\frac{3}{3+1}=\frac34\]

2 Obliczenie współrzędnych

Przesuwamy się od A o trzy czwarte wektora AB.

\[S=A+\frac34(B-A)=(7,4)+\frac34(4,8)=(10,10)\]

Odpowiedź

Punkt S ma współrzędne (10,10). Odpowiedź C.

\[S=(10,10)\]

Sprawdzenie

Punkt S leży wewnątrz odcinka, bo użyty ułamek jest między 0 a 1. Długości AS i BS są w wymaganym stosunku 3:1.

\[|AS|=\sqrt{3^2+6^2}=3\sqrt5,\quad |BS|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5\]

Zadanie 18

Matura 2019 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Suma odległości punktu \(A=(-4,2)\) od prostych o równaniach \(x=4\) i \(y=-4\) jest równa

\(14\)

\(12\)

\(10\)

\(8\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odległość od prostej pionowej

Odległość punktu od prostej \(x=4\) jest różnicą ich współrzędnych \(x\) w wartości bezwzględnej.

\[d_1=|-4-4|=8\]

2 Odległość od prostej poziomej

Odległość punktu od prostej \(y=-4\) jest różnicą ich współrzędnych \(y\) w wartości bezwzględnej.

\[d_2=|2-(-4)|=6\]

3 Obliczenie sumy

Dodajemy obie odległości.

\[d_1+d_2=8+6=14\]

Odpowiedź

Suma odległości wynosi 14. Odpowiedź A.

\[14\]

Sprawdzenie

Punkty (4, 2) i (-4, -4) leżą na wskazanych prostych. Odcinki łączące je z punktem A są prostopadłe do tych prostych i mają długości odpowiednio 8 oraz 6, więc ich suma wynosi 14.

\[|4-(-4)|+|2-(-4)|=8+6=14\]

Zadanie 10

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Punkt \(A=(a,3)\) leży na prostej określonej równaniem \(y=\frac{3}{4}x+6\). Stąd wynika, że

\(a=-4\)

\(a=4\)

\(a=\frac{33}{4}\)

\(a=\frac{39}{4}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie współrzędnych

Ponieważ punkt A leży na prostej, jego współrzędne spełniają równanie tej prostej.

\[3=\frac{3}{4}a+6\]

2 Obliczenie a

Odejmujemy 6 od obu stron, a następnie mnożymy przez \(\frac{4}{3}\).

\[-3=\frac{3}{4}a\quad\Rightarrow\quad a=-3\cdot\frac{4}{3}=-4\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: \(a=-4\).

\[a=-4\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu \(a=-4\) równanie prostej daje \(y=3\), więc punkt rzeczywiście leży na prostej.

\[\frac{3}{4}\cdot(-4)+6=-3+6=3\]

Zadanie 15

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Okrąg, którego środkiem jest punkt \(S=(a,5)\), jest styczny do osi \(Oy\) i do prostej o równaniu \(y=2\). Promień tego okręgu jest równy

\(3\)

\(5\)

\(2\)

\(4\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odległość środka od prostej

Promień okręgu stycznego do prostej jest równy odległości jego środka od tej prostej. Dla prostej poziomej odejmujemy współrzędne pionowe.

\[r=|5-2|=3\]

Odpowiedź

Promień wynosi 3. Odpowiedź A.

\[r=3\]

Sprawdzenie

Styczność do osi Oy jest możliwa: środek musi leżeć w odległości 3 od tej osi, czyli mieć pierwszą współrzędną 3 lub −3.

\[|a|=r=3\quad\Longrightarrow\quad a=3\ \text{lub}\ a=-3\]

Zadanie 17

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Proste o równaniach \(y=(4m+1)x-19\) oraz \(y=(5m-4)x+20\) są równoległe, gdy

\(m=5\)

\(m=-\frac{1}{4}\)

\(m=\frac{5}{4}\)

\(m=-5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Porównanie współczynników kierunkowych

Proste zapisane w postaci \(y=ax+b\) są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe. Dlatego przyrównujemy współczynniki przy \(x\).

