Zbiór zadań maturalnych

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej — zadania maturalne

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

110 zadańStrona 2 z 8

Sortuj:

Zadanie 34

Matura 2025 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W układzie współrzędnych \((x,y)\) punkty \(A=(0,1)\) oraz \(C=(6,4)\) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu \(ABCD\). Prosta \(k\) o równaniu \(y=ax+b\) przechodzi przez wierzchołki \(B\) oraz \(D\) tego kwadratu.

Oblicz pole tego kwadratu oraz wyznacz współczynniki \(a\) oraz \(b\) w równaniu prostej \(k\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Długość przekątnej

Punkty A i C są końcami przekątnej, więc obliczamy jej długość ze wzoru na odległość punktów.

\[|AC|^2=(6-0)^2+(4-1)^2=36+9=45\]

2 Pole kwadratu

Pole kwadratu jest równe połowie kwadratu długości jego przekątnej.

\[P=\frac{|AC|^2}{2}=\frac{45}{2}\]

3 Współczynniki prostej

Przekątne kwadratu przecinają się w połowie i są prostopadłe. Środek AC leży więc na prostej k, a jej współczynnik kierunkowy jest przeciwną odwrotnością współczynnika kierunkowego AC.

\[S=\left(\frac{0+6}{2},\frac{1+4}{2}\right)=\left(3,\frac52\right),\quad a_{AC}=\frac{4-1}{6-0}=\frac12,\quad a=-2,\quad \frac52=-2\cdot3+b\Rightarrow b=\frac{17}{2}\]

Odpowiedź

Pole kwadratu wynosi 45/2, a współczynniki prostej k to a = −2 oraz b = 17/2.

\[P=\frac{45}{2},\qquad k:\ y=-2x+\frac{17}{2}\]

Sprawdzenie

Punkt przecięcia przekątnych należy do wyznaczonej prostej, a iloczyn jej współczynnika kierunkowego i współczynnika kierunkowego AC wynosi −1. Zatem prosta przechodzi przez środek AC i jest do niej prostopadła, jak wymaga tego przekątna BD kwadratu.

\[-2\cdot3+\frac{17}{2}=\frac52,\qquad (-2)\cdot\frac12=-1\]

Zadanie 19

Matura 2025 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W układzie współrzędnych \((x, y)\) proste \(k\) oraz \(l\) są określone równaniami

\(k:\ y=(m-2)x+5\)

\(l:\ y=-4x+(m+3)\)

Proste \(k\) oraz \(l\) są równoległe, gdy liczba \(m\) jest równa

\((-4)\)

\((-2)\)

\(2\)

\(5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Porównanie współczynników kierunkowych

Proste zapisane w postaci \(y=ax+b\) są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe. Dlatego przyrównujemy \(m-2\) i \(-4\).

\[m-2=-4\]

2 Obliczenie liczby m

Dodajemy 2 do obu stron równania.

\[m=-4+2=-2\]

Odpowiedź

Liczba \(m\) jest równa \(-2\). Odpowiedź B.

\[m=-2\]

Sprawdzenie

Dla \(m=-2\) obie proste mają współczynnik kierunkowy \(-4\). Ich wyrazy wolne wynoszą odpowiednio 5 i 1, więc są to dwie różne proste równoległe.

\[k:\ y=-4x+5,\qquad l:\ y=-4x+1\]

Zadanie 20

Matura 2025 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W układzie współrzędnych \((x,y)\) dany jest kwadrat \(ABCD\), w którym \(A=(4,-1)\). Przekątne tego kwadratu przecinają się w punkcie \(S=(1,3)\).

Przekątna kwadratu \(ABCD\) ma długość

\(5\)

\(7\)

\(10\)

\(14\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie odległości od środka do wierzchołka

Punkt S jest środkiem przekątnych kwadratu, więc odcinek AS stanowi połowę przekątnej. Jego długość obliczamy ze wzoru na odległość punktów.

\[AS=\sqrt{(4-1)^2+(-1-3)^2}=\sqrt{9+16}=5\]

2 Obliczenie długości przekątnej

Ponieważ S jest środkiem przekątnej przechodzącej przez A, jej długość jest dwa razy większa od AS.

\[d=2\cdot AS=2\cdot 5=10\]

Odpowiedź

Przekątna ma długość 10. Odpowiedź C.

\[d=10\]

Sprawdzenie

Wierzchołek przeciwległy do A ma współrzędne (-2,7), ponieważ S jest środkiem przekątnej. Odległość między tymi wierzchołkami wynosi 10.

\[\sqrt{(4-(-2))^2+(-1-7)^2}=\sqrt{36+64}=10\]

Zadanie 34

Matura 2025 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W układzie współrzędnych \((x,y)\) punkty \(A=(-2,-1)\), \(B=(0,0)\) oraz \(C=(4,8)\) są wierzchołkami trapezu prostokątnego \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\). Kąt \(DAB\) jest prosty.

