Zbiór zadań maturalnych

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej — zadania maturalne

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

110 zadańStrona 5 z 8

Sortuj:

Zadanie 35

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Podstawa \(AB\) trójkąta równoramiennego \(ABC\) jest zawarta w prostej o równaniu \(y=-2x+16\). Wierzchołki \(B\) i \(C\) mają współrzędne \(B=(3,10)\) i \(C=(-2,3)\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(A\) i pole trójkąta \(ABC\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie punktu A

Punkt A leży na prostej podstawy. Jej wektor kierunkowy to (1,−2), więc zapisujemy współrzędne A za pomocą parametru t.

\[A=(3+t,\,10-2t)\]

2 Wykorzystanie równych ramion

Ponieważ AB jest podstawą, ramiona AC i BC mają równe długości. Rozwiązanie z t=0 oznacza punkt B, więc wybieramy drugie.

\[BC^2=5^2+7^2=74,\quad AC^2=(5+t)^2+(7-2t)^2=74-18t+5t^2;\quad 5t^2-18t=0\Rightarrow t=0\ \text{lub}\ t=\frac{18}{5};\quad A=\left(\frac{33}{5},\frac{14}{5}\right)\]

3 Obliczenie pola

Długość AB jest podstawą, a odległość punktu C od prostej AB jest wysokością trójkąta.

\[|AB|=\frac{18}{5}\sqrt5,\quad h=\frac{|2(-2)+3-16|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{17}{\sqrt5},\quad P=\frac12\cdot\frac{18\sqrt5}{5}\cdot\frac{17}{\sqrt5}=\frac{153}{5}\]

Odpowiedź

Wierzchołek A ma współrzędne (33/5, 14/5), a pole trójkąta wynosi 153/5 jednostek kwadratowych.

\[A=\left(\frac{33}{5},\frac{14}{5}\right),\qquad P=\frac{153}{5}\]

Sprawdzenie

Punkt A należy do prostej podstawy i jest różny od B. Kwadraty długości obu ramion są równe 74.

\[-2\cdot\frac{33}{5}+16=\frac{14}{5},\quad A\ne B,\quad AC^2=\left(\frac{43}{5}\right)^2+\left(-\frac15\right)^2=74=BC^2\]

Zadanie 9

Matura 2021 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Prosta \(k\) przechodzi przez punkt \(A=(2,-3)\) i jest nachylona do osi \(Ox\) pod kątem \(45^\circ\) (zobacz rysunek). Prosta \(k\) ma równanie

Układ współrzędnych z prostą k nachyloną do dodatniego zwrotu osi Ox pod kątem 45°.

\(y=x-5\)

\(y=-x-1\)

\(y=-x+5\)

\(y=x+5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie współczynnika kierunkowego

Współczynnik kierunkowy prostej jest tangensem kąta jej nachylenia do dodatniego zwrotu osi \(Ox\).

\[a=\tan 45^\circ=1\]

2 Wyznaczenie wyrazu wolnego

Podstawiamy współrzędne punktu \(A=(2,-3)\) do równania \(y=ax+b\).

\[-3=1\cdot2+b\quad\Rightarrow\quad b=-5\]

Odpowiedź

Prosta ma równanie \(y=x-5\). Poprawna odpowiedź: A.

\[y=x-5\]

Sprawdzenie

Dla \(x=2\) otrzymujemy \(y=2-5=-3\), więc prosta przechodzi przez punkt \(A\). Jej współczynnik kierunkowy wynosi \(1=\tan45^\circ\), zatem ma wymagane nachylenie.

\[2-5=-3,\qquad a=1=\tan45^\circ\]

Zadanie 21

Matura 2021 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W układzie współrzędnych dane są dwa punkty \(A=(1,-2)\) oraz \(B=(3,1)\). Współczynnik kierunkowy prostej \(AB\) jest równy

\(\left(-\frac{3}{2}\right)\)

\(\left(-\frac{2}{3}\right)\)

\(\frac{2}{3}\)

