Zbiór zadań maturalnych

Funkcje — zadania maturalne

Funkcje: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

159 zadańStrona 2 z 11

Sortuj:

Zadanie 13.1

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=ax+b$, gdzie $a$ i $b$ są pewnymi liczbami rzeczywistymi. W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ przedstawiono fragment wykresu funkcji $f$. Każdy z punktów przecięcia wykresu funkcji $f$ z osiami układu współrzędnych ma obie współrzędne całkowite. Wykres funkcji $f$ jest nachylony do osi $Ox$ układu współrzędnych pod kątem o mierze $\alpha$ (zobacz rysunek).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Współczynnik $a$ we wzorze funkcji $f$ jest liczbą dodatnią.	P	F
Współczynnik $b$ we wzorze funkcji $f$ jest liczbą dodatnią.	P	F

Fragment wykresu funkcji liniowej y=f(x) w układzie współrzędnych, z oznaczonym kątem α.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczyt punktów przecięcia

Aby wyznaczyć współczynniki funkcji, odczytujemy z wykresu jej przecięcia z osiami.

\[(-2,0),\quad(0,-3)\]

2 Wyznaczenie współczynników

Współczynnik kierunkowy obliczamy z dwóch punktów, a wyraz wolny jest wartością funkcji dla x=0.

\[a=\frac{-3-0}{0-(-2)}=-\frac{3}{2}<0,\qquad b=f(0)=-3<0\]

Odpowiedź

Oba stwierdzenia są fałszywe: 1. F, 2. F.

\[a=-\frac{3}{2}<0,\qquad b=-3<0\]

Sprawdzenie

Funkcja o wyznaczonych współczynnikach przecina oś Ox w punkcie (-2,0), a oś Oy w punkcie (0,-3), zgodnie z wykresem.

\[f(-2)=-\frac{3}{2}\cdot(-2)-3=0,\qquad f(0)=-3\]

Zadanie 13.2

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Tangens kąta o mierze $\alpha$ jest równy

$Fragment wykresu funkcji $y=f(x)$ w układzie współrzędnych z zaznaczonym kątem $\alpha$.$

$-\frac{3}{2}$

$-\frac{2}{3}$

$\frac{2}{3}$

$\frac{3}{2}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczytanie punktów

Z wykresu odczytujemy całkowite współrzędne punktów przecięcia prostej z osiami.

\[P=(-2,0),\quad Q=(0,-3)\]

2 Obliczenie tangensa

Tangens kąta nachylenia prostej do osi Ox jest równy jej współczynnikowi kierunkowemu.

\[\tan\alpha=a=\frac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P}=\frac{-3-0}{0-(-2)}=-\frac{3}{2}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[\tan\alpha=-\frac{3}{2}\]

Sprawdzenie

Prosta opada w prawo, więc jej współczynnik kierunkowy i tangens zaznaczonego kąta rozwartego są ujemne. Obliczona wartość spełnia ten warunek.

\[-\frac{3}{2}<0\]

Zadanie 14

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Funkcje

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ wykresem funkcji kwadratowej $f$ jest parabola o wierzchołku w punkcie $W=(3,-2)$. Funkcja kwadratowa $g$ jest określona za pomocą funkcji $f$ wzorem $g(x)=f(x+1)$. Jednym z miejsc zerowych funkcji $g$ jest liczba $0$.

Wyznacz wzór funkcji $f$ w postaci ogólnej. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Postać kanoniczna

Wierzchołek paraboli ma współrzędne $W=(3,-2)$, więc zapisujemy funkcję w postaci kanonicznej.

\[f(x)=a(x-3)^2-2\]

2 Wyznaczenie współczynnika

Skoro $0$ jest miejscem zerowym funkcji $g$, to $g(0)=f(1)=0$. Podstawiamy $x=1$, aby obliczyć $a$.

\[0=a(1-3)^2-2=4a-2\quad\Longrightarrow\quad a=\frac12\]

3 Postać ogólna

Rozwijamy kwadrat i porządkujemy wyrazy.