Oblicz współrzędne punktu \(D\) oraz długość odcinka \(BD\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie prostych

Podstawy \(AB\) i \(CD\) są równoległe, więc prosta \(CD\) ma ten sam współczynnik kierunkowy co \(AB\). Ponieważ kąt \(DAB\) jest prosty, prosta \(AD\) ma współczynnik kierunkowy przeciwny i odwrotny.

\[a_{AB}=\frac{0-(-1)}{0-(-2)}=\frac12,\qquad CD:\ y-8=\frac12(x-4),\qquad AD:\ y+1=-2(x+2)\]

2 Obliczenie współrzędnych punktu D

Punkt \(D\) jest punktem przecięcia prostych \(CD\) i \(AD\), więc rozwiązujemy ich równania.

\[\frac{x}{2}+6=-2x-5\quad\Rightarrow\quad \frac52x=-11\quad\Rightarrow\quad x=-\frac{22}{5},\qquad y=\frac12\cdot\left(-\frac{22}{5}\right)+6=\frac{19}{5}\]

3 Obliczenie długości BD

Stosujemy wzór na odległość punktu \(D\) od początku układu, którym jest \(B\).

\[|BD|=\sqrt{\left(-\frac{22}{5}\right)^2+\left(\frac{19}{5}\right)^2}=\frac{\sqrt{845}}{5}=\frac{13\sqrt5}{5}\]

Odpowiedź

Punkt D ma współrzędne \(\left(-\frac{22}{5},\frac{19}{5}\right)\), a długość odcinka BD wynosi \(\frac{13\sqrt5}{5}\).

\[D=\left(-\frac{22}{5},\frac{19}{5}\right),\qquad |BD|=\frac{13\sqrt5}{5}\]

Sprawdzenie

Wektor \(CD\) jest równoległy do \(AB\), a iloczyn skalarny wektorów \(AB\) i \(AD\) wynosi zero. Ponadto kwadrat obliczonej długości BD zgadza się z sumą kwadratów współrzędnych punktu D.

\[\overrightarrow{CD}=\left(-\frac{42}{5},-\frac{21}{5}\right)=-\frac{21}{5}(2,1),\qquad \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=(2,1)\cdot\left(-\frac{12}{5},\frac{24}{5}\right)=0,\qquad \left(\frac{13\sqrt5}{5}\right)^2=\frac{169}{5}=\frac{484+361}{25}\]

Zadanie 23.1

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dany jest okrąg \(\mathcal{O}\) o równaniu \[(x-1)^2+(y+2)^2=5.\]

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Do okręgu \(\mathcal{O}\) należy punkt o współrzędnych \((-1,-3)\).	P	F
Promień okręgu \(\mathcal{O}\) jest równy 5.	P	F

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Sprawdzenie punktu

Podstawiamy współrzędne punktu do równania okręgu. Otrzymujemy prawdziwą równość, więc punkt należy do okręgu.

\[(-1-1)^2+(-3+2)^2=4+1=5\]

2 Wyznaczenie promienia

W równaniu okręgu prawa strona jest kwadratem promienia, a promień jest dodatni.

\[r^2=5\quad\Rightarrow\quad r=\sqrt{5}\neq 5\]

Odpowiedź

Pierwsze stwierdzenie: P. Drugie stwierdzenie: F.

\[\boxed{\mathrm{P},\ \mathrm{F}}\]

Sprawdzenie

Odległość punktu od środka (1,−2) wynosi √5, czyli dokładnie tyle, ile promień. Gdyby promień wynosił 5, jego kwadrat wynosiłby 25, a nie 5.

\[\sqrt{(-1-1)^2+(-3+2)^2}=\sqrt{5},\qquad 5^2=25\neq 5\]

