Zbiór zadań maturalnych

Funkcje — zadania maturalne

Funkcje: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

159 zadańStrona 8 z 11

Sortuj:

Zadanie 10

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Wykresem funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=-3(x+4)(x-2)\) jest parabola o wierzchołku \(W=(p,q)\). Współrzędne wierzchołka \(W\) spełniają warunki

\(p>0\) i \(q>0\)

\(p<0\) i \(q>0\)

\(p<0\) i \(q<0\)

\(p>0\) i \(q<0\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie pierwszej współrzędnej

Wierzchołek leży w połowie między miejscami zerowymi paraboli, czyli między \(-4\) a \(2\).

\[p=\frac{-4+2}{2}=-1\]

2 Wyznaczenie drugiej współrzędnej

Podstawiamy \(p=-1\) do wzoru funkcji, aby obliczyć wysokość wierzchołka.

\[q=f(-1)=-3(-1+4)(-1-2)=27\]

Odpowiedź

Wierzchołek ma współrzędne \(W=(-1,27)\), więc \(p<0\) i \(q>0\). Odpowiedź B.

\[W=(-1,27),\quad p<0,\quad q>0\]

Sprawdzenie

Po sprowadzeniu wzoru do postaci kanonicznej otrzymujemy wierzchołek \((-1,27)\), co potwierdza oba znaki.

\[-3(x+4)(x-2)=-3(x+1)^2+27\]

Zadanie 11

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej \(f\). Jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest liczba \(2\). Do wykresu funkcji \(f\) należy punkt \((0,3)\). Prosta o równaniu \(x=-2\) jest osią symetrii paraboli, będącej wykresem funkcji \(f\).

Drugim miejscem zerowym funkcji \(f\) jest liczba

Fragment wykresu funkcji kwadratowej na siatce współrzędnych, wraz z osiami, grotami i oznaczeniami.

\(-2\)

\(-3\)

\(-4\)

\(-6\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wykorzystanie osi symetrii

Oś symetrii paraboli leży w połowie odległości między miejscami zerowymi. Oznaczamy drugie miejsce zerowe przez \(x_2\).

\[\frac{2+x_2}{2}=-2\]

2 Obliczenie drugiego miejsca zerowego

Mnożymy równanie przez \(2\) i odejmujemy \(2\) od obu stron.

\[2+x_2=-4\quad\Longrightarrow\quad x_2=-6\]

Odpowiedź

Drugim miejscem zerowym jest \(-6\), czyli odpowiedź D.

\[x_2=-6\]

Sprawdzenie

Średnia miejsc zerowych \(2\) i \(-6\) wynosi \(-2\), więc ich oś symetrii zgadza się z podaną.

\[\frac{2+(-6)}{2}=-2\]

Zadanie 12

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Wartość funkcji \(f\) dla argumentu \((-4)\) jest równa

Układ współrzędnych z siatką, oznaczonymi osiami i fragmentem wykresu funkcji kwadratowej

\(-2\)

\(0\)

\(3\)

\(4\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie argumentu symetrycznego

Argumenty 0 i -4 leżą w jednakowej odległości od osi symetrii x=-2, więc funkcja ma dla nich tę samą wartość.

\[\frac{0+(-4)}{2}=-2,\qquad f(-4)=f(0)=3\]

Odpowiedź

Wartość funkcji wynosi 3. Odpowiedź C.

\[f(-4)=3\]

Sprawdzenie

Drugie miejsce zerowe to -6, symetryczne do 2 względem osi x=-2. Z warunku f(0)=3 otrzymujemy współczynnik -1/4; obliczenie ponownie daje f(-4)=3.

\[f(x)=a(x-2)(x+6),\quad 3=a(-2)\cdot6\Rightarrow a=-\frac14,\quad f(-4)=-\frac14(-6)\cdot2=3\]

Zadanie 7

Matura 2021 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=-2x+4\). Wykres funkcji \(f\) przesunięto wzdłuż osi \(Ox\) o \(2\) jednostki w lewo (tzn. przeciwnie do zwrotu osi), w wyniku czego otrzymano wykres funkcji \(g\). Funkcja \(g\) jest określona wzorem