\[f(x)=\frac12(x-3)^2-2=\frac12(x^2-6x+9)-2=\frac12x^2-3x+\frac52\]

Odpowiedź

Wzór funkcji f w postaci ogólnej to:

\[f(x)=\frac12x^2-3x+\frac52\]

Sprawdzenie

Po zapisaniu otrzymanej funkcji w postaci kanonicznej widać, że jej wierzchołek to $W=(3,-2)$. Ponadto $g(0)=f(1)=0$, więc podane miejsce zerowe się zgadza.

\[f(x)=\frac12(x-3)^2-2,\qquad g(0)=f(1)=\frac12(1-3)^2-2=0\]

Zadanie 33.1

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

W chwili $t=0$ z poziomu ziemi wyrzucono piłeczkę pionowo do góry. Przyjmijmy, że wysokość $h$, na której znajduje się piłeczka w danej chwili $t$, jest określona wzorem

\[h(t)=-4{,}9t^2+14{,}7t\]

gdzie:

czas $t$ jest wyrażony w sekundach (s) i zmienia się od $0$ do chwili pierwszego uderzenia piłeczki o ziemię
wysokość $h$ jest wyrażona w metrach i jest liczona względem poziomu ziemi.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wyrzucona piłeczka po raz pierwszy uderzy w ziemię w chwili

$t=1{,}5\ \mathrm{s}$

$t=2\ \mathrm{s}$

$t=2{,}5\ \mathrm{s}$

$t=3\ \mathrm{s}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie chwil na poziomie ziemi

Piłeczka jest na poziomie ziemi, gdy jej wysokość wynosi zero. Wyłączamy wspólny czynnik, aby rozwiązać równanie.

\[-4{,}9t^2+14{,}7t=0\iff -4{,}9t(t-3)=0\iff t=0\ \text{lub}\ t=3\]

2 Wybór chwili uderzenia

Chwila 0 s oznacza wyrzut piłeczki. Pierwsze późniejsze zetknięcie z ziemią następuje po 3 s.

\[t=3\ \mathrm{s}\]

Odpowiedź

D. Piłeczka uderzy w ziemię po raz pierwszy po 3 s.

\[t=3\ \mathrm{s}\]

Sprawdzenie

Dla 3 s wysokość wynosi 0 m. Dla każdej chwili między 0 s a 3 s wysokość jest dodatnia, więc wcześniej piłeczka nie uderza w ziemię.

\[h(3)=-4{,}9\cdot 3^2+14{,}7\cdot 3=0\ \mathrm{m},\qquad h(t)=4{,}9t(3-t)>0\ \text{dla}\ 0<t<3\]

Zadanie 33.2

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

W chwili $t=0$ z poziomu ziemi wyrzucono piłeczkę pionowo do góry. Przyjmijmy, że wysokość $h$, na której znajduje się piłeczka w danej chwili $t$, jest określona wzorem \[h(t)=-4{,}9t^2+14{,}7t\] gdzie:

czas $t$ jest wyrażony w sekundach (s) i zmienia się od $0$ do chwili pierwszego uderzenia piłeczki o ziemię
wysokość $h$ jest wyrażona w metrach i jest liczona względem poziomu ziemi.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wyrzucona piłeczka osiągnęła największą wysokość w chwili

$t=1{,}5\ \mathrm{s}$

$t=2\ \mathrm{s}$

$t=2{,}5\ \mathrm{s}$

$t=3\ \mathrm{s}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustalenie przedziału czasu

Ruch trwa do pierwszego ponownego uderzenia piłeczki o ziemię, więc wyznaczamy chwilę, w której wysokość znów wynosi zero.

\[-4{,}9t^2+14{,}7t=0\quad\Longleftrightarrow\quad 4{,}9t(3-t)=0\quad\Longleftrightarrow\quad t=0\ \text{lub}\ t=3\]

2 Wyznaczenie chwili największej wysokości

Wykres wysokości jest parabolą skierowaną ramionami w dół. Jej wierzchołek wyznacza maksimum i leży w środku przedziału między miejscami zerowymi.

