Zbiór zadań maturalnych

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej — zadania maturalne

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

110 zadańStrona 4 z 8

Sortuj:

Zadanie 6

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W układzie współrzędnych \((x,y)\), punkt \((-8,6)\) jest punktem przecięcia prostych o równaniach

\(2x+3y=2\) i \(-x+y=-14\).

\(3x+2y=-12\) i \(2x+y=10\).

\(x+y=-2\) i \(x-2y=4\).

\(x-y=-14\) i \(-2x+y=22\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek przecięcia

Punkt należy do obu prostych tylko wtedy, gdy jego współrzędne spełniają oba równania. Podstawiamy \(x=-8\) i \(y=6\).

\[x=-8,\qquad y=6\]

2 Sprawdzenie odpowiedzi

Pierwsze równanie jest spełnione w każdej odpowiedzi. W drugim równaniu poprawną równość otrzymujemy tylko w D.

\[\begin{aligned}A:&\quad -(-8)+6=14\ne-14,\\B:&\quad 2(-8)+6=-10\ne10,\\C:&\quad -8-2\cdot6=-20\ne4,\\D:&\quad -2(-8)+6=22.\end{aligned}\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[x-y=-14\quad\text{i}\quad -2x+y=22\]

Sprawdzenie

Punkt spełnia także pierwsze równanie z D. Proste mają jeden punkt przecięcia, ponieważ wyznacznik ich współczynników jest różny od zera.

\[-8-6=-14,\qquad -2(-8)+6=22,\qquad \begin{vmatrix}1&-1\\-2&1\end{vmatrix}=-1\ne0\]

Zadanie 23

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W układzie współrzędnych \((x,y)\) dane są prosta \(k\) o równaniu \(y=\frac{3}{4}x-\frac{7}{4}\) oraz punkt \(P=(12,-1)\). Prosta przechodząca przez punkt \(P\) i równoległa do prostej \(k\) ma równanie

\(y=-\frac{3}{4}x+8\)

\(y=\frac{3}{4}x-10\)

\(y=\frac{4}{3}x-17\)

\(y=-\frac{4}{3}x+15\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie współczynnika kierunkowego

Proste równoległe mają taki sam współczynnik kierunkowy, więc szukana prosta ma postać:

\[y=\frac{3}{4}x+b\]

2 Wyznaczenie wyrazu wolnego

Podstawiamy współrzędne punktu P, ponieważ prosta przez niego przechodzi.

\[-1=\frac{3}{4}\cdot12+b=9+b\quad\Rightarrow\quad b=-10\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[y=\frac{3}{4}x-10\]

Sprawdzenie

Dla x=12 otrzymujemy y=-1, więc punkt P należy do prostej. Jej współczynnik kierunkowy jest taki sam jak współczynnik prostej k.

\[\frac{3}{4}\cdot12-10=-1\]

Zadanie 24

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W układzie współrzędnych \((x,y)\) punkt \(A=(-1,-4)\) jest wierzchołkiem równoległoboku \(ABCD\). Punkt \(S=(2,2)\) jest środkiem symetrii tego równoległoboku. Długość przekątnej \(AC\) równoległoboku \(ABCD\) jest równa

\(\sqrt{5}\)

\(2\sqrt{5}\)

\(3\sqrt{5}\)

\(6\sqrt{5}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wykorzystanie środka symetrii

W równoległoboku przekątne przecinają się w połowie, więc punkt S jest środkiem przekątnej AC. Jej długość jest dwa razy większa od AS.

\[|AC|=2|AS|\]

2 Obliczenie długości

Stosujemy wzór na odległość punktów A i S, korzystając z różnic ich współrzędnych.

\[|AS|=\sqrt{(2-(-1))^2+(2-(-4))^2}=\sqrt{3^2+6^2}=3\sqrt{5},\qquad |AC|=6\sqrt{5}\]

Odpowiedź

Długość przekątnej AC wynosi 6√5. Odpowiedź D.

