Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

420 zadańStrona 1 z 28

Sortuj:

Zadanie 15

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

95%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=2^n\cdot(n+1)\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geqslant 1\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wyraz \(a_4\) jest równy

\(64\)

\(40\)

\(48\)

\(80\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie numeru wyrazu

Aby obliczyć czwarty wyraz ciągu, podstawiamy \(n=4\) do podanego wzoru.

\[a_4=2^4\cdot(4+1)=16\cdot5=80\]

Odpowiedź

Wyraz \(a_4\) jest równy 80. Odpowiedź D.

\[a_4=80\]

Sprawdzenie

Ponieważ \(2^4=16\) oraz \(4+1=5\), ich iloczyn wynosi \(80\), co odpowiada odpowiedzi D.

\[16\cdot5=80\]

Zadanie 12.3

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

94%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) narysowano wykres funkcji \(y=f(x)\) (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Funkcja \(f\) jest malejąca w zbiorze

Wykres funkcji y=f(x) w układzie współrzędnych, wspólny dla podzadań 12.1–12.3.

\([-6,-3)\)

\([-3,1]\)

\((1,2]\)

\([2,5]\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczyt wykresu

Funkcja jest malejąca tam, gdzie wraz ze wzrostem argumentu jej wartość maleje. Na wykresie dzieje się tak od x=2 do x=5, a oba końce należą do wykresu.

\[f(2)=5,\quad f(5)=3,\quad 5>3\]

Odpowiedź

D. Funkcja f jest malejąca w przedziale [2,5].

\[[2,5]\]

Sprawdzenie

Odcinek wykresu na tym przedziale ma ujemne nachylenie, więc wartości funkcji maleją dla każdej pary argumentów w przedziale.

\[\frac{f(5)-f(2)}{5-2}=\frac{3-5}{3}=-\frac{2}{3}<0\]

Zadanie 24

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

94%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Średnia arytmetyczna ośmiu liczb: \(3, 5, 7, 9, x, 15, 17, 19\) jest równa 11. Wtedy

\(x=1\)

\(x=2\)

\(x=11\)

\(x=13\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie sumy

Średnia ośmiu liczb jest równa ich sumie podzielonej przez 8, więc suma wynosi 88.

\[\frac{3+5+7+9+x+15+17+19}{8}=11\quad\Rightarrow\quad 3+5+7+9+x+15+17+19=88\]

2 Wyznaczenie x

Znane liczby sumują się do 75. Odejmujemy tę sumę od 88.

\[75+x=88\quad\Rightarrow\quad x=13\]

Odpowiedź

x = 13, odpowiedź D.

\[x=13\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu x = 13 suma liczb wynosi 88, a ich średnia to 11.

\[\frac{3+5+7+9+13+15+17+19}{8}=\frac{88}{8}=11\]

Zadanie 2

Matura 2021 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

93%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Liczba \(78\) stanowi \(150\%\) liczby \(c\). Wtedy liczba \(c\) jest równa

\(60\)

\(52\)

\(48\)

\(39\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie zależności

Ponieważ 150% liczby c to 78, zapisujemy równanie.

\[\frac{150}{100}c=78\]

2 Obliczenie liczby c

Dzielimy obie strony równania przez 1,5, aby wyznaczyć c.

\[c=\frac{78}{1{,}5}=52\]

Odpowiedź

Liczba c wynosi 52. Odpowiedź B.

\[c=52\]

Sprawdzenie

150% z 52 to 78, więc wynik spełnia warunek zadania.

\[\frac{150}{100}\cdot 52=78\]

Zadanie 12

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

93%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\geq 1\), dane są: \(a_1=5\), \(a_2=11\). Wtedy

\(a_{14}=71\)

\(a_{12}=71\)

\(a_{11}=71\)

\(a_{10}=71\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie różnicy

W ciągu arytmetycznym różnica kolejnych wyrazów jest stała.

\[d=a_2-a_1=11-5=6\]

2 Wyznaczenie numeru wyrazu

Korzystamy ze wzoru na wyraz ogólny i rozwiązujemy równanie dla wartości 71.

\[a_n=a_1+(n-1)d=5+6(n-1);\quad 5+6(n-1)=71\Rightarrow n-1=11\Rightarrow n=12\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: \(a_{12}=71\).

