Zbiór zadań maturalnych

Funkcje — zadania maturalne

Funkcje: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

159 zadańStrona 7 z 11

Sortuj:

Zadanie 13

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

W układzie współrzędnych $(x,y)$ narysowano wykres funkcji $y=f(x)$ (zobacz rysunek).

Funkcja $g$ jest określona za pomocą funkcji $f$ następująco: $g(x)=f(-x)$ dla każdego $x\in\langle -7,-5\rangle\cup\langle -4,4\rangle\cup\langle 5,7\rangle$. Na jednym z rysunków A–D przedstawiono, w układzie współrzędnych $(x,y)$, wykres funkcji $y=g(x)$. Wykres funkcji $y=g(x)$ przedstawiono na rysunku

Wykres funkcji y=f(x) w układzie współrzędnych

Wariant A: wykres w układzie współrzędnych

Wariant B: wykres w układzie współrzędnych

Wariant C: wykres w układzie współrzędnych

Wariant D: wykres w układzie współrzędnych

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odbicie wykresu

W równości $g(x)=f(-x)$ każdemu punktowi $(x,y)$ wykresu funkcji $f$ odpowiada punkt $(-x,y)$ wykresu funkcji $g$. Odbijamy więc wykres względem osi $Oy$.

\[(x,f(x))\longmapsto(-x,f(x))\]

2 Porównanie charakterystycznych fragmentów

Rosnący odcinek po prawej stronie wykresu $f$ staje się malejącym odcinkiem po lewej stronie. Po odbiciu punktów środkowej części otrzymujemy odcinek od $(-4,-1)$ do $(1,4)$, a następnie poziomy odcinek do $(4,4)$. Prawy skrajny fragment jest poziomy na wysokości $4$. Taki wykres jest na rysunku B.

\[(5,1)\mapsto(-5,1),\quad(7,6)\mapsto(-7,6),\quad(4,-1)\mapsto(-4,-1),\quad(-1,4)\mapsto(1,4)\]

Odpowiedź

Rysunek B.

\[\boxed{B}\]

Sprawdzenie

Na rysunku B odcinek od $(-7,6)$ do $(-5,1)$ jest odbiciem odcinka od $(5,1)$ do $(7,6)$, a poziomy fragment od $(5,4)$ do $(7,4)$ odpowiada fragmentowi od $(-7,4)$ do $(-5,4)$. Zgadza się też dziedzina podana w zadaniu.

\[[-7,-5]\cup[-4,4]\cup[5,7]\]

Zadanie 14

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja kwadratowa $f$, określona wzorem $f(x)=-(x-1)(x-5)$, przyjmuje wartość

najmniejszą równą $3$.

najmniejszą równą $4$.

największą równą $3$.

największą równą $4$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Postać kanoniczna

Przekształcamy wzór, aby odczytać największą wartość funkcji.

\[f(x)=-(x-1)(x-5)=-x^2+6x-5=4-(x-3)^2\]

2 Największa wartość

Kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc funkcja osiąga wartość 4, gdy x=3.

\[(x-3)^2\geq 0\quad\Longrightarrow\quad f(x)=4-(x-3)^2\leq 4\]

Odpowiedź

D — funkcja przyjmuje wartość największą równą 4.

\[\max_{x\in\mathbb{R}}f(x)=4\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu x=3 do wzoru z treści otrzymujemy 4, więc wskazana wartość jest osiągana.

\[f(3)=-(3-1)(3-5)=-(2)(-2)=4\]

Zadanie 7

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Informacja do zadań 7. i 8. Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f(x)=2x^{2}+5x$.