\[|AC|=6\sqrt{5}\]

Sprawdzenie

Punkt przeciwległy do A ma współrzędne C=(5,8). Środek odcinka AC to (2,2), czyli podany punkt S, a odległość AC wynosi √(6²+12²)=6√5.

\[C=(2\cdot2-(-1),\,2\cdot2-(-4))=(5,8),\quad |AC|=\sqrt{(5+1)^2+(8+4)^2}=6\sqrt{5}\]

Zadanie 36

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Punkty \(A=\left(\frac{22}{5},-\frac{21}{5}\right)\), \(B=(6,7)\) oraz \(C=(-9,2)\) są wierzchołkami trójkąta \(ABC\).

Symetralna boku \(AB\) tego trójkąta przecina bok \(BC\) w punkcie \(D\).

Oblicz współrzędne punktu \(D\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Parametryzacja boku BC

Punkt D leży na boku BC, więc zapisujemy jego współrzędne za pomocą parametru t z przedziału od 0 do 1.

\[D=B+t(C-B)=(6-15t,\,7-5t),\quad 0\le t\le 1\]

2 Warunek symetralnej

Punkt na symetralnej odcinka AB jest jednakowo odległy od A i B. Po podstawieniu współrzędnych D rozwiązujemy równanie.

\[|DA|^2=|DB|^2\iff \left(\frac85-15t\right)^2+\left(\frac{56}5-5t\right)^2=(-15t)^2+(-5t)^2\iff 128-160t=0\iff t=\frac45\]

3 Współrzędne punktu D

Podstawiamy obliczoną wartość parametru do współrzędnych punktu D.

\[D=\left(6-15\cdot\frac45,\,7-5\cdot\frac45\right)=(-6,3)\]

Odpowiedź

Punkt D ma współrzędne (-6, 3).

\[D=(-6,3)\]

Sprawdzenie

Ponieważ 4/5 należy do przedziału od 0 do 1, punkt D leży na boku BC. Ponadto kwadraty odległości D od A i B są równe 160, więc D leży na symetralnej AB.

\[\frac45\in[0,1],\qquad |DA|^2=\left(-\frac{52}5\right)^2+\left(\frac{36}5\right)^2=160=12^2+4^2=|DB|^2\]

Zadanie 22

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Proste o równaniach \(y=-\frac{5}{4}x-2\) oraz \(y=\frac{4}{2m-1}x+1\) są prostopadłe. Wynika stąd, że

\(m=\frac{21}{10}\)

\(m=-\frac{11}{10}\)

\(m=-2\)

\(m=3\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie warunku prostopadłości

Iloczyn współczynników kierunkowych prostych prostopadłych wynosi \(-1\). Drugie równanie wymaga \(2m-1\neq 0\).

\[-\frac{5}{4}\cdot\frac{4}{2m-1}=-1\]

2 Wyznaczenie parametru

Upraszczamy iloczyn i rozwiązujemy równanie.

\[-\frac{5}{2m-1}=-1\quad\Longrightarrow\quad 2m-1=5\quad\Longrightarrow\quad m=3\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: \(m=3\).

\[m=3\]

Sprawdzenie

Dla \(m=3\) mianownik jest równy \(5\), a iloczyn współczynników kierunkowych wynosi \(-1\), więc proste są prostopadłe.

\[2\cdot3-1=5\neq0,\qquad -\frac54\cdot\frac45=-1\]

Zadanie 23

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Proste o równaniach \(y=-3x+\frac{1}{3}\) oraz \(y=\frac{1}{3}x-3\) przecinają się w punkcie \(P=(x_0,y_0)\). Wynika stąd, że

\(x_0>0\) i \(y_0>0\).

\(x_0>0\) i \(y_0<0\).

\(x_0<0\) i \(y_0>0\).

