Zbiór zadań maturalnych

Ciągi — zadania maturalne

Ciągi: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

98 zadańStrona 4 z 7

Sortuj:

Zadanie 16

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=(-1)^n\cdot\frac{n+1}{2}\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Trzeci wyraz tego ciągu jest równy

\(2\)

\((-2)\)

\(3\)

\((-1)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie numeru wyrazu

Aby obliczyć trzeci wyraz, podstawiamy \(n=3\) do wzoru ciągu.

\[a_3=(-1)^3\cdot\frac{3+1}{2}\]

2 Obliczenie wartości

Trzecia potęga liczby \(-1\) wynosi \(-1\), a ułamek jest równy \(2\).

\[a_3=-1\cdot\frac{4}{2}=-2\]

Odpowiedź

Trzeci wyraz ciągu wynosi \(-2\). Odpowiedź B.

\[a_3=-2\]

Sprawdzenie

Numer \(3\) jest nieparzysty, więc wyraz jest ujemny; jego wartość bezwzględna wynosi \(\frac{3+1}{2}=2\). Zatem wynik \(-2\) się zgadza.

\[|a_3|=2\]

Zadanie 17

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy \(128\), natomiast iloraz ciągu jest równy \(\left(-\frac{1}{2}\right)\).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Wyraz \(a_{2023}\) jest liczbą ujemną.	P	F
Różnica \(a_3-a_2\) jest równa \(96\).	P	F

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Znak wyrazu a_{2023}

Wyraz ciągu geometrycznego obliczamy ze wzoru ogólnego. Wykładnik 2022 jest parzysty, więc wyraz jest dodatni.

\[a_{2023}=128\left(-\frac{1}{2}\right)^{2022}>0\]

2 Różnica wyrazów

Mnożymy pierwszy wyraz kolejno przez iloraz, aby obliczyć drugi i trzeci wyraz, a następnie ich różnicę.

\[a_2=128\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-64,\quad a_3=-64\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=32,\quad a_3-a_2=32-(-64)=96\]

Odpowiedź

Pierwsze stwierdzenie: F. Drugie stwierdzenie: P.

\[a_{2023}>0,\qquad a_3-a_2=96\]

Sprawdzenie

Dodatniość a_{2023} wynika też z tego, że od a_1 do a_{2023} znak zmienia się parzystą liczbę razy. Obliczone wyrazy spełniają warunek na iloraz: 32:(-64)=-1/2.

\[(-1)^{2022}=1,\qquad \frac{a_3}{a_2}=\frac{32}{-64}=-\frac{1}{2}\]

Zadanie 18

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Ciągi

Ciąg \((3x^2+5x, x^2, 20-x^2)\) jest arytmetyczny.

Oblicz \(x\). Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek ciągu arytmetycznego

W ciągu arytmetycznym podwojony wyraz środkowy jest sumą wyrazów skrajnych.

\[2x^2=(3x^2+5x)+(20-x^2)\]

2 Obliczenie x

Upraszczamy równanie i odejmujemy 2x² od obu stron.

\[2x^2=2x^2+5x+20\quad\Longrightarrow\quad 5x+20=0\quad\Longrightarrow\quad x=-4\]

Odpowiedź

x = −4

\[x=-4\]

Sprawdzenie

Dla x = −4 wyrazy ciągu to 28, 16, 4. Obie różnice są równe −12, więc ciąg jest arytmetyczny.

\[16-28=4-16=-12\]

Zadanie 15

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=(-1)^n\cdot\frac{n+1}{2}\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). Trzeci wyraz tego ciągu jest równy

\(2\)

\((-2)\)

\(3\)

\((-1)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie numeru wyrazu

Trzeci wyraz otrzymujemy, podstawiając \(n=3\) do wzoru ciągu.

\[a_3=(-1)^3\cdot\frac{3+1}{2}\]

2 Obliczenie wartości

Ponieważ wykładnik jest nieparzysty, \((-1)^3=-1\).

\[a_3=-1\cdot\frac{4}{2}=-2\]

Odpowiedź

Trzeci wyraz wynosi \(-2\). Odpowiedź B.

\[a_3=-2\]

Sprawdzenie

W odpowiedzi B podano \(-2\), czyli obliczoną wartość trzeciego wyrazu.