\[a_{12}=71\]

Sprawdzenie

Podstawienie \(n=12\) do wzoru daje 71, a numer wyrazu spełnia warunek \(n\geq 1\).

\[a_{12}=5+(12-1)\cdot 6=71\]

Zadanie 29

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

91%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Średnia arytmetyczna siedmiu liczb: \(1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ x,\ y\), jest równa \(3\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Suma \(x + y\) jest równa

\(4\)

\(5\)

\(6\)

\(7\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz warunek średniej

Średnia arytmetyczna to suma liczb podzielona przez ich liczbę.

\[\frac{1+2+3+4+5+x+y}{7}=3\]

2 Oblicz sumę

Mnożymy obie strony przez 7 i odejmujemy sumę pięciu znanych liczb, równą 15.

\[15+x+y=21\quad\Rightarrow\quad x+y=6\]

Odpowiedź

Suma wynosi 6. Odpowiedź C.

\[x+y=6\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu otrzymanej sumy średnia siedmiu liczb wynosi 3.

\[\frac{1+2+3+4+5+6}{7}=\frac{21}{7}=3\]

Zadanie 11

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte2 pkt

Układy równań

91%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest prostokąt o bokach długości \(a\) i \(b\), gdzie \(a>b\). Obwód tego prostokąta jest równy \(30\). Jeden z boków prostokąta jest o \(5\) krótszy od drugiego.

Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.

Zależności między długościami boków tego prostokąta zapisano w układach równań oznaczonych literami ……… oraz ……… .

\(\begin{cases}2ab=30\\a-b=5\end{cases}\)

\(\begin{cases}2a+b=30\\a=5b\end{cases}\)

\(\begin{cases}2(a+b)=30\\b=a-5\end{cases}\)

\(\begin{cases}2a+2b=30\\b=5a\end{cases}\)

\(\begin{cases}2a+2b=30\\a-b=5\end{cases}\)

\(\begin{cases}a+b=30\\a=b+5\end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz obwód

Obwód prostokąta jest sumą długości jego czterech boków, więc jest równy 30.

\[2(a+b)=2a+2b=30\]

2 Zapisz różnicę boków

Ponieważ a>b, krótszy bok b ma długość a−5. Równoważnie różnica boków wynosi 5.

\[b=a-5\quad\Longleftrightarrow\quad a-b=5\]

3 Wybierz układy

Obie równoważne postacie równania obwodu i różnicy boków występują w odpowiedziach C oraz E.

\[\begin{cases}2(a+b)=30\\b=a-5\end{cases}\qquad\begin{cases}2a+2b=30\\a-b=5\end{cases}\]

Odpowiedź

Właściwe odpowiedzi: C i E.

\[\boxed{\mathrm{C},\ \mathrm{E}}\]

Sprawdzenie

Z obu układów wynika a=10 i b=5. Boki są dodatnie, a>b, ich obwód wynosi 30, a różnica 5.

\[a+b=15,\quad a-b=5\quad\Longrightarrow\quad a=10,\ b=5;\qquad 2(10+5)=30,\quad 10-5=5\]

Zadanie 12.1

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

91%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) narysowano wykres funkcji \(y=f(x)\) (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dziedziną funkcji \(f\) jest zbiór

Wykres funkcji y=f(x) w układzie współrzędnych

\([-6,5]\)

\((-6,5)\)

\((-3,5]\)

\([-3,5]\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczyt przedziałów

Dziedzinę tworzą wszystkie współrzędne x punktów wykresu. Pełne kółko oznacza, że dana wartość x należy do dziedziny.

\[[-6,-3)\cup[-3,1]\cup(1,5]\]

2 Połączenie przedziałów

Wartość x=-3 należy do drugiego odcinka, a x=1 także należy do wykresu. Między końcami nie ma więc przerw.

\[[-6,-3)\cup[-3,1]\cup(1,5]=[-6,5]\]

Odpowiedź

A. Dziedziną funkcji jest przedział od −6 do 5 z oboma końcami.

\[D_f=[-6,5]\]

