Zbiór zadań maturalnych

Funkcje — zadania maturalne

Funkcje: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

159 zadańStrona 10 z 11

Sortuj:

Zadanie 10

Matura 2018 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Wykresem funkcji kwadratowej \(f(x)=x^2-2x-11\) jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych

\((-2,-3)\)

\((-2,-12)\)

\((1,-8)\)

\((1,-12)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Sprowadzenie do postaci kanonicznej

Uzupełniamy kwadrat, aby odczytać współrzędne wierzchołka paraboli.

\[f(x)=x^2-2x-11=(x-1)^2-1-11=(x-1)^2-12\]

2 Odczytanie wierzchołka

W postaci \(f(x)=(x-p)^2+q\) wierzchołek ma współrzędne \((p,q)\).

\[W=(1,-12)\]

Odpowiedź

Wierzchołek ma współrzędne \((1,-12)\). Odpowiedź D.

\[W=(1,-12)\]

Sprawdzenie

Dla \(x=1\) kwadrat \((x-1)^2\) jest równy zeru, więc funkcja osiąga tam wartość \(-12\).

\[f(1)=1^2-2\cdot1-11=-12\]

Zadanie 11

Matura 2018 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja kwadratowa jest określona wzorem \(f(x)=-3(x-2)(x-9)\). Liczby \(x_1\), \(x_2\) są różnymi miejscami zerowymi funkcji \(f\). Zatem

\(x_1+x_2=11\)

\(x_1+x_2=-11\)

\(x_1+x_2=33\)

\(x_1+x_2=-33\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie miejsc zerowych

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy zeru. Współczynnik −3 jest różny od zera.

\[-3(x-2)(x-9)=0\iff x-2=0\ \text{lub}\ x-9=0\iff x=2\ \text{lub}\ x=9\]

2 Obliczenie sumy

Miejscami zerowymi są 2 i 9, więc dodajemy te liczby.

\[x_1+x_2=2+9=11\]

Odpowiedź

A. Suma miejsc zerowych wynosi 11.

\[x_1+x_2=11\]

Sprawdzenie

Dla x = 2 i x = 9 jeden z czynników jest równy zeru, więc f(2) = f(9) = 0. Są to różne liczby, a ich suma wynosi 11.

\[f(2)=-3(2-2)(2-9)=0,\quad f(9)=-3(9-2)(9-9)=0\]

Zadanie 12

Matura 2018 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Największą wartością funkcji \(y=-(x-2)^2+4\) w przedziale \(\langle 3,5\rangle\) jest

\(0\)

\(5\)

\(4\)

\(3\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie położenia wierzchołka

Parabola jest skierowana ramionami w dół, a jej wierzchołek ma pierwszą współrzędną 2. Cały przedział leży na prawo od wierzchołka, gdzie funkcja maleje.

\[x_w=2<3\leq x\leq5\]

2 Obliczenie największej wartości

Funkcja malejąca przyjmuje w tym przedziale największą wartość na lewym końcu, czyli dla x=3.

\[f(3)=-(3-2)^2+4=3\]

Odpowiedź

Największa wartość wynosi 3. Odpowiedź D.

\[\max_{x\in[3,5]}f(x)=3\]

Sprawdzenie

Dla x od 3 do 5 wartość (x−2)² jest co najmniej 1, więc f(x) jest co najwyżej 3. Równość zachodzi dla x=3, który należy do przedziału.

\[x\in[3,5]\Rightarrow(x-2)^2\geq1\Rightarrow f(x)=4-(x-2)^2\leq3\]

Zadanie 33

Matura 2018 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Ze zbioru \(A=\{-3,-2,-1,1,2,3\}\) losujemy liczbę \(a\), natomiast ze zbioru \(B=\{-1,0,1,2\}\) losujemy liczbę \(b\). Te liczby są – odpowiednio – współczynnikiem kierunkowym i wyrazem wolnym funkcji liniowej \(f(x)=ax+b\). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymana funkcja \(f\) jest rosnąca i ma dodatnie miejsce zerowe.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunki zdarzenia