\[(-1)^3\cdot\frac{3+1}{2}=-2\]

Zadanie 16

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Czterowyrazowy ciąg \((-2,\ 1,\ x,\ y)\) jest geometryczny. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa

\(\left(-\frac{5}{4}\right)\)

\((-4)\)

\(\left(-\frac{1}{4}\right)\)

\(\left(-\frac{15}{4}\right)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie ilorazu

W ciągu geometrycznym każdy kolejny wyraz otrzymujemy przez pomnożenie poprzedniego przez stały iloraz.

\[q=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}\]

2 Obliczenie pozostałych wyrazów

Mnożymy kolejne wyrazy przez wyznaczony iloraz.

\[x=1\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{2},\qquad y=\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}\]

3 Obliczenie sumy

Dodajemy wszystkie cztery wyrazy ciągu.

\[S=-2+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=-\frac{5}{4}\]

Odpowiedź

Suma wynosi −5/4. Odpowiedź A.

\[S=-\frac{5}{4}\]

Sprawdzenie

Ilorazy kolejnych wyrazów są równe −1/2, więc wyznaczone wyrazy tworzą ciąg geometryczny. Suma −5/4 odpowiada odpowiedzi A.

\[\frac{1}{-2}=\frac{-\frac{1}{2}}{1}=\frac{\frac{1}{4}}{-\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}\]

Zadanie 31

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Ciągi

Ciąg \(\left(3x^{2}+5x,\ x^{2},\ 20-x^{2}\right)\) jest arytmetyczny. Oblicz \(x\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek ciągu arytmetycznego

W ciągu arytmetycznym podwojony wyraz środkowy jest sumą wyrazów skrajnych.

\[2x^{2}=(3x^{2}+5x)+(20-x^{2})\]

2 Obliczenie x

Upraszczamy równanie i odejmujemy \(2x^{2}\) od obu stron.

\[2x^{2}=2x^{2}+5x+20\quad\Rightarrow\quad 5x+20=0\quad\Rightarrow\quad x=-4\]

Odpowiedź

\(x=-4\).

\[x=-4\]

Sprawdzenie

Dla \(x=-4\) wyrazy ciągu to \(28,16,4\). Obie różnice wynoszą \(-12\), więc ciąg jest arytmetyczny.

\[16-28=4-16=-12\]

Zadanie 14

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=\frac{n-2}{2n^2}\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). Piąty wyraz tego ciągu jest równy

\(\left(-\frac{1}{10}\right)\)

\(\frac{3}{50}\)

\(\frac{3}{100}\)

\(\left(-\frac{1}{5}\right)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie numeru wyrazu

Piąty wyraz obliczamy, podstawiając \(n=5\) do wzoru ciągu.

\[a_5=\frac{5-2}{2\cdot 5^2}=\frac{3}{50}\]

Odpowiedź

Piąty wyraz wynosi \(\frac{3}{50}\). Odpowiedź B.

\[a_5=\frac{3}{50}\]

Sprawdzenie

Dla \(n=5\) licznik wynosi \(3\), a mianownik \(2\cdot25=50\). Otrzymany ułamek jest dodatni i odpowiada odpowiedzi B.

\[\frac{5-2}{2\cdot25}=\frac{3}{50}\]

Zadanie 15

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg \((a_n)\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\), jest arytmetyczny. Różnica tego ciągu jest równa \(2\) oraz \(a_8=48\). Czwarty wyraz tego ciągu jest równy

\(2\)

\(24\)

\(3\)

\(40\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie czwartego wyrazu

Od czwartego do ósmego wyrazu są cztery kroki ciągu arytmetycznego, więc od ósmego wyrazu odejmujemy czterokrotność różnicy.

\[a_4=a_8-4r=48-4\cdot 2=40\]

Odpowiedź

Czwarty wyraz jest równy 40. Odpowiedź D.

\[a_4=40\]

Sprawdzenie

Dodanie czterech różnic do czwartego wyrazu daje podany ósmy wyraz.

\[40+4\cdot 2=48=a_8\]

Zadanie 32

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Ciągi

Trójwyrazowy ciąg \((x, 3x + 2, 9x + 16)\) jest geometryczny. Oblicz \(x\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek ciągu geometrycznego

W ciągu geometrycznym kwadrat wyrazu środkowego jest iloczynem wyrazów skrajnych.

