Zbiór zadań maturalnych

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej — zadania maturalne

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

110 zadańStrona 3 z 8

Sortuj:

Zadanie 22

Matura 2023 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=-x+1\). Funkcja \(g\) jest liniowa. W prostokątnym układzie współrzędnych wykres funkcji \(g\) przechodzi przez punkt \(P=(0,-1)\) i jest prostopadły do wykresu funkcji \(f\). Wzorem funkcji \(g\) jest

\(g(x)=x+1\)

\(g(x)=-x-1\)

\(g(x)=-x+1\)

\(g(x)=x-1\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie współczynnika kierunkowego

Wykresy niepionowych prostych prostopadłych mają współczynniki kierunkowe, których iloczyn wynosi −1. Dla funkcji f współczynnik ten wynosi −1, więc dla g wynosi 1.

\[(-1)\cdot a_g=-1\quad\Rightarrow\quad a_g=1\]

2 Wyznaczenie wyrazu wolnego

Ponieważ wykres g przechodzi przez punkt P=(0,−1), wartość g(0) wynosi −1. Jest ona wyrazem wolnym funkcji liniowej.

\[g(x)=x+b,\qquad g(0)=b=-1,\qquad g(x)=x-1\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: g(x)=x−1.

\[g(x)=x-1\]

Sprawdzenie

Dla x=0 otrzymujemy g(0)=−1, więc punkt P leży na wykresie. Iloczyn współczynników kierunkowych wynosi (−1)·1=−1, więc wykresy są prostopadłe.

\[g(0)=0-1=-1,\qquad (-1)\cdot 1=-1\]

Zadanie 23

Matura 2023 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Dane są punkty \(A=(1,7)\) oraz \(P=(3,1)\). Punkt \(P\) dzieli odcinek \(AB\) tak, że \(|AP|:|PB|=1:3\).

Punkt \(B\) ma współrzędne

\((9,-5)\)

\((9,-17)\)

\((7,-11)\)

\((5,-5)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wektora AP

Odejmujemy współrzędne punktu A od współrzędnych punktu P.

\[\overrightarrow{AP}=(3-1,1-7)=(2,-6)\]

2 Wyznaczenie punktu B

Ponieważ P leży na odcinku AB i |AP|:|PB|=1:3, wektor od P do B jest trzy razy dłuższy od wektora od A do P i ma ten sam zwrot.

\[\overrightarrow{PB}=3\overrightarrow{AP}=(6,-18),\qquad B=P+\overrightarrow{PB}=(3+6,1-18)=(9,-17)\]

Odpowiedź

B=(9,−17), odpowiedź B.

\[B=(9,-17)\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanego punktu wektor PB jest trzykrotnością wektora AP, więc punkty leżą w odpowiedniej kolejności na jednej prostej, a wymagany stosunek długości wynosi 1:3.

\[\overrightarrow{AP}=(2,-6),\quad \overrightarrow{PB}=(6,-18)=3\overrightarrow{AP},\quad |AP|:|PB|=1:3\]

Zadanie 24

Matura 2023 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Punkty \(A=(-1,5)\) oraz \(C=(3,-3)\) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu \(ABCD\).

Pole kwadratu \(ABCD\) jest równe

\(8\sqrt{10}\)

\(16\sqrt{5}\)

\(40\)

\(80\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie długości przekątnej

Punkty A i C są przeciwległymi wierzchołkami, więc odcinek AC jest przekątną kwadratu. Jej długość obliczamy ze wzoru na odległość punktów.

\[AC^2=(3-(-1))^2+(-3-5)^2=4^2+(-8)^2=80\]

2 Obliczenie pola

Przekątna kwadratu o boku a spełnia równość AC²=2a², zatem pole a² jest połową AC².

\[P=a^2=\frac{AC^2}{2}=\frac{80}{2}=40\]

Odpowiedź

Pole kwadratu wynosi 40. Odpowiedź C.

\[P=40\]

Sprawdzenie

Dla pola 40 bok ma długość √40. Przekątna ma wtedy kwadrat długości 2·40=80, zgodnie z obliczeniem z współrzędnych.

\[AC^2=2a^2=2\cdot40=80\]

Zadanie 25

Matura 2023 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Punkt \(S'=(3,7)\) jest obrazem punktu \(S=(3a-1,b+7)\) w symetrii osiowej względem osi \(Ox\) układu współrzędnych, gdy

\(a=\frac{4}{3}\) oraz \(b=0\).