Funkcja liniowa jest rosnąca, gdy jej współczynnik kierunkowy jest dodatni. Wtedy miejsce zerowe jest dodatnie dokładnie wtedy, gdy wyraz wolny jest ujemny.

\[a>0,\qquad x_0=-\frac{b}{a}>0\iff b<0\]

2 Policzenie wyników

Zbiór A zawiera trzy dodatnie wartości, a w zbiorze B jedyną ujemną wartością jest −1. Wszystkich par jest 6 razy 4.

\[|\Omega|=6\cdot4=24,\qquad |E|=3\cdot1=3\]

3 Obliczenie prawdopodobieństwa

Dzielimy liczbę par spełniających oba warunki przez liczbę wszystkich jednakowo prawdopodobnych par.

\[P(E)=\frac{3}{24}=\frac18\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo wynosi 1/8.

\[P(E)=\frac18\]

Sprawdzenie

Dla trzech korzystnych par (a,−1), gdzie a należy do {1,2,3}, funkcja jest rosnąca, a jej miejsce zerowe wynosi 1/a i jest dodatnie. Żadna inna wartość b nie daje dodatniego miejsca zerowego przy a>0.

\[a\in\{1,2,3\},\quad b=-1\implies x_0=\frac1a>0\]

Zadanie 11

Matura 2017 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=(x-3)(7-x)\). Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji \(f\) należy do prostej o równaniu

\(y=-5\)

\(y=5\)

\(y=-4\)

\(y=4\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie osi symetrii

Miejsca zerowe funkcji to 3 i 7, więc oś symetrii paraboli leży w połowie między nimi.

\[x_w=\frac{3+7}{2}=5\]

2 Obliczenie wysokości wierzchołka

Podstawiamy współrzędną osi symetrii do wzoru funkcji.

\[y_w=f(5)=(5-3)(7-5)=2\cdot2=4\]

Odpowiedź

Wierzchołek ma współrzędne (5, 4), więc należy do prostej y = 4. Odpowiedź D.

\[W=(5,4),\quad y=4\]

Sprawdzenie

Po przekształceniu wzoru otrzymujemy postać wierzchołkową, która potwierdza obie współrzędne.

\[f(x)=(x-3)(7-x)=4-(x-5)^2\]

Zadanie 12

Matura 2017 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Punkt \(A=(2017,0)\) należy do wykresu funkcji \(f\) określonej wzorem

\(f(x)=(x+2017)^2\)

\(f(x)=x^2-2017\)

\(f(x)=(x+2017)(x-2017)\)

\(f(x)=x^2+2017\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek przynależności

Punkt \(A=(2017,0)\) należy do wykresu wtedy i tylko wtedy, gdy \(f(2017)=0\).

\[f(2017)=0\]

2 Sprawdzenie odpowiedzi

W odpowiedzi C jeden z czynników przyjmuje wartość zero. W pozostałych odpowiedziach wartości są dodatnie.

\[\begin{aligned}f_A(2017)&=4034^2>0,\\ f_B(2017)&=2017\cdot2016>0,\\ f_C(2017)&=(2017+2017)(2017-2017)=0,\\ f_D(2017)&=2017^2+2017>0.\end{aligned}\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[f(x)=(x+2017)(x-2017)\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu współrzędnej x punktu A do wzoru z odpowiedzi C otrzymujemy jego współrzędną y, czyli 0.

\[f(2017)=4034\cdot0=0\]

Zadanie 10

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=x^2+bx+c\).

Współczynniki \(b\) i \(c\) spełniają warunki:

Fragment wykresu funkcji kwadratowej w układzie współrzędnych z oznaczonym początkiem oraz osiami x i y

\(b<0,\ c>0\)

\(b<0,\ c<0\)

\(b>0,\ c>0\)

\(b>0,\ c<0\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Znak współczynnika c

Wartość funkcji dla x=0 jest równa c. Wykres przecina oś y powyżej osi x, więc c>0.

\[f(0)=c>0\]

2 Znak współczynnika b

Wierzchołek leży na prawo od osi y. Ponieważ jego pierwsza współrzędna wynosi -b/2, otrzymujemy b<0.

\[x_w=-\frac{b}{2}>0\quad\Longrightarrow\quad b<0\]

Odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A. Współczynnik b jest ujemny, a c dodatni.

\[b<0,\quad c>0\]

Sprawdzenie

Dodatnia wartość c odpowiada przecięciu osi y powyżej osi x, a ujemna wartość b daje dodatnią pierwszą współrzędną wierzchołka. Oba warunki zgadzają się z rysunkiem.

\[c>0,\qquad -\frac{b}{2}>0\]

Zadanie 32

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Funkcje

Funkcja kwadratowa \(f(x)=ax^2+bx+c\) ma dwa miejsca zerowe \(x_1=-2\) i \(x_2=6\). Wykres funkcji \(f\) przechodzi przez punkt \(A=(1,-5)\). Oblicz najmniejszą wartość funkcji \(f\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie postaci iloczynowej

Miejsca zerowe pozwalają zapisać funkcję jako iloczyn czynników liniowych.

\[f(x)=a(x+2)(x-6)\]

2 Wyznaczenie współczynnika

Podstawiamy współrzędne punktu A, ponieważ należy on do wykresu.

\[-5=a(1+2)(1-6)=-15a\quad\Rightarrow\quad a=\frac13\]

3 Obliczenie minimum

Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, więc parabola ma minimum w połowie odległości między miejscami zerowymi.

\[x_w=\frac{-2+6}{2}=2,\qquad f(2)=\frac13(2+2)(2-6)=-\frac{16}{3}\]

Odpowiedź

Najmniejsza wartość funkcji wynosi \(-\frac{16}{3}\).

\[\min f=-\frac{16}{3}\]

Sprawdzenie

Otrzymana funkcja przechodzi przez punkt A. Po zapisaniu jej w postaci kanonicznej widać też, że żadna wartość nie jest mniejsza od obliczonej.

\[f(1)=\frac13\cdot3\cdot(-5)=-5,\qquad f(x)=\frac13(x-2)^2-\frac{16}{3}\geq-\frac{16}{3}\]

Zadanie 9

Matura 2016 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja \(f\) określona jest wzorem \(f(x)=\frac{2x^{3}}{x^{4}+1}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Wtedy liczba \(f(-\sqrt{2})\) jest równa

\(-\frac{8}{5}\)

\(-\frac{4\sqrt{2}}{3}\)

\(-\frac{4\sqrt{2}}{5}\)

\(-\frac{4}{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie argumentu

Aby obliczyć wartość funkcji, podstawiamy \(-\sqrt{2}\) w miejsce \(x\).

\[f(-\sqrt{2})=\frac{2(-\sqrt{2})^{3}}{(-\sqrt{2})^{4}+1}\]

2 Obliczenie potęg

Nieparzysta potęga liczby ujemnej jest ujemna, a parzysta dodatnia.

\[(-\sqrt{2})^{3}=-2\sqrt{2},\qquad (-\sqrt{2})^{4}=4\]

3 Obliczenie wartości

Wstawiamy obliczone potęgi i upraszczamy ułamek.

\[f(-\sqrt{2})=\frac{2(-2\sqrt{2})}{4+1}=-\frac{4\sqrt{2}}{5}\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[f(-\sqrt{2})=-\frac{4\sqrt{2}}{5}\]

Sprawdzenie

Mianownik jest równy 5, więc wyrażenie jest określone. Pomnożenie otrzymanego wyniku przez mianownik daje licznik.

\[5\cdot\left(-\frac{4\sqrt{2}}{5}\right)=-4\sqrt{2}=2(-\sqrt{2})^{3}\]

Zadanie 10

Matura 2016 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Dana jest funkcja kwadratowa \(f(x)=−2(x+5)(x−11)\). Wskaż maksymalny przedział, w którym funkcja \(f\) jest rosnąca.