\[(3x+2)^2=x(9x+16)\]

2 Rozwiązanie równania

Rozwijamy nawias i redukujemy wyrazy podobne.

\[9x^2+12x+4=9x^2+16x\quad\Longrightarrow\quad 4=4x\quad\Longrightarrow\quad x=1\]

Odpowiedź

x = 1

\[x=1\]

Sprawdzenie

Dla x = 1 otrzymujemy ciąg (1, 5, 25). Iloraz kolejnych wyrazów wynosi 5, więc ciąg jest geometryczny.

\[\frac{5}{1}=\frac{25}{5}=5\]

Zadanie 13

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Dane są ciągi \(a_n=3n\) oraz \(b_n=4n-2\), określone dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). Liczba \(10\)

jest wyrazem ciągu \((a_n)\) i jest wyrazem ciągu \((b_n)\).

jest wyrazem ciągu \((a_n)\) i nie jest wyrazem ciągu \((b_n)\).

nie jest wyrazem ciągu \((a_n)\) i jest wyrazem ciągu \((b_n)\).

nie jest wyrazem ciągu \((a_n)\) i nie jest wyrazem ciągu \((b_n)\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Sprawdzenie ciągu a

Liczba 10 jest wyrazem ciągu tylko wtedy, gdy równanie ma rozwiązanie naturalne spełniające warunek na indeks.

\[3n=10\quad\Longrightarrow\quad n=\frac{10}{3}\notin\mathbb{N}\]

2 Sprawdzenie ciągu b

Wyznaczamy indeks i sprawdzamy, czy jest liczbą naturalną nie mniejszą od 1.

\[4n-2=10\quad\Longrightarrow\quad 4n=12\quad\Longrightarrow\quad n=3\]

Odpowiedź

C. Liczba 10 nie jest wyrazem ciągu (aₙ), ale jest wyrazem ciągu (bₙ).

\[10\notin\{a_n:n\geq1\},\qquad 10=b_3\]

Sprawdzenie

Indeks 3 spełnia warunek n ≥ 1 i daje b₃ = 10. W ciągu aₙ liczba 10 wymagałaby indeksu 10/3, który nie jest liczbą naturalną.

\[b_3=4\cdot3-2=10,\qquad \frac{10}{3}\notin\mathbb{N}\]

Zadanie 14

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). Drugi wyraz tego ciągu oraz iloraz ciągu \((a_n)\) są równe \(2\). Suma pięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa

\(1\)

\(11\)

\(21\)

\(31\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie pierwszego wyrazu

W ciągu geometrycznym drugi wyraz jest iloczynem pierwszego wyrazu i ilorazu. Ponieważ oba podane w zadaniu wynoszą 2, obliczamy pierwszy wyraz.

\[a_2=a_1q,\quad 2=2a_1,\quad a_1=1\]

2 Obliczenie sumy

Każdy kolejny wyraz otrzymujemy przez pomnożenie poprzedniego przez 2, więc zapisujemy i dodajemy pięć pierwszych wyrazów.

\[S_5=1+2+4+8+16=31\]

Odpowiedź

Suma wynosi 31. Odpowiedź D.

\[S_5=31\]

Sprawdzenie

Wyznaczone wyrazy spełniają warunki zadania: drugi wyraz to 2, a iloraz każdego kolejnego wyrazu przez poprzedni wynosi 2. Ich suma wynosi 31.

\[a_2=2,\quad \frac{a_2}{a_1}=\frac{2}{1}=2,\quad \frac{a_3}{a_2}=\frac{4}{2}=2,\quad 1+2+4+8+16=31\]

Zadanie 30

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Ciągi

Trójwyrazowy ciąg \((x, y-4, y)\) jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa \(6\). Oblicz wszystkie wyrazy tego ciągu.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek ciągu arytmetycznego

Środkowy wyraz ciągu arytmetycznego jest średnią sąsiednich wyrazów.

\[2(y-4)=x+y\quad\Rightarrow\quad x=y-8\]

2 Suma wyrazów

Podstawiamy wyrażenie na \(x\) do równania opisującego sumę.

\[x+(y-4)+y=6\quad\Rightarrow\quad (y-8)+2y-4=6\quad\Rightarrow\quad 3y=18\quad\Rightarrow\quad y=6\]