Osią symetrii wykresu funkcji $f$ jest prosta o równaniu

$Fragment wykresu funkcji kwadratowej $y=f(x)$ w układzie współrzędnych.$

$x=-\frac{5}{4}$

$x=\frac{5}{4}$

$y=-\frac{5}{4}$

$y=-\frac{25}{16}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie osi symetrii

Dla funkcji kwadratowej oś symetrii przechodzi przez wierzchołek i ma równanie $x=-\frac{b}{2a}$. Tutaj $a=2$ i $b=5$.

\[x=-\frac{b}{2a}=-\frac{5}{2\cdot 2}=-\frac{5}{4}\]

Odpowiedź

Osią symetrii jest prosta $x=-\frac{5}{4}$. Odpowiedź A.

\[x=-\frac{5}{4}\]

Sprawdzenie

Miejsca zerowe to $0$ i $-\frac{5}{2}$. Oś symetrii leży dokładnie w połowie między nimi.

\[\frac{0+\left(-\frac{5}{2}\right)}{2}=-\frac{5}{4}\]

Zadanie 8

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f(x)=2x^{2}+5x$.

Funkcja kwadratowa $g$ jest określona wzorem $g(x)=2x^{2}-5x$. Wykres funkcji $g$ jest

Fragment wykresu funkcji kwadratowej f w układzie współrzędnych.

symetryczny do wykresu funkcji $f$ względem osi $Ox$.

symetryczny do wykresu funkcji $f$ względem osi $Oy$.

symetryczny do wykresu funkcji $f$ względem początku układu współrzędnych.

przesunięty względem wykresu funkcji $f$ o $10$ jednostek w kierunku przeciwnym do zwrotu osi $Ox$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie przeciwnej liczby

Aby sprawdzić symetrię względem osi $Oy$, obliczamy wartość $f$ dla argumentu $-x$.

\[f(-x)=2(-x)^2+5(-x)=2x^2-5x=g(x)\]

2 Rozpoznanie przekształcenia

Równość $g(x)=f(-x)$ oznacza, że punktowi $(x,f(x))$ odpowiada punkt $(-x,f(x))$, czyli jego odbicie względem osi $Oy$.

\[g(x)=f(-x)\]

Odpowiedź

B. Wykres funkcji g jest symetryczny do wykresu funkcji f względem osi Oy.

\[\boxed{\mathrm{B}}\]

Sprawdzenie

Miejsce zerowe funkcji f równe −5/2 po odbiciu względem osi Oy przechodzi w 5/2, które jest miejscem zerowym funkcji g.

\[f\!\left(-\frac52\right)=0,\qquad g\!\left(\frac52\right)=2\cdot\frac{25}{4}-5\cdot\frac52=0\]

Zadanie 10

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\frac{4}{x}-4$ dla każdej liczby rzeczywistej $x\neq 0$. Liczba $f(2)-f(-2)$ jest równa

$-8$

$-4$

$4$

$0$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie wartości funkcji

Liczby 2 i −2 należą do dziedziny, więc podstawiamy je do wzoru funkcji.

\[f(2)=\frac{4}{2}-4=-2,\qquad f(-2)=\frac{4}{-2}-4=-6\]

2 Obliczenie różnicy

Odejmujemy otrzymane wartości, pamiętając o znaku liczby ujemnej.

\[f(2)-f(-2)=-2-(-6)=4\]

Odpowiedź

Wynik to 4, odpowiedź C.

\[f(2)-f(-2)=4\]

Sprawdzenie

Kontrola: składniki −4 we wzorze funkcji znoszą się przy odejmowaniu, a 2 i −2 spełniają warunek dziedziny.

\[\left(\frac{4}{2}-4\right)-\left(\frac{4}{-2}-4\right)=2-(-2)=4\]

Zadanie 11

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Punkt $M=(3,-2)$ należy do wykresu funkcji liniowej $f$ określonej wzorem $f(x)=5x+b-4$. Wynika stąd, że $b$ jest równe

$-17$

$-13$

$13$

$17$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie współrzędnych punktu

Punkt należy do wykresu, więc dla $x=3$ wartość funkcji wynosi $-2$.

\[-2=5\cdot 3+b-4=11+b\]

2 Obliczenie parametru

Odejmujemy 11 od obu stron równania.

\[b=-2-11=-13\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: $b=-13$.

\[b=-13\]

