Zbiór zadań maturalnych

Ciągi — zadania maturalne

Ciągi: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

98 zadańStrona 6 z 7

Sortuj:

Zadanie 13

Matura 2018 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego \((a_n)\) określonego dla \(n\geq 1\) są dodatnie i \(3a_2=2a_3\). Stąd wynika, że iloraz \(q\) tego ciągu jest równy

\(q=\frac{2}{3}\)

\(q=\frac{3}{2}\)

\(q=6\)

\(q=5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz iloraz ciągu

W ciągu geometrycznym kolejny wyraz jest iloczynem poprzedniego wyrazu i ilorazu.

\[a_3=a_2q\]

2 Wyznacz iloraz

Podstawiamy wzór na trzeci wyraz. Ponieważ wszystkie wyrazy są dodatnie, możemy podzielić równanie przez \(2a_2\).

\[3a_2=2a_2q\quad\Rightarrow\quad q=\frac{3}{2}\]

Odpowiedź

Iloraz wynosi \(\frac{3}{2}\). Odpowiedź B.

\[q=\frac{3}{2}\]

Sprawdzenie

Dla \(q=\frac{3}{2}\) mamy \(a_3=\frac{3}{2}a_2\), więc \(2a_3=3a_2\). Iloraz jest dodatni, zgodnie z warunkiem zadania.

\[2a_3=2\cdot\frac{3}{2}a_2=3a_2\]

Zadanie 14

Matura 2018 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\) określony wzorem \(a_n=16-\frac{1}{2}\cdot n\) dla każdej liczby całkowitej \(n\geq 1\). Różnica \(r\) tego ciągu jest równa

\(r=-16\)

\(r=-\frac{1}{2}\)

\(r=-\frac{1}{32}\)

\(r=15\frac{1}{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie różnicy

Różnica ciągu arytmetycznego to różnica dwóch kolejnych wyrazów. Podstawiamy dany wzór dla indeksów \(n+1\) i \(n\).

\[r=a_{n+1}-a_n=\left(16-\frac{1}{2}(n+1)\right)-\left(16-\frac{1}{2}n\right)=-\frac{1}{2}\]

Odpowiedź

Różnica wynosi \(-\frac{1}{2}\). Odpowiedź B.

\[r=-\frac{1}{2}\]

Sprawdzenie

Pierwsze dwa wyrazy to \(a_1=\frac{31}{2}\) i \(a_2=15\), więc ich różnica wynosi \(-\frac{1}{2}\).

\[a_2-a_1=15-\frac{31}{2}=-\frac{1}{2}\]

Zadanie 33

Matura 2018 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Ciągi

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla liczb naturalnych \(n\geq 1\), wyraz szósty jest liczbą dwa razy większą od wyrazu piątego, a suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa \(S_{10}=\frac{15}{4}\). Oblicz wyraz pierwszy oraz różnicę tego ciągu.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek dotyczący wyrazów

W ciągu arytmetycznym każdy kolejny wyraz powstaje przez dodanie różnicy \(d\). Zapisujemy więc zależność między wyrazem szóstym i piątym.

\[a_1+5d=2(a_1+4d)\quad\Longrightarrow\quad a_1=-3d\]

2 Suma dziesięciu wyrazów

Korzystamy ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i podstawiamy \(a_1=-3d\).

\[S_{10}=\frac{10}{2}(2a_1+9d)=5(-6d+9d)=15d=\frac{15}{4}\]

3 Obliczenie niewiadomych

Dzielimy równanie przez 15, a następnie obliczamy pierwszy wyraz.

\[d=\frac14,\qquad a_1=-3\cdot\frac14=-\frac34\]

Odpowiedź

Wyraz pierwszy wynosi \(-\frac34\), a różnica ciągu wynosi \(\frac14\).

\[a_1=-\frac34,\qquad d=\frac14\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanych wartości wyraz piąty to \(\frac14\), a szósty to \(\frac12\), więc warunek podwojenia jest spełniony. Suma dziesięciu wyrazów również ma wymaganą wartość.

\[a_5=-\frac34+4\cdot\frac14=\frac14,\quad a_6=-\frac34+5\cdot\frac14=\frac12=2a_5,\quad S_{10}=5\left(2\cdot\left(-\frac34\right)+9\cdot\frac14\right)=\frac{15}{4}\]

Zadanie 13

Matura 2018 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg arytmetyczny \((a_n)\), określony dla \(n\geq 1\), spełnia warunek \(a_3+a_4+a_5=15\). Wtedy

\(a_4=5\)

\(a_4=6\)

\(a_4=3\)

\(a_4=4\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz wyrazy sąsiednie

W ciągu arytmetycznym różnica między kolejnymi wyrazami jest stała. Oznaczając ją przez \(r\), wyrażamy skrajne wyrazy przez środkowy.

