Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

1468 zadańStrona 61 z 98

Sortuj:

Zadanie 17

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Koło ma promień równy \(3\). Obwód wycinka tego koła o kącie środkowym \(30^\circ\) jest równy

\(\frac{3}{4}\pi\)

\(\frac{1}{2}\pi\)

\(\frac{3}{4}\pi+6\)

\(\frac{1}{2}\pi+6\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Długość łuku

Kąt 30° stanowi jedną dwunastą pełnego kąta, więc łuk ma jedną dwunastą długości okręgu.

\[l=\frac{30^\circ}{360^\circ}\cdot 2\pi\cdot 3=\frac{\pi}{2}\]

2 Obwód wycinka

Do długości łuku dodajemy dwa promienie.

\[O=l+2r=\frac{\pi}{2}+2\cdot 3=\frac{\pi}{2}+6\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[O=\frac{1}{2}\pi+6\]

Sprawdzenie

Łuk stanowi jedną dwunastą obwodu całego koła, czyli 6π : 12 = π/2; po dodaniu dwóch promieni otrzymujemy podany obwód.

\[\frac{6\pi}{12}+3+3=\frac{\pi}{2}+6\]

Zadanie 18

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(\cos\alpha=\frac{2\sqrt{6}}{7}\). Sinus kąta \(\alpha\) jest równy

\(\frac{24}{49}\)

\(\frac{5}{7}\)

\(\frac{25}{49}\)

\(\frac{\sqrt{6}}{7}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie kwadratu sinusa

Korzystamy z tożsamości \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\).

\[\sin^2\alpha=1-\left(\frac{2\sqrt{6}}{7}\right)^2=1-\frac{24}{49}=\frac{25}{49}\]

2 Wyznaczenie sinusa

Kąt \(\alpha\) jest ostry, więc jego sinus jest dodatni.

\[\sin\alpha=\sqrt{\frac{25}{49}}=\frac{5}{7}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[\sin\alpha=\frac{5}{7}\]

Sprawdzenie

Otrzymana wartość jest dodatnia, a suma kwadratów sinusa i podanego cosinusa wynosi 1.

\[\left(\frac{5}{7}\right)^2+\left(\frac{2\sqrt{6}}{7}\right)^2=\frac{25}{49}+\frac{24}{49}=1\]

Zadanie 19

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

W okręgu \(O\) kąt środkowy \(\beta\) oraz kąt wpisany \(\alpha\) są oparte na tym samym łuku. Kąt \(\beta\) ma miarę o \(40^\circ\) większą od kąta \(\alpha\). Miara kąta \(\beta\) jest równa

\(40^\circ\)

\(80^\circ\)

\(100^\circ\)

\(120^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz zależność między kątami

Kąt środkowy oparty na tym samym łuku ma miarę dwa razy większą od kąta wpisanego.

\[\beta=2\alpha\]

2 Oblicz miarę kąta

Z treści zadania mamy też \(\beta=\alpha+40^\circ\). Porównujemy oba wyrażenia i obliczamy \(\alpha\), a następnie \(\beta\).

\[2\alpha=\alpha+40^\circ\Rightarrow\alpha=40^\circ\Rightarrow\beta=2\cdot40^\circ=80^\circ\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: kąt środkowy ma miarę 80°.

\[\beta=80^\circ\]

Sprawdzenie

Kąt 80° jest dwa razy większy od kąta 40° i przewyższa go o 40°, zgodnie z obiema zależnościami.

\[80^\circ=2\cdot40^\circ,\qquad80^\circ-40^\circ=40^\circ\]

Zadanie 20

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Pole trójkąta równobocznego o wysokości \(3\) jest równe

\(\frac{3\sqrt{3}}{4}\)

\(\frac{9\sqrt{3}}{4}\)

\(3\sqrt{3}\)

\(6\sqrt{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie boku

Wysokość trójkąta równobocznego o boku \(a\) ma długość \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\), więc wyznaczamy bok z podanej wysokości.

\[3=\frac{a\sqrt{3}}{2}\quad\Rightarrow\quad a=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\]

2 Obliczenie pola

Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta: połowa iloczynu podstawy i wysokości.

\[P=\frac{a\cdot h}{2}=\frac{2\sqrt{3}\cdot3}{2}=3\sqrt{3}\]

Odpowiedź

Pole wynosi \(3\sqrt{3}\). Odpowiedź C.

\[P=3\sqrt{3}\]

Sprawdzenie

Dla boku \(2\sqrt{3}\) wysokość wynosi \(3\), zgodnie z treścią zadania.

\[\frac{2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2}=3\]

Zadanie 21

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Każdy z kątów wewnętrznych dziesięciokąta foremnego ma miarę

\(120^\circ\)

