Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

1048 zadańStrona 64 z 70

Sortuj:

Zadanie 33

Matura 2016 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Funkcje

Rejsowy samolot z Warszawy do Rzymu przelatuje nad Austrią każdorazowo tą samą trasą z taką samą zakładaną prędkością przelotową. We wtorek jego średnia prędkość była o 10% większa niż prędkość przelotowa, a w czwartek średnia prędkość była o 10% mniejsza od zakładanej prędkości przelotowej. Czas przelotu nad Austrią w czwartek różnił się od wtorkowego o 12 minut. Jak długo trwał przelot tego samolotu nad Austrią we wtorek?

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Porównanie czasów

Trasa miała tę samą długość, więc czas jest odwrotnie proporcjonalny do prędkości. We wtorek prędkość wynosiła 110% zakładanej, a w czwartek 90%.

\[\frac{t_{\mathrm{czw}}}{t_{\mathrm{wt}}}=\frac{1{,}1v}{0{,}9v}=\frac{11}{9},\qquad t_{\mathrm{czw}}=\frac{11}{9}t_{\mathrm{wt}}\]

2 Obliczenie czasu wtorkowego

W czwartek lot trwał o 12 minut dłużej. Podstawiamy zależność między czasami i rozwiązujemy równanie.

\[\frac{11}{9}t_{\mathrm{wt}}-t_{\mathrm{wt}}=12\ \mathrm{min},\qquad \frac{2}{9}t_{\mathrm{wt}}=12\ \mathrm{min},\qquad t_{\mathrm{wt}}=54\ \mathrm{min}\]

Odpowiedź

We wtorek przelot nad Austrią trwał 54 minuty.

\[54\ \mathrm{min}\]

Sprawdzenie

Z obliczonego czasu wynika, że w czwartek przelot trwał 66 minut, czyli o wymagane 12 minut dłużej.

\[t_{\mathrm{czw}}=\frac{11}{9}\cdot54\ \mathrm{min}=66\ \mathrm{min},\qquad 66-54=12\ \mathrm{min}\]

Zadanie 1

Matura 2016 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Suma pięciu kolejnych liczb całkowitych jest równa 195. Najmniejszą z tych liczb jest

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie sumy

Oznaczamy najmniejszą liczbę przez \(x\). Cztery następne liczby są od niej kolejno większe o 1, 2, 3 i 4.

\[x+(x+1)+(x+2)+(x+3)+(x+4)=195\]

2 Obliczenie najmniejszej liczby

Redukujemy wyrazy podobne i rozwiązujemy równanie.

\[5x+10=195\;\Rightarrow\;5x=185\;\Rightarrow\;x=37\]

Odpowiedź

Najmniejszą liczbą jest 37. Odpowiedź A.

\[37\]

Sprawdzenie

Pięć kolejnych liczb całkowitych od 37 do 41 ma sumę 195.

\[37+38+39+40+41=195\]

Zadanie 2

Matura 2016 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Buty, które kosztowały 220 złotych, przeceniono i sprzedano za 176 złotych. O ile procent obniżono cenę butów?

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie obniżki

Odejmujemy cenę po przecenie od ceny początkowej, aby ustalić kwotę obniżki.

\[220\text{ zł}-176\text{ zł}=44\text{ zł}\]

2 Obliczenie procentu

Porównujemy obniżkę z ceną początkową, ponieważ to od niej liczymy procent.

\[\frac{44}{220}\cdot100\%=20\%\]

Odpowiedź

Cenę obniżono o 20%. Odpowiedź B.

\[20\%\]

Sprawdzenie

Po obniżce o 20% cena wynosi 176 zł, zgodnie z treścią zadania.

\[220\text{ zł}\cdot(1-20\%)=176\text{ zł}\]

Zadanie 3

Matura 2016 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(\frac{4^5\cdot 5^4}{20^4}\) jest równa

\(4^4\)

\(20^{16}\)

\(20^5\)

\(4\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozłóż mianownik

Ponieważ 20=4·5, możemy zastosować wzór na potęgę iloczynu.

\[20^4=(4\cdot5)^4=4^4\cdot5^4\]

2 Skróć ułamek

Skracamy jednakowe czynniki w liczniku i mianowniku.

