Zbiór zadań maturalnych

Funkcje — zadania maturalne

Funkcje: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

65 zadańStrona 4 z 5

Sortuj:

Zadanie 12

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

60%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Funkcja $f$ określona jest wzorem $f(x)=\frac{2x^3}{x^6+1}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Wtedy $f(-\sqrt[3]{3})$ jest równa

$-\frac{\sqrt[3]{9}}{2}$

$-\frac{3}{5}$

$\frac{3}{5}$

$\frac{\sqrt[3]{3}}{2}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie potęg argumentu

Wyznaczamy potęgi występujące we wzorze funkcji.

\[x=-\sqrt[3]{3}\quad\Longrightarrow\quad x^3=-3,\quad x^6=(x^3)^2=9\]

2 Podstawienie do wzoru

Podstawiamy obliczone wartości i skracamy ułamek.

\[f(-\sqrt[3]{3})=\frac{2\cdot(-3)}{9+1}=\frac{-6}{10}=-\frac{3}{5}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[f(-\sqrt[3]{3})=-\frac{3}{5}\]

Sprawdzenie

Mianownik wynosi 10, więc funkcja jest określona dla podanego argumentu. Ponieważ licznik wynosi −6, otrzymana wartość jest ujemna i równa −3/5.

\[\frac{-6}{10}=-\frac{3}{5}\]

Zadanie 10

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

58%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=ax+b$, gdzie $a$ i $b$ są pewnymi liczbami rzeczywistymi. Na rysunku obok przedstawiono fragment wykresu funkcji $f$ w układzie współrzędnych $(x,y)$.

Liczba $a$ oraz liczba $b$ we wzorze funkcji $f$ spełniają warunki:

$Układ współrzędnych z fragmentem wykresu malejącej funkcji liniowej, oznaczeniami 0 i 1 na osiach oraz podpisem $y=f(x)$.$

$a>0$ i $b>0$.

$a>0$ i $b<0$.

$a<0$ i $b>0$.

$a<0$ i $b<0$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Znak współczynnika kierunkowego

Wykres opada, gdy przesuwamy się w prawo, więc funkcja jest malejąca, a jej współczynnik kierunkowy jest ujemny.

\[a<0\]

2 Znak wyrazu wolnego

Wyraz wolny to wartość funkcji dla $x=0$. Wykres przecina oś $y$ powyżej zera, więc jest ona dodatnia.

\[b=f(0)>0\]

Odpowiedź

Odpowiedź C: $a<0$ i $b>0$.

\[a<0\quad\text{i}\quad b>0\]

Sprawdzenie

Ujemny współczynnik $a$ odpowiada opadaniu prostej, a dodatnie $b$ jej przecięciu z dodatnią częścią osi $y$. Obie cechy widać na rysunku.

\[a<0,\qquad f(0)=b>0\]

Zadanie 12

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

57%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=(-2k+3)x+k-1$, gdzie $k\in\mathbb{R}$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Funkcja $f$ jest malejąca dla każdej liczby $k$ należącej do przedziału

$(-\infty,1)$

$(-\infty,-\frac{3}{2})$

$(1,+\infty)$

$(\frac{3}{2},+\infty)$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek malejącości

Funkcja liniowa jest malejąca, gdy współczynnik przy x jest ujemny.

\[-2k+3<0\]

2 Rozwiązanie nierówności

Po przeniesieniu 3 na prawą stronę dzielimy przez liczbę ujemną, więc zmieniamy zwrot nierówności.

\[-2k<-3\quad\Longrightarrow\quad k>\frac{3}{2}\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: k należy do przedziału $(\frac{3}{2},+\infty)$.

\[k\in\left(\frac{3}{2},+\infty\right)\]

Sprawdzenie

Dla $k=\frac{3}{2}$ współczynnik przy x wynosi 0, więc funkcja jest stała. Ta wartość nie należy do wskazanego przedziału.

\[-2\cdot\frac{3}{2}+3=0\]

Zadanie 31.1

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

57%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Właściciel pewnej apteki przeanalizował dane dotyczące liczby obsługiwanych klientów z 30 kolejnych dni. Przyjmijmy, że liczbę $L$ obsługiwanych klientów $n$-tego dnia opisuje funkcja $L(n)=-n^{2}+22n+279$, gdzie $n$ jest liczbą naturalną spełniającą warunki $n\geq 1$ i $n\leq 30$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Łączna liczba klientów obsłużonych w czasie wszystkich analizowanych dni jest równa $L(30)$.	P	F
W trzecim dniu analizowanego okresu obsłużono $336$ klientów.	P	F

