Zbiór zadań maturalnych

Funkcje — zadania maturalne

Funkcje: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

159 zadańStrona 5 z 11

Sortuj:

Zadanie 11

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$.

Zbiorem wartości tej funkcji jest

Wykres funkcji y=f(x) w układzie współrzędnych: punkt pełny (-6,3), punkt pusty (-6,4), odcinek poziomy od (-6,4) do (-1,4), odcinek malejący do (1,1) oraz odcinek poziomy do punktu pełnego (6,1).

$(-6,6\rangle$

$\langle1,4)$

$\langle1,4\rangle$

$\langle-6,6\rangle$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczytanie wartości skrajnych

Najniższa wartość na wykresie to 1, a najwyższa to 4. Obie są przyjmowane przez funkcję.

\[f(1)=1,\qquad f(-1)=4\]

2 Wyznaczenie zbioru wartości

Malejący odcinek wykresu przyjmuje każdą wartość między 4 a 1, więc do zbioru należą także wszystkie wartości pośrednie.

\[W_f=\langle 1,4\rangle\]

Odpowiedź

Zbiór wartości funkcji to ⟨1,4⟩. Odpowiedź C.

\[W_f=\langle 1,4\rangle\]

Sprawdzenie

Wartości 1 i 4 są osiągane, a żaden punkt wykresu nie leży poniżej 1 ani powyżej 4.

\[1\leq f(x)\leq 4\]

Zadanie 12

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=(-2k+3)x+k-1$, gdzie $k\in\mathbb{R}$. Funkcja $f$ jest malejąca dla każdej liczby $k$ należącej do przedziału

$(-\infty,1)$

$(-\infty,-\frac{3}{2})$

$(1,+\infty)$

$(\frac{3}{2},+\infty)$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek malejącości

Funkcja liniowa jest malejąca, gdy współczynnik przy $x$ jest ujemny.

\[-2k+3<0\]

2 Rozwiązanie nierówności

Odejmujemy $3$, a następnie dzielimy przez $-2$, zmieniając zwrot nierówności.

\[-2k<-3\quad\Longrightarrow\quad k>\frac{3}{2}\]

Odpowiedź

Funkcja jest malejąca dla $k\in(\frac{3}{2},+\infty)$. Odpowiedź D.

\[k\in\left(\frac{3}{2},+\infty\right)\]

Sprawdzenie

Dla $k=\frac{3}{2}$ współczynnik przy $x$ wynosi $0$, więc funkcja jest stała. Dla każdego większego $k$ jest ujemny, zgodnie z otrzymanym przedziałem.

\[-2\cdot\frac{3}{2}+3=0\]

Zadanie 13

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcje liniowe $f$ oraz $g$, określone wzorami $f(x)=3x+6$ oraz $g(x)=ax+7$, mają to samo miejsce zerowe. Współczynnik $a$ we wzorze funkcji $g$ jest równy

$-\frac{7}{2}$

$-\frac{2}{7}$

$\frac{2}{7}$

$\frac{7}{2}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wspólnego miejsca zerowego

Ponieważ funkcje mają to samo miejsce zerowe, najpierw rozwiązujemy równanie $f(x)=0$.

\[3x+6=0\quad\Rightarrow\quad x=-2\]

2 Obliczenie współczynnika

W miejscu zerowym $x=-2$ także funkcja $g$ przyjmuje wartość zero.

\[g(-2)=-2a+7=0\quad\Rightarrow\quad a=\frac{7}{2}\]

Odpowiedź

Współczynnik $a$ jest równy $\frac{7}{2}$. Odpowiedź D.

\[a=\frac{7}{2}\]

Sprawdzenie

Dla $a=\frac{7}{2}$ obie funkcje przyjmują wartość zero przy $x=-2$, więc mają wspólne miejsce zerowe.

\[f(-2)=3\cdot(-2)+6=0,\qquad g(-2)=\frac{7}{2}\cdot(-2)+7=0\]

Zadanie 14

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na rysunku przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f$ (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem

$Wykres funkcji $y=f(x)$ w układzie współrzędnych.$

$f(x)=-(x+1)^2-9$

$f(x)=-(x-1)^2+9$

$f(x)=-(x-1)^2-9$

$f(x)=-(x+1)^2+9$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczytanie wierzchołka

Z wykresu odczytujemy wierzchołek $(1,9)$. Dlatego zapisujemy funkcję w postaci kanonicznej.

\[f(x)=a(x-1)^2+9\]

2 Wyznaczenie współczynnika

Parabola przecina oś $y$ w punkcie $(0,8)$. Podstawiamy te współrzędne, aby obliczyć $a$.

\[8=a(0-1)^2+9\quad\Rightarrow\quad a=-1\]

Odpowiedź

Pasuje odpowiedź B.

