Zbiór zadań maturalnych

Funkcje — zadania maturalne

Funkcje: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

159 zadańStrona 1 z 11

Sortuj:

Zadanie 10

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=3x-4\).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Funkcja \(f\) jest rosnąca.	P	F
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) wykres funkcji \(f\) przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,4)\).	P	F

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Monotoniczność

Współczynnik kierunkowy funkcji liniowej wynosi 3. Ponieważ jest dodatni, funkcja jest rosnąca, więc pierwsze stwierdzenie jest prawdziwe.

\[f(x)=3x-4,\quad 3>0\]

2 Przecięcie z osią Oy

Na osi Oy współrzędna x jest równa 0. Obliczamy wartość funkcji w tym punkcie, więc drugie stwierdzenie jest fałszywe.

\[f(0)=3\cdot 0-4=-4,\quad (0,-4)\ne(0,4)\]

Odpowiedź

Pierwsze stwierdzenie: P. Drugie stwierdzenie: F.

\[\mathrm{P},\ \mathrm{F}\]

Sprawdzenie

Dla większej wartości argumentu wartość funkcji rośnie: f(1)=−1 jest większe od f(0)=−4. Ponadto punkt (0,4) nie leży na wykresie, bo f(0)=−4.

\[f(1)-f(0)=(-1)-(-4)=3>0,\quad f(0)=-4\ne 4\]

Zadanie 11

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=2x^2-kx+6\), gdzie \(k\) jest pewną liczbą rzeczywistą. Liczba \(2\) jest miejscem zerowym funkcji \(f\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(k\) jest równa

\(-11\)

\(-7\)

\(7\)

\(11\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie miejsca zerowego

Ponieważ 2 jest miejscem zerowym funkcji, jej wartość dla tego argumentu wynosi 0.

\[f(2)=2\cdot 2^2-k\cdot 2+6=14-2k=0\]

2 Obliczenie parametru

Rozwiązujemy otrzymane równanie liniowe.

\[14-2k=0\quad\Rightarrow\quad 2k=14\quad\Rightarrow\quad k=7\]

Odpowiedź

Liczba k jest równa 7. Odpowiedź C.

\[k=7\]

Sprawdzenie

Dla k równego 7 wartość funkcji w punkcie 2 wynosi 0.

\[f(2)=2\cdot 2^2-7\cdot 2+6=8-14+6=0\]

Zadanie 12.1

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Funkcje

Funkcja \(f\) jest określona następująco:

\[f(x)=\begin{cases}\frac{4}{3}x+\frac{14}{3} & \text{dla }x\in[-5,-2),\\\frac{3}{4}x+\frac{3}{2} & \text{dla }x\in[-2,2],\\-3x+9 & \text{dla }x\in(2,4).\end{cases}\]

Wykres funkcji \(y=f(x)\) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) na rysunku poniżej.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

Funkcja \(f\) ma dokładnie ……… miejsca zerowe.
Funkcja \(f\) osiąga największą wartość dla argumentu ……… .

Wykres funkcji y = f(x) w układzie współrzędnych, z oznaczonymi końcami odcinków.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie miejsc zerowych

Przyrównujemy każdy wzór funkcji do zera i sprawdzamy, czy otrzymany argument należy do odpowiedniego przedziału.

\[\frac{4}{3}x+\frac{14}{3}=0\Rightarrow x=-\frac{7}{2}\in[-5,-2),\qquad \frac{3}{4}x+\frac{3}{2}=0\Rightarrow x=-2\in[-2,2],\qquad -3x+9=0\Rightarrow x=3\in(2,4).\]

2 Wyznaczenie argumentu największej wartości

Pierwszy i drugi odcinek rosną, a trzeci maleje. Najwyższy punkt wykresu ma więc argument 2.

\[f(2)=\frac{3}{4}\cdot2+\frac{3}{2}=3.\]

Odpowiedź

Funkcja ma dokładnie 3 miejsca zerowe. Największą wartość osiąga dla argumentu 2.

\[3;\quad x=2\]