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Łączna liczba klientów

Funkcja podaje liczbę klientów w jednym dniu, więc wynik za 30 dni otrzymujemy przez dodanie wartości od pierwszego do trzydziestego dnia.

\[\sum_{n=1}^{30}L(n)=-\sum_{n=1}^{30}n^2+22\sum_{n=1}^{30}n+30\cdot279=-9455+22\cdot465+8370=9145\]

2 Porównanie z wartością L(30)

Obliczamy liczbę klientów trzydziestego dnia i porównujemy ją z sumą. Pierwsze stwierdzenie jest fałszywe.

\[L(30)=-30^2+22\cdot30+279=39\neq9145\]

3 Trzeci dzień

Podstawiamy n=3 do wzoru funkcji. Otrzymujemy 336 klientów, więc drugie stwierdzenie jest prawdziwe.

\[L(3)=-3^2+22\cdot3+279=-9+66+279=336\]

Odpowiedź

Pierwsze stwierdzenie: F. Drugie stwierdzenie: P.

\[\mathrm{F},\ \mathrm{P}\]

Sprawdzenie

Wszystkie dni należą do dziedziny od 1 do 30. Ponowne zsumowanie składników daje 10230+8370−9455=9145, a podstawienie n=3 daje 336.

\[22\cdot465+30\cdot279-9455=9145,\qquad -9+66+279=336\]

Zadanie 10

Matura 2021 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

57%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\frac{x^2}{2x-2}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x\neq 1$. Wtedy dla argumentu $x=\sqrt{3}-1$ wartość funkcji $f$ jest równa

$\frac{1}{\sqrt{3}-1}$

$-1$

$1$

$\frac{1}{\sqrt{3}-2}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Sprawdzenie dziedziny

Podstawienie jest dozwolone, ponieważ argument różni się od 1.

\[\sqrt{3}-1\neq 1\]

2 Obliczenie wartości

Podstawiamy argument do wzoru i rozwijamy kwadrat. Licznik jest liczbą przeciwną do mianownika.

\[f(\sqrt{3}-1)=\frac{(\sqrt{3}-1)^2}{2(\sqrt{3}-1)-2}=\frac{4-2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}-4}=-1\]

Odpowiedź

Wartość funkcji wynosi −1. Odpowiedź B.

\[f(\sqrt{3}-1)=-1\]

Sprawdzenie

Mianownik nie jest zerem, bo √3 ≠ 2. Ponadto licznik i mianownik sumują się do zera, więc ich iloraz rzeczywiście wynosi −1.

\[(4-2\sqrt{3})+(2\sqrt{3}-4)=0\]

Zadanie 14.4

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte2 pkt

Funkcje

55%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f$ (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.

Funkcje kwadratowe $g$ oraz $h$ są określone za pomocą funkcji $f$ (zobacz rysunek na stronie 13) następująco: $g(x)=f(x+3)$, $h(x)=f(-x)$.

Na rysunkach A–F przedstawiono, w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$, fragmenty wykresów różnych funkcji – w tym fragment wykresu funkcji $g$ oraz fragment wykresu funkcji $h$.

Uzupełnij tabelę. Każdej z funkcji $g$ oraz $h$ przyporządkuj fragment jej wykresu. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A–F.

Fragment wykresu funkcji $y=g(x)$ przedstawiono na rysunku
Fragment wykresu funkcji $y=h(x)$ przedstawiono na rysunku

Wykres funkcji f w układzie współrzędnych.

Wykres paraboli w układzie współrzędnych, wariant A.

Wykres paraboli w układzie współrzędnych, wariant B.

Wykres paraboli w układzie współrzędnych, wariant C.

Wykres paraboli w układzie współrzędnych, wariant D.

Wykres paraboli w układzie współrzędnych, wariant E.