\(\frac{3}{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie współczynnika kierunkowego

Ponieważ współrzędne x punktów są różne, dzielimy różnicę współrzędnych y przez różnicę współrzędnych x.

\[a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{1-(-2)}{3-1}=\frac{3}{2}\]

Odpowiedź

Współczynnik kierunkowy wynosi \(\frac{3}{2}\). Odpowiedź D.

\[a=\frac{3}{2}\]

Sprawdzenie

Przesunięcie z A do B wynosi 2 jednostki w prawo i 3 jednostki w górę, więc iloraz zmiany y i zmiany x to \(\frac{3}{2}\).

\[\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{3}{2}\]

Zadanie 22

Matura 2021 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Prosta \(k\) ma równanie \(y=-\frac{4}{7}x+24\). Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do prostej \(k\) jest równy

\(\frac{7}{4}\)

\(\left(-\frac{7}{4}\right)\)

\(\left(-\frac{4}{7}\right)\)

\(\frac{4}{7}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczytanie współczynnika

W równaniu \(y=ax+b\) współczynnik kierunkowy jest równy \(a\).

\[a_k=-\frac{4}{7}\]

2 Wyznaczenie współczynnika prostej prostopadłej

Iloczyn współczynników kierunkowych prostych prostopadłych jest równy \(-1\), więc szukany współczynnik jest odwrotnością o przeciwnym znaku.

\[a_\perp=-\frac{1}{a_k}=-\frac{1}{-\frac{4}{7}}=\frac{7}{4}\]

Odpowiedź

Współczynnik kierunkowy wynosi \(\frac{7}{4}\). Odpowiedź A.

\[a_\perp=\frac{7}{4}\]

Sprawdzenie

Iloczyn współczynników wynosi \(-1\), więc proste są prostopadłe.

\[-\frac{4}{7}\cdot\frac{7}{4}=-1\]

Zadanie 23

Matura 2021 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Punkty \(A=(3,7)\) i \(C=(-4,6)\) są końcami przekątnej kwadratu \(ABCD\). Promień okręgu opisanego na tym kwadracie jest równy

\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\frac{5}{2}\)

\(\frac{5\sqrt{2}}{2}\)

\(5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie długości przekątnej

Korzystamy ze wzoru na odległość punktów w układzie współrzędnych.

\[|AC|=\sqrt{(-4-3)^2+(6-7)^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\]

2 Wyznaczenie promienia

Środek okręgu opisanego na kwadracie jest środkiem przekątnej, więc promień stanowi połowę jej długości.

\[R=\frac{|AC|}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[R=\frac{5\sqrt{2}}{2}\]

Sprawdzenie

Podwojenie otrzymanego promienia daje długość przekątnej AC.

\[2R=2\cdot\frac{5\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{2}=|AC|\]

Zadanie 7

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Boki trójkąta \(ABC\) są zawarte w prostych o równaniach \(y=\frac{2}{3}x+2\) i \(y=-x+2\) oraz osi \(Ox\) układu współrzędnych (zobacz rysunek).

Pole trójkąta \(ABC\) jest równe

Układ współrzędnych z osiami Ox i Oy oraz dwiema prostymi przecinającymi się w punkcie C na osi y. Punkty A i B leżą na osi x; zaznaczono także początek układu 0.

\(10\)

\(\frac{5}{2}\)

\(5\)

\(\frac{3}{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie podstawy

Punkty A i B leżą na osi Ox, więc w równaniach prostych podstawiamy y=0.

\[0=\frac{2}{3}x+2\Rightarrow x=-3,\qquad 0=-x+2\Rightarrow x=2,\qquad |AB|=2-(-3)=5\]

2 Wyznaczenie wysokości

Obie proste przecinają się na osi Oy w punkcie C=(0,2). Jego odległość od osi Ox jest wysokością trójkąta.

\[h=|2|=2\]

3 Obliczenie pola

Stosujemy wzór na pole trójkąta: połowa iloczynu podstawy i wysokości.