\[f(x)=-(x-1)^2+9\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanego wzoru miejsca zerowe wynoszą $-2$ i $4$, zgodnie z wykresem. Ponadto $f(0)=8$.

\[-(x-1)^2+9=0\quad\Rightarrow\quad (x-1)^2=9\quad\Rightarrow\quad x=-2\ \text{lub}\ x=4\]

Zadanie 15

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Dla funkcji $f$ prawdziwa jest równość

$Układ współrzędnych z fragmentem paraboli skierowanej ramionami w dół, oznaczonej $y=f(x)$.$

$f(-4)=f(6)$

$f(-4)=f(4)$

$f(-4)=f(5)$

$f(-4)=f(7)$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczytanie osi symetrii

Wierzchołek paraboli ma współrzędną x równą 1, więc oś symetrii ma równanie x=1.

\[x=1\]

2 Wyznaczenie punktu symetrycznego

Argumenty o tej samej wartości funkcji leżą w jednakowej odległości od osi symetrii. Argument symetryczny do −4 to 6.

\[1-(-4)=5,\qquad 1+5=6,\qquad f(-4)=f(6)\]

Odpowiedź

Prawidłowa odpowiedź: A.

\[f(-4)=f(6)\]

Sprawdzenie

Miejsca zerowe odczytane z wykresu to −2 i 4, więc ich środek wynosi 1. Zgadza się to z osią symetrii i wyznaczoną parą argumentów.

\[\frac{-2+4}{2}=1,\qquad \frac{-4+6}{2}=1\]

Zadanie 32

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Funkcje

Osią symetrii wykresu funkcji kwadratowej $f(x)=x^{2}+bx+c$ jest prosta o równaniu $x=-2$. Jednym z miejsc zerowych funkcji $f$ jest liczba $1$.

Oblicz współczynniki $b$ oraz $c$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie współczynnika b

Oś symetrii funkcji kwadratowej o współczynniku przy $x^2$ równym 1 ma równanie $x=-\frac{b}{2}$. Podstawiamy podaną oś.

\[-\frac{b}{2}=-2\quad\Longrightarrow\quad b=4\]

2 Wyznaczenie współczynnika c

Ponieważ 1 jest miejscem zerowym, mamy $f(1)=0$.

\[1^2+4\cdot1+c=0\quad\Longrightarrow\quad c=-5\]

Odpowiedź

Współczynniki wynoszą $b=4$ oraz $c=-5$.

\[b=4,\quad c=-5\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanej funkcji $f(1)=0$, a jej oś symetrii ma równanie $x=-2$. Oba warunki zadania są spełnione.

\[f(1)=1+4-5=0,\qquad x=-\frac{4}{2}=-2\]

Zadanie 7

Matura 2023 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$.

Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór

Wykres funkcji f w układzie współrzędnych

$(-3,-1)\cup(1,3)$

$(-3,3)$

$(-5,-1)\cup(1,5)$

$(-5,5)$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczyt pierwszego przedziału

Lewa część wykresu istnieje dla argumentów od −5 do −1. Puste kółka oznaczają, że końce nie należą do dziedziny.

\[x\in(-5,-1)\]

2 Odczyt drugiego przedziału

Prawa część wykresu istnieje dla argumentów od 1 do 5, również bez końców. Łączymy oba przedziały.

\[D_f=(-5,-1)\cup(1,5)\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[D_f=(-5,-1)\cup(1,5)\]

Sprawdzenie

Dla x = −3 i x = 3 na wykresie są punkty, a dla x = −5, −1, 1 i 5 widnieją puste kółka. Potwierdza to odczytaną dziedzinę.

\[-3,3\in D_f,\qquad -5,-1,1,5\notin D_f\]

Zadanie 8

Matura 2023 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$.

Zbiorem wartości funkcji $f$ jest zbiór

Wykres funkcji f z dwiema częściami, osiami i oznaczeniami współrzędnych

$(-3,-1)\cup(1,3)$

$\langle-3,-1\rangle\cup\langle1,3\rangle$

$(-5,-1)\cup(1,5)$

$\langle-5,-1\rangle\cup\langle1,5\rangle$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczyt wartości ujemnych

Lewy fragment wykresu przyjmuje wszystkie wartości od −3 do −1. Oba końce należą do zbioru wartości, ponieważ występują na poziomych odcinkach wykresu.

\[y\in[-3,-1]\]

2 Odczyt wartości dodatnich

Prawy fragment przyjmuje wszystkie wartości od 1 do 3. Wartości 1 i 3 również występują na poziomych odcinkach.

\[y\in[1,3]\]

Odpowiedź

Zbiór wartości funkcji to suma tych przedziałów. Odpowiedź B.

\[W_f=[-3,-1]\cup[1,3]\]

