Zbiór zadań maturalnych

Funkcje — zadania maturalne

Funkcje: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

159 zadańStrona 4 z 11

Sortuj:

Zadanie 11.2

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na rysunku 1., w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\), przedstawiono wykres funkcji \(f\). Każdy z punktów przecięcia wykresu funkcji \(f\) z prostą o równaniu \(y=2\) ma obie współrzędne całkowite.

Na rysunku 2., w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\), przedstawiono wykres funkcji \(g\), powstałej w wyniku przesunięcia równoległego wykresu funkcji \(f\) wzdłuż osi \(Ox\) o 4 jednostki w lewo.

Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A, B albo C oraz odpowiedź 1. albo 2.

Funkcje \(f\) i \(g\) są powiązane zależnością … oraz mają takie same …

Rysunek 1. Wykres funkcji y=f(x) w układzie współrzędnych, z zaznaczonymi osiami, skalą i punktami końcowymi.

Rysunek 2. Wykres funkcji y=g(x) w układzie współrzędnych, z zaznaczonymi osiami, skalą i punktami końcowymi.

\(g(x)=f(x+4)\)

\(g(x)=f(x-4)\)

\(g(x)=f(x)-4\)

dziedziny.

zbiory wartości.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zależność między funkcjami

Przesunięcie wykresu o 4 jednostki w lewo oznacza zastąpienie argumentu x przez x+4.

\[g(x)=f(x+4)\]

2 Porównanie zbiorów wartości

Przesunięcie poziome nie zmienia wysokości punktów wykresu. Obie funkcje przyjmują wartości od 0 do 4.

\[W_f=W_g=[0,4]\]

Odpowiedź

Odpowiedzi A i 2: funkcje mają takie same zbiory wartości.

\[g(x)=f(x+4),\qquad W_f=W_g=[0,4]\]

Sprawdzenie

Wierzchołek wykresu f ma współrzędne (1,0), a po przesunięciu o 4 jednostki w lewo otrzymujemy wierzchołek wykresu g: (−3,0). Dziedziny są różne: [−1,7] i [−5,3].

\[1-4=-3,\qquad D_f=[-1,7],\quad D_g=[-5,3]\]

Zadanie 12

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja \(y=f(x)\) jest określona za pomocą tabeli

\(x\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)
\(y\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(0\)	\(3\)

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Funkcja \(f\) ma dokładnie jedno miejsce zerowe.	P	F
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) wykres funkcji \(f\) jest symetryczny względem osi \(Oy\).	P	F

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Miejsca zerowe

Miejsce zerowe to argument, dla którego wartość funkcji wynosi zero. Z tabeli odczytujemy dwa takie argumenty, więc pierwsze stwierdzenie jest fałszywe.

\[f(-1)=0,\quad f(1)=0\]

2 Symetria względem osi Oy

Wykres jest symetryczny względem osi Oy, gdy dla każdego argumentu z dziedziny wartości dla przeciwnych argumentów są równe. Tutaj warunek nie zachodzi, więc drugie stwierdzenie jest fałszywe.

\[f(-2)=-1\neq 3=f(2)\]

Odpowiedź

Pierwsze stwierdzenie: F. Drugie stwierdzenie: F.

\[\mathrm{F},\ \mathrm{F}\]

Sprawdzenie

W wierszu wartości zero występuje dokładnie przy −1 i 1. Para argumentów −2 i 2 ma różne wartości, co wyklucza symetrię względem osi Oy.

\[\{x:f(x)=0\}=\{-1,1\},\qquad f(-2)\neq f(2)\]

Zadanie 13

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Liczba \(2\) jest miejscem zerowym funkcji liniowej \(f(x)=(3-m)x+4\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(m\) jest równa

\(0\)

\(3\)

\(4\)

\(5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie miejsca zerowego

Skoro liczba 2 jest miejscem zerowym, to wartość funkcji dla tego argumentu wynosi 0.

\[f(2)=0\;\Longrightarrow\;2(3-m)+4=0\]

2 Wyznaczenie parametru

Rozwijamy nawias i rozwiązujemy równanie względem m.

\[6-2m+4=0\;\Longrightarrow\;10-2m=0\;\Longrightarrow\;m=5\]

Odpowiedź

Liczba m jest równa 5. Odpowiedź D.

\[m=5\]

Sprawdzenie

Dla m=5 funkcja ma postać f(x)=-2x+4, więc f(2)=0.

\[f(2)=(3-5)\cdot2+4=-4+4=0\]

Zadanie 14

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Funkcje

Parabola, która jest wykresem funkcji kwadratowej \(f\), ma z osiami kartezjańskiego układu współrzędnych \((x,y)\) dokładnie dwa punkty wspólne: \(M=(0,18)\) oraz \(N=(3,0)\).