Zadanie 23.2

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dany jest okrąg \(\mathcal{O}\) o równaniu

\[(x-1)^2+(y+2)^2=5\]

Okrąg \(\mathcal{K}\) jest obrazem okręgu \(\mathcal{O}\) w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Okrąg \(\mathcal{K}\) jest określony równaniem

\((x-1)^2+(y+2)^2=5\)

\((x+1)^2+(y+2)^2=5\)

\((x-1)^2+(y-2)^2=5\)

\((x+1)^2+(y-2)^2=5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie środka i promienia

Z postaci równania okręgu odczytujemy jego środek i promień.

\[S=(1,-2),\qquad r=\sqrt{5}\]

2 Odbicie okręgu

Symetria środkowa względem początku zmienia znaki obu współrzędnych środka, a promień pozostawia bez zmian.

\[S'=(-1,2),\qquad (x+1)^2+(y-2)^2=5\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[(x+1)^2+(y-2)^2=5\]

Sprawdzenie

Punkt (2,0) należy do okręgu wyjściowego. Jego obraz (−2,0) spełnia otrzymane równanie.

\[(2-1)^2+(0+2)^2=5,\qquad (-2+1)^2+(0-2)^2=5\]

Zadanie 24

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dane są punkty \(A=(2,8)\) oraz \(B=(10,2)\). Symetralna odcinka \(AB\) przecina oś \(Ox\) układu współrzędnych w punkcie \(P\).

Oblicz współrzędne punktu \(P\) oraz długość odcinka \(AP\). Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek symetralnej

Punkt P leży na osi Ox, więc ma postać (p,0). Jako punkt symetralnej odcinka AB jest równo odległy od A i B.

\[P=(p,0),\qquad PA^2=PB^2\]

2 Współrzędne punktu P

Podstawiamy współrzędne do wzoru na kwadrat odległości i rozwiązujemy równanie.

\[(p-2)^2+8^2=(p-10)^2+2^2\quad\Longrightarrow\quad p^2-4p+68=p^2-20p+104\quad\Longrightarrow\quad 16p=36\quad\Longrightarrow\quad p=\frac94\]

3 Długość odcinka AP

Stosujemy wzór na odległość punktów i upraszczamy pierwiastek.

\[AP=\sqrt{\left(\frac94-2\right)^2+(0-8)^2}=\sqrt{\frac1{16}+64}=\frac{\sqrt{1025}}4=\frac{5\sqrt{41}}4\]

Odpowiedź

Punkt P ma współrzędne (9/4, 0), a długość odcinka AP wynosi 5√41/4.

\[P=\left(\frac94,0\right),\qquad AP=\frac{5\sqrt{41}}4\]

Sprawdzenie

P leży na osi Ox. Obliczenie odległości od B daje ten sam wynik co od A, więc P należy do symetralnej AB.

\[PB^2=\left(\frac94-10\right)^2+(0-2)^2=\frac{961}{16}+4=\frac{1025}{16}=PA^2\]

Zadanie 21

Matura 2024 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Proste \(k\) oraz \(l\) są określone równaniami

\(k:\ y=(3m+1)x+2\)

\(l:\ y=-4x+(2m+5)\)

Proste \(k\) oraz \(l\) są równoległe, gdy liczba \(m\) jest równa

\((-4)\)

\(\left(-\frac{5}{3}\right)\)

\(\left(-\frac{3}{2}\right)\)

\((-1)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Porównanie współczynników kierunkowych

Proste zapisane w postaci \(y=ax+b\) są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe.

\[3m+1=-4\]

2 Wyznaczenie m

Odejmujemy 1 od obu stron i dzielimy przez 3.

\[3m=-5\quad\Rightarrow\quad m=-\frac{5}{3}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: \(m=-\frac{5}{3}\).

\[m=-\frac{5}{3}\]

Sprawdzenie

Dla tej wartości oba współczynniki kierunkowe wynoszą \(-4\). Wyrazy wolne to \(2\) i \(\frac{5}{3}\), więc są to dwie różne proste równoległe.

\[3\left(-\frac{5}{3}\right)+1=-4,\qquad 2\left(-\frac{5}{3}\right)+5=\frac{5}{3}\ne 2\]

Zadanie 22

Matura 2024 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Dana jest prosta o równaniu \(y=-3x+1\).

