Zbiór zadań maturalnych

Ciągi — zadania maturalne

Ciągi: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

98 zadańStrona 1 z 7

Sortuj:

Zadanie 14.1

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg \((a_n)\) jest określony następująco:

\[\begin{cases}a_1=2\\a_{n+1}=a_n-6\end{cases}\quad\text{dla każdej liczby naturalnej }n\geq 1.\]

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Piąty wyraz ciągu \((a_n)\) jest równy

\((-4)\)

\((-16)\)

\((-22)\)

\((-28)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie kolejnych wyrazów

Z definicji ciągu każdy następny wyraz jest o 6 mniejszy od poprzedniego. Od pierwszego do piątego wyrazu wykonujemy cztery takie odejmowania.

\[a_2=2-6=-4,\quad a_3=-4-6=-10,\quad a_4=-10-6=-16,\quad a_5=-16-6=-22\]

Odpowiedź

Piąty wyraz ciągu wynosi −22. Odpowiedź C.

\[a_5=-22\]

Sprawdzenie

Różnica między czwartym a piątym wyrazem wynosi −6, zgodnie z definicją ciągu.

\[a_5-a_4=-22-(-16)=-6\]

Zadanie 14.2

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg \((a_n)\) jest określony następująco:

\[\begin{cases}a_1=2\\a_{n+1}=a_n-6\end{cases}\quad\text{dla każdej liczby naturalnej }n\geq 1.\]

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Ciąg \((a_n)\) jest arytmetyczny.	P	F
Ciąg \((a_n)\) jest malejący.	P	F

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rodzaj ciągu

W ciągu arytmetycznym różnica kolejnych wyrazów jest stała. Z podanego wzoru rekurencyjnego wynosi ona zawsze −6.

\[a_{n+1}-a_n=-6\]

2 Monotoniczność

Różnica jest ujemna dla każdego n ≥ 1, więc każdy następny wyraz jest mniejszy od poprzedniego.

\[a_{n+1}=a_n-6<a_n\]

Odpowiedź

Ciąg jest arytmetyczny — P. Ciąg jest malejący — P.

\[\boxed{\text{P, P}}\]

Sprawdzenie

Wzór ogólny daje pierwszy wyraz równy 2 oraz różnicę kolejnych wyrazów równą −6 dla każdego n ≥ 1, co potwierdza obie odpowiedzi.

\[a_n=2-6(n-1),\quad a_1=2,\quad a_{n+1}-a_n=-6<0\]

Zadanie 15

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Ciągi

Czterowyrazowy ciąg \((7, a_2, a_3, a_4)\) jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa \(54\).

Oblicz drugi wyraz tego ciągu. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie różnicy ciągu

W ciągu arytmetycznym każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego o tę samą różnicę \(r\). Zapisujemy sumę czterech wyrazów i obliczamy \(r\).

\[7+(7+r)+(7+2r)+(7+3r)=54\quad\Rightarrow\quad 28+6r=54\quad\Rightarrow\quad r=\frac{13}{3}\]

2 Obliczenie drugiego wyrazu

Do pierwszego wyrazu dodajemy obliczoną różnicę.

\[a_2=7+\frac{13}{3}=\frac{34}{3}\]

Odpowiedź

Drugi wyraz ciągu wynosi \(\frac{34}{3}\).

\[a_2=\frac{34}{3}\]

Sprawdzenie

Kolejne wyrazy otrzymane przez dodawanie różnicy \(\frac{13}{3}\) sumują się do \(54\).

\[7+\frac{34}{3}+\frac{47}{3}+20=54\]

Zadanie 16

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Pięciowyrazowy ciąg \((a_1, a_2, 2, a_4, a_5)\) jest geometryczny.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Iloczyn \(a_1\cdot a_2\cdot 2\cdot a_4\cdot a_5\) jest równy

\(2\)

\(16\)

\(32\)

\(64\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Połącz wyrazy symetryczne

W ciągu geometrycznym iloczyn wyrazów jednakowo oddalonych od środka jest kwadratem wyrazu środkowego.

\[a_1a_5=a_2a_4=a_3^2=2^2=4\]

2 Oblicz iloczyn

Grupujemy wyrazy w pary i uwzględniamy wyraz środkowy.

\[a_1a_2\cdot2\cdot a_4a_5=(a_1a_5)(a_2a_4)\cdot2=4\cdot4\cdot2=32\]

Odpowiedź

C. Iloczyn jest równy 32.

\[32\]

Sprawdzenie

Ponieważ trzeci wyraz wynosi 2, iloraz ciągu jest niezerowy. Zapisanie wyrazów za pomocą ilorazu potwierdza, że iloczyn zawsze wynosi 32.

\[\frac{2}{q^2}\cdot\frac{2}{q}\cdot2\cdot2q\cdot2q^2=32\quad(q\ne0)\]

Zadanie 12

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). W tym ciągu \(a_1=2\) oraz \(a_3-a_2=-6\).