\[\frac{4^5\cdot5^4}{20^4}=\frac{4^5\cdot5^4}{4^4\cdot5^4}=4^{5-4}=4\]

Odpowiedź

Wynik to 4, czyli odpowiedź D.

\[4\]

Sprawdzenie

Licznik jest czterokrotnością mianownika: 4⁵·5⁴=4·(4⁴·5⁴)=4·20⁴.

\[4^5\cdot5^4=4\cdot20^4\]

Zadanie 4

Matura 2016 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(\frac{\log_3 729}{\log_6 36}\) jest równa

\(\log_6 693\)

\(\log_{\frac{1}{2}}\frac{81}{4}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie logarytmów

Z definicji logarytmu szukamy wykładników, do których trzeba podnieść podstawy, aby otrzymać wskazane liczby.

\[3^6=729,\quad 6^2=36\quad\Rightarrow\quad \log_3 729=6,\quad \log_6 36=2\]

2 Obliczenie ilorazu

Podstawiamy obliczone wartości logarytmów.

\[\frac{\log_3 729}{\log_6 36}=\frac{6}{2}=3\]

Odpowiedź

3, odpowiedź B.

\[3\]

Sprawdzenie

Podstawy logarytmów są dodatnie i różne od 1, a mianownik wynosi 2, więc iloraz jest określony. Równości potęgowe potwierdzają wynik.

\[3^6=729,\quad 6^2=36,\quad \frac{6}{2}=3\]

Zadanie 5

Matura 2016 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność \(\frac{x}{5}+\sqrt{7}>0\) jest

\(-14\)

\(-13\)

\(13\)

\(14\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przekształcenie nierówności

Mnożymy obie strony przez dodatnią liczbę 5, więc znak nierówności się nie zmienia.

\[\frac{x}{5}+\sqrt{7}>0\iff x>-5\sqrt{7}\]

2 Wyznaczenie najmniejszej liczby całkowitej

Porównujemy pierwiastek z sąsiednimi ułamkami, podnosząc dodatnie liczby do kwadratu.

\[\left(\frac{13}{5}\right)^2=\frac{169}{25}<7<\frac{196}{25}=\left(\frac{14}{5}\right)^2\implies -14<-5\sqrt{7}<-13\]

Odpowiedź

Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność jest −13, czyli odpowiedź B.

\[x=-13\quad\text{(B)}\]

Sprawdzenie

Liczba −13 jest większa od −5√7, więc spełnia nierówność. Liczba −14 jest mniejsza od −5√7, więc jej nie spełnia; tym bardziej nie spełnia jej żadna mniejsza liczba całkowita.

\[-14<-5\sqrt{7}<-13\]

Zadanie 6

Matura 2016 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja kwadratowa jest określona wzorem \(f(x)=(x-1)(x-9)\). Wynika stąd, że funkcja \(f\) jest rosnąca w przedziale

\(\langle 5,+\infty)\)

\(( -\infty,5\rangle\)

\(( -\infty,-5\rangle\)

\(\langle -5,+\infty)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie osi symetrii

Miejsca zerowe to 1 i 9, więc oś symetrii paraboli leży w połowie między nimi.

\[x=\frac{1+9}{2}=5\]

2 Ustalenie przedziału wzrostu

Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, więc ramiona paraboli są skierowane w górę. Funkcja rośnie od wierzchołka w prawo.

\[f(x)=x^2-10x+9=(x-5)^2-16,\qquad x\in\langle 5,+\infty)\]

Odpowiedź

Funkcja jest rosnąca w przedziale \(\langle 5,+\infty)\). Odpowiedź A.

\[\langle 5,+\infty)\]

Sprawdzenie

Dla \(5\le x_1<x_2\) różnica wartości jest dodatnia, co potwierdza wzrost w podanym przedziale.

\[f(x_2)-f(x_1)=(x_2-x_1)(x_1+x_2-10)>0\]

Zadanie 7

Matura 2016 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej \(f\), przy czym \(f(0)=-2\) i \(f(1)=0\).

Wykres funkcji \(g\) jest symetryczny do wykresu funkcji \(f\) względem początku układu współrzędnych. Funkcja \(g\) jest określona wzorem

Fragment wykresu funkcji liniowej f w układzie współrzędnych z oznaczonymi osiami x i y oraz podziałką.