Sprawdzenie

Wykres ma punkty o wartościach −3, −1, 1 i 3 oraz przyjmuje wszystkie wartości pomiędzy końcami każdego z dwóch przedziałów. Nie przyjmuje wartości między −1 a 1.

\[-3,-1,1,3\in W_f,\qquad(-1,1)\cap W_f=\varnothing\]

Zadanie 9

Matura 2023 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\frac{x^2+4}{x-2}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x\neq 2$. Wartość funkcji $f$ dla argumentu $4$ jest równa

$6$

$2$

$10$

$8$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Sprawdzenie dziedziny

Argument 4 jest dopuszczalny, ponieważ mianownik nie jest zerem.

\[4-2=2\neq 0\]

2 Obliczenie wartości

Podstawiamy 4 za x i wykonujemy działania.

\[f(4)=\frac{4^2+4}{4-2}=\frac{20}{2}=10\]

Odpowiedź

Wartość funkcji wynosi 10. Odpowiedź C.

\[f(4)=10\]

Sprawdzenie

Otrzymana wartość spełnia równość po pomnożeniu przez niezerowy mianownik: 10 razy 2 to 20, tyle samo co 4 do kwadratu plus 4.

\[10\cdot(4-2)=20=4^2+4\]

Zadanie 11

Matura 2023 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Wykresy funkcji liniowych $f(x)=(2m+3)x+5$ oraz $g(x)=-x$ nie mają punktów wspólnych dla

$m=-2$

$m=-1$

$m=1$

$m=2$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek braku punktów wspólnych

Wykresy funkcji liniowych nie mają punktów wspólnych, gdy mają ten sam współczynnik kierunkowy i różne wyrazy wolne. Wyrazy wolne wynoszą tutaj 5 i 0, więc są różne.

\[2m+3=-1\]

2 Obliczenie parametru

Rozwiązujemy równanie współczynników kierunkowych.

\[2m=-4\quad\Rightarrow\quad m=-2\]

Odpowiedź

A, m = −2.

\[m=-2\]

Sprawdzenie

Dla m = −2 funkcje mają postać f(x) = −x + 5 oraz g(x) = −x. Równość ich wartości wymagałaby 5 = 0, więc wykresy nie mają punktów wspólnych.

\[-x+5=-x\quad\Rightarrow\quad 5=0\]

Zadanie 12

Matura 2023 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=ax^2+bx+1$, gdzie $a$ oraz $b$ są pewnymi liczbami rzeczywistymi, takimi, że $a<0$ i $b>0$. Na jednym z rysunków A–D przedstawiono fragment wykresu tej funkcji.

Fragment wykresu funkcji $f$ przedstawiono na rysunku

Układ współrzędnych i parabola skierowana ramionami w górę, z wierzchołkiem po lewej stronie osi y.

Układ współrzędnych i parabola skierowana ramionami w dół, z wierzchołkiem po lewej stronie osi y.

Układ współrzędnych i parabola skierowana ramionami w górę, z wierzchołkiem po prawej stronie osi y.

Układ współrzędnych i parabola skierowana ramionami w dół, z wierzchołkiem po prawej stronie osi y.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Kierunek ramion

Ponieważ współczynnik przy kwadracie jest ujemny, parabola ma ramiona skierowane w dół.

\[a<0\]

2 Położenie wierzchołka

Współrzędna x wierzchołka jest dodatnia, bo b jest dodatnie, a 2a ujemne. Wierzchołek leży więc na prawo od osi y.

\[x_w=\frac{-b}{2a}>0\]

3 Punkt przecięcia z osią y

Wyraz wolny równy 1 oznacza, że wykres przecina oś y w punkcie o rzędnej 1.

\[f(0)=1\]

Odpowiedź

Rysunek D.

\[\boxed{D}\]

Sprawdzenie

Na rysunku D ramiona są skierowane w dół, wierzchołek leży na prawo od osi y, a wykres przechodzi przez punkt (0,1). Wszystkie trzy cechy zgadzają się z warunkami zadania.

\[a<0,\quad x_w>0,\quad f(0)=1\]

Zadanie 22

Matura 2023 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=-x+1$. Funkcja $g$ jest liniowa. W prostokątnym układzie współrzędnych wykres funkcji $g$ przechodzi przez punkt $P=(0,-1)$ i jest prostopadły do wykresu funkcji $f$. Wzorem funkcji $g$ jest

$g(x)=x+1$

$g(x)=-x-1$

$g(x)=-x+1$

$g(x)=x-1$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie współczynnika kierunkowego

Wykresy niepionowych prostych prostopadłych mają współczynniki kierunkowe, których iloczyn wynosi −1. Dla funkcji f współczynnik ten wynosi −1, więc dla g wynosi 1.

\[(-1)\cdot a_g=-1\quad\Rightarrow\quad a_g=1\]