\[t_{\max}=\frac{0+3}{2}=1{,}5\ \mathrm{s}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A. Piłeczka osiągnęła największą wysokość po 1,5 s.

\[t=1{,}5\ \mathrm{s}\]

Sprawdzenie

Chwila 1,5 s należy do przedziału ruchu od 0 do 3 s. Wtedy wysokość wynosi 11,025 m, a na obu końcach przedziału wynosi 0 m; ponieważ parabola jest skierowana w dół, jest to największa wysokość.

\[h(1{,}5)=-4{,}9\cdot(1{,}5)^2+14{,}7\cdot1{,}5=11{,}025\ \mathrm{m},\qquad h(0)=h(3)=0\]

Zadanie 8

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na rysunku, w układzie współrzędnych $(x,y)$, przedstawiono wykres funkcji $f$.

Wskaż zdanie prawdziwe.

Wykres funkcji f: odcinek od punktu pełnego (−4, −2) do punktu pełnego (2, 4) oraz odcinek od punktu pustego (2, 3) do punktu pustego (5, 0).

Rozwiązaniem równania $f(x)=3$ jest liczba $1$.

Największa wartość funkcji $f$ w przedziale $\langle 2,3\rangle$ jest równa $3$.

Funkcja $f$ jest malejąca w przedziale $\langle 0,3\rangle$.

Funkcja $f$ ma dwa miejsca zerowe.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczyt wartości

Na pierwszym odcinku wykres przechodzi przez punkt (1,3), więc liczba 1 spełnia równanie z odpowiedzi A.

\[f(1)=3\]

2 Ocena pozostałych zdań

Punkt (2,4) należy do wykresu, więc największa wartość w przedziale od 2 do 3 nie wynosi 3. Na odcinku od 0 do 2 funkcja rośnie. Wykres przecina oś x w punkcie (−2,0), natomiast punkt (5,0) jest pusty i nie należy do wykresu.

\[f(2)=4,\qquad f(-2)=0,\qquad f(5)\text{ nie jest określone}\]

Odpowiedź

Prawdziwe jest zdanie A: rozwiązaniem równania f(x)=3 jest liczba 1.

\[\boxed{\mathrm{A}:\ f(1)=3}\]

Sprawdzenie

Dla x=1 wykres ma wysokość 3, co potwierdza zdanie A. Żadne z pozostałych zdań nie jest prawdziwe.

\[(1,3)\in W_f\]

Zadanie 9

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na rysunku, w układzie współrzędnych $(x,y)$, przedstawiono wykres funkcji $f$.

Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział

Wykres funkcji f w układzie współrzędnych.

$\langle -4,5)$

$(-4,5\rangle$

$\langle -2,4\rangle$

$(-2,4)$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczytanie wartości skrajnych

Najniższy punkt wykresu ma wysokość −2, a najwyższy 4. Oba punkty są zamalowane, więc funkcja przyjmuje te wartości.

\[f(-4)=-2,\qquad f(2)=4\]

2 Wyznaczenie zbioru wartości

Odcinek łączący te punkty przyjmuje każdą wartość pośrednią, więc zbiorem wartości jest przedział domknięty.

\[W_f=\langle -2,4\rangle\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[\langle -2,4\rangle\]

Sprawdzenie

Wartości −2 i 4 należą do zbioru wartości, ponieważ odpowiadają zamalowanym punktom wykresu. Żaden punkt wykresu nie leży poniżej −2 ani powyżej 4.

\[-2\leq f(x)\leq 4\]

Zadanie 10

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na rysunku, w układzie współrzędnych $(x,y)$, przedstawiono wykres funkcji $f$.

Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartości ujemne, jest przedział

Wykres funkcji y = f(x) w układzie współrzędnych.