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej \(f\). Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustalenie miejsc zerowych

Parabola przecina oś \(y\) w punkcie \(M\). Ponieważ \(N\) jest jedynym punktem wspólnym z osią \(x\), liczba \(3\) jest podwójnym miejscem zerowym.

\[f(x)=a(x-3)^2,\quad a\ne 0\]

2 Obliczenie współczynnika

Podstawiamy współrzędne punktu \(M=(0,18)\), aby wyznaczyć \(a\).

\[18=f(0)=a(0-3)^2=9a,\quad a=2\]

Odpowiedź

Wzór funkcji to \(f(x)=2(x-3)^2=2x^2-12x+18\).

\[f(x)=2(x-3)^2=2x^2-12x+18\]

Sprawdzenie

Dla \(x=0\) otrzymujemy \(f(0)=18\), więc punkt \(M\) leży na paraboli. Równanie \(f(x)=0\) ma tylko jedno rozwiązanie: \(x=3\). Zatem \(N\) jest jedynym punktem wspólnym z osią \(x\), a łącznie z obiema osiami parabola ma dokładnie dwa wskazane punkty wspólne.

\[f(0)=2\cdot 9=18,\qquad 2(x-3)^2=0\iff x=3\]

Zadanie 15.1

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=-(x+1)^2+4\).

Na jednym z rysunków A–D przedstawiono, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\), fragment wykresu funkcji \(y=f(x)\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Fragment wykresu funkcji \(y=f(x)\) przedstawiono na rysunku

Wykres paraboli w układzie współrzędnych.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczytanie wierzchołka

Wzór ma postać kanoniczną, więc wierzchołek paraboli to \((-1,4)\). Znak minus przed kwadratem oznacza, że ramiona są skierowane w dół.

\[f(x)=-(x-(-1))^2+4,\qquad W=(-1,4)\]

2 Wybór rysunku

Spośród podanych wykresów wierzchołek \((-1,4)\) i ramiona skierowane w dół ma rysunek B.

\[\boxed{B}\]

Odpowiedź

Rysunek B.

\[B\]

Sprawdzenie

Dla \(x=0\) otrzymujemy \(f(0)=3\), co zgadza się z przecięciem osi \(y\) na rysunku B.

\[f(0)=-(0+1)^2+4=3\]

Zadanie 15.2

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=-(x+1)^2+4\).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Wykres funkcji \(f\) przecina oś \(Oy\) kartezjańskiego układu współrzędnych \((x,y)\) w punkcie o współrzędnych \((0,4)\).	P	F
Miejsca zerowe funkcji \(f\) są równe: \((-3)\) oraz \(1\).	P	F

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przecięcie z osią Oy

Na osi Oy mamy \(x=0\), więc obliczamy wartość funkcji dla zera. Pierwsze stwierdzenie jest fałszywe.

\[f(0)=-(0+1)^2+4=3\neq 4\]

2 Miejsca zerowe

Przyrównujemy wzór funkcji do zera i rozwiązujemy równanie. Drugie stwierdzenie jest prawdziwe.

\[-(x+1)^2+4=0\iff(x+1)^2=4\iff x+1=2\ \text{lub}\ x+1=-2\iff x=1\ \text{lub}\ x=-3\]

Odpowiedź

Pierwsze stwierdzenie: F. Drugie stwierdzenie: P.

\[F,\ P\]

Sprawdzenie

Punkt przecięcia z osią Oy to (0,3). Dla obu wyznaczonych miejsc zerowych wartość funkcji wynosi zero.