Piąty wyraz ciągu \((a_n)\) jest równy

\((-4)\)

\((-16)\)

\((-22)\)

\((-28)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie różnicy

W ciągu arytmetycznym różnica kolejnych wyrazów jest stała, więc podana różnica jest równa różnicy ciągu.

\[r=a_3-a_2=-6\]

2 Obliczenie piątego wyrazu

Od pierwszego do piątego wyrazu dodajemy różnicę cztery razy.

\[a_5=a_1+4r=2+4\cdot(-6)=-22\]

Odpowiedź

Piąty wyraz wynosi −22. Odpowiedź C.

\[a_5=-22\]

Sprawdzenie

Kolejne wyrazy to 2, −4, −10, −16, −22. Rzeczywiście różnica trzeciego i drugiego wynosi −6.

\[a_3-a_2=-10-(-4)=-6\]

Zadanie 13

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Pięciowyrazowy ciąg \((a_1,a_2,2,a_4,a_5)\) jest geometryczny.

Iloczyn \(a_1\cdot a_2\cdot 2\cdot a_4\cdot a_5\) jest równy

\(2\)

\(16\)

\(32\)

\(64\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Połącz wyrazy jednakowo odległe od środka

W ciągu geometrycznym iloczyn takich wyrazów jest równy kwadratowi wyrazu środkowego.

\[a_1a_5=a_3^2=4,\qquad a_2a_4=a_3^2=4\]

2 Oblicz iloczyn

Grupujemy wyrazy w pary i mnożymy przez wyraz środkowy.

\[a_1a_2\cdot2\cdot a_4a_5=(a_1a_5)(a_2a_4)\cdot2=4\cdot4\cdot2=32\]

Odpowiedź

C. Iloczyn jest równy 32.

\[32\]

Sprawdzenie

Obie pary dają 4, więc ich iloczyn pomnożony przez wyraz środkowy 2 wynosi 32.

\[4\cdot4\cdot2=32\]

Zadanie 29

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Ciągi

Czterowyrazowy ciąg \((7, a_2, a_3, a_4)\) jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa \(54\).

Oblicz drugi wyraz tego ciągu.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie wyrazów ciągu

W ciągu arytmetycznym każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego o tę samą różnicę \(d\).

\[a_2=7+d,\quad a_3=7+2d,\quad a_4=7+3d\]

2 Obliczenie różnicy

Podstawiamy wyrazy do podanej sumy i rozwiązujemy równanie.

\[7+(7+d)+(7+2d)+(7+3d)=54\quad\Rightarrow\quad 28+6d=54\quad\Rightarrow\quad d=\frac{13}{3}\]

3 Obliczenie drugiego wyrazu

Dodajemy obliczoną różnicę do pierwszego wyrazu.

\[a_2=7+\frac{13}{3}=\frac{34}{3}\]

Odpowiedź

Drugi wyraz ciągu to \(\frac{34}{3}\).

\[a_2=\frac{34}{3}\]

Sprawdzenie

Kolejne wyrazy mają różnicę \(\frac{13}{3}\), a ich suma wynosi \(54\).

\[7+\frac{34}{3}+\frac{47}{3}+20=54\]

Zadanie 15

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte3 pkt

Ciągi

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=3n+5\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). Trzywyrazowy ciąg \((a_1,a_9,a_k)\) jest geometryczny.

