Zbiór zadań maturalnych

Ciągi — zadania maturalne

Ciągi: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

98 zadańStrona 5 z 7

Sortuj:

Zadanie 13

Matura 2021 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geqslant 1\). Różnica tego ciągu jest równa \(2\). Wtedy

\(a_{24}-a_6=18\)

\(a_{24}-a_6=20\)

\(a_{24}-a_6=36\)

\(a_{24}-a_6=38\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie różnicy wyrazów

Od szóstego do dwudziestego czwartego wyrazu wykonujemy 18 kroków, a w każdym wyraz rośnie o 2.

\[a_{24}-a_6=(24-6)\cdot 2=36\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[a_{24}-a_6=36\]

Sprawdzenie

Ze wzoru na wyraz ciągu arytmetycznego otrzymujemy ten sam wynik; wartość pierwszego wyrazu się skraca.

\[a_{24}=a_1+23\cdot2=a_1+46,\quad a_6=a_1+5\cdot2=a_1+10,\quad a_{24}-a_6=36\]

Zadanie 14

Matura 2021 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Suma wszystkich liczb całkowitych dodatnich parzystych i jednocześnie mniejszych od \(1001\) jest równa

\(\frac{2+998}{2}\cdot 499\)

\(\frac{2+1000}{2}\cdot 500\)

\(\frac{2+1001}{2}\cdot 500\)

\(\frac{1+1001}{2}\cdot 1001\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie składników

Dodatnie liczby parzyste mniejsze od 1001 tworzą ciąg od 2 do 1000 o różnicy 2. Obliczamy liczbę jego wyrazów.

\[n=\frac{1000-2}{2}+1=500\]

2 Obliczenie sumy

Sumę ciągu arytmetycznego otrzymujemy, mnożąc średnią pierwszego i ostatniego wyrazu przez liczbę wyrazów.

\[S=\frac{2+1000}{2}\cdot 500=250500\]

Odpowiedź

Suma wynosi 250500. Pasuje odpowiedź B.

\[\boxed{B:\ \frac{2+1000}{2}\cdot 500=250500}\]

Sprawdzenie

Parując pierwszy wyraz z ostatnim, otrzymujemy 250 par o sumie 1002, więc wynik się zgadza.

\[2+1000=4+998=1002,\qquad 250\cdot1002=250500\]

Zadanie 15

Matura 2021 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Trójwyrazowy ciąg \((2, x, 18)\) jest rosnącym ciągiem geometrycznym. Wtedy

\(x=16\)

\(x=10\)

\(x=6\)

\(x=9\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Własność ciągu geometrycznego

W ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu jest iloczynem wyrazów sąsiednich, więc wyznaczamy możliwe wartości x.

\[x^2=2\cdot18=36\quad\Longrightarrow\quad x=6\ \text{lub}\ x=-6\]

2 Warunek rosnącego ciągu

Wyrazy muszą spełniać nierówność 2<x<18. Spełnia ją tylko x=6.

\[2<6<18\]

Odpowiedź

C, x=6.

\[x=6\]

Sprawdzenie

Dla wybranej wartości oba ilorazy kolejnych wyrazów są równe 3, a ciąg (2, 6, 18) jest rosnący.

\[\frac{6}{2}=3=\frac{18}{6},\qquad 2<6<18\]

Zadanie 35

Matura 2021 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Ciągi

Dany jest ciąg \((a_n)\) określony wzorem \(a_n=\frac{5-3n}{7}\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). Trójwyrazowy ciąg \((a_4,x^2+2,a_{11})\), gdzie \(x\) jest liczbą rzeczywistą, jest geometryczny. Oblicz \(x\) oraz iloraz tego ciągu geometrycznego.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie skrajnych wyrazów

Podstawiamy numery wyrazów do wzoru ciągu, aby poznać pierwszy i trzeci wyraz ciągu geometrycznego.

\[a_4=\frac{5-3\cdot4}{7}=-1,\qquad a_{11}=\frac{5-3\cdot11}{7}=-4\]

2 Wyznaczenie środkowego wyrazu i x

W trójwyrazowym ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu jest iloczynem skrajnych. Ponieważ x jest rzeczywiste, mamy x^2+2\geq2, więc wybieramy dodatni pierwiastek.

\[(x^2+2)^2=a_4a_{11}=4,\qquad x^2+2=2,\qquad x=0\]

3 Obliczenie ilorazu

Iloraz jest ilorazem drugiego wyrazu przez pierwszy, który jest różny od zera.

\[q=\frac{x^2+2}{a_4}=\frac{2}{-1}=-2\]

Odpowiedź

x = 0, a iloraz ciągu geometrycznego wynosi −2.

\[x=0,\qquad q=-2\]

