Zbiór zadań maturalnych

Ciągi — zadania maturalne

Ciągi: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

38 zadańStrona 2 z 3

Sortuj:

Zadanie 13

Matura 2021 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

74%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Trzywyrazowy ciąg \(\left(15,\,3x,\,\frac{5}{3}\right)\) jest geometryczny i wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Stąd wynika, że

\(x=\frac{3}{5}\)

\(x=\frac{4}{5}\)

\(x=1\)

\(x=\frac{5}{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek ciągu geometrycznego

Kwadrat środkowego wyrazu jest iloczynem wyrazów skrajnych.

\[(3x)^2=15\cdot\frac{5}{3}=25\]

2 Wyznaczenie x

Wszystkie wyrazy są dodatnie, więc 3x jest dodatnim pierwiastkiem z 25.

\[3x=5\quad\Rightarrow\quad x=\frac{5}{3}\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[x=\frac{5}{3}\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu otrzymujemy ciąg (15, 5, 5/3). Wszystkie wyrazy są dodatnie, a iloraz kolejnych wyrazów wynosi 1/3.

\[\frac{5}{15}=\frac{\frac{5}{3}}{5}=\frac{1}{3}\]

Zadanie 13

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

74%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny \((24, 6, a-1)\). Stąd wynika, że

\(a=\frac{5}{2}\)

\(a=\frac{2}{5}\)

\(a=\frac{3}{2}\)

\(a=\frac{2}{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie ilorazu

W ciągu geometrycznym iloraz kolejnych wyrazów jest stały.

\[q=\frac{6}{24}=\frac{1}{4}\]

2 Wyznaczenie a

Trzeci wyraz jest iloczynem drugiego wyrazu i ilorazu.

\[a-1=6\cdot\frac{1}{4}=\frac{3}{2},\qquad a=\frac{5}{2}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[a=\frac{5}{2}\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanej wartości trzeci wyraz wynosi \(\frac{3}{2}\), a iloraz trzeciego wyrazu przez drugi jest równy \(\frac{1}{4}\).

\[\frac{a-1}{6}=\frac{\frac{5}{2}-1}{6}=\frac{1}{4}=\frac{6}{24}\]

Zadanie 16

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

73%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Trzywyrazowy ciąg \((27,\ 9,\ a-1)\) jest geometryczny. Liczba \(a\) jest równa

\(3\)

\(0\)

\(4\)

\(2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie ilorazu

W ciągu geometrycznym każdy kolejny wyraz otrzymujemy, mnożąc poprzedni przez ten sam iloraz.

\[q=\frac{9}{27}=\frac{1}{3}\]

2 Obliczenie liczby a

Trzeci wyraz to drugi wyraz pomnożony przez iloraz.

\[a-1=9\cdot\frac{1}{3}=3,\quad a=4\]

Odpowiedź

Liczba a jest równa 4. Odpowiedź C.

\[a=4\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu otrzymujemy ciąg (27, 9, 3). Oba ilorazy kolejnych wyrazów są równe jednej trzeciej.

\[\frac{9}{27}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\]

Zadanie 11

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

69%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest ciąg \((a_n)\) określony wzorem \(a_n=\frac{5-2n}{6}\) dla \(n\geq 1\). Ciąg ten jest

arytmetyczny i jego różnica jest równa \(r=-\frac{1}{3}\).

arytmetyczny i jego różnica jest równa \(r=-2\).

geometryczny i jego iloraz jest równy \(q=-\frac{1}{3}\).

geometryczny i jego iloraz jest równy \(q=\frac{5}{6}\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie różnicy kolejnych wyrazów

Stała różnica kolejnych wyrazów oznacza, że ciąg jest arytmetyczny. Obliczamy ją dla dowolnego \(n\geq 1\).

\[a_{n+1}-a_n=\frac{5-2(n+1)}{6}-\frac{5-2n}{6}=\frac{-2}{6}=-\frac{1}{3}\]

Odpowiedź

Ciąg jest arytmetyczny o różnicy \(r=-\frac{1}{3}\). Odpowiedź A.

\[r=-\frac{1}{3}\]

Sprawdzenie

Pierwsze trzy wyrazy to \(\frac12\), \(\frac16\), \(-\frac16\). Obie kolejne różnice wynoszą \(-\frac13\), zgodnie z obliczeniem dla dowolnego \(n\).

\[\frac16-\frac12=-\frac13,\qquad -\frac16-\frac16=-\frac13\]