Sprawdzenie

Wszystkie trzy miejsca zerowe należą do przedziałów, w których obowiązują użyte wzory. Na pierwszym odcinku wartości są mniejsze od 2, na trzecim mniejsze od 3, a na środkowym wartość 3 jest osiągana w punkcie x=2.

\[f\left(-\frac{7}{2}\right)=f(-2)=f(3)=0,\qquad f(2)=3\]

Zadanie 12.2

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Funkcje

Funkcja \(f\) jest określona następująco:

\[f(x)=\begin{cases}\frac{4}{3}x+\frac{14}{3} & \text{dla } x\in[-5,-2),\\\frac{3}{4}x+\frac{3}{2} & \text{dla } x\in[-2,2],\\-3x+9 & \text{dla } x\in(2,4).\end{cases}\]

Wykres funkcji \(y=f(x)\) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) na rysunku poniżej.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

Dziedziną funkcji \(f\) jest przedział ………………… .
Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja \(f\) przyjmuje wartości nieujemne, jest przedział ………………… .

Wykres funkcji y=f(x) w układzie współrzędnych, z zaznaczonymi końcami odcinków

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Dziedzina

Łączymy przedziały, na których określono trzy części funkcji.

\[D_f=[-5,-2)\cup[-2,2]\cup(2,4)=[-5,4)\]

2 Wartości nieujemne

W każdym przedziale rozwiązujemy nierówność dla odpowiedniego wzoru i uwzględniamy zakres jego obowiązywania.

\[\begin{aligned}\frac43x+\frac{14}{3}\geq0&\iff x\geq-\frac72 &&\Rightarrow x\in\left[-\frac72,-2\right),\\\frac34x+\frac32\geq0&\iff x\geq-2 &&\Rightarrow x\in[-2,2],\\-3x+9\geq0&\iff x\leq3 &&\Rightarrow x\in(2,3].\end{aligned}\]

3 Połączenie wyników

Wszystkie otrzymane przedziały łączą się w jeden przedział.

\[\left[-\frac72,-2\right)\cup[-2,2]\cup(2,3]=\left[-\frac72,3\right]\]

Odpowiedź

1. Dziedzina: [−5, 4). 2. Przedział argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości nieujemne: [−7/2, 3].

\[D_f=[-5,4),\qquad\{x:f(x)\geq0\}=\left[-\frac72,3\right]\]

Sprawdzenie

Na krańcach przedziału wartości nieujemnych funkcja ma wartość 0. Ponadto f(2) = 3, więc punkt 2 należy do tego przedziału. Wartość f(−5) jest ujemna, a punkt 4 nie należy do dziedziny. Uwaga z kontroli poprzedniej próby jest poprawna: f(2) nie jest równe 0.

\[f\left(-\frac72\right)=0,\quad f(-2)=0,\quad f(2)=3,\quad f(3)=0,\quad f(-5)=-2,\quad 4\notin D_f\]

Zadanie 13.1

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) wykresem funkcji kwadratowej \(f\) jest parabola o wierzchołku w punkcie \(W=(-3,7)\).

Liczba \(t\) spełnia warunki: \(f(t)=f(-9)\) oraz \(t\ne -9\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(t\) jest równa

\(3\)

\(9\)

\(15\)

\(21\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz funkcję w postaci kanonicznej

Wierzchołek \((-3,7)\) wyznacza postać funkcji kwadratowej, przy czym \(a\ne 0\).

\[f(x)=a(x+3)^2+7,\quad a\ne 0\]

2 Wyznacz drugie rozwiązanie

Podstawiamy warunek \(f(t)=f(-9)\) i dzielimy przez niezerowe \(a\).

\[a(t+3)^2+7=a(-6)^2+7\;\Longrightarrow\;(t+3)^2=36\;\Longrightarrow\;t=-9\text{ lub }t=3\]

Odpowiedź

Ponieważ t ≠ −9, otrzymujemy t = 3. Odpowiedź A.

\[t=3\]

Sprawdzenie

Dla t = 3 oba argumenty są jednakowo odległe od osi symetrii x = −3; bezpośrednie podstawienie daje tę samą wartość funkcji. Spełniony jest też warunek t ≠ −9.

\[f(3)=a\cdot 6^2+7=36a+7=f(-9),\quad 3\ne-9\]

Zadanie 13.2

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) wykresem funkcji kwadratowej \(f\) jest parabola o wierzchołku w punkcie \(W=(-3,7)\).