\(a=\frac{4}{3}\) oraz \(b=-14\).

\(a=-\frac{2}{3}\) oraz \(b=-14\).

\(a=-\frac{2}{3}\) oraz \(b=0\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie symetrii

W symetrii względem osi \(Ox\) pierwsza współrzędna pozostaje taka sama, a druga zmienia znak.

\[(3a-1,-(b+7))=(3,7)\]

2 Obliczenie parametrów

Przyrównujemy odpowiadające sobie współrzędne i rozwiązujemy równania.

\[3a-1=3\Rightarrow a=\frac{4}{3},\qquad -(b+7)=7\Rightarrow b=-14\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: \(a=\frac{4}{3}\) oraz \(b=-14\).

\[a=\frac{4}{3},\quad b=-14\]

Sprawdzenie

Dla obliczonych wartości punkt \(S=(3,-7)\). Odbicie względem osi \(Ox\) daje \((3,7)=S'\).

\[S=\left(3\cdot\frac{4}{3}-1,-14+7\right)=(3,-7)\longmapsto(3,7)=S'\]

Zadanie 36

Matura 2023 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W trapezie równoramiennym \(ABCD\) podstawa \(CD\) ma długość \(5\). Punkt \(F=(3,11)\) jest środkiem odcinka \(CD\). Prosta o równaniu \(y=-\frac{4}{3}x+15\) jest osią symetrii tego trapezu oraz \(B=\left(\frac{23}{2},8\right)\).

Oblicz współrzędne wierzchołka \(A\) oraz pole tego trapezu.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Środek górnej podstawy

Oś symetrii przechodzi przez środek odcinka \(AB\) i jest do niego prostopadła. Prosta \(AB\) ma więc współczynnik kierunkowy \(\frac34\). Jej punkt przecięcia \(E\) z osią jest środkiem \(AB\).

\[y=\frac34x-\frac58,\quad \frac34x-\frac58=-\frac43x+15\quad\Longrightarrow\quad E=\left(\frac{15}{2},5\right)\]

2 Współrzędne wierzchołka A

Ponieważ \(E\) jest środkiem \(AB\), współrzędne \(A\) otrzymujemy z równości \(A=2E-B\).

\[A=2\left(\frac{15}{2},5\right)-\left(\frac{23}{2},8\right)=\left(\frac72,2\right)\]

3 Długość podstawy i wysokość

Długość \(AB\) jest dwukrotnością \(BE\). Odcinek \(EF\) leży na osi prostopadłej do podstaw, więc jest wysokością trapezu.

\[AB=2\sqrt{\left(\frac{23}{2}-\frac{15}{2}\right)^2+(8-5)^2}=10,\qquad h=EF=\sqrt{\left(\frac{15}{2}-3\right)^2+(5-11)^2}=\frac{15}{2}\]

4 Pole trapezu

Stosujemy wzór na pole trapezu o podstawach \(AB=10\), \(CD=5\) i wysokości \(h=\frac{15}{2}\).

\[P=\frac{AB+CD}{2}\,h=\frac{10+5}{2}\cdot\frac{15}{2}=\frac{225}{4}\]

Odpowiedź

Wierzchołek A ma współrzędne (7/2, 2), a pole trapezu wynosi 225/4 jednostek kwadratowych.

\[A=\left(\frac72,2\right),\qquad P=\frac{225}{4}\]

Sprawdzenie

Środek otrzymanego odcinka AB to E=(15/2, 5), który leży na podanej osi. Wektor AB=(8, 6) jest prostopadły do kierunku osi (3, −4), ponieważ ich iloczyn skalarny wynosi 0. Punkt F również leży na osi: −4/3·3+15=11. Zatem EF jest wysokością używaną w obliczeniu pola.

\[\frac{A+B}{2}=\left(\frac{15}{2},5\right),\qquad (8,6)\cdot(3,-4)=24-24=0\]

Zadanie 11

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) wykresy funkcji liniowych \(f(x)=(2m+3)x+5\) oraz \(g(x)=-x\) nie mają punktów wspólnych dla

\(m=-2\)

\(m=-1\)

\(m=1\)

\(m=2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek braku punktów wspólnych

Wykresy funkcji liniowych nie mają punktów wspólnych, gdy mają równe współczynniki kierunkowe i różne wyrazy wolne. Wyrazy wolne wynoszą tu 5 i 0, więc wystarczy zrównać współczynniki kierunkowe.