Sprawdzenie

Dla x = 0 wyrazy wynoszą −1, 2, −4. Oba kolejne ilorazy są równe −2.

\[\frac{2}{-1}=-2,\qquad\frac{-4}{2}=-2\]

Zadanie 13

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). Czwarty wyraz tego ciągu jest równy \(a_4=2020\). Suma \(a_2+a_6\) jest równa

\(505\)

\(1010\)

\(2020\)

\(4040\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie wyrazów względem czwartego

W ciągu arytmetycznym każde przesunięcie o jeden wyraz zmienia wartość o tę samą różnicę r. Wyrazy drugi i szósty leżą po dwa miejsca od czwartego.

\[a_2=a_4-2r,\qquad a_6=a_4+2r\]

2 Obliczenie sumy

Po dodaniu wyrazów różnice się redukują. Podstawiamy daną wartość czwartego wyrazu.

\[a_2+a_6=(a_4-2r)+(a_4+2r)=2a_4=2\cdot2020=4040\]

Odpowiedź

Suma wynosi 4040. Odpowiedź D.

\[a_2+a_6=4040\]

Sprawdzenie

Dla dowolnej różnicy r składniki −2r i 2r znoszą się, więc suma zawsze jest równa dwukrotności 2020.

\[(2020-2r)+(2020+2r)=4040\]

Zadanie 14

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg geometryczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\) oraz \(a_2=6\) i \(a_5=-48\). Wynika stąd, że

\(a_7>0\)

\(a_7<0\)

\(a_7>a_6\)

\(a_7>a_8\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie ilorazu

W ciągu geometrycznym od wyrazu drugiego do piątego mnożymy trzykrotnie przez iloraz \(q\).

\[a_5=a_2q^3,\quad -48=6q^3,\quad q^3=-8,\quad q=-2\]

2 Obliczenie siódmego wyrazu

Od piątego do siódmego wyrazu mnożymy dwukrotnie przez \(q\).

\[a_7=a_5q^2=-48\cdot(-2)^2=-192<0\]

Odpowiedź

Prawidłowa odpowiedź: B, ponieważ \(a_7<0\).

\[a_7=-192<0\]

Sprawdzenie

Sąsiednie wyrazy wynoszą \(a_6=96\) i \(a_8=384\). Zatem pozostałe nierówności z odpowiedzi A, C i D są fałszywe.

\[a_6=-48\cdot(-2)=96,\quad a_8=-192\cdot(-2)=384;\quad -192<0,\quad -192<96,\quad -192<384\]

Zadanie 30

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Ciągi

Dany jest trzywyrazowy ciąg \( (x+2,\ 4x+2,\ x+11) \). Oblicz te wszystkie wartości \(x\), dla których ten ciąg jest geometryczny.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek ciągu geometrycznego

W trzywyrazowym ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu jest iloczynem skrajnych, więc układamy równanie.

\[(4x+2)^2=(x+2)(x+11)\]

2 Rozwiązanie równania

Rozwijamy nawiasy, przenosimy wyrazy na jedną stronę i rozkładamy trójmian na czynniki.

\[16x^2+16x+4=x^2+13x+22\quad\Longleftrightarrow\quad15x^2+3x-18=0\quad\Longleftrightarrow\quad3(5x+6)(x-1)=0\]

3 Wyznaczenie wartości

Iloczyn jest równy zeru, gdy jeden z jego czynników jest zerem.

\[5x+6=0\ \text{lub}\ x-1=0\quad\Longrightarrow\quad x=-\frac65\ \text{lub}\ x=1\]

Odpowiedź

Szukane wartości to x = −6/5 oraz x = 1.

\[x\in\left\{-\frac65,\ 1\right\}\]

Sprawdzenie

Dla x = 1 otrzymujemy ciąg (3, 6, 12) o ilorazie 2. Dla x = −6/5 otrzymujemy ciąg (4/5, −14/5, 49/5) o ilorazie −7/2. Obie wartości spełniają więc definicję ciągu geometrycznego.

\[\frac63=\frac{12}{6}=2,\qquad\frac{-14/5}{4/5}=\frac{49/5}{-14/5}=-\frac72\]

Zadanie 18

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\), są dane dwa wyrazy: \(a_1=2\) i \(a_2=5\). Stąd wynika, że \(n\)-ty wyraz tego ciągu jest określony wzorem

\(a_n=3n-1\)

\(a_n=3n+2\)

\(a_n=2n+3\)

\(a_n=2n-1\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie różnicy

Różnica ciągu arytmetycznego to różnica kolejnych wyrazów.

\[r=a_2-a_1=5-2=3\]

2 Wyznaczenie wzoru

Podstawiamy pierwszy wyraz i różnicę do wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego.

\[a_n=a_1+(n-1)r=2+3(n-1)=3n-1\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[a_n=3n-1\]

