Zbiór zadań maturalnych

Ciągi — zadania maturalne

Ciągi: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

Filtry zadań

Znajdź zadanie

Więcej filtrów
Wyczyść filtry
38 zadańStrona 1 z 3
Zadanie 15
Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Ciągi
95%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=2^n\cdot(n+1)\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geqslant 1\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wyraz \(a_4\) jest równy

A
\(64\)
B
\(40\)
C
\(48\)
D
\(80\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie numeru wyrazu

Aby obliczyć czwarty wyraz ciągu, podstawiamy \(n=4\) do podanego wzoru.

\[a_4=2^4\cdot(4+1)=16\cdot5=80\]

Odpowiedź

Wyraz \(a_4\) jest równy 80. Odpowiedź D.

\[a_4=80\]

Sprawdzenie

Ponieważ \(2^4=16\) oraz \(4+1=5\), ich iloczyn wynosi \(80\), co odpowiada odpowiedzi D.

\[16\cdot5=80\]
Zadanie 12
Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Ciągi
93%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\geq 1\), dane są: \(a_1=5\), \(a_2=11\). Wtedy

A
\(a_{14}=71\)
B
\(a_{12}=71\)
C
\(a_{11}=71\)
D
\(a_{10}=71\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie różnicy

W ciągu arytmetycznym różnica kolejnych wyrazów jest stała.

\[d=a_2-a_1=11-5=6\]

2 Wyznaczenie numeru wyrazu

Korzystamy ze wzoru na wyraz ogólny i rozwiązujemy równanie dla wartości 71.

\[a_n=a_1+(n-1)d=5+6(n-1);\quad 5+6(n-1)=71\Rightarrow n-1=11\Rightarrow n=12\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: \(a_{12}=71\).

\[a_{12}=71\]

Sprawdzenie

Podstawienie \(n=12\) do wzoru daje 71, a numer wyrazu spełnia warunek \(n\geq 1\).

\[a_{12}=5+(12-1)\cdot 6=71\]
Zadanie 15
Matura 2020 · termin główny — 9 czerwca (na PDF: 5 maja) · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Ciągi
88%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\geq 1\), czwarty wyraz jest równy 3, a różnica tego ciągu jest równa 5. Suma \(a_1+a_2+a_3+a_4\) jest równa

A
\(-42\)
B
\(-36\)
C
\(-18\)
D
\(6\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie pierwszego wyrazu

Czwarty wyraz jest o trzy różnice większy od pierwszego, więc obliczamy \(a_1\).

\[a_4=a_1+3r,\quad 3=a_1+3\cdot5,\quad a_1=-12\]

2 Obliczenie sumy

Kolejne wyrazy otrzymujemy, dodając różnicę równą 5.

\[a_1+a_2+a_3+a_4=-12+(-7)+(-2)+3=-18\]

Odpowiedź

Suma wynosi \(-18\). Odpowiedź C.

\[a_1+a_2+a_3+a_4=-18\]

Sprawdzenie

Obliczone wyrazy różnią się kolejno o 5, a czwarty wynosi 3. Wzór na sumę czterech wyrazów daje ten sam wynik.

\[4\cdot\frac{a_1+a_4}{2}=4\cdot\frac{-12+3}{2}=-18\]
Zadanie 11
Matura 2019 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Ciągi
86%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\geq 1\), dane są dwa wyrazy: \(a_1=7\) i \(a_8=-49\). Suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

A
\(-168\)
B
\(-189\)
C
\(-21\)
D
\(-42\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie sumy

W ciągu arytmetycznym suma pierwszych ośmiu wyrazów jest równa liczbie wyrazów pomnożonej przez średnią pierwszego i ósmego wyrazu.

\[S_8=\frac{8(a_1+a_8)}{2}=\frac{8(7-49)}{2}=-168\]

Odpowiedź

Suma wynosi −168. Odpowiedź A.

\[S_8=-168\]

Sprawdzenie

Różnica ciągu wynosi −8, więc jego osiem wyrazów to 7, −1, −9, −17, −25, −33, −41, −49. Ich suma potwierdza wynik.

