Zbiór zadań maturalnych

Funkcje — zadania maturalne

Funkcje: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

159 zadańStrona 9 z 11

Sortuj:

Zadanie 10

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na rysunku poniżej przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=ax^2+bx+c\).

Stąd wynika, że

Fragment paraboli skierowanej ramionami w górę w układzie współrzędnych. Zaznaczony wierzchołek leży na dodatniej półosi x; widoczne są osie z grotami oraz oznaczenia 0, x i y.

\(\begin{cases}a<0\\c<0\end{cases}\)

\(\begin{cases}a<0\\c>0\end{cases}\)

\(\begin{cases}a>0\\c<0\end{cases}\)

\(\begin{cases}a>0\\c>0\end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Znak współczynnika a

Ramiona paraboli są skierowane w górę, więc współczynnik przy kwadracie jest dodatni.

\[a>0\]

2 Znak wyrazu wolnego c

Wykres przecina oś y powyżej osi x. Wartość funkcji dla x=0 jest równa c, więc c jest dodatnie.

\[c=f(0)>0\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[a>0,\quad c>0\]

Sprawdzenie

Wierzchołek leży na dodatniej półosi x. Dla dodatniego a parabola ma poza wierzchołkiem wartości dodatnie, zatem także dla x=0 otrzymujemy c>0.

\[f(0)=c>0\]

Zadanie 19

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^x\) dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\). Funkcja \(f\) dla argumentu \(x=-3\) przyjmuje wartość

\(\frac{1}{6}\)

\(\frac{1}{8}\)

\(6\)

\(8\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie argumentu

Wstawiamy \(-3\) w miejsce \(x\).

\[f(-3)=\left(\frac{1}{2}\right)^{-3}\]

2 Obliczenie potęgi

Ujemny wykładnik oznacza odwrotność potęgi o wykładniku dodatnim.

\[\left(\frac{1}{2}\right)^{-3}=\left(\frac{2}{1}\right)^3=8\]

Odpowiedź

Funkcja przyjmuje wartość 8. Odpowiedź D.

\[f(-3)=8\]

Sprawdzenie

Kontrola: iloczyn wartości dla przeciwnych wykładników wynosi 1.

\[f(-3)\cdot f(3)=8\cdot\frac{1}{8}=1\]

Zadanie 20

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Wielkości \(x\) i \(y\) są odwrotnie proporcjonalne (tabela poniżej).

\(x\)	\(a\)	\(3\)	\(8\)
\(y\)	\(36\)	\(24\)	\(b\)

Stąd wynika, że

\(a=6,\ b=22{,}5\)

\(a=\frac{4}{3},\ b=6\)

\(a=3,\ b=96\)

\(a=2,\ b=9\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie stałego iloczynu

Dla wielkości odwrotnie proporcjonalnych iloczyn odpowiadających sobie wartości jest stały. Korzystamy ze znanej pary z tabeli.

\[xy=3\cdot24=72\]

2 Obliczenie niewiadomych

Każdą brakującą wartość wyznaczamy z warunku, że iloczyn w jej kolumnie wynosi 72.

\[36a=72\Rightarrow a=2,\qquad 8b=72\Rightarrow b=9\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: a = 2, b = 9.

\[a=2,\quad b=9\]

Sprawdzenie

W każdej kolumnie iloczyn x i y jest równy 72.

\[2\cdot36=3\cdot24=8\cdot9=72\]

Zadanie 5

Matura 2019 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=(a+1)x+11\), gdzie \(a\) to pewna liczba rzeczywista, ma miejsce zerowe równe \(x=\frac{3}{4}\). Stąd wynika, że

\(a=-\frac{41}{3}\)

\(a=\frac{41}{3}\)

\(a=-\frac{47}{3}\)

\(a=\frac{47}{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie miejsca zerowego

W miejscu zerowym wartość funkcji wynosi zero, więc podstawiamy \(x=\frac{3}{4}\).

\[f\left(\frac{3}{4}\right)=0\quad\Longrightarrow\quad (a+1)\cdot\frac{3}{4}+11=0\]

2 Wyznaczenie parametru

Odejmujemy 11, mnożymy obie strony przez \(\frac{4}{3}\), a następnie odejmujemy 1.

\[a+1=-11\cdot\frac{4}{3}=-\frac{44}{3},\qquad a=-\frac{44}{3}-1=-\frac{47}{3}\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[a=-\frac{47}{3}\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanej wartości parametru funkcja ma miejsce zerowe równe \(\frac{3}{4}\).