Sprawdzenie

Dla n=1 wzór daje 2, a dla n=2 daje 5, zgodnie z danymi.

\[a_1=3\cdot1-1=2,\qquad a_2=3\cdot2-1=5\]

Zadanie 27

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Ciągi

Dany jest trzywyrazowy ciąg \((x+2,\ 4x+2,\ x+11)\). Oblicz wszystkie wartości \(x\), dla których ten ciąg jest geometryczny.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek ciągu geometrycznego

Ponieważ pierwszy wyraz musi być różny od zera, przyjmujemy \(x\neq-2\). Wtedy ciąg jest geometryczny, gdy kwadrat środkowego wyrazu jest iloczynem skrajnych.

\[(4x+2)^2=(x+2)(x+11)\]

2 Rozwiązanie równania

Rozwijamy nawiasy i rozkładamy otrzymany trójmian na czynniki.

\[16x^2+16x+4=x^2+13x+22\;\Longleftrightarrow\;3(5x+6)(x-1)=0\;\Longleftrightarrow\;x=-\frac65\;\text{ lub }\;x=1\]

Odpowiedź

Obie wartości spełniają warunek \(x\neq-2\). Zatem \(x=1\) lub \(x=-\frac65\).

\[x\in\left\{1,-\frac65\right\}\]

Sprawdzenie

Dla \(x=1\) wyrazy to \((3,6,12)\), a iloraz wynosi \(2\). Dla \(x=-\frac65\) wyrazy to \(\left(\frac45,-\frac{14}5,\frac{49}5\right)\), a iloraz wynosi \(-\frac72\). Oba ciągi są geometryczne.

\[\frac63=\frac{12}6=2,\qquad\frac{-14/5}{4/5}=\frac{49/5}{-14/5}=-\frac72\]

Zadanie 9

Matura 2019 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Dany jest rosnący ciąg arytmetyczny \((a_n)\), określony dla liczb naturalnych \(n\geq 1\), o wyrazach dodatnich. Jeśli \(a_2+a_9=a_4+a_k\), to \(k\) jest równe

\(8\)

\(7\)

\(6\)

\(5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie wyrazów ciągu

Ciąg arytmetyczny jest rosnący, więc jego różnica \(r\) jest dodatnia. Każdy wyraz zapisujemy za pomocą \(a_1\) i \(r\).

\[a_n=a_1+(n-1)r,\quad r>0\]

2 Wyznaczenie indeksu

Podstawiamy wzór do podanej równości. Ponieważ \(r>0\), możemy podzielić obie strony przez \(r\).

\[(a_1+r)+(a_1+8r)=(a_1+3r)+(a_1+(k-1)r)\quad\Longrightarrow\quad 9r=(k+2)r\quad\Longrightarrow\quad k=7\]

Odpowiedź

B. \(k=7\).

\[k=7\]

Sprawdzenie

Dla \(k=7\) obie strony równości wynoszą \(2a_1+9r\), a indeks \(7\) jest liczbą naturalną.

\[a_2+a_9=2a_1+9r=a_4+a_7\]

Zadanie 10

Matura 2019 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

W ciągu \((a_n)\) określonym dla każdej liczby \(n\geq 1\) jest spełniony warunek \(a_{n+3}=-2\cdot 3^{n+1}\). Wtedy

\(a_5=-54\)

\(a_5=-27\)

\(a_5=27\)

\(a_5=54\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie indeksu

Aby obliczyć piąty wyraz, podstawiamy do warunku n=2, ponieważ n+3=5. Wartość ta spełnia warunek n≥1.

\[n+3=5\quad\Rightarrow\quad n=2\]

2 Obliczenie wyrazu

Podstawiamy n=2 i obliczamy potęgę.

\[a_5=-2\cdot 3^{2+1}=-2\cdot 27=-54\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: a₅ = −54.

\[a_5=-54\]

Sprawdzenie

Dla n=2 lewa strona warunku to a₅, a prawa to −2·3³=−54, więc wynik spełnia podany warunek.

\[a_{2+3}=-2\cdot 3^{2+1}=-54\]

Zadanie 30

Matura 2019 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Ciągi

W ciągu geometrycznym przez \(S_n\) oznaczamy sumę \(n\) początkowych wyrazów tego ciągu, dla liczb naturalnych \(n\geq 1\). Wiadomo, że dla pewnego ciągu geometrycznego: \(S_1=2\) i \(S_2=12\). Wyznacz iloraz i piąty wyraz tego ciągu.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie drugiego wyrazu

Suma dwóch początkowych wyrazów to suma pierwszego i drugiego, więc odejmujemy pierwszy wyraz od tej sumy.

\[a_1=S_1=2,\qquad a_2=S_2-S_1=12-2=10\]