Funkcja kwadratowa \(g\) jest określona za pomocą funkcji \(f\) wzorem \(g(x)=f(x-5)\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji \(g\) ma współrzędne

\((-8,7)\)

\((-3,2)\)

\((-3,12)\)

\((2,7)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustal przesunięcie

Zastąpienie argumentu funkcji \(f\) przez \(x-5\) przesuwa jej wykres o 5 jednostek w prawo.

\[g(x)=f(x-5)\]

2 Oblicz współrzędne wierzchołka

Do współrzędnej poziomej wierzchołka dodajemy 5, a współrzędna pionowa pozostaje taka sama.

\[W_g=(-3+5,7)=(2,7)\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: wierzchołek ma współrzędne \((2,7)\).

\[W_g=(2,7)\]

Sprawdzenie

Dla \(x=2\) funkcja \(g\) przyjmuje wartość funkcji \(f\) w jej wierzchołku, bo \(2-5=-3\). Potwierdza to współrzędną pionową równą 7.

\[g(2)=f(2-5)=f(-3)=7\]

Zadanie 32

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte3 pkt

Optymalizacja i rachunek różniczkowy

Dany jest kwadrat \(ABCD\) o boku długości \(4\). Rozważamy wszystkie trójkąty \(DEF\) spełniające jednocześnie następujące warunki:

punkt \(E\) leży na boku \(AB\) kwadratu \(ABCD\)
punkt \(F\) leży na boku \(BC\) kwadratu \(ABCD\)
\(|CF|=\frac{1}{2}\cdot|EB|=x\), gdzie \(x\in(0,2)\) (zobacz rysunek).

Niech \(P(x)\) oznacza pole trójkąta \(DEF\) w zależności od długości \(x\) odcinka \(CF\).

Wyznacz wzór funkcji \(P\) zmiennej \(x\), gdzie \(x\in(0,2)\). Oblicz długość \(x\) odcinka \(CF\), dla której pole trójkąta \(DEF\) jest najmniejsze. Zapisz obliczenia.

Kwadrat ABCD o boku 4. Punkt E leży na boku AB, punkt F na boku BC. Odcinek EB oznaczono jako 2x, a CF jako x. Wewnątrz kwadratu zaznaczono trójkąt DEF.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Długości odcinków

Od boku kwadratu odejmujemy długości podanych odcinków.

\[|AE|=4-2x,\qquad |BF|=4-x\]

2 Pole trójkąta

Od pola kwadratu odejmujemy pola trzech trójkątów prostokątnych leżących poza trójkątem DEF.

\[\begin{aligned}P(x)&=16-\frac{4(4-2x)}{2}-\frac{4x}{2}-\frac{2x(4-x)}{2}\\&=x^2-2x+8,\qquad x\in(0,2).\end{aligned}\]

3 Najmniejsze pole

Po uzupełnieniu kwadratu wyrażenie jest najmniejsze, gdy jego nieujemny składnik jest równy zeru.

\[P(x)=(x-1)^2+7\geq 7;\qquad x=1\in(0,2).\]

Odpowiedź

Wzór funkcji to P(x)=x²−2x+8 dla x∈(0,2). Pole trójkąta DEF jest najmniejsze, gdy odcinek CF ma długość 1; wynosi wtedy 7.

\[P(x)=x^2-2x+8,\quad x\in(0,2);\qquad |CF|=1,\quad P_{\min}=7\]

Sprawdzenie

Dla x=1 odcinki EB i CF mają długości odpowiednio 2 i 1, zgodnie z warunkiem. Pola trzech odjętych trójkątów wynoszą 4, 2 i 3, więc pole DEF wynosi 16−4−2−3=7.

\[\frac{4\cdot2}{2}=4,\quad\frac{4\cdot1}{2}=2,\quad\frac{2\cdot3}{2}=3;\qquad 16-4-2-3=7\]

Zadanie 7

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na rysunku, w układzie współrzędnych \((x,y)\), przedstawiono wykres funkcji \(f\).