\[f\left(\frac{3}{4}\right)=\left(-\frac{47}{3}+1\right)\cdot\frac{3}{4}+11=-11+11=0\]

Zadanie 6

Matura 2019 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja \(f\) jest określona dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wzorem \(f(x)=(m\sqrt{5}-1)x+3\). Ta funkcja jest rosnąca dla każdej liczby \(m\) spełniającej warunek

\(m>\frac{1}{\sqrt{5}}\)

\(m>1-\sqrt{5}\)

\(m<\sqrt{5}-1\)

\(m<\frac{1}{\sqrt{5}}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek rosnącej funkcji liniowej

Funkcja liniowa jest rosnąca wtedy i tylko wtedy, gdy współczynnik przy x jest dodatni.

\[m\sqrt{5}-1>0\]

2 Wyznaczenie m

Dodajemy 1 do obu stron i dzielimy przez dodatnią liczbę \(\sqrt{5}\), więc znak nierówności się nie zmienia.

\[m\sqrt{5}>1\quad\Longleftrightarrow\quad m>\frac{1}{\sqrt{5}}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: \(m>\frac{1}{\sqrt{5}}\).

\[m>\frac{1}{\sqrt{5}}\]

Sprawdzenie

Na granicy \(m=\frac{1}{\sqrt{5}}\) współczynnik przy x wynosi 0, więc funkcja jest stała. Dla większych m współczynnik jest dodatni, a funkcja rosnąca.

\[\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot\sqrt{5}-1=0\]

Zadanie 8

Matura 2019 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Rysunek przedstawia wykres funkcji \(f\) zbudowany z 6 odcinków, przy czym punkty \(B=(2,-1)\) i \(C=(4,-1)\) należą do wykresu funkcji.

Równanie \(f(x)=-1\) ma

Wykres funkcji w układzie współrzędnych, z osiami, grotami, oznaczeniami, punktami B i C oraz niezamalowanym punktem na osi y.

dokładnie jedno rozwiązanie.

dokładnie dwa rozwiązania.

dokładnie trzy rozwiązania.

nieskończenie wiele rozwiązań.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczyt poziomu

Rozwiązaniami równania są argumenty punktów wykresu leżących na wysokości −1.

\[f(x)=-1\]

2 Wskazanie odcinka

Odcinek łączący punkty B i C jest poziomy, więc dla każdego argumentu od 2 do 4 funkcja ma wartość −1.

\[x\in[2,4]\implies f(x)=-1\]

Odpowiedź

Równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań. Odpowiedź D.

\[\boxed{\text{D — nieskończenie wiele rozwiązań}}\]

Sprawdzenie

Na przykład punkty o argumentach 2, 3 i 4 leżą na tym odcinku i mają rzędną −1; tak samo jest dla każdego argumentu pomiędzy 2 a 4.

\[f(2)=f(3)=f(4)=-1\]

Zadanie 7

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=9-(3-x)^2\) są liczby

\(0\) oraz \(3\)

\(-6\) oraz \(6\)

\(0\) oraz \(-6\)

\(0\) oraz \(6\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozłóż wzór na czynniki

Korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów, aby łatwo wyznaczyć miejsca zerowe.

\[f(x)=3^2-(3-x)^2=(3-(3-x))(3+(3-x))=x(6-x)\]

2 Wyznacz miejsca zerowe

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy zeru.

\[x(6-x)=0\quad\Longleftrightarrow\quad x=0\ \text{lub}\ x=6\]

Odpowiedź

Miejsca zerowe to 0 oraz 6. Odpowiedź D.

\[x_1=0,\quad x_2=6\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu obu liczb do podanego wzoru otrzymujemy zero.

\[f(0)=9-3^2=0,\qquad f(6)=9-(-3)^2=0\]

Zadanie 8

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na rysunku przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(g\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(1,1)\).

Zbiorem wartości funkcji \(g\) jest przedział

Wykres paraboli skierowanej ramionami w dół, z wierzchołkiem W=(1,1), osiami x i y oraz siatką współrzędnych.