Sprawdzenie

Na wykresie są punkty dla x=−6 i x=5. Przy x=−3 oraz x=1 puste kółka nie tworzą luk, ponieważ dla obu tych wartości zaznaczono również pełne punkty.

\[-6,-3,1,5\in D_f\]

Zadanie 5

Matura 2019 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

90%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Para liczb \(x=2\) i \(y=2\) jest rozwiązaniem układu równań \(\begin{cases}ax+y=4\\-2x+3y=2a\end{cases}\) dla

\(a=-1\)

\(a=1\)

\(a=-2\)

\(a=2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie do pierwszego równania

Podstawiamy podane wartości x i y, aby wyznaczyć a.

\[a\cdot 2+2=4\quad\Rightarrow\quad 2a=2\quad\Rightarrow\quad a=1\]

2 Sprawdzenie drugiego równania

Para liczb musi spełniać oba równania układu.

\[-2\cdot 2+3\cdot 2=2=2\cdot 1\]

Odpowiedź

a = 1, odpowiedź B.

\[a=1\]

Sprawdzenie

Dla a = 1 pierwsze równanie daje 4 = 4, a drugie 2 = 2.

\[1\cdot 2+2=4,\qquad -2\cdot 2+3\cdot 2=2\cdot 1\]

Zadanie 25

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

90%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W pudełku jest \(50\) kuponów, wśród których jest \(15\) kuponów przegrywających, a pozostałe kupony są wygrywające. Z tego pudełka w sposób losowy wyciągamy jeden kupon. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wyciągniemy kupon wygrywający, jest równe

\(\frac{15}{35}\)

\(\frac{1}{50}\)

\(\frac{15}{50}\)

\(\frac{35}{50}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba kuponów wygrywających

Odejmujemy kupony przegrywające od wszystkich kuponów.

\[50-15=35\]

2 Prawdopodobieństwo wygranej

Każdy kupon ma jednakową szansę wylosowania, więc dzielimy liczbę kuponów wygrywających przez liczbę wszystkich kuponów.

\[P(\text{wygrana})=\frac{35}{50}=\frac{7}{10}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo wynosi \(\frac{35}{50}\), czyli \(\frac{7}{10}\). Odpowiedź D.

\[\frac{35}{50}=\frac{7}{10}\]

Sprawdzenie

Kupony wygrywające i przegrywające dają razem 50 kuponów, a suma prawdopodobieństw wynosi 1.

\[35+15=50,\qquad \frac{35}{50}+\frac{15}{50}=1\]

Zadanie 4

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

89%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(\log_{9}27+\log_{9}3\) jest równa

\(81\)

\(9\)

\(4\)

\(2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Połącz logarytmy

Logarytmy mają tę samą podstawę, więc ich sumę zapisujemy jako logarytm iloczynu argumentów.

\[\log_{9}27+\log_{9}3=\log_{9}(27\cdot3)=\log_{9}81\]

2 Oblicz wartość

Ponieważ 81 jest kwadratem liczby 9, logarytm jest równy 2.

\[81=9^2\quad\Rightarrow\quad\log_{9}81=2\]

Odpowiedź

Wynik to 2, odpowiedź D.

\[\boxed{2\text{ — D}}\]

Sprawdzenie

Podstawa 9 jest dodatnia i różna od 1, a argumenty 27 i 3 są dodatnie. Ponadto 9 do potęgi 2 daje 81, czyli iloczyn argumentów.

\[9^2=81=27\cdot3\]

Zadanie 24

Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

89%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Średnia arytmetyczna zestawu danych:

\(2, 4, 7, 8, 9\)

jest taka sama jak średnia arytmetyczna zestawu danych:

\(2, 4, 7, 8, 9, x\).