$\langle -4,-2)$

$(-4,-2)$

$\langle -4,0)$

$\langle -2,2)$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczyt miejsc istotnych

Wykres zaczyna się w zamalowanym punkcie o argumentcie −4 i przecina oś x przy x=−2. Wartości ujemne występują tam, gdzie wykres leży poniżej osi x.

\[f(-4)=-2<0,\qquad f(-2)=0\]

2 Wyznaczenie przedziału

Argument −4 należy do szukanego zbioru, a −2 nie należy, ponieważ funkcja przyjmuje tam wartość zero. Na pozostałej części wykresu wartości nie są ujemne.

\[f(x)<0\iff x\in\langle -4,-2)\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: przedział ⟨−4,−2).

\[\langle -4,-2)\]

Sprawdzenie

Na odcinku od x=−4 do x=−2 wykres rośnie od wartości −2 do 0, więc przed osiągnięciem x=−2 pozostaje poniżej osi x. Dalej leży na osi x lub powyżej niej.

\[-4\le x<-2\implies -2\le f(x)<0\]

Zadanie 11

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Informacja do zadań 11.–12.

Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=ax+b$, gdzie $a$ i $b$ są pewnymi liczbami rzeczywistymi. W układzie współrzędnych $(x,y)$ przedstawiono fragment wykresu funkcji $f$. Każdy z punktów przecięcia wykresu funkcji $f$ z osiami układu współrzędnych ma obie współrzędne całkowite. Wykres funkcji $f$ jest nachylony do osi $Ox$ układu współrzędnych pod kątem o mierze $\alpha$ (zobacz rysunek).

Liczba $a$ oraz liczba $b$ we wzorze funkcji $f$ spełniają warunki:

Układ współrzędnych z osiami x i y, malejącą prostą y=f(x) oraz zaznaczonym kątem α.

$a>0$ oraz $b>0$.

$a>0$ oraz $b<0$.

$a<0$ oraz $b>0$.

$a<0$ oraz $b<0$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczytanie punktów

Z wykresu odczytujemy przecięcia prostej z osiami. Pozwolą one wyznaczyć współczynniki funkcji.

\[(-2,0),\quad (0,-3)\]

2 Wyznaczenie znaków współczynników

Współczynnik kierunkowy obliczamy z dwóch punktów, a wyraz wolny jest wartością funkcji dla x równego zeru.

\[a=\frac{-3-0}{0-(-2)}=-\frac{3}{2}<0,\qquad b=f(0)=-3<0\]

Odpowiedź

Oba współczynniki są ujemne. Odpowiedź D.

\[a<0\quad\text{oraz}\quad b<0\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanych współczynników funkcja ma miejsce zerowe w x równym −2, zgodnie z wykresem.

\[f(-2)=-\frac{3}{2}\cdot(-2)-3=0\]

Zadanie 12

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Informacja do zadań 11.–12. Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=ax+b$, gdzie $a$ i $b$ są pewnymi liczbami rzeczywistymi. W układzie współrzędnych $(x,y)$ przedstawiono fragment wykresu funkcji $f$. Każdy z punktów przecięcia wykresu funkcji $f$ z osiami układu współrzędnych ma obie współrzędne całkowite. Wykres funkcji $f$ jest nachylony do osi $Ox$ układu współrzędnych pod kątem o mierze $\alpha$ (zobacz rysunek).

Tangens kąta o mierze $\alpha$ jest równy

Wykres funkcji liniowej w układzie współrzędnych, z zaznaczonym kątem α między wykresem a dodatnią półosią Ox.

$\left(-\frac{3}{2}\right)$

$\left(-\frac{2}{3}\right)$

$\frac{2}{3}$

$\frac{3}{2}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczyt punktów

Z wykresu odczytujemy punkty przecięcia prostej z osiami: (−2, 0) oraz (0, −3).

\[(-2,0),\quad(0,-3)\]

2 Obliczenie tangensa

Tangens kąta nachylenia prostej do dodatniej półosi Ox jest równy jej współczynnikowi kierunkowemu. Obliczamy go z dwóch odczytanych punktów.

\[\operatorname{tg}\alpha=a=\frac{-3-0}{0-(-2)}=-\frac{3}{2}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[\operatorname{tg}\alpha=-\frac{3}{2}\]

Sprawdzenie

Prosta opada w prawo, więc jej współczynnik kierunkowy i tangens zaznaczonego kąta rozwartego są ujemne. Dla przesunięcia o 2 jednostki w prawo wartość funkcji maleje o 3 jednostki, co potwierdza wynik.