\(135^\circ\)

\(144^\circ\)

\(150^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Suma kątów

Dziesięciokąt można podzielić na 8 trójkątów, więc suma jego kątów wewnętrznych wynosi:

\[(10-2)\cdot180^\circ=1440^\circ\]

2 Miara jednego kąta

W dziesięciokącie foremnym wszystkie kąty wewnętrzne są równe, dlatego dzielimy sumę przez 10.

\[\frac{1440^\circ}{10}=144^\circ\]

Odpowiedź

Każdy kąt ma miarę 144°. Odpowiedź C.

\[144^\circ\]

Sprawdzenie

Kąt zewnętrzny ma miarę 360° : 10 = 36°, a wraz z kątem wewnętrznym daje 180°.

\[144^\circ+36^\circ=180^\circ\]

Zadanie 22

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Obwód trójkąta prostokątnego \(ABC\) jest równy \(L\). Na boku \(CB\) tego trójkąta obrano punkt \(E\), a na boku \(AB\) obrano punkt \(D\) tak, że \(DE\parallel AC\) oraz \(|AD|:|DB|=3:4\) (zobacz rysunek).

Obwód trójkąta \(BED\) jest równy

Trójkąt ABC z punktami D na boku AB i E na boku CB oraz odcinkiem DE równoległym do AC.

\(\frac{3}{4}L\)

\(\frac{3}{7}L\)

\(\frac{4}{7}L\)

\(\frac{1}{4}L\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie skali podobieństwa

Ponieważ punkt D leży na boku AB, z proporcji AD:DB=3:4 wynika, że cały bok AB ma 7 takich samych części, a DB ma 4 części.

\[\frac{|DB|}{|AB|}=\frac{4}{3+4}=\frac{4}{7}\]

2 Obliczenie obwodu

Z równoległości DE i AC wynika podobieństwo trójkątów BED i BCA. Ich obwody są w takim samym stosunku jak odpowiadające sobie boki DB i AB.

\[\frac{O_{BED}}{O_{ABC}}=\frac{|DB|}{|AB|}=\frac{4}{7},\qquad O_{BED}=\frac{4}{7}L\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[\frac{4}{7}L\]

Sprawdzenie

Udziały AD i DB sumują się do całego boku AB: 3/7+4/7=1. Ponieważ 4/7<1, obwód mniejszego trójkąta BED jest mniejszy od L.

\[\frac{3}{7}L+\frac{4}{7}L=L\]

Zadanie 23

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W układzie współrzędnych \((x,y)\) dane są prosta \(k\) o równaniu \(y=\frac{3}{4}x-\frac{7}{4}\) oraz punkt \(P=(12,-1)\). Prosta przechodząca przez punkt \(P\) i równoległa do prostej \(k\) ma równanie

\(y=-\frac{3}{4}x+8\)

\(y=\frac{3}{4}x-10\)

\(y=\frac{4}{3}x-17\)

\(y=-\frac{4}{3}x+15\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie współczynnika kierunkowego

Proste równoległe mają taki sam współczynnik kierunkowy, więc szukana prosta ma postać:

\[y=\frac{3}{4}x+b\]

2 Wyznaczenie wyrazu wolnego

Podstawiamy współrzędne punktu P, ponieważ prosta przez niego przechodzi.

\[-1=\frac{3}{4}\cdot12+b=9+b\quad\Rightarrow\quad b=-10\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[y=\frac{3}{4}x-10\]

Sprawdzenie

Dla x=12 otrzymujemy y=-1, więc punkt P należy do prostej. Jej współczynnik kierunkowy jest taki sam jak współczynnik prostej k.

\[\frac{3}{4}\cdot12-10=-1\]

Zadanie 24

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W układzie współrzędnych \((x,y)\) punkt \(A=(-1,-4)\) jest wierzchołkiem równoległoboku \(ABCD\). Punkt \(S=(2,2)\) jest środkiem symetrii tego równoległoboku. Długość przekątnej \(AC\) równoległoboku \(ABCD\) jest równa

\(\sqrt{5}\)

\(2\sqrt{5}\)

\(3\sqrt{5}\)

\(6\sqrt{5}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wykorzystanie środka symetrii

W równoległoboku przekątne przecinają się w połowie, więc punkt S jest środkiem przekątnej AC. Jej długość jest dwa razy większa od AS.

\[|AC|=2|AS|\]

2 Obliczenie długości

Stosujemy wzór na odległość punktów A i S, korzystając z różnic ich współrzędnych.

\[|AS|=\sqrt{(2-(-1))^2+(2-(-4))^2}=\sqrt{3^2+6^2}=3\sqrt{5},\qquad |AC|=6\sqrt{5}\]

Odpowiedź

Długość przekątnej AC wynosi 6√5. Odpowiedź D.

\[|AC|=6\sqrt{5}\]

Sprawdzenie

Punkt przeciwległy do A ma współrzędne C=(5,8). Środek odcinka AC to (2,2), czyli podany punkt S, a odległość AC wynosi √(6²+12²)=6√5.

\[C=(2\cdot2-(-1),\,2\cdot2-(-4))=(5,8),\quad |AC|=\sqrt{(5+1)^2+(8+4)^2}=6\sqrt{5}\]

Zadanie 25

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość równą \(6\).

Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe

\(216+18\sqrt{3}\)

\(216+54\sqrt{3}\)

\(216+216\sqrt{3}\)

\(216+108\sqrt{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Pole podstawy

Sześciokąt foremny dzieli się na sześć trójkątów równobocznych o boku 6. Pole każdego z nich wynosi \(\frac{6^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}\).

\[P_p=6\cdot\frac{6^2\sqrt{3}}{4}=54\sqrt{3}\]

2 Pole boczne

Wysokość graniastosłupa jest równa długości jego krawędzi bocznej, czyli 6. Pole boczne to obwód podstawy pomnożony przez wysokość.

\[P_b=(6\cdot 6)\cdot 6=216\]

3 Pole całkowite

Dodajemy pola dwóch podstaw i powierzchni bocznej.

\[P_c=2P_p+P_b=2\cdot54\sqrt{3}+216=216+108\sqrt{3}\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: \(216+108\sqrt{3}\) jednostek kwadratowych.

\[P_c=216+108\sqrt{3}\]

Sprawdzenie

Sześć ścian bocznych ma po \(6\cdot6=36\) jednostek kwadratowych, więc razem 216. Dwie podstawy mają łącznie \(2\cdot54\sqrt{3}=108\sqrt{3}\), co daje otrzymany wynik.

\[6\cdot36+2\cdot54\sqrt{3}=216+108\sqrt{3}\]

Zadanie 26

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość równą 6.

Cosinus kąta nachylenia dłuższej przekątnej tego graniastosłupa do płaszczyzny podstawy graniastosłupa jest równy

\(\frac{1}{2}\)

\(\frac{2}{\sqrt{5}}\)

\(\frac{1}{\sqrt{5}}\)

\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie rzutu przekątnej

Rzut dłuższej przekątnej graniastosłupa na podstawę łączy przeciwległe wierzchołki sześciokąta foremnego. Ma długość równą dwóm bokom podstawy.

\[d=2\cdot 6=12\]

2 Obliczenie cosinusa

Wysokość graniastosłupa wynosi 6. Przekątna, jej rzut i wysokość tworzą trójkąt prostokątny, więc obliczamy przeciwprostokątną z twierdzenia Pitagorasa, a następnie cosinus kąta nachylenia.

\[D=\sqrt{12^2+6^2}=6\sqrt{5},\qquad \cos\alpha=\frac{12}{6\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[\frac{2}{\sqrt{5}}\]

Sprawdzenie

Przyprostokątne 12 i 6 dają przeciwprostokątną o kwadracie 180, równym kwadratowi 6√5. Otrzymany cosinus należy do przedziału od 0 do 1.

\[12^2+6^2=180=(6\sqrt{5})^2,\qquad 0<\frac{2}{\sqrt{5}}<1\]

Zadanie 27

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym stosunek pola powierzchni bocznej do pola podstawy jest równy \(12\). Wynika stąd, że w tym ostrosłupie stosunek wysokości ściany bocznej do krawędzi podstawy jest równy

\(24\)

\(3\)

\(6\)

\(4\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie pól

Podstawa jest kwadratem o boku \(a\), a powierzchnia boczna składa się z czterech trójkątów o podstawie \(a\) i wysokości \(h_b\).

\[P_p=a^2,\qquad P_b=4\cdot\frac{ah_b}{2}=2ah_b\]

2 Obliczenie stosunku

Podstawiamy pola do danego stosunku i dzielimy przez \(2\).

\[\frac{P_b}{P_p}=\frac{2ah_b}{a^2}=2\frac{h_b}{a}=12\quad\Rightarrow\quad\frac{h_b}{a}=6\]

Odpowiedź

Stosunek wynosi 6. Odpowiedź C.

\[\frac{h_b}{a}=6\]

Sprawdzenie

Dla tego stosunku pole boczne jest 12 razy większe od pola podstawy, zgodnie z warunkiem zadania.

\[\frac{P_b}{P_p}=2\cdot 6=12\]

Zadanie 28

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Na diagramie przedstawiono rozkład wynagrodzenia brutto wszystkich stu pracowników pewnej firmy za styczeń 2023 roku.