\[2m+3=-1\]

2 Obliczenie parametru

Odejmujemy 3 od obu stron równania, a następnie dzielimy przez 2.

\[2m=-4\quad\Longrightarrow\quad m=-2\]

Odpowiedź

m = −2, odpowiedź A.

\[m=-2\]

Sprawdzenie

Dla m = −2 otrzymujemy f(x) = −x + 5 oraz g(x) = −x. Ich współczynniki kierunkowe są równe, a wyrazy wolne różne, więc wykresy nie mają punktów wspólnych.

\[f(x)=-x+5\neq -x=g(x)\quad\text{dla każdego }x\]

Zadanie 12

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) prosta o równaniu \(y=ax+b\) przechodzi przez punkty \(A=(-3,-1)\) oraz \(B=(4,3)\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Współczynnik \(a\) w równaniu tej prostej jest równy

\((-4)\)

\(\left(-\frac{1}{2}\right)\)

\(2\)

\(\frac{4}{7}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie współczynnika kierunkowego

Dla prostej przechodzącej przez dwa punkty współczynnik kierunkowy jest ilorazem różnicy ich współrzędnych y i różnicy współrzędnych x.

\[a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{3-(-1)}{4-(-3)}=\frac{4}{7}\]

Odpowiedź

Współczynnik a wynosi 4/7. Odpowiedź D.

\[a=\frac{4}{7}\]

Sprawdzenie

Różnica współrzędnych x wynosi 7, więc iloraz jest określony. Dla otrzymanego współczynnika b = 5/7; oba punkty spełniają równanie prostej.

\[-1=\frac{4}{7}\cdot(-3)+\frac{5}{7},\qquad 3=\frac{4}{7}\cdot4+\frac{5}{7}\]

Zadanie 26

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=-x+1\). Funkcja \(g\) jest liniowa. W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) wykres funkcji \(g\) przechodzi przez punkt \(P=(0,-1)\) i jest prostopadły do wykresu funkcji \(f\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wzorem funkcji \(g\) jest

\(g(x)=x+1\)

\(g(x)=-x-1\)

\(g(x)=-x+1\)

\(g(x)=x-1\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie współczynnika kierunkowego

Wykresy funkcji liniowych są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi \(-1\). Funkcja \(f\) ma współczynnik \(-1\).

\[(-1)\cdot a_g=-1\quad\Rightarrow\quad a_g=1\]

2 Wyznaczenie wyrazu wolnego

Punkt \(P=(0,-1)\) leży na wykresie \(g\), więc \(g(0)=-1\).

\[g(x)=x+b,\qquad g(0)=b=-1\quad\Rightarrow\quad g(x)=x-1\]

Odpowiedź

D. Wzorem funkcji jest \(g(x)=x-1\).

\[g(x)=x-1\]

Sprawdzenie

Dla \(x=0\) otrzymujemy \(g(0)=-1\), więc wykres przechodzi przez \(P\). Iloczyn współczynników kierunkowych wynosi \(-1\), zatem wykresy są prostopadłe.

\[g(0)=0-1=-1,\qquad (-1)\cdot 1=-1\]

Zadanie 27

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) punkty \(A=(-1,5)\) oraz \(C=(3,-3)\) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu \(ABCD\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole kwadratu \(ABCD\) jest równe

\(8\sqrt{10}\)

\(16\sqrt{5}\)

\(40\)

\(80\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie przekątnej

Punkty A i C są końcami przekątnej, więc jej kwadrat obliczamy ze wzoru na odległość punktów.

\[AC^2=(3-(-1))^2+(-3-5)^2=4^2+(-8)^2=80\]

2 Obliczenie pola

W kwadracie kwadrat przekątnej jest dwa razy większy od pola, zatem dzielimy otrzymany wynik przez 2.

\[P=\frac{AC^2}{2}=\frac{80}{2}=40\]

Odpowiedź

Pole kwadratu wynosi 40. Odpowiedź C.

\[P=40\]

Sprawdzenie

Bok kwadratu ma długość pierwiastka z 40. Jego kwadrat daje pole 40, a suma kwadratów dwóch boków daje obliczone 80 dla przekątnej.

\[a=\sqrt{40}=2\sqrt{10},\quad a^2=40,\quad 2a^2=80=AC^2\]