Wynika stąd, że

\(x=0\)

\(x=3\)

\(x=5\)

\(x=6\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie pierwszej średniej

Dodajemy pięć liczb i dzielimy sumę przez ich liczbę.

\[\frac{2+4+7+8+9}{5}=\frac{30}{5}=6\]

2 Wyznaczenie x

Druga średnia jest równa 6, więc układamy równanie i je rozwiązujemy.

\[\frac{30+x}{6}=6\quad\Longrightarrow\quad 30+x=36\quad\Longrightarrow\quad x=6\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: x = 6.

\[x=6\]

Sprawdzenie

Po dodaniu 6 suma wynosi 36, a średnia sześciu liczb wynosi 6, tyle samo co pierwsza średnia.

\[\frac{2+4+7+8+9+6}{6}=\frac{36}{6}=6\]

Zadanie 27

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

88%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W pewnym ostrosłupie prawidłowym stosunek liczby \(W\) wszystkich wierzchołków do liczby \(K\) wszystkich krawędzi jest równy \(\frac{W}{K}=\frac{3}{5}\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Podstawą tego ostrosłupa jest

kwadrat.

pięciokąt foremny.

sześciokąt foremny.

siedmiokąt foremny.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Policz wierzchołki i krawędzie

Jeśli podstawa ma \(n\) wierzchołków, ostrosłup ma jeszcze jeden wierzchołek nad podstawą. Ma też \(n\) krawędzi podstawy i \(n\) krawędzi bocznych.

\[W=n+1,\qquad K=2n\]

2 Wyznacz liczbę boków podstawy

Podstawiamy te liczby do podanego stosunku i rozwiązujemy równanie.

\[\frac{n+1}{2n}=\frac35\quad\Longrightarrow\quad 5(n+1)=6n\quad\Longrightarrow\quad n=5\]

Odpowiedź

B. Podstawą jest pięciokąt foremny.

\[n=5\]

Sprawdzenie

Dla pięciokątnej podstawy ostrosłup ma 6 wierzchołków i 10 krawędzi, więc otrzymujemy wymagany stosunek.

\[\frac{W}{K}=\frac{5+1}{2\cdot5}=\frac6{10}=\frac35\]

Zadanie 15

Matura 2020 · termin główny — 9 czerwca (na PDF: 5 maja) · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

88%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\geq 1\), czwarty wyraz jest równy 3, a różnica tego ciągu jest równa 5. Suma \(a_1+a_2+a_3+a_4\) jest równa

\(-42\)

\(-36\)

\(-18\)

\(6\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie pierwszego wyrazu

Czwarty wyraz jest o trzy różnice większy od pierwszego, więc obliczamy \(a_1\).

\[a_4=a_1+3r,\quad 3=a_1+3\cdot5,\quad a_1=-12\]

2 Obliczenie sumy

Kolejne wyrazy otrzymujemy, dodając różnicę równą 5.

\[a_1+a_2+a_3+a_4=-12+(-7)+(-2)+3=-18\]

Odpowiedź

Suma wynosi \(-18\). Odpowiedź C.

\[a_1+a_2+a_3+a_4=-18\]

Sprawdzenie

Obliczone wyrazy różnią się kolejno o 5, a czwarty wynosi 3. Wzór na sumę czterech wyrazów daje ten sam wynik.

\[4\cdot\frac{a_1+a_4}{2}=4\cdot\frac{-12+3}{2}=-18\]

Zadanie 7

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

88%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Punkty \(ABCD\) leżą na okręgu o środku \(S\) (zobacz rysunek). Miara kąta \(BDC\) jest równa

Okrąg o środku S z punktami A, B, C, D oraz odcinkami i kątami oznaczonymi 27°, 118° i znakiem zapytania.

\(91^\circ\)

\(72{,}5^\circ\)

\(18^\circ\)

\(32^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Kąt wpisany ADC

Kąt środkowy ASC i kąt wpisany ADC opierają się na tym samym łuku AC, więc kąt wpisany ma połowę miary kąta środkowego.

\[\angle ADC=\frac{118^\circ}{2}=59^\circ\]

2 Szukany kąt

Półprosta DB leży wewnątrz kąta ADC, a kąt ADB ma 27°, więc odejmujemy jego miarę.

\[\angle BDC=\angle ADC-\angle ADB=59^\circ-27^\circ=32^\circ\]

Odpowiedź

Kąt BDC ma 32°, czyli odpowiedź D.

\[\boxed{\angle BDC=32^\circ\quad(\mathrm{D})}\]

Sprawdzenie

Kąty ADB i BDC mają łącznie 59°, czyli połowę kąta środkowego ASC.

\[27^\circ+32^\circ=59^\circ=\frac{118^\circ}{2}\]