\[4m+1=5m-4\]

2 Wyznaczenie parametru

Przenosimy wyrazy z \(m\) na jedną stronę równania, a liczby na drugą.

\[4m+1=5m-4\quad\Longrightarrow\quad m=5\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: \(m=5\).

\[m=5\]

Sprawdzenie

Dla \(m=5\) oba współczynniki kierunkowe wynoszą \(21\). Wyrazy wolne, \(-19\) i \(20\), są różne, więc proste są różne i równoległe.

\[4\cdot5+1=21=5\cdot5-4\]

Zadanie 18

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W układzie współrzędnych punkt \(S=(40,40)\) jest środkiem odcinka \(KL\), którego jednym z końców jest punkt \(K=(0,8)\). Zatem

\(L=(20,24)\)

\(L=(-80,-72)\)

\(L=(-40,-24)\)

\(L=(80,72)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie wzoru na środek odcinka

Współrzędne środka są średnimi współrzędnych końców. Oznaczamy szukany punkt przez \(L=(x,y)\).

\[40=\frac{0+x}{2},\qquad 40=\frac{8+y}{2}\]

2 Wyznaczenie współrzędnych punktu L

Mnożymy oba równania przez 2 i obliczamy niewiadome.

\[x=80,\qquad y=80-8=72\]

Odpowiedź

Punkt \(L=(80,72)\), więc poprawna jest odpowiedź D.

\[L=(80,72)\]

Sprawdzenie

Średnie współrzędnych punktów K i L wynoszą 40, zatem ich środkiem jest podany punkt S.

\[\left(\frac{0+80}{2},\frac{8+72}{2}\right)=(40,40)=S\]

Zadanie 19

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Punkt \(P=(-6,-8)\), przekształcono najpierw w symetrii względem osi \(Ox\), a potem w symetrii względem osi \(Oy\). W wyniku tych przekształceń otrzymano punkt \(Q\). Zatem

\(Q=(6,8)\)

\(Q=(-6,-8)\)

\(Q=(8,6)\)

\(Q=(-8,-6)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Symetria względem osi Ox

W symetrii względem osi Ox pierwsza współrzędna pozostaje bez zmian, a druga zmienia znak.

\[(-6,-8)\longmapsto(-6,8)\]

2 Symetria względem osi Oy

W symetrii względem osi Oy pierwsza współrzędna zmienia znak, a druga pozostaje bez zmian.

\[(-6,8)\longmapsto(6,8)=Q\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: Q=(6,8).

\[Q=(6,8)\]

Sprawdzenie

Po obu symetriach każda współrzędna punktu P zmieniła znak: −6 na 6 oraz −8 na 8. Wynik zgadza się z odpowiedzią A.

\[(-6,-8)\longmapsto(6,8)\]

Zadanie 20

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W układzie współrzędnych na płaszczyźnie danych jest 5 punktów: \(A=(1,4)\), \(B=(-5,-1)\), \(C=(-5,3)\), \(D=(6,-4)\), \(P=(-30,-76)\).

Punkt \(P\) należy do tej samej ćwiartki układu współrzędnych co punkt

\(A\)

\(B\)

\(C\)

\(D\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustalenie ćwiartki punktu P

Obie współrzędne punktu P są ujemne, więc leży on w III ćwiartce.

\[x_P=-30<0,\quad y_P=-76<0\]

2 Wybór punktu

Punkt B również ma obie współrzędne ujemne, więc leży w tej samej ćwiartce.

\[x_B=-5<0,\quad y_B=-1<0\]

Odpowiedź

Punkt B, odpowiedź B.

\[B=(-5,-1)\]

Sprawdzenie

Pozostałe punkty leżą w innych ćwiartkach: A w I, C w II, a D w IV.

\[A:(+,+),\quad C:(-,+),\quad D:(+,-)\]

Zadanie 31

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Przekątne rombu \(ABCD\) przecinają się w punkcie \(S=\left(-\frac{21}{2},-1\right)\). Punkty \(A\) i \(C\) leżą na prostej o równaniu \(y=\frac{1}{3}x+\frac{5}{2}\). Wyznacz równanie prostej \(BD\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie nachylenia przekątnej BD