\[a_3=a_4-r,\qquad a_5=a_4+r\]

2 Oblicz czwarty wyraz

Po podstawieniu do podanej sumy składniki z \(r\) się redukują.

\[(a_4-r)+a_4+(a_4+r)=15\quad\Rightarrow\quad 3a_4=15\quad\Rightarrow\quad a_4=5\]

Odpowiedź

Czwarty wyraz wynosi 5. Odpowiedź A.

\[a_4=5\]

Sprawdzenie

Dla dowolnej różnicy \(r\) suma trzeciego, czwartego i piątego wyrazu jest równa 15, więc wynik spełnia warunek zadania.

\[(5-r)+5+(5+r)=15\]

Zadanie 14

Matura 2018 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Dla pewnej liczby \(x\) ciąg \((x,x+4,16)\) jest geometryczny. Liczba \(x\) jest równa

\(8\)

\(4\)

\(2\)

\(0\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek ciągu geometrycznego

W trzech kolejnych wyrazach ciągu geometrycznego kwadrat wyrazu środkowego jest iloczynem wyrazów skrajnych.

\[(x+4)^2=x\cdot16\]

2 Rozwiązanie równania

Rozwijamy kwadrat i sprowadzamy równanie do postaci iloczynowej.

\[x^2+8x+16=16x\quad\Longleftrightarrow\quad x^2-8x+16=0\quad\Longleftrightarrow\quad(x-4)^2=0\quad\Longleftrightarrow\quad x=4\]

Odpowiedź

Liczba x jest równa 4. Odpowiedź B.

\[x=4\]

Sprawdzenie

Dla x=4 otrzymujemy ciąg (4,8,16). Ilorazy kolejnych wyrazów są równe 2, więc ciąg jest geometryczny.

\[\frac{8}{4}=\frac{16}{8}=2\]

Zadanie 30

Matura 2018 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Ciągi

Dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego \((a_n)\), określonego dla \(n\geq 1\), jest równy 34, a suma jego ośmiu początkowych wyrazów jest równa 110. Oblicz pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ułóż równania

Korzystamy ze wzoru na dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego oraz ze wzoru na sumę ośmiu początkowych wyrazów.

\[a_1+8d=34,\qquad S_8=\frac{8}{2}(2a_1+7d)=110\]

2 Oblicz różnicę

Upraszczamy równanie sumy i odejmujemy je od podwojonego pierwszego równania, aby wyeliminować pierwszy wyraz.

\[2a_1+7d=\frac{55}{2},\qquad (2a_1+16d)-(2a_1+7d)=68-\frac{55}{2},\qquad 9d=\frac{81}{2},\qquad d=\frac{9}{2}\]

3 Oblicz pierwszy wyraz

Podstawiamy wyznaczoną różnicę do równania na dziewiąty wyraz.

\[a_1=34-8\cdot\frac{9}{2}=-2\]

Odpowiedź

Pierwszy wyraz wynosi −2, a różnica ciągu wynosi 9/2.

\[a_1=-2,\qquad d=\frac{9}{2}\]

Sprawdzenie

Dziewiąty wyraz wynosi 34, a suma ośmiu początkowych wyrazów wynosi 110, zgodnie z treścią zadania.

\[a_9=-2+8\cdot\frac{9}{2}=34,\qquad S_8=4\left(2\cdot(-2)+7\cdot\frac{9}{2}\right)=110\]

Zadanie 13

Matura 2017 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\geq 1\), spełniony jest warunek \(2a_3=a_2+a_1+1\). Różnica \(r\) tego ciągu jest równa

\(0\)

\(\frac{1}{3}\)

\(\frac{1}{2}\)

\(1\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie wyrazów ciągu

W ciągu arytmetycznym każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego o różnicę \(r\).

\[a_2=a_1+r,\qquad a_3=a_1+2r\]

2 Wyznaczenie różnicy

Podstawiamy te wyrażenia do podanego warunku i rozwiązujemy równanie.

\[2(a_1+2r)=(a_1+r)+a_1+1\;\Longrightarrow\;4r=r+1\;\Longrightarrow\;r=\frac{1}{3}\]

Odpowiedź

Różnica ciągu wynosi \(\frac{1}{3}\). Odpowiedź B.

\[r=\frac{1}{3}\]

Sprawdzenie

Dla \(r=\frac{1}{3}\) obie strony podanego warunku są równe \(2a_1+\frac{4}{3}\).

\[2a_3=2\left(a_1+\frac{2}{3}\right)=2a_1+\frac{4}{3}=\left(a_1+\frac{1}{3}\right)+a_1+1=a_2+a_1+1\]

Zadanie 14

Matura 2017 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Dany jest ciąg geometryczny \((x,2x^2,4x^3,8)\) o wyrazach nieujemnych. Wtedy

\(x=0\)

\(x=1\)