\[r=\frac{-49-7}{7}=-8,\qquad 7-1-9-17-25-33-41-49=-168\]
Zadanie 12
Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Ciągi
86%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dla ciągu arytmetycznego \((a_n)\), określonego dla \(n\geq 1\), jest spełniony warunek \(a_4+a_5+a_6=12\). Wtedy

A
\(a_5=4\)
B
\(a_5=3\)
C
\(a_5=6\)
D
\(a_5=5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie sąsiednich wyrazów

W ciągu arytmetycznym kolejne wyrazy różnią się o tę samą wartość r, więc wyrazy po obu stronach a₅ zapisujemy za pomocą a₅ i r.

\[a_4=a_5-r,\qquad a_6=a_5+r\]

2 Obliczenie piątego wyrazu

Po podstawieniu do podanego warunku różnice r się znoszą.

\[(a_5-r)+a_5+(a_5+r)=12\quad\Rightarrow\quad 3a_5=12\quad\Rightarrow\quad a_5=4\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: a₅ = 4.

\[a_5=4\]

Sprawdzenie

Dla a₅ = 4 sąsiednie wyrazy mają postać 4 − r i 4 + r, a ich suma z a₅ wynosi 12 dla każdej różnicy r.

\[(4-r)+4+(4+r)=12\]
Zadanie 16
Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Ciągi
85%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Trzywyrazowy ciąg \((27,\ 9,\ a-1)\) jest geometryczny.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(a\) jest równa

A
\(3\)
B
\(0\)
C
\(4\)
D
\(2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie ilorazu

W ciągu geometrycznym iloraz kolejnych wyrazów jest stały. Dzielimy drugi wyraz przez pierwszy.

\[q=\frac{9}{27}=\frac{1}{3}\]

2 Obliczenie liczby a

Trzeci wyraz jest iloczynem drugiego wyrazu i ilorazu ciągu.

\[a-1=9\cdot\frac{1}{3}=3,\qquad a=4\]

Odpowiedź

Liczba a jest równa 4. Odpowiedź C.

\[a=4\]

Sprawdzenie

Dla a = 4 ciąg ma postać (27, 9, 3). Ilorazy są równe, więc ciąg jest geometryczny.

\[\frac{9}{27}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\]
Zadanie 15
Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Ciągi
84%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=2^n\cdot(n+1)\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). Wyraz \(a_4\) jest równy

A
\(64\)
B
\(40\)
C
\(48\)
D
\(80\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie numeru wyrazu

Aby obliczyć czwarty wyraz, podstawiamy n=4 do wzoru ciągu.

\[a_4=2^4\cdot(4+1)=16\cdot5=80\]

Odpowiedź

Wyraz a₄ jest równy 80. Odpowiedź D.

\[a_4=80\]

Sprawdzenie

Liczba 4 spełnia warunek n≥1, a iloczyn 16·5 wynosi 80.

\[4\geq1,\quad 2^4=16,\quad 16\cdot5=80\]
Zadanie 13
Matura 2022 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Ciągi
82%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=\frac{2n^2-30n}{n}\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). Wtedy \(a_7\) jest równy

A
\((-196)\)
B
\((-32)\)
C
\((-26)\)
D
\((-16)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Uproszczenie wzoru

Ponieważ \(n\geq 1\), możemy skrócić licznik i mianownik przez \(n\).

\[a_n=\frac{2n^2-30n}{n}=2n-30\]

2 Obliczenie siódmego wyrazu

Podstawiamy \(n=7\) do uproszczonego wzoru.

\[a_7=2\cdot 7-30=-16\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: \(a_7=-16\).

\[a_7=-16\]

Sprawdzenie

Bezpośrednie podstawienie do wzoru z treści również daje \(-16\).