Przekątne rombu są prostopadłe, więc iloczyn współczynników kierunkowych prostych AC i BD wynosi −1.

\[\frac{1}{3}\cdot a_{BD}=-1\quad\Rightarrow\quad a_{BD}=-3\]

2 Wyznaczenie równania prostej

Prosta BD przechodzi przez punkt przecięcia przekątnych S. Podstawiamy jego współrzędne do równania prostej o wyznaczonym nachyleniu.

\[y+1=-3\left(x+\frac{21}{2}\right)\quad\Rightarrow\quad y=-3x-\frac{65}{2}\]

Odpowiedź

Równanie prostej BD:

\[y=-3x-\frac{65}{2}\]

Sprawdzenie

Punkt S należy do obu prostych, a ich współczynniki kierunkowe mają iloczyn −1, więc proste są prostopadłe.

\[-3\cdot\left(-\frac{21}{2}\right)-\frac{65}{2}=-1,\qquad \frac{1}{3}\cdot(-3)=-1\]

Zadanie 17

Matura 2018 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Okrąg o środku \(S_1=(2,1)\) i promieniu \(r\) oraz okrąg o środku \(S_2=(5,5)\) i promieniu \(4\) są styczne zewnętrznie. Wtedy

\(r=1\)

\(r=2\)

\(r=3\)

\(r=4\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie odległości środków

Korzystamy ze wzoru na odległość punktów, aby wyznaczyć odległość między środkami okręgów.

\[|S_1S_2|=\sqrt{(5-2)^2+(5-1)^2}=\sqrt{9+16}=5\]

2 Wyznaczenie promienia

Przy styczności zewnętrznej odległość środków jest sumą promieni.

\[r+4=5\quad\Rightarrow\quad r=1\]

Odpowiedź

Promień wynosi 1. Odpowiedź A.

\[r=1\]

Sprawdzenie

Promienie są dodatnie, a ich suma wynosi 1+4=5, czyli tyle, ile odległość środków. Warunek styczności zewnętrznej jest spełniony.

\[1+4=|S_1S_2|=5\]

Zadanie 34

Matura 2018 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Punkty \(A=(-1,1)\) i \(C=(1,9)\) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Podstawa \(AB\) tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu \(y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(B\) tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie współrzędnych punktu B

Ponieważ B leży na prostej zawierającej podstawę AB, jego współrzędne spełniają równanie tej prostej.

\[B=\left(x,\frac{x}{2}+\frac{3}{2}\right)\]

2 Wykorzystanie równości ramion

Warunek |AC|=|BC| pozwala wyznaczyć x ze wzoru na odległość punktów. Odrzucamy rozwiązanie odpowiadające punktowi A, ponieważ wierzchołki trójkąta są różne.

\[|AC|^2=2^2+8^2=68,\quad (x-1)^2+\left(\frac{x}{2}-\frac{15}{2}\right)^2=68\quad\Longrightarrow\quad 5x^2-38x-43=(x+1)(5x-43)=0.\quad x=-1\ (B=A)\ \text{lub}\ x=\frac{43}{5}.\]

3 Obliczenie drugiej współrzędnej

Podstawiamy dopuszczalną wartość x do równania prostej.

\[y=\frac{1}{2}\cdot\frac{43}{5}+\frac{3}{2}=\frac{29}{5}.\]

Odpowiedź

Wierzchołek B ma współrzędne (43/5, 29/5).

\[B=\left(\frac{43}{5},\frac{29}{5}\right)\]

Sprawdzenie

Punkt B leży na podanej prostej, jest różny od A, a kwadraty długości ramion AC i BC są równe 68.

\[\frac{1}{2}\cdot\frac{43}{5}+\frac{3}{2}=\frac{29}{5},\qquad |BC|^2=\left(\frac{38}{5}\right)^2+\left(-\frac{16}{5}\right)^2=68=|AC|^2.\]