\((−\infty,3\rangle\)

\((−\infty,5\rangle\)

\((−\infty,11\rangle\)

\(\langle6,+\infty)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wierzchołka

Miejsca zerowe to −5 i 11, więc oś symetrii paraboli leży w ich połowie.

\[x_w=\frac{-5+11}{2}=3\]

2 Ustalenie przedziału wzrostu

Współczynnik przy \(x^2\) jest ujemny, więc parabola jest skierowana ramionami w dół. Funkcja rośnie do wierzchołka, a za nim maleje.

\[a=-2<0,\qquad f\text{ rośnie na }(-\infty,3\rangle\]

Odpowiedź

Maksymalny przedział wzrostu to \((−\infty,3\rangle\). Odpowiedź A.

\[(-\infty,3\rangle\]

Sprawdzenie

Po przekształceniu \(f(x)=128-2(x-3)^2\). Gdy \(x\) rośnie do 3, kwadrat \((x-3)^2\) maleje, więc wartość funkcji rośnie. Dla \(x>3\) funkcja maleje, zatem przedziału nie można wydłużyć.

\[f(x)=-2\bigl((x-3)^2-64\bigr)=128-2(x-3)^2\]

Zadanie 23

Matura 2016 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na rysunku przedstawione są dwie proste równoległe \(k\) i \(l\) o równaniach \(y=ax+b\) oraz \(y=mx+n\). Początek układu współrzędnych leży między tymi prostymi.

Zatem

Układ współrzędnych z osiami x i y oraz dwiema opadającymi prostymi równoległymi. Prosta k: y=ax+b przecina oś y powyżej początku układu, a prosta l: y=mx+n poniżej początku.

\(a\cdot m>0\) i \(b\cdot n>0\)

\(a\cdot m>0\) i \(b\cdot n<0\)

\(a\cdot m<0\) i \(b\cdot n>0\)

\(a\cdot m<0\) i \(b\cdot n<0\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustalenie znaków współczynników kierunkowych

Obie proste opadają, gdy przesuwamy się w prawo, więc ich współczynniki kierunkowe są ujemne. Iloczyn dwóch liczb ujemnych jest dodatni.

\[a<0,\quad m<0\quad\Longrightarrow\quad a\cdot m>0\]

2 Ustalenie znaków wyrazów wolnych

Wyrazy wolne to współrzędne punktów przecięcia prostych z osią y. Prosta k przecina ją powyżej zera, a prosta l poniżej zera.

\[b>0,\quad n<0\quad\Longrightarrow\quad b\cdot n<0\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[a\cdot m>0\quad\text{i}\quad b\cdot n<0\]

Sprawdzenie

Równoległość prostych oznacza, że a=m. Ponieważ obie opadają, oba współczynniki są ujemne. Początek układu leży między prostymi, co zgadza się z przeciwnymi znakami b i n.

\[a=m<0,\quad b>0>n\]

Zadanie 33

Matura 2016 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Funkcje

Rejsowy samolot z Warszawy do Rzymu przelatuje nad Austrią każdorazowo tą samą trasą z taką samą zakładaną prędkością przelotową. We wtorek jego średnia prędkość była o 10% większa niż prędkość przelotowa, a w czwartek średnia prędkość była o 10% mniejsza od zakładanej prędkości przelotowej. Czas przelotu nad Austrią w czwartek różnił się od wtorkowego o 12 minut. Jak długo trwał przelot tego samolotu nad Austrią we wtorek?

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Porównanie czasów

Trasa miała tę samą długość, więc czas jest odwrotnie proporcjonalny do prędkości. We wtorek prędkość wynosiła 110% zakładanej, a w czwartek 90%.

\[\frac{t_{\mathrm{czw}}}{t_{\mathrm{wt}}}=\frac{1{,}1v}{0{,}9v}=\frac{11}{9},\qquad t_{\mathrm{czw}}=\frac{11}{9}t_{\mathrm{wt}}\]

2 Obliczenie czasu wtorkowego

W czwartek lot trwał o 12 minut dłużej. Podstawiamy zależność między czasami i rozwiązujemy równanie.

\[\frac{11}{9}t_{\mathrm{wt}}-t_{\mathrm{wt}}=12\ \mathrm{min},\qquad \frac{2}{9}t_{\mathrm{wt}}=12\ \mathrm{min},\qquad t_{\mathrm{wt}}=54\ \mathrm{min}\]

Odpowiedź

We wtorek przelot nad Austrią trwał 54 minuty.

\[54\ \mathrm{min}\]