\[\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{-3}{2}\]

Zadanie 13

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

W chwili $t=0$ z poziomu ziemi wyrzucono piłeczkę pionowo do góry. Przyjmijmy, że wysokość $h$, na której znajduje się piłeczka w danej chwili $t$, jest określona wzorem

\[h(t)=-4{,}9t^2+14{,}7t\]

gdzie:

czas $t$ jest wyrażony w sekundach (s) i zmienia się od $0$ do chwili pierwszego uderzenia piłeczki o ziemię
wysokość $h$ jest wyrażona w metrach i jest liczona względem poziomu ziemi.

Wyrzucona piłeczka po raz pierwszy uderzy w ziemię w chwili

$t=1{,}5\ \mathrm{s}$

$t=2\ \mathrm{s}$

$t=2{,}5\ \mathrm{s}$

$t=3\ \mathrm{s}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie chwil na poziomie ziemi

Piłeczka znajduje się na poziomie ziemi, gdy jej wysokość wynosi zero. Wyłączamy wspólny czynnik i korzystamy z zasady iloczynu równego zeru.

\[-4{,}9t^2+14{,}7t=0\iff -4{,}9t(t-3)=0\iff t=0\ \text{lub}\ t=3\]

2 Wybór chwili uderzenia

Chwila $t=0$ jest chwilą wyrzucenia piłeczki. Pierwsze uderzenie o ziemię następuje więc po 3 sekundach.

\[t=3\ \mathrm{s}\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: piłeczka po raz pierwszy uderzy w ziemię po 3 sekundach.

\[t=3\ \mathrm{s}\]

Sprawdzenie

Dla $t=3$ wysokość wynosi zero, a dla każdego $0<t<3$ jest dodatnia, więc piłeczka nie uderza w ziemię wcześniej.

\[h(3)=-4{,}9\cdot 3\cdot(3-3)=0,\qquad h(t)=4{,}9t(3-t)>0\ \text{dla}\ 0<t<3\]

Zadanie 10.1

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte

Funkcje

Funkcja $f$ jest określona następująco:

\[f(x)=\begin{cases}-x-2 & \text{dla }x\in(-5,-2]\\0 & \text{dla }x\in(-2,1]\\x & \text{dla }x\in(1,3]\end{cases}\]

Wykres funkcji $y=f(x)$ przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ na rysunku poniżej.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

1. Dziedziną funkcji $f$ jest przedział ……………… .

Wykres funkcji y=f(x) w układzie współrzędnych, z zaznaczonymi końcami przedziałów

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Połącz przedziały

Dziedzinę tworzą wszystkie wartości x, dla których podano wzór funkcji. Trzy przedziały łączą się bez przerw.

\[(-5,-2]\cup(-2,1]\cup(1,3]=(-5,3]\]

Odpowiedź

Dziedziną funkcji f jest przedział (-5,3].

\[D_f=(-5,3]\]

Sprawdzenie

Liczba -5 jest wyłączona, a 3 włączona. Punkty -2 i 1 należą do dziedziny, więc wewnątrz przedziału nie ma luk.

\[-5\notin D_f,\quad -2\in D_f,\quad 1\in D_f,\quad 3\in D_f\]

Zadanie 10.2

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte

Funkcje

Funkcja $f$ jest określona następująco:

\[f(x)=\begin{cases}-x-2 & \text{dla } x\in(-5,-2],\\0 & \text{dla } x\in(-2,1],\\x & \text{dla } x\in(1,3].\end{cases}\]

Wykres funkcji $y=f(x)$ przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ na rysunku poniżej.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

2. Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział ……………… .