Zadanie 28

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dane są punkty \(A=(1,7)\) oraz \(P=(3,1)\). Punkt \(P\) dzieli odcinek \(AB\) tak, że \(|AP|:|PB|=1:3\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Punkt \(B\) ma współrzędne

\((9,-5)\)

\((9,-17)\)

\((7,-11)\)

\((5,-5)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie przesunięcia

Ponieważ punkt P leży na odcinku AB, a |AP|:|PB|=1:3, wektor od P do B jest trzykrotnością wektora od A do P.

\[\overrightarrow{AP}=(3-1,1-7)=(2,-6),\qquad \overrightarrow{PB}=3\overrightarrow{AP}=(6,-18)\]

2 Obliczenie współrzędnych B

Dodajemy wektor od P do B do współrzędnych punktu P.

\[B=P+\overrightarrow{PB}=(3+6,1-18)=(9,-17)\]

Odpowiedź

Punkt B ma współrzędne (9, −17). Odpowiedź B.

\[B=(9,-17)\]

Sprawdzenie

Wektory od A do P i od P do B mają ten sam zwrot, a długość drugiego jest trzykrotnie większa, więc P dzieli odcinek AB w podanym stosunku.

\[\overrightarrow{AP}=(2,-6),\qquad \overrightarrow{PB}=(9-3,-17-1)=(6,-18)=3\overrightarrow{AP}\]

Zadanie 10

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\), punkt \((-8,6)\) jest punktem przecięcia prostych o równaniach

\(2x+3y=2\) i \(-x+y=-14\).

\(3x+2y=-12\) i \(2x+y=10\).

\(x+y=-2\) i \(x-2y=4\).

\(x-y=-14\) i \(-2x+y=22\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie współrzędnych

Punkt należy do prostej wtedy, gdy jego współrzędne spełniają jej równanie. Podstawiamy więc x=-8 i y=6 do równań z odpowiedzi D.

\[x-y=-8-6=-14,\qquad -2x+y=-2(-8)+6=22\]

2 Wybór odpowiedzi

Punkt spełnia oba równania z odpowiedzi D, więc jest punktem wspólnym tych prostych.

\[\begin{cases}x-y=-14\\-2x+y=22\end{cases}\]

Odpowiedź

D — proste x−y=−14 i −2x+y=22.

\[\boxed{\mathrm{D}}\]

Sprawdzenie

Rozwiązanie układu daje y=6 oraz x=−8, więc wskazane proste przecinają się w podanym punkcie.

\[x=y-14,\quad -2(y-14)+y=22\Rightarrow y=6\Rightarrow x=-8\]

Zadanie 25

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dane są prosta \(k\) o równaniu \(y=\frac{3}{4}x-\frac{7}{4}\) oraz punkt \(P=(12,-1)\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Prosta przechodząca przez punkt \(P\) i równoległa do prostej \(k\) ma równanie

\(y=-\frac{3}{4}x+8\)

\(y=\frac{3}{4}x-10\)

\(y=\frac{4}{3}x-17\)

\(y=-\frac{4}{3}x+15\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustalenie współczynnika kierunkowego

Proste równoległe mają taki sam współczynnik kierunkowy, więc szukana prosta ma postać:

\[y=\frac{3}{4}x+b\]

2 Wyznaczenie wyrazu wolnego

Podstawiamy współrzędne punktu \(P=(12,-1)\), ponieważ szukana prosta przez niego przechodzi.

\[-1=\frac{3}{4}\cdot12+b=9+b\quad\Rightarrow\quad b=-10\]

Odpowiedź

Szukana prosta ma równanie \(y=\frac{3}{4}x-10\). Poprawna odpowiedź: B.

\[y=\frac{3}{4}x-10\]

Sprawdzenie

Współczynnik kierunkowy wynosi \(\frac{3}{4}\), tak jak dla prostej \(k\). Po podstawieniu \(x=12\) otrzymujemy \(y=-1\), więc prosta przechodzi przez punkt \(P\).

\[\frac{3}{4}\cdot12-10=9-10=-1\]

Zadanie 26

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dany jest okrąg \(O\) o środku \(S=(-1,2)\) i promieniu \(3\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Okrąg \(O\) jest określony równaniem

\((x-1)^2+(y+2)^2=9\)

\((x-1)^2+(y+2)^2=3\)

\((x+1)^2+(y-2)^2=9\)