Zadanie 14

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

69%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Czternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 8, a różnica tego ciągu jest równa \(-\frac{3}{2}\). Siódmy wyraz tego ciągu jest równy

\(\frac{37}{2}\)

\(-\frac{37}{2}\)

\(-\frac{5}{2}\)

\(\frac{5}{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie siódmego wyrazu

Od siódmego do czternastego wyrazu jest siedem kroków, więc odejmujemy od czternastego wyrazu siedmiokrotność różnicy ciągu.

\[a_7=a_{14}-7r=8-7\left(-\frac{3}{2}\right)=\frac{37}{2}\]

Odpowiedź

Siódmy wyraz jest równy \(\frac{37}{2}\). Odpowiedź A.

\[a_7=\frac{37}{2}\]

Sprawdzenie

Dodanie siedmiokrotności różnicy do otrzymanego siódmego wyrazu daje podany czternasty wyraz.

\[\frac{37}{2}+7\left(-\frac{3}{2}\right)=\frac{16}{2}=8\]

Zadanie 12

Matura 2019 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

67%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\), określony dla \(n\geq 1\). Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie i spełniony jest warunek \(\frac{a_5}{a_3}=\frac{1}{9}\). Iloraz tego ciągu jest równy

\(\frac{1}{3}\)

\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)

\(3\)

\(\sqrt{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz iloraz wyrazów

W ciągu geometrycznym przejście od trzeciego do piątego wyrazu oznacza dwukrotne pomnożenie przez iloraz q.

\[a_5=a_3q^2,\qquad \frac{a_5}{a_3}=q^2=\frac{1}{9}\]

2 Wyznacz iloraz

Wszystkie wyrazy są dodatnie, więc iloraz q też jest dodatni. Wybieramy dodatni pierwiastek.

\[q=\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}\]

Odpowiedź

Iloraz ciągu wynosi 1/3. Odpowiedź A.

\[q=\frac{1}{3}\]

Sprawdzenie

Dla q = 1/3 iloraz piątego i trzeciego wyrazu wynosi 1/9, a dodatni iloraz zachowuje dodatniość wyrazów.

\[\frac{a_5}{a_3}=q^2=\left(\frac{1}{3}\right)^2=\frac{1}{9}\]

Zadanie 15

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

66%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Ciąg \((x,2x+3,4x+3)\) jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

\(-4\)

\(1\)

\(0\)

\(-1\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek ciągu geometrycznego

W trzech kolejnych wyrazach ciągu geometrycznego kwadrat środkowego wyrazu jest iloczynem sąsiednich.

\[(2x+3)^2=x(4x+3)\]

2 Obliczenie pierwszego wyrazu

Rozwijamy nawiasy i rozwiązujemy otrzymane równanie.

\[4x^2+12x+9=4x^2+3x\quad\Longrightarrow\quad 9x+9=0\quad\Longrightarrow\quad x=-1\]

Odpowiedź

Pierwszy wyraz wynosi −1. Odpowiedź D.

\[x=-1\]

Sprawdzenie

Dla x = −1 wyrazy to −1, 1, −1. Każdy kolejny powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez −1, więc ciąg jest geometryczny.

\[(-1,1,-1),\qquad \frac{1}{-1}=\frac{-1}{1}=-1\]

Zadanie 13

Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

66%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W rosnącym ciągu geometrycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\geq 1\), spełniony jest warunek \(a_4=3a_1\). Iloraz \(q\) tego ciągu jest równy

\(q=\frac{1}{3}\)

\(q=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\)

\(q=\sqrt[3]{3}\)

\(q=3\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz czwarty wyraz

W ciągu geometrycznym każdy kolejny wyraz otrzymujemy przez pomnożenie poprzedniego przez \(q\).

\[a_4=a_1q^3\]

2 Wyznacz iloraz

Ciąg jest rosnący, więc \(a_1\neq 0\); przy \(a_1=0\) wszystkie wyrazy byłyby zerowe. Możemy podzielić warunek przez \(a_1\).

\[a_1q^3=3a_1\;\Rightarrow\;q^3=3\;\Rightarrow\;q=\sqrt[3]{3}\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[q=\sqrt[3]{3}\]

Sprawdzenie

Ponieważ \(q^3=3\), otrzymujemy \(a_4=3a_1\). Iloraz \(q>1\) jest zgodny z rosnącym ciągiem, gdy \(a_1>0\).

\[a_4=a_1\left(\sqrt[3]{3}\right)^3=3a_1\]

