Zamknięte1 pkt
Układ równań \(\begin{cases}2x-3y=5\\-4x+6y=-10\end{cases}\)
A
nie ma rozwiązań.
B
ma dokładnie jedno rozwiązanie.
C
ma dokładnie dwa rozwiązania.
D
ma nieskończenie wiele rozwiązań.
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Porównanie równań
Mnożymy pierwsze równanie przez \(-2\), aby sprawdzić, czy oba równania opisują tę samą prostą.
\[-2(2x-3y=5)\quad\Longrightarrow\quad -4x+6y=-10\]
2 Wyznaczenie rozwiązań
Drugie równanie jest równoważne pierwszemu. Możemy więc dowolnie wybrać \(y=t\) i obliczyć \(x\).
\[2x-3t=5\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{5+3t}{2},\qquad t\in\mathbb{R}\]
Odpowiedź
Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. Odpowiedź D.
\[(x,y)=\left(\frac{5+3t}{2},t\right),\qquad t\in\mathbb{R}\]
Sprawdzenie
Dla każdego \(t\in\mathbb{R}\) otrzymana para spełnia pierwsze równanie, a zatem również drugie, będące jego wielokrotnością.
\[2\cdot\frac{5+3t}{2}-3t=5,\qquad -4\cdot\frac{5+3t}{2}+6t=-10\]