\((x+1)^2+(y-2)^2=3\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie wzoru

Okrąg o środku \((a,b)\) i promieniu \(r\) opisuje równanie, w którym suma kwadratów odległości współrzędnych od środka jest równa \(r^2\).

\[(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\]

2 Podstawienie danych

Podstawiamy współrzędne środka \(a=-1\), \(b=2\) oraz promień \(r=3\).

\[(x-(-1))^2+(y-2)^2=3^2\quad\Longrightarrow\quad(x+1)^2+(y-2)^2=9\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[(x+1)^2+(y-2)^2=9\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu współrzędnych środka lewa strona wynosi zero. Prawa strona to kwadrat promienia \(3\), więc równanie opisuje okrąg o podanym środku i promieniu.

\[(-1+1)^2+(2-2)^2=0,\qquad r=\sqrt{9}=3\]

Zadanie 27

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) proste o równaniach:

\(y=\sqrt{3}x+6\)
\(y=-\sqrt{3}x+6\)
\(y=-\frac{1}{\sqrt{3}}x-2\),

przecinają się w punktach, które są wierzchołkami trójkąta \(KLM\).

Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.

Trójkąt \(KLM\) jest …, ponieważ …

równoramienny

prostokątny

oś \(Ox\) przechodzi przez jeden z wierzchołków tego trójkąta i środek jednego z boków tego trójkąta.

dwie z tych prostych są prostopadłe.

oś \(Oy\) zawiera dwusieczną tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Sprawdzenie prostopadłości

Dwie proste o niezerowych współczynnikach kierunkowych są prostopadłe, gdy iloczyn tych współczynników wynosi −1. Sprawdzamy pierwszą i trzecią prostą.

\[\sqrt{3}\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=-1\]

2 Ustalenie rodzaju trójkąta

Pierwsza i trzecia prosta wyznaczają dwa boki trójkąta. Skoro są prostopadłe, kąt między tymi bokami jest prosty.

\[\angle KLM=90^\circ\ \text{dla odpowiedniego oznaczenia wierzchołków}\]

Odpowiedź

Trójkąt KLM jest prostokątny, ponieważ dwie z podanych prostych są prostopadłe. Odpowiedź B, uzasadnienie 2.

\[\boxed{\text{B2}}\]

Sprawdzenie

Pierwsza i druga prosta przecinają się w punkcie (0,6). Punkt ten nie leży na trzeciej prostej, bo dla x=0 ma ona y=−2. Proste tworzą więc trójkąt, a obliczony iloczyn współczynników kierunkowych potwierdza jego kąt prosty.

\[(0,6)\notin\left\{(x,y):y=-\frac{x}{\sqrt{3}}-2\right\},\qquad \sqrt{3}\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=-1\]

Zadanie 28

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) punkt \(A=(-1,-4)\) jest wierzchołkiem równoległoboku \(ABCD\). Punkt \(S=(2,2)\) jest środkiem symetrii tego równoległoboku.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość przekątnej \(AC\) równoległoboku \(ABCD\) jest równa

\(\sqrt{5}\)

\(2\sqrt{5}\)

\(3\sqrt{5}\)

\(6\sqrt{5}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wykorzystanie środka symetrii

Środek symetrii równoległoboku jest środkiem jego przekątnych, więc długość \(AC\) jest dwa razy większa od długości \(AS\).

\[|AC|=2|AS|\]

2 Obliczenie długości

Długość odcinka \(AS\) obliczamy ze wzoru na odległość punktów w układzie współrzędnych.

\[|AS|=\sqrt{(2-(-1))^2+(2-(-4))^2}=\sqrt{3^2+6^2}=3\sqrt{5},\qquad |AC|=2\cdot3\sqrt{5}=6\sqrt{5}\]

Odpowiedź

Długość przekątnej AC wynosi \(6\sqrt{5}\). Odpowiedź D.

\[|AC|=6\sqrt{5}\]

Sprawdzenie

Punkt przeciwległy do A względem S ma współrzędne \((5,8)\). Środek odcinka o końcach \((-1,-4)\) i \((5,8)\) to \((2,2)\), a jego długość wynosi \(\sqrt{6^2+12^2}=6\sqrt{5}\).

\[\left(\frac{-1+5}{2},\frac{-4+8}{2}\right)=(2,2),\qquad \sqrt{(5+1)^2+(8+4)^2}=6\sqrt{5}\]