\[P=\frac{1}{2}\cdot|AB|\cdot h=\frac{1}{2}\cdot5\cdot2=5\]

Odpowiedź

Pole wynosi 5. Odpowiedź C.

\[P=5\]

Sprawdzenie

Dla x=−3 pierwsza prosta ma y=0, dla x=2 druga ma y=0, a obie dla x=0 mają y=2. Podstawa ma więc długość 5, a wysokość 2.

\[\frac{1}{2}\cdot5\cdot2=5\]

Zadanie 12

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Proste o równaniach \(y=(m-2)x\) oraz \(y=\frac{3}{4}x+7\) są prostopadłe. Wtedy

\(m=-\frac{5}{4}\)

\(m=\frac{2}{3}\)

\(m=\frac{11}{4}\)

\(m=\frac{10}{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie współczynników kierunkowych

W równaniu prostej postaci \(y=ax+b\) współczynnikiem kierunkowym jest liczba \(a\).

\[a_1=m-2,\qquad a_2=\frac{3}{4}\]

2 Zastosowanie warunku prostopadłości

Iloczyn współczynników kierunkowych prostych prostopadłych wynosi \(-1\), więc rozwiązujemy otrzymane równanie.

\[(m-2)\cdot\frac{3}{4}=-1\quad\Rightarrow\quad m-2=-\frac{4}{3}\quad\Rightarrow\quad m=\frac{2}{3}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: \(m=\frac{2}{3}\).

\[m=\frac{2}{3}\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanej wartości iloczyn współczynników kierunkowych wynosi \(-1\), więc proste są prostopadłe.

\[\left(\frac{2}{3}-2\right)\cdot\frac{3}{4}=-\frac{4}{3}\cdot\frac{3}{4}=-1\]

Zadanie 15

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Punkty \(A=(80,-1)\) i \(B=(-6,-19)\) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego \(ABC\). W tym trójkącie kąt przy wierzchołku \(C\) jest prosty. Środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie jest punkt o współrzędnych

\((43,-10)\)

\((37,10)\)

\((43,10)\)

\((37,-10)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozpoznanie przeciwprostokątnej

Kąt przy C jest prosty, więc bok AB jest przeciwprostokątną. Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym leży w połowie przeciwprostokątnej.

\[S=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)\]

2 Obliczenie środka

Podstawiamy współrzędne końców odcinka AB do wzoru na jego środek.

\[S=\left(\frac{80+(-6)}{2},\frac{-1+(-19)}{2}\right)=(37,-10)\]

Odpowiedź

Środek okręgu ma współrzędne (37, −10). Odpowiedź D.

\[S=(37,-10)\]

Sprawdzenie

Punkt (37, −10) jest jednakowo odległy od A i B: w obu przypadkach kwadrat odległości wynosi 1930.

\[SA^2=(80-37)^2+(-1+10)^2=1930,\quad SB^2=(-6-37)^2+(-19+10)^2=1930\]

Zadanie 17

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Punkty \(A=(1,-2)\) i \(C=(0,5)\) są końcami przekątnej kwadratu \(ABCD\). Obwód tego kwadratu jest równy

\(12\)

\(20\)

\(28\)

\(48\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie przekątnej

Długość odcinka łączącego punkty obliczamy ze wzoru na odległość punktów w układzie współrzędnych.

\[|AC|=\sqrt{(0-1)^2+(5-(-2))^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\]

2 Obliczenie boku i obwodu

Przekątna kwadratu o boku \(a\) ma długość \(a\sqrt{2}\), a obwód jest równy \(4a\).

\[a=\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=5,\qquad O=4\cdot5=20\]

Odpowiedź

Obwód kwadratu wynosi 20. Odpowiedź B.

\[O=20\]

Sprawdzenie

Dla boku długości 5 przekątna ma długość \(5\sqrt{2}\), zgodną z długością odcinka \(AC\).

\[5\sqrt{2}=|AC|\]