\[f(0)=3,\quad f(-3)=-(-2)^2+4=0,\quad f(1)=-(2)^2+4=0\]

Zadanie 32.1

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte

Optymalizacja i rachunek różniczkowy

Właściciel sklepu z zabawkami przeprowadził lokalne badanie rynkowe dotyczące wpływu zmiany ceny zestawu klocków na liczbę kupujących ten produkt. Z badania wynika, że dzienny przychód \(P\) ze sprzedaży zestawów klocków, w zależności od kwoty obniżki ceny zestawu o \(x\) zł, wyraża się wzorem

\[P(x)=(70-x)(20+x)\]

gdzie \(x\) jest liczbą całkowitą spełniającą warunki \(x\geq 0\) i \(x\leq 60\).

Uzupełnij tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A–E.

Dzienny przychód ze sprzedaży zestawów klocków będzie największy, gdy liczba \(x\) jest równa

\(25\)

\(30\)

\(45\)

\(50\)

\(60\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Uzupełnienie kwadratu

Przekształcamy wzór, aby ustalić, kiedy przychód osiąga największą wartość.

\[P(x)=(70-x)(20+x)=1400+50x-x^2=2025-(x-25)^2\]

2 Wyznaczenie maksimum

Kwadrat jest nieujemny, więc przychód jest największy, gdy kwadrat jest równy zeru. Wartość 25 jest całkowita i należy do przedziału od 0 do 60.

\[(x-25)^2=0\iff x=25\]

Odpowiedź

Liczba x jest równa 25, czyli obniżka wynosi 25 zł. Odpowiedź A.

\[x=25,\quad P_{\max}=2025\ \text{zł}\]

Sprawdzenie

Dla x=25 przychód wynosi 2025 zł. Każda inna dopuszczalna wartość x daje dodatni kwadrat, więc przychód jest mniejszy.

\[P(25)=(70-25)(20+25)=2025,\qquad x\ne25\implies P(x)=2025-(x-25)^2<2025\]

Zadanie 32.2

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte

Równania i nierówności

\[P(x)=(70-x)(20+x)\]

gdzie \(x\) jest liczbą całkowitą spełniającą warunki \(x\geq 0\) i \(x\leq 60\).

Uzupełnij tabelę. Wpisz w pustą komórkę właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A–E.

32.2.	Dzienny przychód ze sprzedaży zestawów klocków będzie równy \(800\) zł, gdy liczba \(x\) jest równa

\(25\)

\(30\)

\(45\)

\(50\)

\(60\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ułóż równanie

Szukamy obniżki, przy której dzienny przychód wynosi 800 zł.

\[(70-x)(20+x)=800\]

2 Rozwiąż równanie

Rozwijamy iloczyn i rozkładamy otrzymany trójmian na czynniki.

\[1400+50x-x^2=800\iff x^2-50x-600=0\iff(x-60)(x+10)=0\iff x=60\ \text{lub}\ x=-10\]

3 Uwzględnij warunek

Obniżka musi być liczbą całkowitą od 0 do 60, więc odrzucamy wartość ujemną.

\[x=60\]

Odpowiedź

Obniżka wynosi 60 zł. Odpowiedź E.

\[x=60\ \text{zł}\quad(\mathrm{E})\]

Sprawdzenie

Liczba 60 jest całkowita i należy do przedziału od 0 do 60. Po podstawieniu przychód wynosi 800 zł.

\[P(60)=(70-60)(20+60)=10\cdot80=800\ \text{zł}\]

Zadanie 9

Matura 2024 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja \(y=f(x)\) jest określona za pomocą tabeli.

\(x\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)
\(y\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(0\)	\(3\)

Wskaż zdanie prawdziwe.

Funkcja \(f\) ma dokładnie jedno miejsce zerowe.

W układzie współrzędnych \((x,y)\) wykres funkcji \(f\) jest symetryczny względem osi \(Oy\).

Największa wartość funkcji \(f\) jest równa \(3\).