Wykres funkcji y=f(x) w układzie współrzędnych, z osiami, grotami, oznaczeniami i etykietą.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wartości części funkcji

Sprawdzamy wartości na każdym przedziale dziedziny, uwzględniając, czy końce przedziałów należą do dziedziny.

\[x\in(-5,-2]\Rightarrow -x-2\in[0,3),\qquad x\in(-2,1]\Rightarrow f(x)=0,\qquad x\in(1,3]\Rightarrow f(x)\in(1,3].\]

2 Połączenie zbiorów wartości

Bierzemy sumę wartości uzyskanych we wszystkich trzech częściach funkcji.

\[[0,3)\cup\{0\}\cup(1,3]=[0,3].\]

Odpowiedź

Zbiorem wartości funkcji jest przedział od 0 do 3, wraz z końcami.

\[[0,3]\]

Sprawdzenie

Wartość 0 jest osiągana dla x = −2, a wartość 3 dla x = 3. Pierwsza część daje wszystkie wartości od 0 do 3 bez 3, więc w zbiorze wartości nie ma luk.

\[f(-2)=0,\qquad f(3)=3.\]

Zadanie 10.3

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte

Funkcje

Funkcja $f$ jest określona następująco:

\[f(x)=\begin{cases}-x-2 & \text{dla } x\in(-5,-2] \\ 0 & \text{dla } x\in(-2,1] \\ x & \text{dla } x\in(1,3]\end{cases}\]

Wykres funkcji $y=f(x)$ przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ na rysunku poniżej.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

Zbiorem wszystkich miejsc zerowych funkcji $f$ jest przedział ……………… .

Wykres funkcji y=f(x) w układzie współrzędnych

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie miejsc zerowych

Miejsca zerowe to argumenty, dla których wartość funkcji wynosi 0. W pierwszej części wzoru otrzymujemy x=-2, który należy do jej przedziału. W drugiej części funkcja ma wartość 0 dla każdego argumentu z podanego przedziału.

\[-x-2=0\iff x=-2,\qquad \{-2\}\cup(-2,1]=[-2,1]\]

2 Sprawdzenie ostatniej części

Dla x z przedziału (1,3] mamy f(x)=x>0, więc nie ma tam miejsc zerowych.

\[x\in(1,3]\implies f(x)=x>0\]

Odpowiedź

Zbiorem wszystkich miejsc zerowych funkcji jest przedział [-2,1].

\[[-2,1]\]

Sprawdzenie

Na końcach otrzymanego przedziału funkcja ma wartość 0: f(-2)=0 z pierwszej części wzoru, a f(1)=0 z drugiej. Wszystkie argumenty pomiędzy nimi należą do części, w której f(x)=0.

\[f(-2)=-(-2)-2=0,\qquad f(1)=0\]

Zadanie 10.4

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte

Funkcje

Funkcja $f$ jest określona następująco:

\[f(x)=\begin{cases}-x-2 & \text{dla } x\in(-5,-2]\\0 & \text{dla } x\in(-2,1]\\x & \text{dla } x\in(1,3]\end{cases}\]

Wykres funkcji $y=f(x)$ przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ na rysunku poniżej.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $f(x)<f(-3)$ jest przedział ……………… .

Wykres funkcji y=f(x) w układzie współrzędnych, z oznaczeniami osi i końców przedziałów.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie wartości odniesienia

Ponieważ $-3\in(-5,-2]$, korzystamy z pierwszego wzoru funkcji.

\[f(-3)=-(-3)-2=1\]

2 Rozwiązanie nierówności

W pierwszym przedziale rozwiązujemy nierówność $-x-2<1$. W drugim funkcja ma wartość $0<1$, a w trzecim $f(x)=x>1$.

\[-x-2<1\iff x>-3;\qquad (-3,-2]\cup(-2,1]=(-3,1]\]

Odpowiedź

Zbiorem rozwiązań jest przedział $(-3,1]$.

\[(-3,1]\]

Sprawdzenie

Punkt $x=-3$ jest wykluczony, bo $f(-3)=1$, natomiast $x=1$ należy do zbioru, bo $f(1)=0<1$. Dla $x>1$ mamy $f(x)=x>1$.

\[f(-3)=1,\qquad f(1)=0<1\]

Współczynnik \(a\) we wzorze funkcji \(f\) jest liczbą dodatnią.	P	F
Współczynnik \(b\) we wzorze funkcji \(f\) jest liczbą dodatnią.	P	F