Średnia wynagrodzenia brutto wszystkich pracowników tej firmy za styczeń 2023 roku jest równa

Diagram słupkowy. Wynagrodzenie brutto za styczeń 2023 roku (w zł) i liczba pracowników: 4800 — 10, 5100 — 36, 5500 — 5, 5900 — 25, 6400 — 18, 7500 — 4, 8600 — 2.

\(5\ 690\) zł

\(5\ 280\) zł

\(6\ 257\) zł

\(5\ 900\) zł

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustalenie liczby pracowników

Sumujemy liczby pracowników z każdego słupka, aby ustalić, przez ile dzielić łączne wynagrodzenie.

\[10+36+5+25+18+4+2=100\]

2 Obliczenie średniej ważonej

Każde wynagrodzenie mnożymy przez liczbę osób, które je otrzymały. Sumę dzielimy przez liczbę pracowników.

\[\frac{4800\cdot10+5100\cdot36+5500\cdot5+5900\cdot25+6400\cdot18+7500\cdot4+8600\cdot2}{100}=\frac{569000}{100}=5690\ \text{zł}\]

Odpowiedź

A. Średnia wynagrodzenia brutto wynosi 5690 zł.

\[\boxed{5690\ \text{zł}}\]

Sprawdzenie

Łączne wynagrodzenie wynosi 569 000 zł, a 100 osób zarabiających średnio 5690 zł daje tę samą kwotę.

\[100\cdot5690=569000\ \text{zł}\]

Zadanie 29

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Kombinatoryka

Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfry się nie powtarzają, jest

\(9\cdot 10\cdot 10\cdot 10\cdot 10\)

\(9\cdot 9\cdot 9\cdot 9\)

\(10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\)

\(9\cdot 9\cdot 8\cdot 7\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wybór pierwszej cyfry

Liczba czterocyfrowa nie może zaczynać się od zera, więc pierwszą cyfrę wybieramy na 9 sposobów.

\[9\]

2 Wybór pozostałych cyfr

Cyfry nie mogą się powtarzać. Na kolejnych miejscach pozostaje odpowiednio 9, 8 i 7 możliwości. Z zasady mnożenia otrzymujemy liczbę wszystkich zapisów.

\[9\cdot9\cdot8\cdot7=4536\]

Odpowiedź

4536 liczb; odpowiedź D.

\[9\cdot9\cdot8\cdot7=4536\]

Sprawdzenie

Gdyby dopuścić zero na początku, byłoby 5040 zapisów. Spośród nich 504 zaczynają się od zera, więc czterocyfrowych liczb jest 4536.

\[10\cdot9\cdot8\cdot7-9\cdot8\cdot7=5040-504=4536\]

Zadanie 30

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

Rozwiąż nierówność \(5-x^{2}>3x+1\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przenieś wyrazy na jedną stronę

Sprowadzamy nierówność do postaci iloczynowej, aby ustalić jej znak.

\[5-x^2>3x+1\iff x^2+3x-4<0\iff (x+4)(x-1)<0\]

2 Wyznacz przedział

Iloczyn dwóch czynników liniowych jest ujemny między ich miejscami zerowymi.

\[x+4=0\iff x=-4,\qquad x-1=0\iff x=1,\qquad -4<x<1\]

Odpowiedź

Zbiorem rozwiązań jest przedział od −4 do 1, bez końców.

\[x\in(-4,1)\]

Sprawdzenie

Dla liczby 0 z otrzymanego przedziału nierówność jest prawdziwa. W punktach −4 i 1 zachodzi równość, więc nie należą do rozwiązania. Poza tym przedziałem oba czynniki mają ten sam znak, zatem ich iloczyn nie jest ujemny.

\[x=0:\ 5>1;\qquad x=-4\ \text{lub}\ x=1:\ (x+4)(x-1)=0\]

Zadanie 31

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Ciągi

Ciąg \(\left(3x^{2}+5x,\ x^{2},\ 20-x^{2}\right)\) jest arytmetyczny. Oblicz \(x\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek ciągu arytmetycznego

W ciągu arytmetycznym podwojony wyraz środkowy jest sumą wyrazów skrajnych.

\[2x^{2}=(3x^{2}+5x)+(20-x^{2})\]

2 Obliczenie x

Upraszczamy równanie i odejmujemy \(2x^{2}\) od obu stron.

\[2x^{2}=2x^{2}+5x+20\quad\Rightarrow\quad 5x+20=0\quad\Rightarrow\quad x=-4\]

Odpowiedź

\(x=-4\).

\[x=-4\]

Sprawdzenie

Dla \(x=-4\) wyrazy ciągu to \(28,16,4\). Obie różnice wynoszą \(-12\), więc ciąg jest arytmetyczny.

\[16-28=4-16=-12\]