2 Obliczenie ilorazu

W ciągu geometrycznym drugi wyraz jest iloczynem pierwszego wyrazu i ilorazu. Ponieważ pierwszy wyraz jest różny od zera, możemy przez niego podzielić.

\[q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{10}{2}=5\]

3 Obliczenie piątego wyrazu

Korzystamy ze wzoru na wyraz ciągu geometrycznego.

\[a_5=a_1q^{5-1}=2\cdot5^4=1250\]

Odpowiedź

Iloraz ciągu wynosi 5, a piąty wyraz wynosi 1250.

\[q=5,\qquad a_5=1250\]

Sprawdzenie

Dla obliczonego ilorazu drugi wyraz wynosi 10, zatem suma dwóch początkowych wyrazów jest równa podanemu 12.

\[a_1+a_2=2+2\cdot5=12=S_2\]

Zadanie 11

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\geq 1\), dane są dwa wyrazy: \(a_1=-11\) i \(a_9=5\). Suma dziewięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

\(-24\)

\(-27\)

\(-16\)

\(-18\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie sumy

W ciągu arytmetycznym suma dziewięciu wyrazów jest równa dziewięciokrotności średniej pierwszego i dziewiątego wyrazu.

\[S_9=\frac{9(a_1+a_9)}{2}=\frac{9(-11+5)}{2}=-27\]

Odpowiedź

B. Suma wynosi −27.

\[S_9=-27\]

Sprawdzenie

Różnica ciągu wynosi 2, więc środkowy wyraz to −3. Suma dziewięciu wyrazów jest równa 9 · (−3) = −27.

\[r=\frac{5-(-11)}{8}=2,\quad a_5=-11+4\cdot2=-3,\quad S_9=9\cdot(-3)=-27\]

Zadanie 12

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego \((a_n)\), określonego dla \(n\geq 1\), są liczbami dodatnimi. Drugi wyraz tego ciągu jest równy \(162\), a piąty wyraz jest równy \(48\). Oznacza to, że iloraz tego ciągu jest równy

\(\frac{2}{3}\)

\(\frac{3}{4}\)

\(\frac{1}{3}\)

\(\frac{1}{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie zależności

Od drugiego do piątego wyrazu wykonujemy trzy kroki ciągu geometrycznego, więc mnożymy przez iloraz trzy razy.

\[a_5=a_2q^3\quad\Rightarrow\quad 48=162q^3\]

2 Obliczenie ilorazu

Dzielimy przez 162 i wyciągamy pierwiastek sześcienny. Dodatniość wyrazów potwierdza, że iloraz jest dodatni.

\[q^3=\frac{48}{162}=\frac{8}{27}=\left(\frac{2}{3}\right)^3\quad\Rightarrow\quad q=\frac{2}{3}\]

Odpowiedź

Iloraz ciągu wynosi 2/3. Odpowiedź A.

\[q=\frac{2}{3}\]

Sprawdzenie

Dla obliczonego ilorazu piąty wyraz wynosi 48, a dodatni iloraz zachowuje dodatniość wszystkich wyrazów.

\[a_5=162\left(\frac{2}{3}\right)^3=162\cdot\frac{8}{27}=48\]

Zadanie 32

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Ciągi

W ciągu arytmetycznym \(\left(a_1,a_2,\ldots,a_{39},a_{40}\right)\) suma wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równa 1340, a suma wyrazów ciągu o numerach nieparzystych jest równa 1400. Wyznacz ostatni wyraz tego ciągu arytmetycznego.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie różnicy

Każdy wyraz o numerze nieparzystym jest o różnicę ciągu mniejszy od następującego po nim wyrazu parzystego. Takich par jest 20, więc różnica sum pozwala obliczyć różnicę ciągu.

\[1340-1400=20d,\quad d=-3\]

2 Obliczenie ostatniego wyrazu

Wyrazy o numerach parzystych tworzą ciąg arytmetyczny złożony z 20 wyrazów. Korzystamy ze wzoru na jego sumę oraz z zależności między pierwszym i ostatnim wyrazem.

\[1340=\frac{20(a_2+a_{40})}{2},\quad a_2+a_{40}=134;\qquad a_{40}=a_2+38d=a_2-114;\qquad 2a_2-114=134,\quad a_2=124,\quad a_{40}=10\]

Odpowiedź

Ostatni wyraz ciągu wynosi 10.

\[a_{40}=10\]

Sprawdzenie

Z obliczonych wartości wynika, że pierwszy wyraz to 127, a wyraz trzydziesty dziewiąty to 13. Suma 20 wyrazów o numerach nieparzystych wynosi 1400, zgodnie z treścią zadania.

\[a_1=124-(-3)=127,\quad a_{39}=127+38(-3)=13,\quad \frac{20(127+13)}{2}=1400\]