\[a_7=\frac{2\cdot 7^2-30\cdot 7}{7}=\frac{98-210}{7}=-16\]
Zadanie 15
Matura 2021 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Ciągi
80%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geqslant 1\). Trzeci i piąty wyraz ciągu spełniają warunek \(a_3+a_5=58\). Wtedy czwarty wyraz tego ciągu jest równy

A
\(28\)
B
\(29\)
C
\(33\)
D
\(40\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie sąsiednich wyrazów

W ciągu arytmetycznym kolejne wyrazy różnią się o tę samą wartość r, więc trzeci i piąty wyraz leżą o r od czwartego.

\[a_3=a_4-r,\qquad a_5=a_4+r\]

2 Obliczenie czwartego wyrazu

Po dodaniu tych wyrazów różnice się znoszą.

\[58=a_3+a_5=(a_4-r)+(a_4+r)=2a_4,\qquad a_4=29\]

Odpowiedź

Czwarty wyraz wynosi 29. Odpowiedź B.

\[a_4=29\]

Sprawdzenie

Dla dowolnej różnicy r suma wyrazów sąsiadujących z 29 wynosi 58, więc warunek zadania jest spełniony.

\[(29-r)+(29+r)=58\]
Zadanie 14
Matura 2020 · termin główny — 9 czerwca (na PDF: 5 maja) · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Ciągi
80%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=2n^2\) dla \(n\geq 1\). Różnica \(a_5-a_4\) jest równa

A
\(4\)
B
\(20\)
C
\(36\)
D
\(18\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie wyrazów

Podstawiamy numery wyrazów do wzoru ciągu.

\[a_5=2\cdot5^2=50,\qquad a_4=2\cdot4^2=32\]

2 Obliczenie różnicy

Odejmujemy czwarty wyraz od piątego.

\[a_5-a_4=50-32=18\]

Odpowiedź

Różnica wynosi 18. Odpowiedź D.

\[a_5-a_4=18\]

Sprawdzenie

Korzystając bezpośrednio ze wzoru na różnicę kwadratów, otrzymujemy ten sam wynik.

\[2(5^2-4^2)=2(5-4)(5+4)=18\]
Zadanie 16
Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Ciągi
78%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\) określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\), w którym \(a_1=27\) oraz \(a_2=9\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Czwarty wyraz ciągu \((a_n)\) jest równy

A
\(\frac{1}{3}\)
B
\(1\)
C
\(3\)
D
\(729\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie ilorazu

W ciągu geometrycznym iloraz kolejnych wyrazów jest stały, więc dzielimy drugi wyraz przez pierwszy.

\[q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{9}{27}=\frac{1}{3}\]

2 Obliczenie czwartego wyrazu

Każdy kolejny wyraz otrzymujemy przez pomnożenie poprzedniego przez iloraz.

\[a_4=a_2q^2=9\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^2=1\]

Odpowiedź

Czwarty wyraz jest równy 1. Odpowiedź B.

\[a_4=1\]

Sprawdzenie

Po drugim wyrazie otrzymujemy kolejno 3 i 1; w obu przypadkach iloraz kolejnych wyrazów wynosi jedną trzecią.

\[\frac{3}{9}=\frac{1}{3},\qquad\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\]
Zadanie 16
Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Ciągi
78%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Trzywyrazowy ciąg \((12,\ 6,\ 2m-1)\) jest geometryczny.

Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A albo B oraz odpowiedź 1., 2. albo 3.

Ten ciąg jest

oraz

A
rosnący
B
malejący
1
\(m=\frac{1}{2}\)
2
\(m=2\)
3
\(m=3\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie ilorazu

W ciągu geometrycznym każdy kolejny wyraz otrzymujemy przez pomnożenie poprzedniego przez ten sam iloraz.

\[q=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}\]

2 Obliczenie m

Trzeci wyraz musi być równy drugiemu pomnożonemu przez iloraz.

\[2m-1=6\cdot\frac{1}{2}=3,\qquad 2m=4,\qquad m=2\]

3 Określenie monotoniczności

Po podstawieniu wartości m kolejne wyrazy są coraz mniejsze.

\[(12,6,3),\qquad 12>6>3\]