Funkcja \(f\) ma dokładnie

Wykres funkcji y=f(x) w układzie współrzędnych, z osiami, grotami, oznaczeniami oraz zaznaczonymi końcami odcinków.

jedno miejsce zerowe.

dwa miejsca zerowe.

trzy miejsca zerowe.

cztery miejsca zerowe.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczytanie miejsc zerowych

Miejsca zerowe to argumenty, dla których wykres przecina lub dotyka osi \(Ox\). Lewy odcinek przecina ją w \(x=-\frac{7}{2}\), środkowa część ma zaznaczony pełny punkt w \((-2,0)\), a prawy odcinek przecina ją w \(x=3\).

\[f\left(-\frac{7}{2}\right)=0,\qquad f(-2)=0,\qquad f(3)=0\]

Odpowiedź

Funkcja ma dokładnie trzy miejsca zerowe. Odpowiedź C.

\[\boxed{3\text{ miejsca zerowe — C}}\]

Sprawdzenie

Na każdym z trzech odcinków wykresu występuje dokładnie jeden punkt o rzędnej zero. Wskazane punkty należą do wykresu, więc liczba miejsc zerowych wynosi trzy.

\[\left\{-\frac{7}{2},-2,3\right\}\]

Zadanie 8

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na rysunku, w układzie współrzędnych \((x,y)\), przedstawiono wykres funkcji \(f\).

Funkcja \(f\) osiąga największą wartość dla argumentu

Wykres funkcji y = f(x) w układzie współrzędnych, wspólny dla zadań 7–9.

\((-2)\)

\(2\)

\(3\)

\(4\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczytanie najwyższego punktu

Największej wartości funkcji szukamy w najwyższym punkcie wykresu. Punkt ten ma współrzędne \( (2,3) \) i należy do wykresu.

\[f(2)=3\]

2 Wskazanie argumentu

Największa wartość funkcji to \(3\), a funkcja przyjmuje ją dla argumentu \(2\).

\[x=2\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: \(2\).

\[x=2\]

Sprawdzenie

Pozostałe części wykresu leżą poniżej poziomu \(y=3\), więc żadna wartość funkcji nie jest większa od \(f(2)=3\).

\[f(x)\leq 3=f(2)\]

Zadanie 9

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na rysunku, w układzie współrzędnych \((x,y)\), przedstawiono wykres funkcji \(f\).

Dziedziną funkcji \(f\) jest przedział

Wykres funkcji y = f(x) w układzie współrzędnych, z zaznaczonymi końcami odcinków i punktami otwartymi.

\(\langle-5,4)\)

\((-5,4\rangle\)

\((-3,3\rangle\)

\((-3,3)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczyt końców wykresu

Zamalowany punkt przy x=-5 oznacza, że -5 należy do dziedziny. Niezamalowany punkt przy x=4 oznacza, że 4 do niej nie należy.

\[-5\in D_f,\qquad 4\notin D_f\]

2 Ustalenie przedziału

Wykres obejmuje wszystkie wartości x między tymi końcami. Wartość x=-2 także należy do dziedziny, ponieważ zaznaczono tam zamalowany punkt.

\[D_f=[-5,4)\]

Odpowiedź

Dziedziną jest przedział od -5 włącznie do 4 bez 4. Odpowiedź A.

\[D_f=[-5,4)\]

Sprawdzenie

Na wykresie jest punkt dla x=-5 i dla x=-2, a nie ma punktu dla x=4. Zgadza się to z przedziałem [-5,4).

\[-5\in D_f,\quad -2\in D_f,\quad 4\notin D_f\]

Zadanie 10

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=3x-4\).

Wskaż zdanie prawdziwe.