\(x_0<0\) i \(y_0<0\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie współrzędnej x

W punkcie przecięcia obie proste mają tę samą współrzędną y, więc przyrównujemy prawe strony równań.

\[-3x_0+\frac{1}{3}=\frac{1}{3}x_0-3\quad\Rightarrow\quad -\frac{10}{3}x_0=-\frac{10}{3}\quad\Rightarrow\quad x_0=1\]

2 Wyznaczenie współrzędnej y

Podstawiamy otrzymane x do równania pierwszej prostej.

\[y_0=-3\cdot 1+\frac{1}{3}=-\frac{8}{3}\]

Odpowiedź

x₀ > 0 i y₀ < 0. Odpowiedź B.

\[P=\left(1,-\frac{8}{3}\right)\]

Sprawdzenie

Dla x = 1 druga prosta również daje y = −8/3, więc punkt leży na obu prostych. Współrzędne mają znaki podane w odpowiedzi B.

\[\frac{1}{3}\cdot 1-3=-\frac{8}{3}\]

Zadanie 35

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Punkt \(A=(1,-3)\) jest wierzchołkiem trójkąta \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Punkt \(S=(5,-1)\) jest środkiem odcinka \(AB\). Wierzchołek \(C\) tego trójkąta leży na prostej o równaniu \(y=x+10\). Oblicz współrzędne wierzchołków \(B\) i \(C\) tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie punktu B

Ponieważ S jest środkiem odcinka AB, jego współrzędne są średnimi współrzędnych końców odcinka.

\[\frac{1+x_B}{2}=5,\quad \frac{-3+y_B}{2}=-1\quad\Longrightarrow\quad B=(9,1)\]

2 Wyznaczenie prostej, na której leży C

Z równości |AC|=|BC| wynika, że C leży na symetralnej odcinka AB. Prosta AB ma współczynnik kierunkowy \(\frac12\), więc prostopadła do niej symetralna ma współczynnik \(-2\) i przechodzi przez S.

\[\frac{1-(-3)}{9-1}=\frac12,\qquad y+1=-2(x-5),\qquad y=-2x+9\]

3 Wyznaczenie punktu C

Punkt C leży także na prostej podanej w zadaniu, więc rozwiązujemy równania obu prostych.

\[x+10=-2x+9\quad\Longrightarrow\quad x=-\frac13,\qquad y=-\frac13+10=\frac{29}{3}\]

Odpowiedź

Wierzchołki mają współrzędne \(B=(9,1)\) oraz \(C=\left(-\frac13,\frac{29}{3}\right)\).

\[B=(9,1),\qquad C=\left(-\frac13,\frac{29}{3}\right)\]

Sprawdzenie

Środek odcinka AB to \((5,-1)\), a punkt C spełnia równanie \(y=x+10\). Kwadraty długości AC i BC są równe, zatem \(|AC|=|BC|\).

\[\left(\frac{1+9}{2},\frac{-3+1}{2}\right)=(5,-1),\quad -\frac13+10=\frac{29}{3},\quad |AC|^2=\left(-\frac43\right)^2+\left(\frac{38}{3}\right)^2=\frac{1460}{9}=\left(-\frac{28}{3}\right)^2+\left(\frac{26}{3}\right)^2=|BC|^2\]

Zadanie 21

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Proste o równaniach \(y=\frac{2}{3}x-3\) oraz \(y=(2m-1)x+1\) są prostopadłe, gdy

\(m=-\frac{5}{4}\)

\(m=-\frac{1}{4}\)

\(m=\frac{5}{6}\)

\(m=\frac{5}{4}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek prostopadłości

Iloczyn współczynników kierunkowych prostych prostopadłych wynosi \(-1\).

\[\frac{2}{3}(2m-1)=-1\]

2 Obliczenie parametru

Dzielimy przez \(\frac{2}{3}\), a następnie rozwiązujemy równanie liniowe.

\[2m-1=-\frac{3}{2}\quad\Rightarrow\quad 2m=-\frac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad m=-\frac{1}{4}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: \(m=-\frac{1}{4}\).