Sprawdzenie

Dla $b=-13$ otrzymujemy $f(3)=-2$, więc punkt $M$ należy do wykresu.

\[f(3)=5\cdot3-13-4=-2\]

Zadanie 12

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja kwadratowa $f$ określona wzorem $f(x)=-2(x-1)^{2}+3$ jest rosnąca w przedziale

$( -\infty,1\rangle$

$\langle-2,+\infty)$

$( -\infty,3\rangle$

$\langle1,+\infty)$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wierzchołka

Wzór jest w postaci kanonicznej, więc wierzchołek ma pierwszą współrzędną równą 1. Ujemny współczynnik przy kwadracie oznacza, że funkcja rośnie do wierzchołka.

\[f(x)=-2(x-1)^2+3,\qquad x_w=1\]

2 Wyznaczenie przedziału

Dla liczb $x_1<x_2\leq 1$ różnica wartości funkcji jest dodatnia, co potwierdza wzrost na całym przedziale.

\[f(x_2)-f(x_1)=-2(x_2-x_1)(x_1+x_2-2)>0\]

Odpowiedź

Funkcja jest rosnąca w przedziale $( -\infty,1\rangle$. Odpowiedź A.

\[(-\infty,1\rangle\]

Sprawdzenie

Dla $1\leq x_1<x_2$ oba czynniki $x_2-x_1$ i $x_1+x_2-2$ są dodatnie, więc $f(x_2)-f(x_1)<0$. Funkcja na prawo od 1 maleje, zatem wskazany przedział kończy się we właściwym miejscu.

\[1\leq x_1<x_2\implies -2(x_2-x_1)(x_1+x_2-2)<0\]

Zadanie 13

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na rysunku jest przedstawiony fragment wykresu funkcji $y=f(x)$.

W przedziale $(-4,6)$ równanie $f(x)=-1$

$Fragment wykresu funkcji $y=f(x)$ w układzie współrzędnych.$

nie ma rozwiązań.

ma dokładnie jedno rozwiązanie.

ma dokładnie dwa rozwiązania.

ma dokładnie trzy rozwiązania.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Lewa część wykresu

Od wierzchołka przy x=-4 do punktu przy x=-3 wykres rośnie od wartości -2 do 4, więc przecina prostą y=-1 dokładnie raz w przedziale (-4,-3).

\[-2<-1<4\]

2 Prawa część wykresu

Prosta przechodzi przez punkty (0,2) i (3,0). Wyznaczamy jej równanie i rozwiązujemy je dla wartości -1.

\[f(x)=2-\frac{2}{3}x,\qquad 2-\frac{2}{3}x=-1\iff x=\frac{9}{2}\in(-3,6)\]

Odpowiedź

Równanie ma dokładnie dwa rozwiązania. Odpowiedź C.

\[\boxed{\text{C — dokładnie dwa rozwiązania}}\]

Sprawdzenie

W przedziale (-4,-3) jest jedno przecięcie, a na odcinku prostym drugie: dla x=9/2 wartość funkcji wynosi -1. Oba argumenty należą do przedziału (-4,6).

\[2-\frac{2}{3}\cdot\frac{9}{2}=-1\]

Zadanie 31

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Funkcje

Funkcja kwadratowa $f$ ma dokładnie jedno miejsce zerowe równe $2$. Ponadto $f(0)=8$. Wyznacz wzór funkcji $f$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz postać funkcji

Dokładnie jedno miejsce zerowe funkcji kwadratowej jest pierwiastkiem podwójnym, więc funkcja ma postać iloczynową z czynnikiem podniesionym do kwadratu.

\[f(x)=a(x-2)^2,\quad a\ne 0\]

2 Wyznacz współczynnik

Podstawiamy x=0 i korzystamy z podanej wartości f(0)=8.

\[8=a(0-2)^2=4a,\quad a=2\]

Odpowiedź

Wzór funkcji to $f(x)=2(x-2)^2=2x^2-8x+8$.