Obrazem tej prostej w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych jest prosta o równaniu

\(y=3x+1\)

\(y=3x-1\)

\(y=-3x+1\)

\(y=-3x-1\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie symetrii

Symetria środkowa względem początku układu zmienia znaki obu współrzędnych.

\[(x,y)\mapsto(x',y')=(-x,-y)\]

2 Wyznaczenie równania obrazu

Podstawiamy \(x=-x'\) i \(y=-y'\) do równania prostej, aby otrzymać równanie jej obrazu.

\[-y'=-3(-x')+1=3x'+1\quad\Longrightarrow\quad y'=-3x'-1\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: \(y=-3x-1\).

\[y=-3x-1\]

Sprawdzenie

Punkt \((0,1)\) leży na danej prostej. Jego obraz \((0,-1)\) spełnia otrzymane równanie, a współczynnik kierunkowy obu prostych wynosi \(-3\).

\[-1=-3\cdot 0-1\]

Zadanie 36

Matura 2024 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W układzie współrzędnych \((x,y)\) dane są punkty \(A=(2,8)\) oraz \(B=(10,2)\). Symetralna odcinka \(AB\) przecina oś \(Ox\) układu współrzędnych w punkcie \(P\).

Oblicz współrzędne punktu \(P\) oraz obwód trójkąta \(ABP\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie punktu P

Punkt P leży na osi Ox, więc ma postać (x,0). Jako punkt symetralnej jest jednakowo odległy od A i B. Porównujemy kwadraty tych odległości.

\[(x-2)^2+(0-8)^2=(x-10)^2+(0-2)^2\;\Longrightarrow\;x^2-4x+68=x^2-20x+104\;\Longrightarrow\;16x=36\;\Longrightarrow\;x=\frac94\]

2 Obliczenie długości boków

Stosujemy wzór na odległość punktów. Ponieważ P leży na symetralnej, długości AP i BP są równe.

\[AB=\sqrt{(10-2)^2+(2-8)^2}=10,\qquad AP=BP=\sqrt{\left(\frac94-2\right)^2+(0-8)^2}=\frac{5\sqrt{41}}4\]

3 Obliczenie obwodu

Dodajemy długości trzech boków trójkąta.

\[O=AB+AP+BP=10+2\cdot\frac{5\sqrt{41}}4=10+\frac{5\sqrt{41}}2\]

Odpowiedź

Punkt P ma współrzędne (9/4, 0), a obwód trójkąta ABP wynosi 10 + 5√41/2.

\[P=\left(\frac94,0\right),\qquad O=10+\frac{5\sqrt{41}}2\]

Sprawdzenie

Punkt P leży na osi Ox. Kwadraty jego odległości od A i B są równe, więc P leży na symetralnej AB; użyty obwód jest sumą długości trzech boków.

\[AP^2=\left(\frac14\right)^2+8^2=\frac{1025}{16},\qquad BP^2=\left(\frac{31}4\right)^2+2^2=\frac{1025}{16}\]

Zadanie 24

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Proste \(k\) oraz \(l\) są określone równaniami

\(k:\ y=(m+1)x+7\)

\(l:\ y=-2x+7\)

Proste \(k\) oraz \(l\) są prostopadłe, gdy liczba \(m\) jest równa

\(\left(-\frac{1}{2}\right)\)

\(\frac{1}{2}\)

\((-3)\)

\(1\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie współczynników kierunkowych

W równaniu prostej \(y=ax+b\) współczynnikiem kierunkowym jest liczba stojąca przy \(x\).

\[a_k=m+1,\qquad a_l=-2\]

2 Warunek prostopadłości

Iloczyn współczynników kierunkowych prostych prostopadłych wynosi \(-1\). Rozwiązujemy otrzymane równanie.

\[-2(m+1)=-1\quad\Longrightarrow\quad m+1=\frac{1}{2}\quad\Longrightarrow\quad m=-\frac{1}{2}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[m=-\frac{1}{2}\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanej wartości współczynnik kierunkowy prostej \(k\) wynosi \(\frac{1}{2}\), a iloczyn współczynników obu prostych jest równy \(-1\).

\[\left(-\frac{1}{2}+1\right)\cdot(-2)=\frac{1}{2}\cdot(-2)=-1\]

Zadanie 25

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Na prostej \(l\) o współczynniku kierunkowym \(\frac{1}{2}\) leżą punkty \(A=(2,-4)\) oraz \(B=(0,b)\). Wtedy liczba \(b\) jest równa