Sprawdzenie

Z obliczonego czasu wynika, że w czwartek przelot trwał 66 minut, czyli o wymagane 12 minut dłużej.

\[t_{\mathrm{czw}}=\frac{11}{9}\cdot54\ \mathrm{min}=66\ \mathrm{min},\qquad 66-54=12\ \mathrm{min}\]

Zadanie 6

Matura 2016 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja kwadratowa jest określona wzorem \(f(x)=(x-1)(x-9)\). Wynika stąd, że funkcja \(f\) jest rosnąca w przedziale

\(\langle 5,+\infty)\)

\(( -\infty,5\rangle\)

\(( -\infty,-5\rangle\)

\(\langle -5,+\infty)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie osi symetrii

Miejsca zerowe to 1 i 9, więc oś symetrii paraboli leży w połowie między nimi.

\[x=\frac{1+9}{2}=5\]

2 Ustalenie przedziału wzrostu

Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, więc ramiona paraboli są skierowane w górę. Funkcja rośnie od wierzchołka w prawo.

\[f(x)=x^2-10x+9=(x-5)^2-16,\qquad x\in\langle 5,+\infty)\]

Odpowiedź

Funkcja jest rosnąca w przedziale \(\langle 5,+\infty)\). Odpowiedź A.

\[\langle 5,+\infty)\]

Sprawdzenie

Dla \(5\le x_1<x_2\) różnica wartości jest dodatnia, co potwierdza wzrost w podanym przedziale.

\[f(x_2)-f(x_1)=(x_2-x_1)(x_1+x_2-10)>0\]

Zadanie 7

Matura 2016 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej \(f\), przy czym \(f(0)=-2\) i \(f(1)=0\).

Wykres funkcji \(g\) jest symetryczny do wykresu funkcji \(f\) względem początku układu współrzędnych. Funkcja \(g\) jest określona wzorem

Fragment wykresu funkcji liniowej f w układzie współrzędnych z oznaczonymi osiami x i y oraz podziałką.

\(g(x)=2x+2\)

\(g(x)=2x-2\)

\(g(x)=-2x+2\)

\(g(x)=-2x-2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wzoru funkcji f

Z wartości funkcji w dwóch punktach obliczamy współczynnik kierunkowy, a z f(0) odczytujemy wyraz wolny.

\[a=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=\frac{0-(-2)}{1}=2,\qquad f(x)=2x-2\]

2 Odbicie względem początku układu

W takim odbiciu punkt (x,y) przechodzi na (-x,-y), więc g(x)=-f(-x).

\[g(x)=-f(-x)=-(-2x-2)=2x+2\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[g(x)=2x+2\]

Sprawdzenie

Punkty (0,-2) i (1,0) z wykresu f po odbiciu przechodzą w (0,2) i (-1,0). Otrzymany wzór g przyjmuje w tych punktach odpowiednio wartości 2 i 0.

\[g(0)=2,\qquad g(-1)=2\cdot(-1)+2=0\]

Zadanie 10

Matura 2016 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Jeśli funkcja kwadratowa \(f(x)=x^2+2x+3a\) nie ma ani jednego miejsca zerowego, to liczba \(a\) spełnia warunek

\(a<-1\)

\(-1\leq a<0\)

\(0\leq a<\frac{1}{3}\)

\(a>\frac{1}{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek braku miejsc zerowych

Funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych, gdy jej wyróżnik jest ujemny.

\[\Delta=2^2-4\cdot1\cdot3a=4-12a<0\]

2 Rozwiązanie nierówności

Przenosimy wyrazy i dzielimy przez liczbę dodatnią.

\[4-12a<0\iff 12a>4\iff a>\frac{1}{3}\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: \(a>\frac{1}{3}\).

\[a>\frac{1}{3}\]

Sprawdzenie

Ponieważ \(f(x)=(x+1)^2+3a-1\), dla \(a>\frac{1}{3}\) jej najmniejsza wartość jest dodatnia, więc funkcja nie ma miejsc zerowych. Przy \(a=\frac{1}{3}\) ma miejsce zerowe \(x=-1\).

\[\min f=3a-1>0\]