\[f(x)=2(x-2)^2=2x^2-8x+8\]

Sprawdzenie

Dla $x=0$ otrzymujemy $f(0)=8$. Ponieważ $2(x-2)^2=0$ dokładnie wtedy, gdy $x=2$, funkcja ma dokładnie jedno miejsce zerowe.

\[f(0)=2(0-2)^2=8,\qquad f(x)=0\iff (x-2)^2=0\iff x=2\]

Zadanie 8

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Punkt $A=(1,2)$ należy do wykresu funkcji $f$, określonej wzorem $f(x)=(m^{2}-3)x^{3}-m^{2}+m+1$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Wtedy

$m=-4$

$m=-2$

$m=0$

$m=4$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie współrzędnych punktu

Ponieważ punkt $A=(1,2)$ należy do wykresu, mamy $f(1)=2$.

\[(m^{2}-3)\cdot1^{3}-m^{2}+m+1=2\]

2 Uproszczenie równania

Wyrazy z $m^{2}$ się redukują, więc możemy obliczyć $m$.

\[m-2=2\quad\Rightarrow\quad m=4\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: $m=4$.

\[m=4\]

Sprawdzenie

Dla $m=4$ wartość funkcji w punkcie $x=1$ wynosi $2$, więc punkt $A$ należy do wykresu.

\[f(1)=(16-3)-16+4+1=2\]

Zadanie 9

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja liniowa $f$ określona wzorem $f(x)=(2m-5)x+22$ jest rosnąca dla

$m>\frac{2}{5}$

$m>2{,}5$

$m>0$

$m>2$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek wzrostu

Funkcja liniowa jest rosnąca wtedy i tylko wtedy, gdy jej współczynnik kierunkowy jest dodatni.

\[2m-5>0\]

2 Rozwiązanie nierówności

Dodajemy 5 do obu stron i dzielimy przez dodatnią liczbę 2.

\[2m>5\quad\Longrightarrow\quad m>\frac{5}{2}=2{,}5\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: m > 2,5.

\[m>2{,}5\]

Sprawdzenie

Dla m = 2,5 współczynnik kierunkowy wynosi 0, więc funkcja jest stała. Dla m > 2,5 jest dodatni, zatem funkcja jest rosnąca.

\[m>2{,}5\ \Longrightarrow\ 2m-5>0\]

Zadanie 10

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja kwadratowa $f$ określona wzorem $f(x)=x^{2}+bx+c$ osiąga dla $x=2$ wartość najmniejszą równą $4$. Wtedy

$b=-4,\ c=8$

$b=4,\ c=-8$

$b=-4,\ c=-8$

$b=4,\ c=8$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie współczynnika b

Funkcja osiąga minimum w wierzchołku, którego pierwsza współrzędna wynosi $-\frac{b}{2}$.

\[-\frac{b}{2}=2\quad\Rightarrow\quad b=-4\]

2 Wyznaczenie współczynnika c

Najmniejsza wartość funkcji wynosi $f(2)=4$, więc podstawiamy $x=2$.

\[2^2+(-4)\cdot2+c=4\quad\Rightarrow\quad c=8\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: $b=-4$, $c=8$.

\[b=-4,\quad c=8\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu otrzymujemy $f(x)=(x-2)^2+4$. Kwadrat jest nieujemny, więc najmniejsza wartość to $4$, osiągana dla $x=2$.

\[f(x)=x^2-4x+8=(x-2)^2+4\geqslant4\]

Zadanie 11

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Dana jest funkcja kwadratowa $f$ określona wzorem $f(x)=-2(x-2)(x+1)$. Funkcja $f$ jest rosnąca w zbiorze

$(-\infty,\frac{1}{2}\rangle$

$(-1,2)$

$(0,\frac{5}{2})$

$\langle\frac{5}{2},+\infty)$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wierzchołka

Sprowadzamy wzór do postaci kanonicznej, aby odczytać, gdzie funkcja zmienia monotoniczność.