Funkcja \(f\) jest malejąca i w układzie współrzędnych \((x,y)\) jej wykres przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,-4)\).

Funkcja \(f\) jest rosnąca i w układzie współrzędnych \((x,y)\) jej wykres przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,-4)\).

Funkcja \(f\) jest malejąca i w układzie współrzędnych \((x,y)\) jej wykres przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,4)\).

Funkcja \(f\) jest rosnąca i w układzie współrzędnych \((x,y)\) jej wykres przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,4)\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Określenie monotoniczności

Współczynnik kierunkowy funkcji liniowej jest dodatni, więc funkcja jest rosnąca.

\[f(x)=3x-4,\quad 3>0\]

2 Wyznaczenie punktu przecięcia z osią Oy

Na osi Oy współrzędna x jest równa zeru, dlatego obliczamy f(0).

\[f(0)=3\cdot 0-4=-4\]

Odpowiedź

Prawdziwe jest zdanie B: funkcja jest rosnąca, a jej wykres przecina oś Oy w punkcie (0,−4).

\[\boxed{\mathrm{B}}\]

Sprawdzenie

Dla argumentów x₁<x₂ różnica wartości jest dodatnia, co potwierdza rosnący charakter funkcji. Punkt (0,−4) spełnia jej wzór.

\[f(x_2)-f(x_1)=3(x_2-x_1)>0,\qquad -4=3\cdot 0-4\]

Zadanie 11

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=2x^2-kx+6\), gdzie \(k\) jest pewną liczbą rzeczywistą. Liczba \(2\) jest miejscem zerowym funkcji \(f\).

Liczba \(k\) jest równa

\((-11)\)

\((-7)\)

\(7\)

\(11\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie miejsca zerowego

Ponieważ 2 jest miejscem zerowym funkcji, przyjmujemy \(f(2)=0\).

\[2\cdot 2^2-k\cdot 2+6=0\]

2 Obliczenie parametru

Upraszczamy równanie i dzielimy obie strony przez 2.

\[8-2k+6=0\;\Longrightarrow\;2k=14\;\Longrightarrow\;k=7\]

Odpowiedź

Liczba k wynosi 7. Odpowiedź C.

\[k=7\]

Sprawdzenie

Dla k równego 7 wartość funkcji w punkcie 2 wynosi 0, więc warunek zadania jest spełniony.

\[f(2)=2\cdot 2^2-7\cdot 2+6=8-14+6=0\]

Zadanie 34

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Funkcje

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=ax^2+bx+c\).

Największa wartość funkcji \(f\) jest równa \(100\).

Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja \(f\) przyjmuje wartości dodatnie, jest przedział \((-2,8)\).

Oblicz wartości współczynników \(a\), \(b\) oraz \(c\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie miejsc zerowych

Funkcja jest dodatnia dokładnie między −2 a 8, więc na końcach tego przedziału ma miejsca zerowe. Jej ramiona są skierowane w dół, zatem \(a<0\).

\[f(x)=a(x+2)(x-8),\quad a<0\]

2 Obliczenie współczynnika a

Wierzchołek leży w połowie między miejscami zerowymi. Podstawiamy jego argument do wzoru, ponieważ największa wartość funkcji wynosi 100.

\[x_w=\frac{-2+8}{2}=3,\qquad 100=f(3)=a(3+2)(3-8)=-25a,\qquad a=-4\]

3 Rozwinięcie wzoru funkcji

Rozwijamy postać iloczynową, aby odczytać współczynniki przy kolejnych potęgach \(x\).

\[f(x)=-4(x+2)(x-8)=-4(x^2-6x-16)=-4x^2+24x+64\]

Odpowiedź

Współczynniki wynoszą a = −4, b = 24, c = 64.

\[a=-4,\quad b=24,\quad c=64\]

Sprawdzenie

Postać kanoniczna potwierdza maksimum 100 dla x = 3. Ponieważ współczynnik przy kwadracie jest ujemny, funkcja jest dodatnia dokładnie wtedy, gdy odległość x od 3 jest mniejsza niż 5, czyli dla x z przedziału (−2, 8).