\(g(x)=-2x+2\)

\(g(x)=-2x\)

\(g(x)=-2x+6\)

\(g(x)=-2x+8\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz przesunięcie

Przesunięcie wykresu o 2 jednostki w lewo oznacza zastąpienie argumentu x przez x+2.

\[g(x)=f(x+2)\]

2 Oblicz wzór funkcji g

Podstawiamy x+2 do wzoru funkcji f i redukujemy wyrazy podobne.

\[g(x)=-2(x+2)+4=-2x-4+4=-2x\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[g(x)=-2x\]

Sprawdzenie

Punkt (0,4) wykresu f po przesunięciu w lewo ma współrzędne (-2,4). Otrzymany wzór daje g(-2)=4.

\[f(0)=4,\qquad g(-2)=-2\cdot(-2)=4\]

Zadanie 8

Matura 2021 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=ax+4\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba \((-1)\). Wtedy

\(a=-4\)

\(a=1\)

\(a=4\)

\(a=5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie miejsca zerowego

Miejsce zerowe to argument, dla którego wartość funkcji wynosi zero. Podstawiamy więc \(-1\) do wzoru funkcji.

\[f(-1)=a\cdot(-1)+4=0\]

2 Obliczenie współczynnika

Rozwiązujemy otrzymane równanie względem \(a\).

\[-a+4=0\quad\Longrightarrow\quad a=4\]

Odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C, \(a=4\).

\[a=4\]

Sprawdzenie

Dla \(a=4\) wartość funkcji w punkcie \(-1\) wynosi zero.

\[f(-1)=4\cdot(-1)+4=0\]

Zadanie 10

Matura 2021 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=-2(x+3)(x-5)\). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji \(f\), ma współrzędną \(x\) równą

\((-3)\)

\((-1)\)

\(1\)

\(5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie miejsc zerowych

Iloczyn jest równy zeru, gdy jeden z jego czynników jest równy zeru.

\[-2(x+3)(x-5)=0\quad\Longrightarrow\quad x_1=-3,\;x_2=5\]

2 Wyznaczenie współrzędnej wierzchołka

Oś symetrii paraboli leży w połowie odległości między miejscami zerowymi, więc jej współrzędna jest współrzędną wierzchołka.

\[x_w=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{-3+5}{2}=1\]

Odpowiedź

Współrzędna x wierzchołka wynosi 1. Odpowiedź C.

\[x_w=1\quad(\mathrm{C})\]

Sprawdzenie

Liczba 1 leży pośrodku miejsc zerowych: od −3 i od 5 dzielą ją po 4 jednostki.

\[1-(-3)=5-1=4\]

Zadanie 11

Matura 2021 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=-x^2+4\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział

\(( -\infty,-2\rangle\)

\(\langle 2,+\infty)\)

\(\langle -4,+\infty)\)

\(( -\infty,4\rangle\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie największej wartości

Kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc wartość funkcji nie przekracza 4. Dla x=0 funkcja przyjmuje wartość 4.

\[x^2\ge 0\;\Rightarrow\;f(x)=4-x^2\le 4,\qquad f(0)=4\]

2 Wyznaczenie zbioru wartości

Każdą liczbę mniejszą od 4 funkcja również przyjmuje: dla takiej liczby y możemy wybrać rzeczywiste x.

\[y<4\;\Rightarrow\;x=\sqrt{4-y},\qquad f(x)=4-(4-y)=y\]

Odpowiedź

Zbiorem wartości jest przedział od minus nieskończoności do 4 włącznie. Odpowiedź D.

\[(-\infty,4]\]

Sprawdzenie

Wartość 4 należy do zbioru, bo f(0)=4. Wartość większa od 4 jest niemożliwa, bo x² jest nieujemne; każda mniejsza została uzyskana w drugim kroku.

\[f(0)=4,\qquad \forall x\in\mathbb{R}\quad f(x)\le 4\]

Zadanie 12

Matura 2021 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej \(f\).

Jeden spośród podanych poniżej wzorów jest wzorem tej funkcji. Wskaż wzór funkcji \(f\).