2 Wyznaczenie wyrazu wolnego

Ponieważ wykres g przechodzi przez punkt P=(0,−1), wartość g(0) wynosi −1. Jest ona wyrazem wolnym funkcji liniowej.

\[g(x)=x+b,\qquad g(0)=b=-1,\qquad g(x)=x-1\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: g(x)=x−1.

\[g(x)=x-1\]

Sprawdzenie

Dla x=0 otrzymujemy g(0)=−1, więc punkt P leży na wykresie. Iloczyn współczynników kierunkowych wynosi (−1)·1=−1, więc wykresy są prostopadłe.

\[g(0)=0-1=-1,\qquad (-1)\cdot 1=-1\]

Zadanie 33

Matura 2023 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Funkcje

Wykresem funkcji kwadratowej $f$ jest parabola o wierzchołku w punkcie $A=(0,3)$. Punkt $B=(2,0)$ leży na wykresie funkcji $f$. Wyznacz wzór funkcji $f$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz postać kanoniczną

Wierzchołek paraboli to $A=(0,3)$, więc funkcja ma postać $f(x)=a(x-0)^2+3$, gdzie $a\neq 0$.

\[f(x)=ax^2+3\]

2 Wyznacz współczynnik

Punkt $B=(2,0)$ leży na wykresie, zatem $f(2)=0$. Podstawiamy jego współrzędne i obliczamy $a$.

\[0=a\cdot 2^2+3\quad\Longrightarrow\quad 4a=-3\quad\Longrightarrow\quad a=-\frac{3}{4}\]

Odpowiedź

Wzór funkcji to $f(x)=-\frac{3}{4}x^2+3$.

\[f(x)=-\frac{3}{4}x^2+3\]

Sprawdzenie

Dla $x=0$ wartość funkcji wynosi $3$, a dla $x=2$ wynosi $0$. Ponieważ współczynnik przy $x^2$ jest różny od zera, jest to funkcja kwadratowa o wymaganym wierzchołku.

\[f(0)=3,\qquad f(2)=-\frac{3}{4}\cdot 4+3=0\]

Zadanie 13.1

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte2 pkt

Funkcje

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ narysowano wykres funkcji $y=f(x)$ (zobacz rysunek).

Uzupełnij tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A–F.

Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór
Zbiorem wartości funkcji $f$ jest zbiór

Wykres funkcji y=f(x) w układzie współrzędnych

$[-3,-1]\cup[1,3]$

$(-3,3)$

$(-3,-1)\cup(1,3)$

$[-5,-1]\cup[1,5]$

$(-5,5)$

$(-5,-1)\cup(1,5)$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie dziedziny

Odczytujemy wszystkie wartości x, dla których wykres ma punkt. Puste kółka oznaczają, że końce przedziałów nie należą do dziedziny.

\[D_f=(-5,-1)\cup(1,5)\]

2 Wyznaczenie zbioru wartości

Odczytujemy wszystkie wysokości osiągane przez wykres. Wartości −3, −1, 1 i 3 są osiągane w innych punktach niż puste kółka, więc należą do zbioru wartości.

\[W_f=[-3,-1]\cup[1,3]\]

Odpowiedź

Dziedzina: F. Zbiór wartości: A.

\[D_f=(-5,-1)\cup(1,5),\qquad W_f=[-3,-1]\cup[1,3]\]

Sprawdzenie

Wykres nie zawiera punktów o współrzędnych x równych −5, −1, 1 lub 5, ale przyjmuje wszystkie wartości y od −3 do −1 oraz od 1 do 3, łącznie z końcami tych przedziałów.

\[-5,-1,1,5\notin D_f;\qquad -3,-1,1,3\in W_f\]

Zadanie 13.2

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte1 pkt

Funkcje

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ narysowano wykres funkcji $y=f(x)$ (zobacz rysunek).

Zapisz poniżej zbiór wszystkich rozwiązań nierówności $f(x)<-1$.

Wykres funkcji y=f(x) w układzie współrzędnych

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczyt wykresu

Szukamy punktów wykresu leżących poniżej prostej y=-1. Są to punkty lewej części wykresu dla x od -5 do -3.

\[-5<x<-3\]

2 Uwzględnienie końców przedziału

Dla x=-5 punkt jest niezamalowany, a dla x=-3 funkcja przyjmuje wartość -1, która nie spełnia nierówności ostrej.

\[x\in(-5,-3)\]

Odpowiedź

Zbiorem rozwiązań jest przedział (-5,-3).

\[(-5,-3)\]

Sprawdzenie

Na przedziale (-5,-4] wykres ma wysokość -3, a od -4 do -3 rośnie do -1, więc pozostaje poniżej -1. Dla pozostałych argumentów wykres nie leży poniżej tej wysokości.

\[-3<-1,\qquad f(-3)=-1\]

Dziedziną funkcji \(f\) jest zbiór
Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest zbiór