\(g(x)=2x+2\)

\(g(x)=2x-2\)

\(g(x)=-2x+2\)

\(g(x)=-2x-2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wzoru funkcji f

Z wartości funkcji w dwóch punktach obliczamy współczynnik kierunkowy, a z f(0) odczytujemy wyraz wolny.

\[a=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=\frac{0-(-2)}{1}=2,\qquad f(x)=2x-2\]

2 Odbicie względem początku układu

W takim odbiciu punkt (x,y) przechodzi na (-x,-y), więc g(x)=-f(-x).

\[g(x)=-f(-x)=-(-2x-2)=2x+2\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[g(x)=2x+2\]

Sprawdzenie

Punkty (0,-2) i (1,0) z wykresu f po odbiciu przechodzą w (0,2) i (-1,0). Otrzymany wzór g przyjmuje w tych punktach odpowiednio wartości 2 i 0.

\[g(0)=2,\qquad g(-1)=2\cdot(-1)+2=0\]

Zadanie 8

Matura 2016 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy 8, a czwarty wyraz tego ciągu jest równy \((-216)\). Iloraz tego ciągu jest równy

\(-\frac{224}{3}\)

\(-3\)

\(-9\)

\(-27\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie wzoru na czwarty wyraz

W ciągu geometrycznym każdy kolejny wyraz otrzymujemy przez pomnożenie poprzedniego przez iloraz \(q\), więc \(a_4=a_1q^3\).

\[-216=8q^3\]

2 Obliczenie ilorazu

Dzielimy obie strony równania przez 8, a następnie wyznaczamy liczbę, której sześcian wynosi \(-27\).

\[q^3=\frac{-216}{8}=-27\quad\Rightarrow\quad q=-3\]

Odpowiedź

Iloraz ciągu wynosi \(-3\). Odpowiedź B.

\[q=-3\]

Sprawdzenie

Dla \(q=-3\) czwarty wyraz jest równy \(-216\), zgodnie z treścią zadania.

\[a_4=8\cdot(-3)^3=8\cdot(-27)=-216\]

Zadanie 9

Matura 2016 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(\sin\alpha=\frac{4}{5}\). Wtedy wartość wyrażenia \(\sin\alpha-\cos\alpha\) jest równa

\(\frac{1}{5}\)

\(\frac{3}{5}\)

\(\frac{17}{25}\)

\(\frac{1}{25}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie cosinusa

Z jedynki trygonometrycznej obliczamy cosinus. Ponieważ kąt jest ostry, wybieramy dodatnią wartość.

\[\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\frac{3}{5}\]

2 Obliczenie wyrażenia

Podstawiamy otrzymaną wartość cosinusa.

\[\sin\alpha-\cos\alpha=\frac{4}{5}-\frac{3}{5}=\frac{1}{5}\]

Odpowiedź

Wartość wyrażenia wynosi \(\frac{1}{5}\). Odpowiedź A.

\[\frac{1}{5}\]

Sprawdzenie

Otrzymany cosinus jest dodatni, a kwadraty sinusa i cosinusa sumują się do 1, zgodnie z warunkiem dla kąta ostrego.

\[\left(\frac{4}{5}\right)^2+\left(\frac{3}{5}\right)^2=\frac{16}{25}+\frac{9}{25}=1\]

Zadanie 10

Matura 2016 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Jeśli funkcja kwadratowa \(f(x)=x^2+2x+3a\) nie ma ani jednego miejsca zerowego, to liczba \(a\) spełnia warunek

\(a<-1\)

\(-1\leq a<0\)

\(0\leq a<\frac{1}{3}\)

\(a>\frac{1}{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek braku miejsc zerowych

Funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych, gdy jej wyróżnik jest ujemny.

\[\Delta=2^2-4\cdot1\cdot3a=4-12a<0\]

2 Rozwiązanie nierówności

Przenosimy wyrazy i dzielimy przez liczbę dodatnią.

\[4-12a<0\iff 12a>4\iff a>\frac{1}{3}\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: \(a>\frac{1}{3}\).

\[a>\frac{1}{3}\]

Sprawdzenie

Ponieważ \(f(x)=(x+1)^2+3a-1\), dla \(a>\frac{1}{3}\) jej najmniejsza wartość jest dodatnia, więc funkcja nie ma miejsc zerowych. Przy \(a=\frac{1}{3}\) ma miejsce zerowe \(x=-1\).