Układ współrzędnych z osiami x i y, oznaczeniami 0 i 1 oraz fragmentem paraboli skierowanej ramionami w dół.

\(f(x)=x^2-6x+11\)

\(f(x)=-x^2+x+2\)

\(f(x)=x^2-6x-7\)

\(f(x)=-x^2+6x-7\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustal znak współczynnika

Ramiona paraboli są skierowane w dół, więc współczynnik przy \(x^2\) jest ujemny. Pozostają odpowiedzi B i D.

\[a<0\]

2 Porównaj przecięcie z osią \(y\)

Wykres przecina oś \(y\) poniżej zera, zatem \(f(0)<0\). Spośród pozostałych wzorów spełnia to tylko D.

\[f_B(0)=2>0,\qquad f_D(0)=-7<0\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[f(x)=-x^2+6x-7\]

Sprawdzenie

Dla wskazanego wzoru wierzchołek ma współrzędne \((3,2)\), więc leży nad osią \(x\), tak jak na rysunku.

\[-x^2+6x-7=-(x-3)^2+2\]

Zadanie 8

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Punkt \(P=(-3,7)\) leży na wykresie funkcji liniowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=(2m-1)x+5\). Zatem

\(m=\frac{1}{6}\)

\(m=-\frac{1}{6}\)

\(m=\frac{5}{6}\)

\(m=-\frac{5}{6}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie współrzędnych punktu

Ponieważ punkt P leży na wykresie, dla x=-3 wartość funkcji wynosi 7.

\[7=(2m-1)(-3)+5\]

2 Obliczenie parametru

Rozwijamy nawias i rozwiązujemy równanie względem m.

\[7=-6m+8\quad\Rightarrow\quad -1=-6m\quad\Rightarrow\quad m=\frac{1}{6}\]

Odpowiedź

m=1/6, odpowiedź A.

\[m=\frac{1}{6}\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanej wartości m funkcja przyjmuje w punkcie x=-3 wartość 7, więc P leży na jej wykresie.

\[f(-3)=\left(2\cdot\frac{1}{6}-1\right)(-3)+5=\left(-\frac{2}{3}\right)(-3)+5=7\]

Zadanie 9

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Wykresem funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=-x^2+6x+4\) jest parabola o wierzchołku w punkcie \((3,q)\). Liczba \(q\) jest równa

\(4\)

\(7\)

\(9\)

\(13\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie współrzędnej wierzchołka

Wierzchołek leży na wykresie funkcji, więc jego druga współrzędna jest równa wartości funkcji dla \(x=3\).

\[q=f(3)=-(3)^2+6\cdot3+4=-9+18+4=13\]

Odpowiedź

Liczba \(q\) wynosi 13. Odpowiedź D.

\[q=13\]

Sprawdzenie

Po zapisaniu funkcji w postaci kanonicznej widać, że wierzchołek ma współrzędne \((3,13)\).

\[f(x)=-(x-3)^2+13\]

Zadanie 10

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja \(f\) każdej liczbie naturalnej \(n\geq 1\) przyporządkowuje resztę z dzielenia tej liczby przez \(4\). Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest

\(\{0,1,2,3\}\)

\(\{1,2,3,4\}\)

\(\{0,1,2,3,4\}\)

\(\{0,2\}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Możliwe reszty

Reszta z dzielenia przez 4 jest nieujemna i mniejsza od 4, więc może wynosić tylko 0, 1, 2 lub 3.

\[n=4q+r,\quad 0\leq r<4\]

2 Występowanie reszt

Liczby 1, 2, 3 i 4 należą do dziedziny i dają wszystkie cztery możliwe reszty.

\[f(1)=1,\quad f(2)=2,\quad f(3)=3,\quad f(4)=0\]

Odpowiedź

Zbiorem wartości jest {0, 1, 2, 3}. Odpowiedź A.

\[\{0,1,2,3\}\]

Sprawdzenie

Każda wskazana reszta występuje, a reszta 4 nie jest możliwa, ponieważ musi być mniejsza od dzielnika 4.

\[0\leq r<4\]

Zadanie 11

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na rysunku poniżej przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=ax^2+bx+c\).