\(x=2\)

\(x=4\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wykluczenie zera

Gdyby x=0, trzy pierwsze wyrazy byłyby zerowe. W ciągu geometrycznym następny wyraz też musiałby być zerem, a wynosi 8. Ponieważ wyrazy są nieujemne, mamy x>0.

\[x>0\]

2 Wyznaczenie x

W ciągu geometrycznym ilorazy kolejnych wyrazów są równe. Korzystamy z x>0, aby podzielić przez wyrazy zawierające x.

\[\frac{2x^2}{x}=\frac{8}{4x^3}\quad\Longrightarrow\quad 2x=\frac{2}{x^3}\quad\Longrightarrow\quad x^4=1\quad\Longrightarrow\quad x=1\]

Odpowiedź

x=1, odpowiedź B.

\[x=1\]

Sprawdzenie

Dla x=1 otrzymujemy ciąg (1,2,4,8). Wszystkie wyrazy są nieujemne, a każdy kolejny jest dwa razy większy od poprzedniego.

\[\frac{2}{1}=\frac{4}{2}=\frac{8}{4}=2\]

Zadanie 30

Matura 2017 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Ciągi

Suma trzydziestu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego \((a_n)\), określonego dla \(n\geq 1\), jest równa 30. Ponadto \(a_{30}=30\). Oblicz różnicę tego ciągu.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie pierwszego wyrazu

Korzystamy ze wzoru na sumę ciągu arytmetycznego, ponieważ znamy sumę 30 wyrazów i ostatni z nich.

\[S_{30}=\frac{30(a_1+a_{30})}{2}=30\quad\Rightarrow\quad 15(a_1+30)=30\quad\Rightarrow\quad a_1=-28\]

2 Obliczenie różnicy

Trzydziesty wyraz powstaje z pierwszego po dodaniu różnicy 29 razy.

\[a_{30}=a_1+29r\quad\Rightarrow\quad 30=-28+29r\quad\Rightarrow\quad r=2\]

Odpowiedź

Różnica ciągu wynosi 2.

\[r=2\]

Sprawdzenie

Dla pierwszego wyrazu −28 i różnicy 2 trzydziesty wyraz wynosi 30, a suma trzydziestu wyrazów wynosi 30.

\[a_{30}=-28+29\cdot2=30,\qquad S_{30}=\frac{30(-28+30)}{2}=30\]

Zadanie 11

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\), określony dla \(n\geq 1\), o którym wiemy, że: \(a_1=2\) i \(a_2=9\). Wtedy \(a_n=79\) dla

\(n=10\)

\(n=11\)

\(n=12\)

\(n=13\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie różnicy

W ciągu arytmetycznym różnica kolejnych wyrazów jest stała.

\[r=a_2-a_1=9-2=7\]

2 Wyznaczenie numeru wyrazu

Korzystamy ze wzoru na wyraz ogólny i rozwiązujemy równanie dla \(a_n=79\).

\[79=a_1+(n-1)r=2+7(n-1)\;\Longrightarrow\;77=7(n-1)\;\Longrightarrow\;n=12\]

Odpowiedź

Odpowiedź C: n = 12.

\[n=12\]

Sprawdzenie

Dla n = 12 wzór daje 79, a numer wyrazu spełnia warunek n ≥ 1.

\[a_{12}=2+(12-1)\cdot 7=79\]

Zadanie 12

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Dany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny o wyrazach dodatnich: \((81, 3x, 4)\). Stąd wynika, że

\(x=18\)

\(x=6\)

\(x=\frac{85}{6}\)

\(x=\frac{6}{85}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Własność ciągu geometrycznego

Kwadrat środkowego wyrazu jest iloczynem wyrazów skrajnych, więc wyznaczamy x z tego równania.

\[(3x)^2=81\cdot4=324\]

2 Wybór dodatniego rozwiązania

Po podzieleniu przez 9 otrzymujemy dwa rozwiązania. Ponieważ 3x jest dodatnim wyrazem ciągu, wybieramy dodatnie x.

\[9x^2=324\quad\Longrightarrow\quad x^2=36\quad\Longrightarrow\quad x=6\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: x = 6.

\[x=6\]

Sprawdzenie

Dla x = 6 środkowy wyraz wynosi 18 i jest dodatni. Ilorazy kolejnych wyrazów są równe, więc ciąg jest geometryczny.

\[\frac{18}{81}=\frac{2}{9}=\frac{4}{18}\]

Zadanie 31

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Ciągi

Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\), określony dla \(n\geq 1\), w którym spełniona jest równość \(a_{21}+a_{24}+a_{27}+a_{30}=100\). Oblicz sumę \(a_{25}+a_{26}\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Łączymy wyrazy w pary

W ciągu arytmetycznym pary wyrazów, których indeksy mają tę samą sumę, mają równe sumy.