\[f(x)=-4(x-3)^2+100,\qquad f(x)>0\iff (x-3)^2<25\iff -2<x<8\]

Zadanie 12.1

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Funkcje

Funkcja \(f\) jest określona następująco:

\[f(x)=\begin{cases}x+2 & \text{dla }x\in[-4,2]\\-x+5 & \text{dla }x\in(2,5)\end{cases}\]

Wykres funkcji \(y=f(x)\) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) na rysunku poniżej.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

Rozwiązaniem równania \(f(x)=3\) jest liczba ……… .
Największa wartość funkcji \(f\) w przedziale \([2,3]\) jest równa ……… .

Wykres funkcji y=f(x) w układzie współrzędnych, z zaznaczonymi końcami obu odcinków.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozwiązanie równania

Rozwiązujemy równanie osobno dla każdej części definicji i sprawdzamy, czy otrzymane liczby należą do odpowiednich przedziałów.

\[x+2=3\Rightarrow x=1\in[-4,2];\qquad -x+5=3\Rightarrow x=2\notin(2,5).\]

2 Największa wartość

Dla x=2 obowiązuje pierwszy wzór, więc f(2)=4. Na pozostałej części przedziału [2,3] obowiązuje wzór -x+5, który przy x>2 daje wartości mniejsze od 3.

\[f(2)=2+2=4,\qquad 2<x\leq 3\Rightarrow f(x)=-x+5<3<4.\]

Odpowiedź

W puste miejsca należy wpisać kolejno 1 i 4.

\[1.\ x=1;\qquad 2.\ \max_{x\in[2,3]}f(x)=4\]

Sprawdzenie

Liczba 1 należy do dziedziny i f(1)=3. Liczba 2 nie należy do drugiego przedziału, a f(2)=4. Dla każdego x z (2,3] wartość funkcji jest mniejsza od 3, więc 4 jest największą wartością na [2,3].

\[f(1)=1+2=3,\qquad f(2)=2+2=4,\qquad x\in(2,3]\Rightarrow f(x)<3<4.\]

Zadanie 12.2

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Funkcje

Funkcja \(f\) jest określona następująco:

\[f(x)=\begin{cases}x+2 & \text{dla } x\in[-4,2],\\-x+5 & \text{dla } x\in(2,5).\end{cases}\]

Wykres funkcji \(y=f(x)\) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) na rysunku poniżej.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział ………………… .
Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja \(f\) przyjmuje wartości większe od \(1\), jest przedział ………………… .

Wykres funkcji y=f(x) w układzie współrzędnych, z oznaczonymi końcami odcinków.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zbiór wartości

Pierwsza część funkcji rośnie od wartości −2 do 4, a druga przyjmuje wartości od 0 do 3 bez końców. Razem daje to przedział od −2 do 4 z oboma końcami.

\[f([-4,2])=[-2,4],\quad f((2,5))=(0,3),\quad W_f=[-2,4]\]

2 Wartości większe od 1

Rozwiązujemy nierówność osobno dla każdego wzoru i uwzględniamy jego dziedzinę. Następnie łączymy otrzymane przedziały.

\[\begin{aligned}x+2>1&\iff x>-1 &&\Rightarrow x\in(-1,2],\\-x+5>1&\iff x<4 &&\Rightarrow x\in(2,4).\end{aligned}\quad (-1,2]\cup(2,4)=(-1,4)\]

Odpowiedź

1. Zbiór wartości: [−2, 4]. 2. Argumenty, dla których f(x) > 1: (−1, 4).

\[W_f=[-2,4],\qquad \{x:f(x)>1\}=(-1,4)\]

Sprawdzenie

Wartości −2 i 4 są osiągane odpowiednio dla x = −4 i x = 2. Na granicach drugiego przedziału argumentów, x = −1 i x = 4, funkcja ma wartość 1, więc nie należą one do rozwiązania nierówności.

\[f(-4)=-2,\quad f(2)=4,\quad f(-1)=1,\quad f(4)=1\]