\[m=-\frac{1}{4}\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanej wartości drugi współczynnik kierunkowy wynosi \(-\frac{3}{2}\), a iloczyn współczynników jest równy \(-1\).

\[\frac{2}{3}\left(2\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)-1\right)=\frac{2}{3}\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)=-1\]

Zadanie 22

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Punkty \(A=(1,-3)\) oraz \(C=(-2,4)\) są końcami przekątnej \(AC\) rombu \(ABCD\). Środek przekątnej \(BD\) tego rombu ma współrzędne

\(\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\)

\(\left(\frac{1}{2},-\frac{3}{2}\right)\)

\((-1,2)\)

\((-1,1)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wspólny środek przekątnych

Romb jest równoległobokiem, więc jego przekątne dzielą się na połowy. Środek przekątnej BD jest zatem środkiem odcinka AC.

\[S_{BD}=S_{AC}\]

2 Obliczenie współrzędnych

Współrzędne środka odcinka są średnimi odpowiednich współrzędnych jego końców.

\[S_{BD}=\left(\frac{1+(-2)}{2},\frac{-3+4}{2}\right)=\left(-\frac12,\frac12\right)\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[\left(-\frac12,\frac12\right)\]

Sprawdzenie

Otrzymany punkt jest środkiem AC: różnice współrzędnych między nim a A oraz między C a nim są równe.

\[\left(-\frac12,\frac12\right)-(1,-3)=\left(-\frac32,\frac72\right)=(-2,4)-\left(-\frac12,\frac12\right)\]

Zadanie 23

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Punkty \(A=(-6,5)\), \(B=(5,7)\), \(C=(10,-3)\) są wierzchołkami równoległoboku \(ABCD\). Długość przekątnej \(BD\) tego równoległoboku jest równa

\(3\sqrt{5}\)

\(4\sqrt{5}\)

\(6\sqrt{5}\)

\(8\sqrt{5}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie punktu D

W równoległoboku przeciwległe boki mają równe wektory, więc \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\).

\[D=A+(C-B)=(-6,5)+(5,-10)=(-1,-5)\]

2 Obliczenie długości przekątnej

Stosujemy wzór na odległość punktów \(B\) i \(D\).

\[|BD|=\sqrt{(-1-5)^2+(-5-7)^2}=\sqrt{36+144}=6\sqrt{5}\]

Odpowiedź

Długość przekątnej BD wynosi 6√5. Odpowiedź C.

\[|BD|=6\sqrt{5}\]

Sprawdzenie

Wektor AD jest równy wektorowi BC, więc wyznaczony punkt D tworzy wskazany równoległobok. Ponadto (6√5)² = 180 = 6² + 12².

\[\overrightarrow{AD}=(5,-10)=\overrightarrow{BC},\qquad (6\sqrt{5})^2=6^2+12^2\]

Zadanie 24

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Obrazem prostej o równaniu \(y=2x+5\) w symetrii osiowej względem osi \(Ox\) jest prosta o równaniu

\(y=2x-5\)

\(y=-2x-5\)

\(y=-2x+5\)

\(y=2x+5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie symetrii

Symetria względem osi \(Ox\) zachowuje współrzędną \(x\) i zmienia znak współrzędnej \(y\). Dlatego w równaniu prostej zastępujemy \(y\) przez \(-y\).

\[-y=2x+5\quad\Longrightarrow\quad y=-2x-5\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: \(y=-2x-5\).

\[y=-2x-5\]

Sprawdzenie

Punkty \((0,5)\) i \((1,7)\) leżą na danej prostej. Ich obrazy \((0,-5)\) i \((1,-7)\) spełniają otrzymane równanie.

\[-5=-2\cdot 0-5,\qquad -7=-2\cdot 1-5\]

Zadanie 21

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Prosta przechodząca przez punkty \((-4,-1)\) oraz \((5,5)\) ma równanie

\(y=x+3\)

\(y=\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}\)