\[f(x)=-2x^2+2x+4=-2\left(x-\frac12\right)^2+\frac92\]

2 Ustalenie przedziału wzrostu

Współczynnik przy kwadracie jest ujemny, więc parabola jest skierowana ramionami w dół. Funkcja rośnie do wierzchołka o pierwszej współrzędnej równej $\frac12$.

\[x\in\left(-\infty,\frac12\right\rangle\]

Odpowiedź

Funkcja jest rosnąca w zbiorze podanym w odpowiedzi A.

\[A:\ \left(-\infty,\frac12\right\rangle\]

Sprawdzenie

Dla $x_1<x_2\leq\frac12$ mamy $1-x_1-x_2>0$, zatem $f(x_2)>f(x_1)$, co potwierdza wzrost na wskazanym zbiorze.

\[f(x_2)-f(x_1)=2(x_2-x_1)(1-x_1-x_2)>0\]

Zadanie 12

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$ określonej na zbiorze $\langle-2,5)$.

Funkcja $g$ jest określona za pomocą funkcji $f$ następująco: $g(x)=f(x-1)$. Wykres funkcji $g$ można otrzymać poprzez odpowiednie przesunięcie wykresu funkcji $f$. Dziedziną funkcji $g$ jest zbiór

Wykres funkcji f w układzie współrzędnych

$\langle0,2)$

$\langle-1,6)$

$\langle-3,4)$

$\langle1,3)$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek na argument funkcji

Funkcja g(x) jest określona wtedy, gdy argument x−1 należy do dziedziny funkcji f.

\[-2\le x-1<5\]

2 Wyznaczenie dziedziny

Dodajemy 1 do każdej części nierówności.

\[-2+1\le x-1+1<5+1\quad\Longrightarrow\quad -1\le x<6\]

Odpowiedź

Dziedziną funkcji g jest przedział ⟨−1,6), czyli odpowiedź B.

\[D_g=\langle-1,6)\]

Sprawdzenie

Dla x=−1 argument x−1 wynosi −2 i należy do dziedziny f. Dla x=6 argument wynosi 5 i nie należy do dziedziny f, więc lewy koniec jest włączony, a prawy wyłączony.

\[g(-1)=f(-2)\text{ jest określona},\qquad g(6)=f(5)\text{ nie jest określona}\]

Zadanie 9

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$ określonej w zbiorze $(-1,7)$.

Wskaż zdanie prawdziwe.

Wykres funkcji f w układzie współrzędnych, z siatką, osiami, grotami i oznaczeniami.

Funkcja $f$ ma trzy miejsca zerowe.

Zbiorem wartości funkcji $f$ jest $\langle -1,1)$.

Funkcja $f$ osiąga wartość największą równą $1$.

Funkcja $f$ osiąga wartości ujemne dla argumentów ze zbioru $(-1,0)$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczyt największej wartości

Poziomy odcinek wykresu od x=5 do x=6 ma wysokość 1. Żaden punkt wykresu nie leży wyżej, więc funkcja osiąga wartość największą równą 1.

\[f(5)=f(6)=1=\max_{x\in(-1,7)}f(x)\]

2 Sprawdzenie pozostałych zdań

Wykres przecina oś x w dwóch punktach. Osiąga także wartość −1, więc jego zbiorem wartości jest przedział domknięty. Dla argumentów od −1 do 0 wykres leży nad osią x.

\[f(x)=0\iff x\in\left\{1,\frac92\right\},\qquad W_f=[-1,1],\qquad f(x)>0\text{ dla }x\in(-1,0)\]

Odpowiedź

Prawdziwe jest zdanie C: funkcja osiąga wartość największą równą 1.

\[\boxed{\mathrm{C}}\]

Sprawdzenie

Wartość 1 jest przyjmowana na całym odcinku od x=5 do x=6, a pozostała część wykresu nie przekracza tej wysokości.

\[f(x)=1\text{ dla }x\in[5,6],\qquad f(x)\leq 1\text{ dla }x\in(-1,7)\]