\[a_{21}+a_{30}=a_{24}+a_{27}=a_{25}+a_{26}\]

2 Obliczamy szukaną sumę

W podanej równości występują dwie pary, z których każda ma sumę równą szukanej.

\[100=(a_{21}+a_{30})+(a_{24}+a_{27})=2(a_{25}+a_{26}),\quad a_{25}+a_{26}=50\]

Odpowiedź

Suma wynosi 50.

\[a_{25}+a_{26}=50\]

Sprawdzenie

Obie pary wyrazów z warunku mają sumę 50, więc ich łączna suma wynosi 100.

\[(a_{21}+a_{30})+(a_{24}+a_{27})=50+50=100\]

Zadanie 11

Matura 2016 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=6(n-16)\) dla \(n\geqslant 1\). Suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

\(-54\)

\(-126\)

\(-630\)

\(-270\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie sumy

Sumujemy wyrazy od pierwszego do dziesiątego i wyłączamy stały czynnik 6 przed sumę.

\[S_{10}=\sum_{n=1}^{10}6(n-16)=6\left(\sum_{n=1}^{10}n-10\cdot16\right)\]

2 Podstawienie sumy liczb naturalnych

Suma liczb od 1 do 10 wynosi \(\frac{10\cdot11}{2}=55\), więc obliczamy wartość wyrażenia.

\[S_{10}=6\left(\frac{10\cdot11}{2}-160\right)=6(55-160)=-630\]

Odpowiedź

Suma wynosi −630. Odpowiedź C.

\[S_{10}=-630\]

Sprawdzenie

Pierwszy wyraz wynosi −90, a dziesiąty −36. Ciąg jest arytmetyczny, więc jego suma to dziesięć razy średnia tych wyrazów: −630.

\[a_1=-90,\quad a_{10}=-36,\quad S_{10}=\frac{10(-90-36)}{2}=-630\]

Zadanie 12

Matura 2016 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\), w którym \(a_1=72\) i \(a_4=9\). Iloraz \(q\) tego ciągu jest równy

\(q=\frac{1}{2}\)

\(q=\frac{1}{6}\)

\(q=\frac{1}{4}\)

\(q=\frac{1}{8}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie czwartego wyrazu

W ciągu geometrycznym każdy kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez iloraz \(q\), więc \(a_4=a_1q^3\).

\[9=72q^3\]

2 Obliczenie ilorazu

Dzielimy obie strony przez 72, a następnie obliczamy pierwiastek sześcienny.

\[q^3=\frac{9}{72}=\frac{1}{8},\qquad q=\sqrt[3]{\frac{1}{8}}=\frac{1}{2}\]

Odpowiedź

Iloraz ciągu wynosi \(\frac{1}{2}\). Odpowiedź A.

\[q=\frac{1}{2}\]

Sprawdzenie

Dla obliczonego ilorazu czwarty wyraz jest równy 9, zgodnie z treścią zadania.

\[a_4=72\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^3=72\cdot\frac{1}{8}=9\]

Zadanie 31

Matura 2016 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Ciągi

Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\) określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\), w którym \(a_1+a_2+a_3+a_4=2016\) oraz \(a_5+a_6+a_7+\ldots+a_{12}=2016\). Oblicz pierwszy wyraz, różnicę oraz najmniejszy dodatni wyraz ciągu \((a_n)\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie sum

W ciągu arytmetycznym \(a_n=a_1+(n-1)d\). Podstawiamy ten wzór do obu podanych sum.

\[4a_1+6d=2016,\qquad 8a_1+60d=2016\]

2 Wyznaczenie różnicy

Podwajamy pierwsze równanie i odejmujemy je od drugiego, aby usunąć \(a_1\).

\[48d=2016-4032=-2016,\qquad d=-42\]

3 Wyznaczenie pierwszego wyrazu

Podstawiamy różnicę do pierwszego równania.

\[4a_1+6\cdot(-42)=2016,\qquad a_1=567\]

4 Najmniejszy dodatni wyraz

Ciąg maleje, więc szukamy ostatniego wyrazu dodatniego.

\[a_n=567-42(n-1)=609-42n,\qquad a_{14}=21>0,\quad a_{15}=-21<0\]

Odpowiedź

Pierwszy wyraz to 567, różnica wynosi −42, a najmniejszy dodatni wyraz to 21.

\[a_1=567,\qquad d=-42,\qquad a_{14}=21\]

Sprawdzenie

Pierwsze cztery wyrazy dają sumę 2016. Wyrazy od piątego do dwunastego tworzą osiem wyrazów o sumie 2016. Ponieważ różnica jest ujemna, po dodatnim wyrazie 21 następuje wyraz ujemny −21.

\[567+525+483+441=2016,\qquad \frac{8(399+105)}{2}=2016,\qquad a_{14}=21>0>a_{15}=-21\]