\[\min f=3a-1>0\]

Zadanie 11

Matura 2016 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Dla każdej liczby całkowitej dodatniej \(n\) suma \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego \((a_n)\) jest określona wzorem \(S_n=2n^2+n\). Wtedy wyraz \(a_2\) jest równy

\(3\)

\(6\)

\(7\)

\(10\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie sum

Aby wyznaczyć drugi wyraz, obliczamy sumę dwóch początkowych wyrazów oraz pierwszy wyraz.

\[S_1=2\cdot1^2+1=3,\qquad S_2=2\cdot2^2+2=10\]

2 Wyznaczenie drugiego wyrazu

Ponieważ \(S_2=a_1+a_2\), a \(S_1=a_1\), odejmujemy te sumy.

\[a_2=S_2-S_1=10-3=7\]

Odpowiedź

Wyraz \(a_2\) jest równy 7. Odpowiedź C.

\[a_2=7\]

Sprawdzenie

Pierwszy wyraz wynosi 3, więc suma dwóch pierwszych wyrazów to 3+7=10, zgodnie ze wzorem dla \(S_2\).

\[a_1+a_2=3+7=10=S_2\]

Zadanie 12

Matura 2016 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Układy równań

Układ równań \(\begin{cases}2x-3y=5\\-4x+6y=-10\end{cases}\)

nie ma rozwiązań.

ma dokładnie jedno rozwiązanie.

ma dokładnie dwa rozwiązania.

ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Porównanie równań

Mnożymy pierwsze równanie przez \(-2\), aby sprawdzić, czy oba równania opisują tę samą prostą.

\[-2(2x-3y=5)\quad\Longrightarrow\quad -4x+6y=-10\]

2 Wyznaczenie rozwiązań

Drugie równanie jest równoważne pierwszemu. Możemy więc dowolnie wybrać \(y=t\) i obliczyć \(x\).

\[2x-3t=5\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{5+3t}{2},\qquad t\in\mathbb{R}\]

Odpowiedź

Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. Odpowiedź D.

\[(x,y)=\left(\frac{5+3t}{2},t\right),\qquad t\in\mathbb{R}\]

Sprawdzenie

Dla każdego \(t\in\mathbb{R}\) otrzymana para spełnia pierwsze równanie, a zatem również drugie, będące jego wielokrotnością.

\[2\cdot\frac{5+3t}{2}-3t=5,\qquad -4\cdot\frac{5+3t}{2}+6t=-10\]

Zadanie 13

Matura 2016 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(\frac{|3-9|}{-3}\) jest równa

\(2\)

\(-2\)

\(0\)

\(-4\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie wartości bezwzględnej

Wartość bezwzględna liczby ujemnej jest liczbą przeciwną.

\[|3-9|=|-6|=6\]

2 Wykonanie dzielenia

Dzielimy otrzymaną liczbę przez \(-3\).

\[\frac{|3-9|}{-3}=\frac{6}{-3}=-2\]

Odpowiedź

Wynik to \(-2\), odpowiedź B.

\[-2\]

Sprawdzenie

Ponieważ \(|3-9|=6\) oraz \((-2)\cdot(-3)=6\), iloraz wynosi \(-2\).

\[(-2)\cdot(-3)=6\]

Zadanie 14

Matura 2016 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Na której z podanych prostych leżą wszystkie punkty o współrzędnych \((m-1,2m+5)\), gdzie \(m\) jest dowolną liczbą rzeczywistą?

\(y=2x+5\)

\(y=2x+6\)

\(y=2x+7\)

\(y=2x+8\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie parametru

Z pierwszej współrzędnej wyznaczamy m, aby zapisać drugą współrzędną za pomocą x.

\[x=m-1\quad\Rightarrow\quad m=x+1\]

2 Wyznaczenie równania prostej

Podstawiamy otrzymane wyrażenie do wzoru na y.

\[y=2m+5=2(x+1)+5=2x+7\]

Odpowiedź

Wszystkie punkty leżą na prostej C.

\[\boxed{y=2x+7}\]

Sprawdzenie

Dla dowolnego rzeczywistego m podstawienie x=m−1 do równania prostej daje drugą współrzędną punktu.

\[2(m-1)+7=2m+5\]