Najmniejsza wartość funkcji \(f\) jest równa \((-2)\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczyt wartości

Porównujemy wszystkie wartości funkcji podane w tabeli. Największą z nich jest 3, osiągana dla x=2.

\[\max\{-1,0,1,0,3\}=3\]

2 Wybór odpowiedzi

Zatem prawdziwe jest zdanie C.

\[\max f(x)=f(2)=3\]

Odpowiedź

C. Największa wartość funkcji f jest równa 3.

\[\max f(x)=3\]

Sprawdzenie

A jest fałszywe, bo funkcja ma dwa miejsca zerowe: −1 i 1. B jest fałszywe, bo f(−2)≠f(2). D jest fałszywe, bo najmniejsza wartość wynosi −1.

\[f(-1)=f(1)=0,\quad f(-2)=-1\ne 3=f(2),\quad \min f(x)=-1\]

Zadanie 10

Matura 2024 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Liczba \(2\) jest miejscem zerowym funkcji liniowej \(f(x)=(3-m)x+4\).

Liczba \(m\) jest równa

\(0\)

\(3\)

\(4\)

\(5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie miejsca zerowego

Ponieważ 2 jest miejscem zerowym, wartość funkcji dla tego argumentu wynosi 0.

\[f(2)=0\quad\Longrightarrow\quad 2(3-m)+4=0\]

2 Obliczenie m

Rozwiązujemy otrzymane równanie liniowe.

\[6-2m+4=0\quad\Longrightarrow\quad 10-2m=0\quad\Longrightarrow\quad m=5\]

Odpowiedź

m = 5, odpowiedź D.

\[m=5\]

Sprawdzenie

Dla m = 5 wartość funkcji w punkcie 2 rzeczywiście wynosi 0.

\[f(2)=(3-5)\cdot 2+4=-4+4=0\]

Zadanie 11

Matura 2024 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Informacja do zadań 11.–13.

Na rysunku 1., w układzie współrzędnych \((x,y)\), przedstawiono wykres funkcji \(f\).

Największa wartość funkcji \(f\) jest równa

Rysunek 1. Wykres funkcji y=f(x) w układzie współrzędnych.

\(2\)

\(4\)

\(6\)

\(7\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczyt wartości

Najwyżej położone punkty wykresu mają współrzędną y równą 4. Są to punkty końcowe, więc funkcja przyjmuje tę wartość.

\[f(-1)=f(7)=4\]

2 Wyznaczenie maksimum

Wszystkie pozostałe punkty wykresu leżą nie wyżej niż te punkty.

\[\max f(x)=4\]

Odpowiedź

Największa wartość funkcji f wynosi 4. Odpowiedź B.

\[\boxed{4}\]

Sprawdzenie

Wykres osiąga wysokość 4 na obu końcach i nigdzie jej nie przekracza.

\[f(-1)=f(7)=4\]

Zadanie 12

Matura 2024 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na rysunku 1., w układzie współrzędnych \((x,y)\), przedstawiono wykres funkcji \(f\).

Funkcja \(f\) jest malejąca w zbiorze

Rysunek 1. Wykres funkcji f w układzie współrzędnych.

\(\langle -1,1\rangle\)

\(\langle 0,4\rangle\)

\(\langle 1,7\rangle\)

\(\langle 4,7\rangle\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczyt wykresu

Funkcja jest malejąca tam, gdzie przy wzroście x wartości y maleją. Dzieje się tak na odcinku od punktu (-1,4) do punktu (1,0).

\[f(-1)=4>f(1)=0\]

2 Wyznaczenie przedziału

Końce odcinka należą do wykresu, więc przedział jest domknięty.

\[x\in\langle -1,1\rangle\]

Odpowiedź

A. Funkcja f jest malejąca w przedziale od -1 do 1, z końcami.

\[\boxed{\mathrm{A}:\ \langle -1,1\rangle}\]

Sprawdzenie

Na tym odcinku wykres jest prostą o ujemnym współczynniku kierunkowym, więc dla każdej pary argumentów z przedziału większemu argumentowi odpowiada mniejsza wartość funkcji.

\[\frac{0-4}{1-(-1)}=-2<0\]

Zadanie 13

Matura 2024 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na rysunku 1., w układzie współrzędnych \((x,y)\), przedstawiono wykres funkcji \(f\).