\(y=x-3\)

\(y=\frac{2}{3}x+\frac{11}{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie współczynnika kierunkowego

Dla dwóch punktów dzielimy różnicę ich współrzędnych y przez różnicę współrzędnych x.

\[a=\frac{5-(-1)}{5-(-4)}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}\]

2 Wyznaczenie wyrazu wolnego

Podstawiamy punkt (5,5) do równania y=ax+b, aby obliczyć b.

\[5=\frac{2}{3}\cdot5+b,\quad b=5-\frac{10}{3}=\frac{5}{3}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[y=\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu obu podanych punktów otrzymujemy ich współrzędne y.

\[x=-4:\ \frac{2}{3}(-4)+\frac{5}{3}=-1;\qquad x=5:\ \frac{2}{3}\cdot5+\frac{5}{3}=5\]

Zadanie 22

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Proste o równaniach \(y=-\frac{1}{m-2}x-1\) i \(y=\frac{1}{3}x+1\) są równoległe. Wynika stąd, że

\(m=\frac{5}{3}\)

\(m=-1\)

\(m=\frac{7}{3}\)

\(m=5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Porównanie współczynników kierunkowych

Proste są równoległe, więc mają równe współczynniki kierunkowe. Pierwsze równanie wymaga \(m\ne 2\).

\[-\frac{1}{m-2}=\frac{1}{3},\quad m\ne 2\]

2 Wyznaczenie parametru

Mnożymy równanie przez \(3(m-2)\) i rozwiązujemy je.

\[-3=m-2\quad\Rightarrow\quad m=-1\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: \(m=-1\).

\[m=-1\]

Sprawdzenie

Dla \(m=-1\) pierwszy współczynnik kierunkowy wynosi \(\frac13\), a warunek \(m\ne2\) jest spełniony. Wyrazy wolne są różne, więc są to dwie różne proste równoległe.

\[-\frac{1}{-1-2}=\frac13,\qquad -1\ne1\]

Zadanie 23

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W prostokącie \(ABCD\) dane są wierzchołki \(C=(-3,1)\) oraz \(D=(2,1)\). Bok \(AD\) ma długość \(6\). Pole tego prostokąta jest równe

\(6\sqrt{29}\)

\(12\sqrt{2}\)

\(24\)

\(30\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Długość boku CD

Punkty C i D mają tę samą drugą współrzędną, więc długość poziomego boku jest różnicą ich pierwszych współrzędnych.

\[|CD|=|2-(-3)|=5\]

2 Pole prostokąta

Boki CD i AD są sąsiednimi bokami prostokąta, dlatego mnożymy ich długości.

\[P=|CD|\cdot|AD|=5\cdot6=30\]

Odpowiedź

Pole wynosi 30. Odpowiedź D.

\[P=30\]

Sprawdzenie

Sąsiednie boki mają długości 5 i 6, więc ich iloczyn wynosi 30, zgodnie z odpowiedzią D.

\[5\cdot6=30\]

Zadanie 24

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Obrazem prostej o równaniu \(x-2y+3=0\) w symetrii osiowej względem osi \(Oy\) jest prosta o równaniu

\(-x+2y+3=0\)

\(-x+2y-3=0\)

\(x+2y-3=0\)

\(x+2y+3=0\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie symetrii

W symetrii względem osi \(Oy\) współrzędna \(x\) zmienia znak, a \(y\) pozostaje bez zmian. Podstawiamy więc \(-x\) za \(x\) w równaniu prostej.

\[-x-2y+3=0\quad\Longleftrightarrow\quad x+2y-3=0\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[x+2y-3=0\]

Sprawdzenie

Punkt \((-3,0)\) leży na danej prostej. Jego obraz \((3,0)\) spełnia otrzymane równanie, a zmiana znaku współrzędnej \(x\) jest dokładnie symetrią względem osi \(Oy\).

\[-3-2\cdot0+3=0,\qquad 3+2\cdot0-3=0\]