\(( -\infty,0\rangle\)

\(\langle 0,2\rangle\)

\(\langle 1,+\infty)\)

\(( -\infty,1\rangle\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie największej wartości

Ramiona paraboli są skierowane w dół, więc funkcja osiąga największą wartość w wierzchołku W=(1,1).

\[g(1)=1,\qquad g(x)\leq 1\]

2 Wyznaczenie zbioru wartości

Parabola jest wykresem funkcji kwadratowej, więc jej ramiona biegną nieograniczenie w dół. Funkcja przyjmuje zatem wszystkie wartości nie większe od 1.

\[Z_g=(-\infty,1]\]

Odpowiedź

Przedział od minus nieskończoności do 1 włącznie — odpowiedź D.

\[(-\infty,1]\]

Sprawdzenie

Wartość 1 należy do zbioru wartości, ponieważ g(1)=1. Żadna wartość większa od 1 do niego nie należy, gdyż wierzchołek jest najwyższym punktem paraboli.

\[g(1)=1=\max g\]

Zadanie 9

Matura 2018 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=-2(x+2)^{-1}(x-3)^2\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq -2\). Wartość funkcji \(f\) dla argumentu \(2\) jest równa

\(-8\)

\(-\frac{1}{2}\)

\(\frac{1}{2}\)

\(8\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie argumentu

Liczba 2 należy do dziedziny, ponieważ 2 ≠ −2, więc podstawiamy ją do wzoru funkcji.

\[f(2)=-2(2+2)^{-1}(2-3)^2\]

2 Obliczenie wartości

Korzystamy z równości \(4^{-1}=\frac14\) oraz \((-1)^2=1\).

\[f(2)=-2\cdot\frac14\cdot1=-\frac12\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: wartość funkcji wynosi −1/2.

\[f(2)=-\frac12\]

Sprawdzenie

Mianownik dla x = 2 wynosi 4, więc nie jest zerem. Wynik −1/2 odpowiada odpowiedzi B.

\[-\frac{2(2-3)^2}{2+2}=-\frac{2}{4}=-\frac12\]

Zadanie 10

Matura 2018 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Największą wartością funkcji \(y=-(x-2)^2+4\) w przedziale \(\langle 3,5\rangle\) jest

\(4\)

\(3\)

\(0\)

\(5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ograniczenie wartości

Dla x z przedziału od 3 do 5 mamy x−2≥1. Po podniesieniu do kwadratu i zmianie znaku otrzymujemy górne ograniczenie wartości funkcji.

\[x\in[3,5]\Rightarrow x-2\ge 1\Rightarrow (x-2)^2\ge 1\Rightarrow y=4-(x-2)^2\le 3\]

2 Osiągnięcie maksimum

Sprawdzamy, czy funkcja przyjmuje wartość 3 w podanym przedziale.

\[y(3)=-(3-2)^2+4=3\]

Odpowiedź

Największa wartość wynosi 3. Odpowiedź B.

\[\max_{x\in[3,5]}y=3\]

Sprawdzenie

Liczba 3 należy do przedziału, więc wartość 3 jest osiągana. Dla każdego punktu tego przedziału wykazane ograniczenie daje wartość nie większą niż 3.

\[3\in[3,5],\qquad y(3)=3,\qquad y(x)\le 3\ \text{dla}\ x\in[3,5]\]

Zadanie 11

Matura 2018 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja liniowa \(f(x)=(1-m^2)x+m-1\) nie ma miejsc zerowych dla

\(m=1\)

\(m=0\)

\(m=-1\)

\(m=-2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek braku miejsc zerowych

Funkcja postaci \(ax+b\) nie ma miejsc zerowych tylko wtedy, gdy jest stałą różną od zera. Dlatego współczynnik przy \(x\) musi być równy zero.

\[1-m^2=0\iff m^2=1\iff m\in\{-1,1\}\]

2 Sprawdzenie wyrazu wolnego

Dla \(m=1\) funkcja jest równa zeru dla każdego \(x\). Dla \(m=-1\) jest stałą różną od zera.

\[m=1:\ f(x)=0,\qquad m=-1:\ f(x)=-2\]

Odpowiedź

Odpowiedź C: \(m=-1\).

\[m=-1\]

Sprawdzenie

Dla \(m=-1\) równanie \(f(x)=0\) ma postać \(-2=0\), więc nie ma rozwiązania.

\[f(x)=(1-(-1)^2)x-1-1=-2\ne 0\]

Zadanie 12

Matura 2018 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na jednym z rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej określonej wzorem \(f(x)=-(x-1)(3-x)\). Wskaż ten rysunek.