Zadanie 31

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Prosta \(k\) jest nachylona do osi \(Ox\) pod kątem ostrym \(\alpha\), takim, że \(\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}\). Wyznacz współczynnik kierunkowy prostej \(k\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie sinusa

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej. Ponieważ kąt jest ostry, jego sinus jest dodatni.

\[\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\frac13}=\frac{\sqrt6}{3}\]

2 Wyznaczenie współczynnika kierunkowego

Współczynnik kierunkowy prostej jest tangensem kąta jej nachylenia do osi Ox.

\[a=\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\sqrt6/3}{\sqrt3/3}=\sqrt2\]

Odpowiedź

Współczynnik kierunkowy prostej k wynosi √2.

\[a=\sqrt2\]

Sprawdzenie

Wynik jest dodatni, zgodnie z ostrym kątem nachylenia. Ponadto obliczona wartość tangensa odpowiada podanemu cosinusowi.

\[\frac{1}{\sqrt{1+(\sqrt2)^2}}=\frac1{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}\]

Zadanie 32

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Punkty \(A=(1,-1)\), \(B=(6,1)\), \(C=(7,5)\) i \(D=(2,4)\) są wierzchołkami czworokąta \(ABCD\). Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych tego czworokąta.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Równanie przekątnej AC

Z obu punktów wyznaczamy prostą zawierającą przekątną AC.

\[\frac{5-(-1)}{7-1}=1,\qquad y+1=x-1,\qquad y=x-2\]

2 Równanie przekątnej BD

Prosta przechodząca przez B i D ma współczynnik kierunkowy równy \(-\frac34\).

\[\frac{4-1}{2-6}=-\frac34,\qquad y-1=-\frac34(x-6),\qquad 3x+4y=22\]

3 Punkt przecięcia

Współrzędne szukanego punktu spełniają oba równania prostych, więc podstawiamy \(y=x-2\).

\[3x+4(x-2)=22\;\Rightarrow\;7x=30\;\Rightarrow\;x=\frac{30}{7},\qquad y=\frac{30}{7}-2=\frac{16}{7}\]

Odpowiedź

Przekątne przecinają się w punkcie o współrzędnych \(\left(\frac{30}{7},\frac{16}{7}\right)\).

\[\left(\frac{30}{7},\frac{16}{7}\right)\]

Sprawdzenie

Punkt spełnia równania obu prostych. Leży też na obu odcinkach: jego współrzędna \(x\) jest między współrzędnymi \(x\) końców każdej przekątnej.

\[\frac{16}{7}=\frac{30}{7}-2,\qquad 3\cdot\frac{30}{7}+4\cdot\frac{16}{7}=22,\qquad 1<\frac{30}{7}<7,\quad 2<\frac{30}{7}<6\]

Zadanie 12

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Do okręgu o środku w punkcie \(S=(2,4)\) należy punkt \(P=(1,3)\). Długość tego okręgu jest równa

\(4\pi\sqrt{2}\)

\(3\pi\sqrt{2}\)

\(2\pi\sqrt{2}\)

\(\pi\sqrt{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie promienia

Punkt P leży na okręgu, więc odległość punktów S i P jest jego promieniem.

\[r=|SP|=\sqrt{(2-1)^2+(4-3)^2}=\sqrt{2}\]

2 Obliczenie długości okręgu

Korzystamy ze wzoru na długość okręgu o promieniu r.

\[L=2\pi r=2\pi\sqrt{2}\]

Odpowiedź

Długość okręgu wynosi \(2\pi\sqrt{2}\). Odpowiedź C.

\[L=2\pi\sqrt{2}\]

Sprawdzenie

Kwadrat odległości punktu P od środka wynosi \(1^2+1^2=2\), zatem promień to \(\sqrt{2}\). Podstawienie do wzoru \(L=2\pi r\) daje podany wynik.

\[(2-1)^2+(4-3)^2=2,\qquad 2\pi\cdot\sqrt{2}=2\pi\sqrt{2}\]

Zadanie 13

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Prosta \(l\) jest równoległa do prostej \(y=-\frac{1}{2}x+2\). Na prostej \(l\) leży punkt \(P=(0,7)\). Zatem równanie prostej \(l\) ma postać