Oblicz \(k\). Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie znanych wyrazów

Podstawiamy indeksy 1 i 9 do wzoru ciągu.

\[a_1=3\cdot1+5=8,\qquad a_9=3\cdot9+5=32\]

2 Wyznaczenie trzeciego wyrazu

W ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu jest iloczynem wyrazów skrajnych.

\[a_9^2=a_1a_k,\qquad 32^2=8a_k,\qquad a_k=128\]

3 Obliczenie indeksu

Korzystamy ze wzoru na wyraz o indeksie k.

\[3k+5=128,\qquad 3k=123,\qquad k=41\]

Odpowiedź

k = 41

\[k=41\]

Sprawdzenie

Dla k = 41 trzeci wyraz wynosi 128. Ilorazy kolejnych wyrazów są równe 4, a indeks 41 jest liczbą naturalną większą od 1.

\[a_{41}=3\cdot41+5=128,\qquad \frac{32}{8}=\frac{128}{32}=4\]

Zadanie 16

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). W tym ciągu \(a_1=1\) oraz \(a_5=17\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dziewiąty wyraz ciągu \((a_n)\) jest równy

\(29\)

\(33\)

\(34\)

\(37\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie różnicy ciągu

W ciągu arytmetycznym każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego o tę samą liczbę. Od pierwszego do piątego wyrazu są cztery takie przyrosty.

\[a_5=a_1+4r,\quad 17=1+4r,\quad r=4\]

2 Obliczenie dziewiątego wyrazu

Od pierwszego do dziewiątego wyrazu są osiem przyrostów równych 4.

\[a_9=a_1+8r=1+8\cdot4=33\]

Odpowiedź

Dziewiąty wyraz wynosi 33. Odpowiedź B.

\[a_9=33\]

Sprawdzenie

Przy różnicy 4 piąty wyraz wynosi 17, zgodnie z treścią zadania.

\[a_5=1+4\cdot4=17\]

Zadanie 17

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte1 pkt

Ciągi

Ciąg geometryczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). Wyrazy trzeci i szósty tego ciągu spełniają warunek \(a_3\cdot a_6=18\).

Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.

Iloczyn \(a_2\cdot a_7\) jest równy ……… .

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz wyrazy ciągu

W ciągu geometrycznym każdy wyraz ma postać \(a_n=a_1q^{n-1}\).

\[a_3a_6=(a_1q^2)(a_1q^5)=a_1^2q^7=18\]

2 Oblicz szukany iloczyn

Suma wykładników dla wyrazów drugiego i siódmego również wynosi \(7\), więc ich iloczyn jest taki sam.

\[a_2a_7=(a_1q)(a_1q^6)=a_1^2q^7=18\]

Odpowiedź

W wykropkowanym miejscu należy wpisać 18.

\[a_2a_7=18\]

Sprawdzenie

W obu iloczynach czynnikami są dwa razy \(a_1\), a wykładniki ilorazu sumują się do \(7\): odpowiednio \(2+5\) i \(1+6\). Zatem oba iloczyny są równe dla każdego ciągu spełniającego podany warunek.

\[a_3a_6=a_1^2q^{2+5}=a_1^2q^{1+6}=a_2a_7=18\]

Zadanie 14

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geqslant 1\). W tym ciągu \(a_1=1\) oraz \(a_5=17\).

Dziewiąty wyraz ciągu \((a_n)\) jest równy

\(29\)

\(33\)

\(34\)

\(37\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie różnicy ciągu

W ciągu arytmetycznym każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego o tę samą różnicę r. Od pierwszego do piątego wyrazu są cztery takie różnice.

\[a_5=a_1+4r,\quad 17=1+4r,\quad r=4\]

2 Obliczenie dziewiątego wyrazu

Od pierwszego do dziewiątego wyrazu dodajemy różnicę osiem razy.

\[a_9=a_1+8r=1+8\cdot4=33\]

Odpowiedź

Dziewiąty wyraz wynosi 33. Odpowiedź B.

\[a_9=33\]

Sprawdzenie

Od piątego do dziewiątego wyrazu są cztery różnice, więc otrzymujemy ten sam wynik.

\[a_9=a_5+4r=17+4\cdot4=33\]

Zadanie 15

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg geometryczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geqslant 1\). Wyrazy trzeci i szósty tego ciągu spełniają warunek \(a_3\cdot a_6=18\).