Zadanie 30

Matura 2022 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Ciągi

65%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\), \(a_1=-1\) i \(a_4=8\). Oblicz sumę stu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie różnicy ciągu

W ciągu arytmetycznym czwarty wyraz jest o trzy różnice większy od pierwszego.

\[a_4=a_1+3r,\quad 8=-1+3r,\quad r=3\]

2 Obliczenie setnego wyrazu

Korzystamy ze wzoru na wyraz ciągu arytmetycznego.

\[a_{100}=a_1+99r=-1+99\cdot3=296\]

3 Obliczenie sumy

Suma stu wyrazów jest równa połowie ich liczby pomnożonej przez sumę pierwszego i ostatniego wyrazu.

\[S_{100}=\frac{100(a_1+a_{100})}{2}=50(-1+296)=14750\]

Odpowiedź

Suma stu początkowych wyrazów wynosi 14750.

\[S_{100}=14750\]

Sprawdzenie

Wyznaczona różnica daje wymagany czwarty wyraz. Ponadto każda z 50 par wyrazów od początku i końca ciągu ma sumę 295, więc wynik sumowania się zgadza.

\[a_4=-1+3\cdot3=8,\quad 50\cdot(-1+296)=14750\]

Zadanie 31

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Ciągi

65%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\geq 1\), dane są: wyraz \(a_1=8\) i suma trzech początkowych wyrazów tego ciągu \(S_3=33\). Oblicz różnicę \(a_{16}-a_{13}\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie różnicy ciągu

Kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego różnią się o tę samą wartość \(d\), więc z podanej sumy obliczamy \(d\).

\[8+(8+d)+(8+2d)=33\;\Rightarrow\;24+3d=33\;\Rightarrow\;d=3\]

2 Obliczenie żądanej różnicy

Między trzynastym a szesnastym wyrazem są trzy odstępy, zatem ich różnica wynosi \(3d\).

\[a_{16}-a_{13}=3d=3\cdot 3=9\]

Odpowiedź

Różnica wynosi 9.

\[a_{16}-a_{13}=9\]

Sprawdzenie

Dla różnicy 3 trzy początkowe wyrazy to 8, 11 i 14; ich suma wynosi 33. Ponadto szesnasty wyraz to 53, a trzynasty 44, więc ich różnica wynosi 9.

\[8+11+14=33,\qquad a_{16}-a_{13}=53-44=9\]

Zadanie 13

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

63%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\), określony dla \(n\geq 1\), w którym \(a_1=\sqrt{2}\), \(a_2=2\sqrt{2}\), \(a_3=4\sqrt{2}\). Wzór na \(n\)-ty wyraz tego ciągu ma postać

\(a_n=(\sqrt{2})^n\)

\(a_n=\frac{2^n}{\sqrt{2}}\)

\(a_n=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^n\)

\(a_n=\frac{(\sqrt{2})^n}{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie ilorazu

W ciągu geometrycznym iloraz kolejnych wyrazów jest stały.

\[q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=2\]

2 Wyznaczenie wzoru

Korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego i przekształcamy go do postaci podanej w odpowiedziach.

\[a_n=a_1q^{n-1}=\sqrt{2}\cdot 2^{n-1}=\frac{2^n}{\sqrt{2}}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[a_n=\frac{2^n}{\sqrt{2}}\]

Sprawdzenie

Dla n równego 1, 2 i 3 wzór daje odpowiednio trzy wyrazy podane w treści; obowiązuje dla n co najmniej 1.

\[a_1=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2},\quad a_2=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2},\quad a_3=\frac{8}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2}\]

Zadanie 31

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Ciągi

63%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego \((a_n)\), określonego dla \(n\geq 1\), jest równy \(30\), a suma jego dwunastu początkowych wyrazów jest równa \(162\). Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie wzoru na sumę

Suma dwunastu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa sześciokrotności sumy pierwszego i dwunastego wyrazu.

\[S_{12}=\frac{12(a_1+a_{12})}{2}=6(a_1+30)\]

2 Obliczenie pierwszego wyrazu

Podstawiamy podaną sumę i rozwiązujemy równanie.

\[162=6(a_1+30)\quad\Rightarrow\quad 27=a_1+30\quad\Rightarrow\quad a_1=-3\]

Odpowiedź

Pierwszy wyraz ciągu wynosi −3.

\[a_1=-3\]

Sprawdzenie

Dla pierwszego wyrazu −3 i dwunastego wyrazu 30 suma dwunastu wyrazów wynosi 162. Odpowiada im różnica ciągu równa 3.