\((-5)\)

\(10\)

\((-2)\)

\(0\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie współczynnika kierunkowego

Ponieważ oba punkty leżą na tej samej prostej, współczynnik kierunkowy obliczony z ich współrzędnych wynosi \(\frac{1}{2}\).

\[\frac{-4-b}{2-0}=\frac{1}{2}\]

2 Wyznaczenie liczby b

Mnożymy równanie przez 2 i rozwiązujemy je względem \(b\).

\[-4-b=1\quad\Rightarrow\quad b=-5\]

Odpowiedź

Liczba \(b\) jest równa \(-5\). Odpowiedź A.

\[b=-5\]

Sprawdzenie

Dla punktów \(A=(2,-4)\) i \(B=(0,-5)\) współczynnik kierunkowy rzeczywiście wynosi \(\frac{1}{2}\).

\[\frac{-4-(-5)}{2-0}=\frac{1}{2}\]

Zadanie 34

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Dany jest równoległobok \(ABCD\), w którym \(A=(-2,6)\) oraz \(B=(10,2)\). Przekątne \(AC\) oraz \(BD\) tego równoległoboku przecinają się w punkcie \(P=(6,7)\).

Oblicz długość boku \(BC\) tego równoległoboku.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie punktu C

Przekątne równoległoboku dzielą się na połowy, więc P jest środkiem odcinka AC.

\[C=2P-A=(2\cdot6-(-2),\,2\cdot7-6)=(14,8)\]

2 Obliczenie długości BC

Stosujemy wzór na odległość punktów B i C.

\[|BC|=\sqrt{(14-10)^2+(8-2)^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\]

Odpowiedź

Długość boku BC wynosi \(2\sqrt{13}\).

\[|BC|=2\sqrt{13}\]

Sprawdzenie

Środek odcinka AC ma współrzędne P, a kwadrat długości BC wynosi 52.

\[\left(\frac{-2+14}{2},\frac{6+8}{2}\right)=(6,7),\qquad (14-10)^2+(8-2)^2=52\]

Zadanie 10

Matura 2023 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Prosta o równaniu \(y=ax+b\) przechodzi przez punkty \(A=(-3,-1)\) oraz \(B=(4,3)\). Współczynnik \(a\) w równaniu tej prostej jest równy

\((-4)\)

\(\left(-\frac{1}{2}\right)\)

\(2\)

\(\frac{4}{7}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie współczynnika kierunkowego

Ponieważ punkty mają różne współrzędne x, współczynnik a jest ilorazem różnicy współrzędnych y i różnicy współrzędnych x.

\[a=\frac{3-(-1)}{4-(-3)}=\frac{4}{7}\]

Odpowiedź

Współczynnik a wynosi 4/7. Odpowiedź D.

\[a=\frac{4}{7}\]

Sprawdzenie

Dla punktu A otrzymujemy b=5/7. Po podstawieniu współrzędnych punktu B równanie daje y=3, więc wynik jest zgodny z oboma punktami.

\[-1=\frac{4}{7}\cdot(-3)+b\Rightarrow b=\frac{5}{7},\qquad \frac{4}{7}\cdot4+\frac{5}{7}=3\]

Zadanie 11

Matura 2023 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Wykresy funkcji liniowych \(f(x)=(2m+3)x+5\) oraz \(g(x)=-x\) nie mają punktów wspólnych dla

\(m=-2\)

\(m=-1\)

\(m=1\)

\(m=2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek braku punktów wspólnych

Wykresy funkcji liniowych nie mają punktów wspólnych, gdy mają ten sam współczynnik kierunkowy i różne wyrazy wolne. Wyrazy wolne wynoszą tutaj 5 i 0, więc są różne.

\[2m+3=-1\]

2 Obliczenie parametru

Rozwiązujemy równanie współczynników kierunkowych.

\[2m=-4\quad\Rightarrow\quad m=-2\]

Odpowiedź

A, m = −2.

\[m=-2\]

Sprawdzenie

Dla m = −2 funkcje mają postać f(x) = −x + 5 oraz g(x) = −x. Równość ich wartości wymagałaby 5 = 0, więc wykresy nie mają punktów wspólnych.

\[-x+5=-x\quad\Rightarrow\quad 5=0\]