Iloczyn \(a_2\cdot a_7\) jest równy

\(9\)

\(14\)

\(18\)

\(36\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz wyrazy ciągu

W ciągu geometrycznym każdy wyraz ma postać wynikającą z pierwszego wyrazu i ilorazu.

\[a_n=a_1q^{n-1}\]

2 Porównaj iloczyny

W obu iloczynach suma wykładników przy ilorazie jest równa 7, więc iloczyny są równe.

\[a_3a_6=(a_1q^2)(a_1q^5)=a_1^2q^7,\qquad a_2a_7=(a_1q)(a_1q^6)=a_1^2q^7\]

Odpowiedź

Iloczyn wynosi 18. Odpowiedź C.

\[a_2a_7=a_3a_6=18\]

Sprawdzenie

Warunek zadania daje iloczyn 18, więc oba czynniki są niezerowe. Równość iloczynów wynika z wzoru na ciąg geometryczny dla każdego dopuszczalnego ilorazu.

\[a_3a_6=18\ne 0,\qquad a_2a_7=a_1^2q^7=a_3a_6=18\]

Zadanie 14.1

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=3n^2-3n\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Suma \(S_3\) trzech początkowych kolejnych wyrazów ciągu \((a_n)\) jest równa

\(18\)

\(24\)

\(60\)

\(90\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie trzech wyrazów

Podstawiamy kolejno \(n=1,2,3\) do wzoru ciągu.

\[a_1=3\cdot1^2-3\cdot1=0,\quad a_2=3\cdot2^2-3\cdot2=6,\quad a_3=3\cdot3^2-3\cdot3=18\]

2 Obliczenie sumy

Dodajemy trzy początkowe wyrazy zgodnie z definicją \(S_3\).

\[S_3=a_1+a_2+a_3=0+6+18=24\]

Odpowiedź

Suma wynosi 24. Poprawna odpowiedź: B.

\[S_3=24\]

Sprawdzenie

Bezpośrednie zsumowanie składników wzoru daje ten sam wynik.

\[S_3=3(1^2+2^2+3^2)-3(1+2+3)=3\cdot14-3\cdot6=24\]

Zadanie 14.2

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=3n^2-3n\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Ciąg \((a_n)\) jest arytmetyczny.	P	F
Wszystkie wyrazy ciągu \((a_n)\) są liczbami parzystymi.	P	F

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Sprawdzenie arytmetyczności

W ciągu arytmetycznym różnica kolejnych wyrazów jest stała. Tutaj zależy od n, więc pierwsze stwierdzenie jest fałszywe.

\[a_{n+1}-a_n=3(n+1)^2-3(n+1)-(3n^2-3n)=6n\]

2 Sprawdzenie parzystości

Liczby n i n−1 są kolejne, więc jedna z nich jest parzysta. Ich iloczyn pomnożony przez 3 również jest parzysty dla każdego n≥1.

\[a_n=3n(n-1)\]

Odpowiedź

Ciąg jest arytmetyczny: F. Wszystkie jego wyrazy są parzyste: P.

\[\boxed{\mathrm{F},\ \mathrm{P}}\]

Sprawdzenie

Dla n=1 i n=2 różnice kolejnych wyrazów wynoszą odpowiednio 6 i 12, więc nie są stałe. Parzystość każdego wyrazu wynika z iloczynu dwóch kolejnych liczb całkowitych.

\[a_2-a_1=6,\qquad a_3-a_2=12,\qquad 2\mid n(n-1)\Rightarrow 2\mid a_n\]

Zadanie 15.1

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\), dane są wyrazy: \(a_1=52\) oraz \(a_{25}=2\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Różnica ciągu \((a_n)\) jest równa

\(\left(-\frac{25}{12}\right)\)

\((-2)\)

\(2\)

\(\frac{25}{12}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie wzoru na wyraz ciągu

W ciągu arytmetycznym każdy kolejny wyraz różni się od poprzedniego o stałą wartość r, więc od pierwszego do dwudziestego piątego wyrazu dodajemy ją 24 razy.

\[a_{25}=a_1+24r\]

2 Obliczenie różnicy

Podstawiamy dane wyrazy i rozwiązujemy równanie względem r.

\[2=52+24r\quad\Rightarrow\quad 24r=-50\quad\Rightarrow\quad r=-\frac{25}{12}\]

Odpowiedź

Różnica ciągu wynosi \(-\frac{25}{12}\). Poprawna odpowiedź: A.

\[r=-\frac{25}{12}\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu obliczonej różnicy otrzymujemy podany wyraz dwudziesty piąty.

\[a_{25}=52+24\left(-\frac{25}{12}\right)=52-50=2\]