\(y=2x\)

\(y=2x+7\)

\(y=-\frac{1}{2}x\)

\(y=-\frac{1}{2}x+7\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustal współczynnik kierunkowy

Proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy, więc prosta \(l\) ma postać:

\[y=-\frac{1}{2}x+b\]

2 Wyznacz wyraz wolny

Punkt \(P=(0,7)\) leży na prostej, dlatego jego współrzędne spełniają równanie.

\[7=-\frac{1}{2}\cdot 0+b\quad\Rightarrow\quad b=7\]

Odpowiedź

Równanie prostej to \(y=-\frac{1}{2}x+7\). Odpowiedź D.

\[y=-\frac{1}{2}x+7\]

Sprawdzenie

Dla \(x=0\) otrzymujemy \(y=7\), więc punkt \(P\) leży na prostej. Jej współczynnik kierunkowy wynosi \(-\frac{1}{2}\), tak jak współczynnik danej prostej.

\[-\frac{1}{2}\cdot 0+7=7\]

Zadanie 14

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Punkt \(S=(4,8)\) jest środkiem odcinka \(PQ\), którego koniec \(P\) leży na osi \(Oy\), a koniec \(Q\) – na osi \(Ox\). Wynika stąd, że

\(P=(0,16)\) i \(Q=(8,0)\)

\(P=(0,8)\) i \(Q=(16,0)\)

\(P=(0,4)\) i \(Q=(4,0)\)

\(P=(0,8)\) i \(Q=(8,0)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie współrzędnych końców

Punkt na osi \(Oy\) ma pierwszą współrzędną równą zero, a punkt na osi \(Ox\) ma drugą współrzędną równą zero.

\[P=(0,p),\quad Q=(q,0)\]

2 Zastosowanie wzoru na środek odcinka

Współrzędne środka są średnimi odpowiednich współrzędnych końców, więc przyrównujemy je do współrzędnych punktu \(S\).

\[\left(\frac{q}{2},\frac{p}{2}\right)=(4,8)\quad\Longrightarrow\quad q=8,\ p=16\]

Odpowiedź

P = (0,16) i Q = (8,0). Odpowiedź A.

\[P=(0,16),\quad Q=(8,0)\]

Sprawdzenie

Środek otrzymanego odcinka ma współrzędne (4,8), a jego końce leżą na wskazanych osiach.

\[\left(\frac{0+8}{2},\frac{16+0}{2}\right)=(4,8)\]

Zadanie 16

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Punkty \(P=(-3,4)\) i \(O=(0,0)\) leżą na jednej prostej. Kąt \(\alpha\) jest kątem nachylenia tej prostej do osi \(Ox\) (zobacz rysunek).

Wtedy tangens kąta \(\alpha\) jest równy

Układ współrzędnych z prostą przechodzącą przez punkty P=(-3,4) i O=(0,0) oraz zaznaczonym kątem α nachylenia prostej do osi Ox.

\(-\frac{3}{4}\)

\(-\frac{4}{3}\)

\(\frac{4}{3}\)

\(\frac{3}{4}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie współczynnika kierunkowego

Tangens kąta nachylenia prostej do osi Ox jest równy jej współczynnikowi kierunkowemu. Obliczamy go z współrzędnych dwóch punktów prostej.

\[\tan\alpha=\frac{y_P-y_O}{x_P-x_O}=\frac{4-0}{-3-0}=-\frac{4}{3}\]

Odpowiedź

Tangens kąta α wynosi −4/3. Odpowiedź B.

\[\tan\alpha=-\frac{4}{3}\]

Sprawdzenie

Na rysunku prosta opada w prawo, więc jej współczynnik kierunkowy i tangens kąta nachylenia są ujemne. Od punktu P do O przesunięcie wynosi 3 w prawo i 4 w dół, co daje −4/3.

\[\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{0-4}{0-(-3)}=-\frac{4}{3}\]