Wykres paraboli w układzie współrzędnych, wariant F.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczytanie wykresu funkcji f

Z wykresu odczytujemy miejsca zerowe −2 i 4 oraz punkt przecięcia z osią y równy (0,8). Dzięki temu wyznaczamy współczynnik we wzorze iloczynowym.

\[f(x)=a(x+2)(x-4),\quad 8=f(0)=a\cdot2\cdot(-4),\quad a=-1\]

2 Wyznaczenie wykresu g

Podstawienie x+3 przesuwa wykres funkcji f o 3 jednostki w lewo. Miejsca zerowe przesuwają się z −2 i 4 na −5 i 1; taki wykres jest na rysunku A.

\[g(x)=f(x+3)=-(x+5)(x-1)\]

3 Wyznaczenie wykresu h

Podstawienie −x odbija wykres funkcji f względem osi y. Miejsca zerowe −2 i 4 przechodzą odpowiednio na 2 i −4; taki wykres jest na rysunku E.

\[h(x)=f(-x)=-(-x+2)(-x-4)=-(x-2)(x+4)\]

Odpowiedź

Funkcja g — rysunek A; funkcja h — rysunek E.

\[g\colon A,\qquad h\colon E\]

Sprawdzenie

Na rysunku A parabola przecina oś y na wysokości 5, a na rysunku E na wysokości 8. Zgadza się to z obliczonymi wartościami obu funkcji.

\[g(0)=-(0+5)(0-1)=5,\qquad h(0)=-(0-2)(0+4)=8\]

Zadanie 9

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

55%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Miejscem zerowym funkcji liniowej $f(x)=(2p-1)x+p$ jest liczba $(-4)$. Wtedy

$p=\frac{4}{9}$

$p=\frac{4}{7}$

$p=-4$

$p=-\frac{4}{7}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie miejsca zerowego

Skoro liczba −4 jest miejscem zerowym, to f(−4)=0.

\[(2p-1)(-4)+p=0\quad\Longrightarrow\quad -8p+4+p=0\]

2 Wyznaczenie parametru

Porządkujemy wyrazy i rozwiązujemy równanie.

\[-7p+4=0\quad\Longrightarrow\quad p=\frac{4}{7}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: p = 4/7.

\[p=\frac{4}{7}\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanej wartości współczynnik kierunkowy jest różny od zera, a f(−4)=0.

\[2\cdot\frac{4}{7}-1=\frac{1}{7}\neq 0,\qquad f(-4)=\frac{1}{7}\cdot(-4)+\frac{4}{7}=0\]

Zadanie 14

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

54%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej $f$ jest liczba $(-5)$. Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji $f$, jest równa $3$. Drugim miejscem zerowym funkcji $f$ jest liczba

$11$

$1$

$(-1)$

$(-13)$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie własności osi symetrii

Pierwsza współrzędna wierzchołka jest średnią miejsc zerowych funkcji kwadratowej.

\[3=\frac{-5+x_2}{2}\]

2 Obliczenie drugiego miejsca zerowego

Mnożymy równanie przez 2 i dodajemy 5 do obu stron.

\[6=-5+x_2,\qquad x_2=11\]

Odpowiedź

Drugim miejscem zerowym jest 11. Odpowiedź A.

\[x_2=11\]

Sprawdzenie

Średnia miejsc zerowych −5 i 11 wynosi 3, czyli tyle, ile pierwsza współrzędna wierzchołka.

\[\frac{-5+11}{2}=3\]

Zadanie 7

Matura 2021 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

54%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Na poniższym rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$ określonej w zbiorze $\langle -6,5\rangle$.

Funkcja $g$ jest określona wzorem $g(x)=f(x)-2$ dla $x\in\langle -6,5\rangle$. Wskaż zdanie prawdziwe.

Wykres funkcji f w układzie współrzędnych. Odcinek poziomy na wysokości 3 od punktu pełnego przy x = −6 do punktu pustego przy x = −3. Druga część wykresu zaczyna się punktem pełnym (−3, 1), przechodzi przez (0, −2) i (3, 1), a następnie biegnie poziomo do punktu pełnego (5, 1).

Liczba $f(2)+g(2)$ jest równa $(-2)$.

Zbiory wartości funkcji $f$ i $g$ są równe.

Funkcje $f$ i $g$ mają te same miejsca zerowe.