Odpowiedź

Ciąg jest malejący i m = 2. Odpowiedzi: B oraz 2.

\[\boxed{\mathrm{B},\ 2}\]

Sprawdzenie

Dla m = 2 trzeci wyraz wynosi 3, a oba ilorazy kolejnych wyrazów są równe jednej drugiej.

\[2\cdot 2-1=3,\qquad \frac{6}{12}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\]
Zadanie 15
Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Ciągi
77%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=(-1)^n\cdot(n-5)\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Pierwszy wyraz ciągu \((a_n)\) jest dwa razy większy od trzeciego wyrazu tego ciągu.PF
Wszystkie wyrazy ciągu \((a_n)\) są dodatnie.PF
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie pierwszego i trzeciego wyrazu

Podstawiamy numery wyrazów do wzoru, aby porównać ich wartości.

\[a_1=(-1)^1(1-5)=4,\qquad a_3=(-1)^3(3-5)=2\]

2 Ocena pierwszego stwierdzenia

Pierwszy wyraz jest dwa razy większy od trzeciego, ponieważ 4 jest równe 2 razy 2.

\[a_1=4=2\cdot 2=2a_3\]

3 Ocena drugiego stwierdzenia

Aby obalić stwierdzenie o wszystkich wyrazach, wystarczy wskazać jeden wyraz, który nie jest dodatni. Piąty wyraz jest równy zeru.

\[a_5=(-1)^5(5-5)=0\]

Odpowiedź

Pierwsze stwierdzenie: P. Drugie stwierdzenie: F.

\[\mathrm{P},\ \mathrm{F}\]

Sprawdzenie

Równość 4 = 2 · 2 potwierdza pierwszą odpowiedź. Ponieważ 0 nie jest liczbą dodatnią, piąty wyraz potwierdza drugą odpowiedź.

\[a_1=2a_3,\qquad a_5=0\not>0\]
Zadanie 14
Matura 2022 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Ciągi
77%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\), \(a_5=-31\) oraz \(a_{10}=-66\). Różnica tego ciągu jest równa

A
\((-7)\)
B
\((-19{,}4)\)
C
\(7\)
D
\(19{,}4\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz zależność między wyrazami

Od piątego do dziesiątego wyrazu jest pięć kroków, więc różnica ich wartości jest pięciokrotnością różnicy ciągu.

\[a_{10}=a_5+5r\]

2 Oblicz różnicę

Podstawiamy dane i dzielimy obie strony równania przez 5.

\[-66=-31+5r\quad\Rightarrow\quad 5r=-35\quad\Rightarrow\quad r=-7\]

Odpowiedź

Różnica ciągu wynosi −7. Odpowiedź A.

\[r=-7\]

Sprawdzenie

Po dodaniu pięciu różnic do piątego wyrazu otrzymujemy podany dziesiąty wyraz.

\[a_5+5r=-31+5\cdot(-7)=-66=a_{10}\]
Zadanie 14.1
Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Ciągi
75%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Ciąg \((a_n)\) jest określony następująco:

\(\begin{cases}a_1=2\\a_{n+1}=2a_n+1\end{cases}\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Trzeci wyraz ciągu \((a_n)\) jest równy

A
\(4\)
B
\(5\)
C
\(7\)
D
\(11\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie drugiego wyrazu

Podstawiamy n=1 do wzoru rekurencyjnego, ponieważ znamy pierwszy wyraz.

\[a_2=2a_1+1=2\cdot 2+1=5\]

2 Obliczenie trzeciego wyrazu

Stosujemy ten sam wzór dla n=2.

\[a_3=2a_2+1=2\cdot 5+1=11\]

Odpowiedź

Trzeci wyraz jest równy 11. Odpowiedź D.

\[a_3=11\]

Sprawdzenie

Dla a₂=5 wzór rekurencyjny daje a₃=11, zgodnie z wybraną odpowiedzią.

\[2a_2+1=2\cdot 5+1=11\]

2026 Utworzone przez zespół MaturaPodKlucz