Na rysunku 2., w układzie współrzędnych \((x,y)\), przedstawiono wykres funkcji \(g\), powstałej w wyniku przesunięcia równoległego wykresu funkcji \(f\) wzdłuż osi \(Ox\) o \(4\) jednostki w lewo.

Funkcje \(f\) i \(g\) są powiązane zależnością

Rysunek 1. Wykres funkcji f w układzie współrzędnych.

Rysunek 2. Wykres funkcji g w układzie współrzędnych.

\(g(x)=f(x+4)\)

\(g(x)=f(x-4)\)

\(g(x)=f(x)+4\)

\(g(x)=f(x)-4\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustal przesunięcie

Wierzchołek wykresu funkcji \(f\) ma współrzędne \((1,0)\), a odpowiadający mu wierzchołek wykresu \(g\) ma współrzędne \((-3,0)\). Wykres przesunięto więc o \(4\) jednostki w lewo.

\[1-4=-3\]

2 Zapisz zależność funkcji

Po przesunięciu w lewo wartość funkcji w punkcie \(x\) jest równa wcześniejszej wartości w punkcie \(x+4\).

\[g(x)=f(x+4)\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[g(x)=f(x+4)\]

Sprawdzenie

Dla wierzchołka wykresu \(g\) otrzymujemy \(g(-3)=f(1)=0\), zgodnie z rysunkami. Końce dziedziny funkcji \(f\), czyli \(-1\) i \(7\), przesuwają się odpowiednio na \(-5\) i \(3\).

\[-1-4=-5,\qquad 7-4=3\]

Zadanie 14

Matura 2024 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=-(x+1)^2+4\).

Fragment wykresu funkcji \(y=f(x)\) przedstawiono na rysunku

Wykres paraboli w układzie współrzędnych, wariant A.

Wykres paraboli w układzie współrzędnych, wariant B.

Wykres paraboli w układzie współrzędnych, wariant C.

Wykres paraboli w układzie współrzędnych, wariant D.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wierzchołka

Wzór jest zapisany w postaci kanonicznej, więc odczytujemy z niego wierzchołek. Ujemny współczynnik przed kwadratem oznacza, że ramiona paraboli są skierowane w dół.

\[f(x)=-(x-(-1))^2+4,\qquad W=(-1,4)\]

2 Wyznaczenie miejsc zerowych

Miejsca zerowe wskazują, gdzie wykres przecina oś \(x\).

\[-(x+1)^2+4=0\iff(x+1)^2=4\iff x+1=\pm2\iff x=-3\ \text{lub}\ x=1\]

Odpowiedź

Pasuje wykres B.

\[\boxed{B}\]

Sprawdzenie

Na wykresie B wierzchołek leży w punkcie \((-1,4)\), a przecięcia z osią \(x\) są w punktach \((-3,0)\) i \((1,0)\). Zgadza się też przecięcie z osią \(y\).

\[f(0)=-(0+1)^2+4=3\]

Zadanie 31

Matura 2024 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Funkcje

Parabola, która jest wykresem funkcji kwadratowej \(f\), ma z osiami układu współrzędnych \((x,y)\) dokładnie dwa punkty wspólne: \(M=(0,18)\) oraz \(N=(3,0)\).

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej \(f\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustal miejsce zerowe

Parabola ma z osiami dokładnie dwa punkty wspólne. Punkt M leży na osi y, więc N jest jedynym punktem przecięcia z osią x. Liczba 3 jest zatem podwójnym miejscem zerowym.

\[f(x)=a(x-3)^2,\quad a\neq 0\]

2 Wyznacz współczynnik

Ponieważ M=(0,18) należy do paraboli, podstawiamy x=0 i f(0)=18.

\[18=a(0-3)^2=9a,\quad a=2\]

Odpowiedź

Wzór funkcji to f(x)=2(x−3)².

\[f(x)=2(x-3)^2\]

Sprawdzenie

Dla x=0 otrzymujemy f(0)=18. Równanie f(x)=0 ma tylko jedno rozwiązanie x=3, więc jedynymi punktami przecięcia paraboli z osiami są M i N.

\[f(0)=2\cdot 9=18,\qquad 2(x-3)^2=0\iff x=3\]