Punkt $P=(0,-2)$ należy do wykresów funkcji $f$ i $g$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczyt wartości funkcji

Wykres funkcji f przecina oś x w punkcie o pierwszej współrzędnej 2, więc w tym punkcie wartość funkcji wynosi zero.

\[f(2)=0\]

2 Obliczenie sumy

Korzystamy z podanego wzoru funkcji g i podstawiamy odczytaną wartość f(2).

\[g(2)=f(2)-2=0-2=-2,\qquad f(2)+g(2)=0+(-2)=-2\]

Odpowiedź

Prawdziwe jest zdanie A.

\[f(2)+g(2)=-2\]

Sprawdzenie

Pozostałe zdania są fałszywe: zbiór wartości g jest przesunięty o 2 w dół względem zbioru wartości f; f ma miejsca zerowe −2 i 2, a g nie ma miejsc zerowych, ponieważ f nigdzie nie przyjmuje wartości 2; ponadto f(0)=−2, lecz g(0)=−4.

\[W_f=[-2,1]\cup\{3\},\quad W_g=[-4,-1]\cup\{1\},\quad f(-2)=f(2)=0,\quad g(0)=f(0)-2=-4\]

Zadanie 14.1

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte1 pkt

Funkcje

53%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiedni przedział w wykropkowanym miejscu tak, aby zdanie było prawdziwe.

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $f(x)\geq 0$ jest przedział ……………………… .

$Fragment wykresu paraboli oznaczonej $y=f(x)$ w układzie współrzędnych.$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczyt miejsc zerowych

Wykres przecina oś x w punktach, w których wartość funkcji wynosi zero.

\[f(-2)=0,\qquad f(4)=0\]

2 Wyznaczenie przedziału

Parabola jest skierowana ramionami w dół, więc leży na osi x lub nad nią między miejscami zerowymi. Końce przedziału należą do rozwiązania, ponieważ nierówność jest nieostra.

\[f(x)\geq 0\iff -2\leq x\leq 4\]

Odpowiedź

Zbiorem rozwiązań jest przedział od −2 do 4 wraz z końcami.

\[[-2,4]\]

Sprawdzenie

Między miejscami zerowymi wykres leży nad osią x, na końcach ją przecina, a poza tym przedziałem leży pod osią x.

\[f(-2)=f(4)=0,\qquad f(0)=8>0\]

Zadanie 12

Matura 2021 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

52%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Funkcja kwadratowa $f$ określona wzorem $f(x)=-2(x+1)(x-3)$ jest malejąca w przedziale

$\langle 1,+\infty)$

$(-\infty,1\rangle$

$(-\infty,-8\rangle$

$\langle -8,+\infty)$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie osi symetrii

Miejsca zerowe to $-1$ i $3$, więc oś symetrii paraboli leży w połowie między nimi.

\[x_w=\frac{-1+3}{2}=1\]

2 Ustalenie monotoniczności

Współczynnik przy $x^2$ jest ujemny, dlatego parabola jest skierowana ramionami w dół i maleje od wierzchołka w prawo.

\[a=-2<0,\qquad x\in\langle 1,+\infty)\]

Odpowiedź

Funkcja jest malejąca w przedziale $\langle 1,+\infty)$. Odpowiedź A.

\[\boxed{\langle 1,+\infty)\text{ — A}}\]

Sprawdzenie

Po przekształceniu wzoru widać, że dla $x\geq 1$ wartość $(x-1)^2$ rośnie, więc wartość funkcji maleje.

\[f(x)=-2(x-1)^2+8\]

Zadanie 29

Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Funkcje

51%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej $f(x)=x^2-6x+3$ w przedziale $\langle 0,4\rangle$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wierzchołka

Sprowadzamy funkcję do postaci kanonicznej, aby znaleźć jej minimum. Wierzchołek ma odciętą 3, która należy do danego przedziału.

\[f(x)=x^2-6x+3=(x-3)^2-6,\quad x_w=3\in[0,4]\]

2 Porównanie wartości

Ponieważ parabola jest skierowana ramionami w górę, minimum osiąga w wierzchołku. Największą wartość w przedziale domkniętym wyznaczamy przez porównanie wartości na jego końcach.

\[f(3)=-6,\quad f(0)=3,\quad f(4)=16-24+3=-5\]

Odpowiedź

Najmniejsza wartość to −6 dla x=3, a największa to 3 dla x=0.

\[\min_{x\in[0,4]}f(x)=-6,\qquad \max_{x\in[0,4]}f(x)=3\]

Sprawdzenie

Dla x od 0 do 4 wyrażenie (x−3)² przyjmuje wartości od 0 do 9. Zatem f(x) przyjmuje wartości od −6 do 3; oba krańce są osiągane w podanym przedziale.

\[0\le (x-3)^2\le 9\quad\Longrightarrow\quad -6\le f(x)\le 3\]

Zadanie 13

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

50%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W układzie współrzędnych $(x,y)$ narysowano wykres funkcji $y=f(x)$ (zobacz rysunek).