\[\frac{12(-3+30)}{2}=162,\qquad -3+11\cdot3=30\]

Zadanie 14

Matura 2021 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

61%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Ciąg \((b_n)\) jest określony wzorem \(b_n=3n^2-25n\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geqslant 1\). Liczba niedodatnich wyrazów ciągu \((b_n)\) jest równa

\(14\)

\(13\)

\(9\)

\(8\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustalenie warunku

Wyraz jest niedodatni, gdy jego wartość jest mniejsza lub równa zeru. Rozkładamy wzór na czynniki.

\[b_n=3n^2-25n=n(3n-25)\leqslant 0\]

2 Wyznaczenie indeksów

Ponieważ \(n\geqslant 1\), czynnik \(n\) jest dodatni. Iloczyn jest więc niedodatni dokładnie wtedy, gdy drugi czynnik jest niedodatni.

\[3n-25\leqslant 0\quad\Longleftrightarrow\quad n\leqslant\frac{25}{3}=8\frac{1}{3}\]

3 Policzenie wyrazów

Naturalne indeksy spełniające warunek to liczby od 1 do 8, czyli osiem indeksów.

\[n\in\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\]

Odpowiedź

Liczba niedodatnich wyrazów wynosi 8. Odpowiedź D.

\[8\]

Sprawdzenie

Dla ostatniego uwzględnionego indeksu wyraz jest ujemny, a dla następnego dodatni. Ponieważ znak wyrazu przy dodatnim indeksie zależy od rosnącego wyrażenia \(3n-25\), granica została wyznaczona poprawnie.

\[b_8=8(24-25)=-8\leqslant 0,\qquad b_9=9(27-25)=18>0\]

Zadanie 32.1

Matura 2019 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte

Ciągi

58%średni wynik CKE · całe zadanie

Średni procent zdobytych punktów. Dotyczy całego zadania 32, nie tylko tego podpunktu. Raport CKE ↗

Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\). Różnica tego ciągu jest liczbą \(r=-4\), a średnia arytmetyczna początkowych sześciu wyrazów tego ciągu: \(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6\), jest równa \(16\).

a) Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie średniej

Średnia sześciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa średniej pierwszego i szóstego wyrazu.

\[\frac{a_1+a_6}{2}=16\]

2 Obliczenie pierwszego wyrazu

Szósty wyraz otrzymujemy, dodając do pierwszego pięć razy różnicę ciągu, czyli \(a_6=a_1+5\cdot(-4)=a_1-20\). Podstawiamy tę zależność do równania średniej.

\[\frac{a_1+(a_1-20)}{2}=16\quad\Longrightarrow\quad a_1-10=16\quad\Longrightarrow\quad a_1=26\]

Odpowiedź

Pierwszy wyraz ciągu wynosi 26.

\[a_1=26\]

Sprawdzenie

Pierwszych sześć wyrazów to 26, 22, 18, 14, 10, 6. Ich średnia wynosi 16, a różnica kolejnych wyrazów wynosi −4.

\[\frac{26+22+18+14+10+6}{6}=\frac{96}{6}=16\]

Zadanie 32.2

Matura 2019 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte

Ciągi

58%średni wynik CKE · całe zadanie

Średni procent zdobytych punktów. Dotyczy całego zadania 32, nie tylko tego podpunktu. Raport CKE ↗

Oblicz liczbę \(k\), dla której \(a_k=-78\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie pierwszego wyrazu

Średnia sześciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest średnią pierwszego i szóstego wyrazu. Ponieważ różnica wynosi −4, szósty wyraz to pierwszy pomniejszony o 20.

\[a_6=a_1+5\cdot(-4)=a_1-20,\qquad \frac{a_1+a_6}{2}=16\quad\Rightarrow\quad a_1=26\]

2 Wyznaczenie numeru wyrazu

Podstawiamy pierwszy wyraz i różnicę do wzoru na k-ty wyraz, a następnie rozwiązujemy równanie.

\[a_k=a_1+(k-1)r=26-4(k-1)=-78\quad\Rightarrow\quad 30-4k=-78\quad\Rightarrow\quad k=27\]

Odpowiedź

Szukana liczba to 27.

\[k=27\]

Sprawdzenie

Pierwsze sześć wyrazów ma średnią 16, a wyraz o numerze 27 jest równy −78. Numer 27 jest liczbą naturalną większą od zera.

\[\frac{26+22+18+14+10+6}{6}=16,\qquad a_{27}=26+26\cdot(-4)=-78\]