Wykres funkcji kwadratowej, wariant A

Wykres funkcji kwadratowej, wariant B

Wykres funkcji kwadratowej, wariant C

Wykres funkcji kwadratowej, wariant D

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie miejsc zerowych

Iloczyn jest równy zeru, gdy jeden z jego czynników jest równy zeru. Wykres przecina więc oś x w punktach o odciętych 1 i 3.

\[-(x-1)(3-x)=0\quad\Longleftrightarrow\quad x=1\ \text{lub}\ x=3\]

2 Ustalenie kształtu wykresu

Po przekształceniu wzoru współczynnik przy kwadracie x jest dodatni, więc ramiona paraboli są skierowane w górę. Oś symetrii leży w połowie między miejscami zerowymi, a wierzchołek ma współrzędne (2,−1).

\[f(x)=(x-1)(x-3)=x^2-4x+3,\qquad x_w=\frac{1+3}{2}=2,\qquad f(2)=-1\]

Odpowiedź

Pasuje rysunek D.

\[\boxed{D}\]

Sprawdzenie

Na rysunku D parabola ma ramiona skierowane w górę, przecina oś x przy 1 i 3 oraz ma wierzchołek w punkcie (2,−1). Zgadza się też przecięcie z osią y: f(0)=3.

\[f(0)=-(0-1)(3-0)=3\]

Zadanie 27

Matura 2018 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Funkcje

Wykresem funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=x^2+bx+c\) jest parabola, na której leży punkt \(A=(0,-5)\). Osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu \(x=7\). Oblicz wartości współczynników \(b\) i \(c\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie współczynnika c

Punkt A leży na paraboli, więc jego współrzędne spełniają wzór funkcji.

\[f(0)=0^2+b\cdot 0+c=-5\quad\Rightarrow\quad c=-5\]

2 Wyznaczenie współczynnika b

Dla funkcji kwadratowej o współczynniku przy kwadracie równym 1 oś symetrii ma równanie x=-b/2. Korzystamy z podanej osi x=7.

\[-\frac{b}{2}=7\quad\Rightarrow\quad b=-14\]

Odpowiedź

Współczynniki wynoszą b = −14 oraz c = −5.

\[b=-14,\quad c=-5\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanej funkcji wartość w punkcie x = 0 wynosi −5, a oś symetrii ma równanie x = 7, zgodnie z treścią zadania.

\[f(0)=0^2-14\cdot 0-5=-5,\qquad x=-\frac{-14}{2}=7\]

Zadanie 8

Matura 2018 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Dane są funkcje \(f(x)=3^x\) oraz \(g(x)=f(-x)\), określone dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\). Punkt wspólny wykresów funkcji \(f\) i \(g\)

nie istnieje.

ma współrzędne \((1,0)\).

ma współrzędne \((0,1)\).

ma współrzędne \((0,0)\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie argumentu

W punkcie wspólnym funkcje mają tę samą wartość. Ponieważ funkcja wykładnicza o podstawie 3 jest różnowartościowa, przyrównujemy wykładniki.

\[3^x=3^{-x}\iff x=-x\iff x=0\]

2 Obliczenie wartości

Podstawiamy otrzymany argument do funkcji, aby znaleźć drugą współrzędną.

\[f(0)=3^0=1\]

Odpowiedź

Punkt wspólny ma współrzędne (0,1). Odpowiedź C.

\[(0,1)\]

Sprawdzenie

Dla x=0 obie funkcje mają wartość 1. Równość wykładników ma tylko jedno rozwiązanie, więc innych punktów wspólnych nie ma.

\[f(0)=1,\qquad g(0)=f(-0)=1\]

Zadanie 9

Matura 2018 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Punkt \((1,\sqrt{3})\) należy do wykresu funkcji \(y=2\sqrt{3}x+b\). Wtedy współczynnik \(b\) jest równy

\(7\)

\(3\sqrt{3}\)

\(-5\)

\(-\sqrt{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie współrzędnych

Punkt należy do wykresu, więc jego współrzędne spełniają równanie funkcji.

\[\sqrt{3}=2\sqrt{3}\cdot 1+b\]

2 Obliczenie współczynnika

Odejmujemy \(2\sqrt{3}\) od obu stron równania.

\[b=\sqrt{3}-2\sqrt{3}=-\sqrt{3}\]

Odpowiedź

Współczynnik \(b\) wynosi \(-\sqrt{3}\). Odpowiedź D.

\[b=-\sqrt{3}\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu \(x=1\) i obliczonego \(b\) otrzymujemy wymaganą współrzędną \(y=\sqrt{3}\).

\[2\sqrt{3}\cdot 1-\sqrt{3}=\sqrt{3}\]