Największa wartość funkcji $f$ w przedziale $\langle-4,1\rangle$ jest równa

Wykres funkcji y=f(x) w układzie współrzędnych, wspólny dla zadań 11–13.

$0$

$1$

$2$

$5$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczyt wykresu

W przedziale od −4 do −3 wykres jest poziomy, więc funkcja przyjmuje wartość 2. W punkcie −3 kółko przy wartości 2 jest puste.

\[f(x)=2\quad\text{dla }x\in[-4,-3)\]

2 Porównanie wartości

Od −3 do 1 wykres rośnie od −3 do 1. Największa wartość na tej części wynosi 1, więc w całym rozpatrywanym przedziale największa jest wartość 2.

\[\max_{x\in[-3,1]}f(x)=f(1)=1<2\]

Odpowiedź

Największa wartość funkcji wynosi 2. Odpowiedź C.

\[\max_{x\in[-4,1]}f(x)=2\]

Sprawdzenie

Wartość 2 jest przyjmowana, na przykład dla x=−4. Na pozostałej części przedziału wartości funkcji nie przekraczają 1.

\[f(-4)=2>f(1)=1\]

Zadanie 12.3

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte1 pkt

Funkcje

47%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f$ (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne $(3,6)$. Ta parabola przecina oś $Oy$ w punkcie o współrzędnych $(0,3)$.

$Fragment wykresu paraboli $y=f(x)$ w układzie współrzędnych$

Funkcja $g$ jest określona dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wzorem $g(x)=f(x)-3$. Liczby $x_1$ oraz $x_2$ są różnymi miejscami zerowymi funkcji $g$.

Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.

Suma $x_1+x_2$ jest równa ……… .

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Pierwsze miejsce zerowe

Miejsca zerowe funkcji g spełniają warunek f(x)=3. Ponieważ parabola przecina oś Oy w punkcie (0,3), jednym z nich jest 0.

\[g(0)=f(0)-3=3-3=0,\quad x_1=0\]

2 Drugie miejsce zerowe

Oś symetrii paraboli przechodzi przez wierzchołek i ma równanie x=3. Punkty wykresu o tej samej wartości y leżą w równej odległości od tej osi, więc drugim miejscem zerowym jest 6.

\[\frac{x_1+x_2}{2}=3\quad\Longrightarrow\quad x_2=6\]

Odpowiedź

Suma miejsc zerowych jest równa 6.

\[x_1+x_2=0+6=6\]

Sprawdzenie

Liczby 0 i 6 są różne, a ich średnia wynosi 3, czyli leżą symetrycznie względem osi paraboli. Ponieważ f(0)=3, symetria daje także f(6)=3; obie liczby są więc miejscami zerowymi g.

\[g(0)=g(6)=0,\qquad \frac{0+6}{2}=3\]

Zadanie 30

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Funkcje

46%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Do wykresu funkcji wykładniczej, określonej dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wzorem $f(x)=a^x$ (gdzie $a>0$ i $a\neq 1$), należy punkt $P=(2,9)$. Oblicz $a$ i zapisz zbiór wartości funkcji $g$, określonej wzorem $g(x)=f(x)-2$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie podstawy

Punkt $P=(2,9)$ należy do wykresu, więc $f(2)=9$. Ponieważ $a>0$, wybieramy dodatni pierwiastek.

\[a^2=9\quad\Longrightarrow\quad a=3\]

2 Zbiór wartości funkcji g

Funkcja $3^x$ przyjmuje wszystkie wartości dodatnie. Odjęcie 2 od każdej wartości przesuwa zbiór wartości o 2 w dół.

\[3^x\in(0,\infty)\quad\Longrightarrow\quad g(x)=3^x-2\in(-2,\infty)\]

Odpowiedź

Podstawa wynosi $a=3$, a zbiorem wartości funkcji $g$ jest $(-2,\infty)$.

\[a=3,\qquad W_g=(-2,\infty)\]

Sprawdzenie

Dla $a=3$ otrzymujemy $f(2)=3^2=9$. Ponadto $g(x)>-2$ dla każdego $x$, a każdą wartość $y>-2$ otrzymujemy dla $x=\log_3(y+2)$.

\[f(2)=3^2=9,\qquad g(\log_3(y+2))=y\quad\text{dla }y>-2\]

Fragment wykresu funkcji \(y=g(x)\) przedstawiono na rysunku
Fragment wykresu funkcji \(y=h(x)\) przedstawiono na rysunku