Stąd wynika, że

Fragment wykresu paraboli skierowanej ramionami w dół, stycznej do dodatniej półosi x, z osiami i oznaczeniami x, y oraz 0.

\(\begin{cases}a<0\\b<0\end{cases}\)

\(\begin{cases}a<0\\b>0\end{cases}\)

\(\begin{cases}a>0\\b<0\end{cases}\)

\(\begin{cases}a>0\\b>0\end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Znak współczynnika a

Ramiona paraboli są skierowane w dół, więc współczynnik przy kwadracie jest ujemny.

\[a<0\]

2 Znak współczynnika b

Wierzchołek leży na dodatniej półosi x. Ponieważ jego pierwsza współrzędna wynosi \(-\frac{b}{2a}\), a \(2a<0\), musi zachodzić \(b>0\).

\[-\frac{b}{2a}>0,\quad a<0\quad\Longrightarrow\quad b>0\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[a<0,\quad b>0\]

Sprawdzenie

Dla a<0 i b>0 iloraz \(-\frac{b}{2a}\) jest dodatni, więc wierzchołek leży po prawej stronie osi y, zgodnie z rysunkiem.

\[-\frac{b}{2a}>0\]

Zadanie 7

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcje liniowe \(f\) i \(g\) określone wzorami \(f(x)=-4x+12\) i \(g(x)=-2x+k+3\) mają wspólne miejsce zerowe. Stąd wynika, że

\(k=-6\)

\(k=-3\)

\(k=3\)

\(k=6\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wspólnego miejsca zerowego

Wspólne miejsce zerowe musi być miejscem zerowym funkcji f, więc rozwiązujemy równanie f(x)=0.

\[-4x+12=0\quad\Rightarrow\quad x=3\]

2 Obliczenie k

Ponieważ także g(3)=0, podstawiamy x=3 do wzoru funkcji g.

\[-2\cdot3+k+3=0\quad\Rightarrow\quad k-3=0\quad\Rightarrow\quad k=3\]

Odpowiedź

k=3, odpowiedź C.

\[k=3\]

Sprawdzenie

Dla x=3 i k=3 obie funkcje mają wartość zero.

\[f(3)=-4\cdot3+12=0,\qquad g(3)=-2\cdot3+3+3=0\]

Zadanie 8

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Zbiorem wartości funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=-(x+9)^2+m\) jest przedział \(( -\infty, -5\rangle\). Wtedy

\(m=5\)

\(m=-5\)

\(m=-9\)

\(m=9\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie maksimum

Kwadrat jest nieujemny, więc jego przeciwność jest niedodatnia. Największa wartość funkcji występuje dla \(x=-9\) i wynosi \(m\).

\[(x+9)^2\geq 0\quad\Rightarrow\quad f(x)=-(x+9)^2+m\leq m\]

2 Porównanie ze zbiorem wartości

Największą wartością w podanym przedziale jest \(-5\), zatem \(m=-5\).

\[(-\infty,m]=(-\infty,-5]\quad\Rightarrow\quad m=-5\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: \(m=-5\).

\[m=-5\]

Sprawdzenie

Dla \(x=-9\) funkcja przyjmuje wartość \(-5\), a dla każdego \(x\) jest nie większa od \(-5\).

\[f(-9)=-5,\qquad f(x)=-(x+9)^2-5\leq-5\]

Zadanie 9

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Osią symetrii wykresu funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=\frac{1}{3}x^2+4x+7\) jest prosta o równaniu

\(x=-6\)

\(y=-6\)

\(x=-2\)

\(y=-2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie współrzędnej wierzchołka

Oś symetrii paraboli ma równanie \(x=-\frac{b}{2a}\). Dla danej funkcji \(a=\frac13\) i \(b=4\).

\[x=-\frac{4}{2\cdot\frac13}=-6\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: \(x=-6\).

\[x=-6\]

Sprawdzenie

Po zapisaniu funkcji w postaci kanonicznej widać, że oś symetrii przechodzi przez \(x=-6\).

\[f(x)=\frac13(x+6)^2-5\]