3 Wyznaczenie wyrazów

Obliczamy pierwszy i środkowy wyraz.

\[x=6-8=-2,\qquad y-4=6-4=2\]

Odpowiedź

Wyrazy ciągu to \((-2,2,6)\).

\[(-2,2,6)\]

Sprawdzenie

Obie różnice są równe \(4\), a suma wyrazów wynosi \(6\).

\[2-(-2)=6-2=4,\qquad -2+2+6=6\]

Zadanie 13

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Dane są ciągi \((a_n)\), \((b_n)\), \((c_n)\), \((d_n)\), określone dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\) wzorami: \(a_n=20n+3\), \(b_n=2n^2-3\), \(c_n=n^2+10n-2\), \(d_n=\frac{n+187}{n}\). Liczba \(197\) jest dziesiątym wyrazem ciągu

\((a_n)\)

\((b_n)\)

\((c_n)\)

\((d_n)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie dziesiątych wyrazów

Podstawiamy \(n=10\) do każdego wzoru, ponieważ szukamy dziesiątego wyrazu.

\[a_{10}=20\cdot10+3=203,\quad b_{10}=2\cdot10^2-3=197,\quad c_{10}=10^2+10\cdot10-2=198,\quad d_{10}=\frac{10+187}{10}=\frac{197}{10}\]

Odpowiedź

Liczba 197 jest dziesiątym wyrazem ciągu \((b_n)\). Odpowiedź: B.

\[b_{10}=197\]

Sprawdzenie

Warunek \(n\geq1\) jest spełniony dla \(n=10\). Pozostałe dziesiąte wyrazy to 203, 198 i \(\frac{197}{10}\), więc żaden z nich nie jest równy 197.

\[10\geq1,\qquad 203\ne197,\quad198\ne197,\quad\frac{197}{10}\ne197\]

Zadanie 14

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg geometryczny \((a_n)\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\), jest rosnący i wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Ponadto spełniony jest warunek \(a_3=a_1\cdot a_2\). Niech \(q\) oznacza iloraz ciągu \((a_n)\). Wtedy

\(a_1=\frac{1}{q}\)

\(a_1=q\)

\(a_1=q^2\)

\(a_1=q^3\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie wyrazów ciągu

W ciągu geometrycznym każdy kolejny wyraz otrzymujemy, mnożąc poprzedni przez iloraz \(q\).

\[a_2=a_1q,\qquad a_3=a_1q^2\]

2 Wykorzystanie warunku

Podstawiamy te wyrazy do podanej równości. Ponieważ wyrazy są dodatnie, możemy podzielić obie strony przez \(a_1q\).

\[a_1q^2=a_1\cdot a_1q\quad\Longrightarrow\quad q=a_1\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: \(a_1=q\).

\[a_1=q\]

Sprawdzenie

Dla \(a_1=q\) mamy \(a_2=q^2\) i \(a_3=q^3=a_1a_2\). Ponieważ ciąg jest rosnący i dodatni, \(q>1\), więc dzielenie przez \(a_1q\) było dozwolone.

\[a_3=q^3=q\cdot q^2=a_1a_2\]

Zadanie 31

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Ciągi

Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\), określony dla wszystkich liczb naturalnych \(n \geq 1\). Suma dwudziestu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa \(20a_{21}+62\). Oblicz różnicę ciągu \((a_n)\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz sumę

Korzystamy ze wzoru na sumę 20 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

\[S_{20}=\frac{20}{2}(2a_1+19d)=20a_1+190d\]

2 Wyznacz różnicę

Ponieważ 21. wyraz ma postać \(a_{21}=a_1+20d\), podstawiamy oba wzory do podanej równości i rozwiązujemy równanie.

\[20a_1+190d=20(a_1+20d)+62\;\Longrightarrow\;-210d=62\;\Longrightarrow\;d=-\frac{31}{105}\]

Odpowiedź

Różnica ciągu wynosi \(-\frac{31}{105}\).

\[d=-\frac{31}{105}\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanej różnicy prawa strona podanej równości jest równa lewej, niezależnie od wartości \(a_1\).

\[20a_{21}+62=20a_1+400\left(-\frac{31}{105}\right)+62=20a_1+190\left(-\frac{31}{105}\right)=S_{20}\]