Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

420 zadańStrona 6 z 28

Sortuj:

Zadanie 16

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

78%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\) określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\), w którym \(a_1=27\) oraz \(a_2=9\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Czwarty wyraz ciągu \((a_n)\) jest równy

\(\frac{1}{3}\)

\(1\)

\(3\)

\(729\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie ilorazu

W ciągu geometrycznym iloraz kolejnych wyrazów jest stały, więc dzielimy drugi wyraz przez pierwszy.

\[q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{9}{27}=\frac{1}{3}\]

2 Obliczenie czwartego wyrazu

Każdy kolejny wyraz otrzymujemy przez pomnożenie poprzedniego przez iloraz.

\[a_4=a_2q^2=9\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^2=1\]

Odpowiedź

Czwarty wyraz jest równy 1. Odpowiedź B.

\[a_4=1\]

Sprawdzenie

Po drugim wyrazie otrzymujemy kolejno 3 i 1; w obu przypadkach iloraz kolejnych wyrazów wynosi jedną trzecią.

\[\frac{3}{9}=\frac{1}{3},\qquad\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\]

Zadanie 16

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

78%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Trzywyrazowy ciąg \((12,\ 6,\ 2m-1)\) jest geometryczny.

Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A albo B oraz odpowiedź 1., 2. albo 3.

Ten ciąg jest

oraz

rosnący

malejący

\(m=\frac{1}{2}\)

\(m=2\)

\(m=3\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie ilorazu

W ciągu geometrycznym każdy kolejny wyraz otrzymujemy przez pomnożenie poprzedniego przez ten sam iloraz.

\[q=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}\]

2 Obliczenie m

Trzeci wyraz musi być równy drugiemu pomnożonemu przez iloraz.

\[2m-1=6\cdot\frac{1}{2}=3,\qquad 2m=4,\qquad m=2\]

3 Określenie monotoniczności

Po podstawieniu wartości m kolejne wyrazy są coraz mniejsze.

\[(12,6,3),\qquad 12>6>3\]

Odpowiedź

Ciąg jest malejący i m = 2. Odpowiedzi: B oraz 2.

\[\boxed{\mathrm{B},\ 2}\]

Sprawdzenie

Dla m = 2 trzeci wyraz wynosi 3, a oba ilorazy kolejnych wyrazów są równe jednej drugiej.

\[2\cdot 2-1=3,\qquad \frac{6}{12}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\]

Zadanie 29

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

78%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa

Diagram słupkowy. Oś pozioma: ocena od 1 do 6. Oś pionowa: liczba uczniów od 0 do 8. Liczby uczniów dla kolejnych ocen: 1 – 2, 2 – 7, 3 – 4, 4 – 3, 5 – 6, 6 – 4.

\(4{,}5\)

\(4\)

\(3{,}5\)

\(3\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba uczniów

Dodajemy liczby uczniów odczytane z diagramu, aby ustalić pozycje środkowych ocen.

\[2+7+4+3+6+4=26\]

2 Środkowe oceny

Przy 26 wynikach mediana jest średnią ocen na pozycjach 13. i 14. Po uporządkowaniu wyników ocena 3 zajmuje pozycje od 10. do 13., a ocena 4 — od 14. do 16.

\[\frac{26}{2}=13,\qquad \frac{3+4}{2}=3{,}5\]

Odpowiedź

Mediana wynosi 3,5. Odpowiedź C.

\[3{,}5\]

Sprawdzenie

Liczności skumulowane dla ocen od 1 do 6 wynoszą kolejno 2, 9, 13, 16, 22, 26. Potwierdza to, że środkowe wyniki to 3 i 4.

\[\frac{3+4}{2}=3{,}5\]

Zadanie 14

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

78%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej \(f\) jest liczba \((-5)\). Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji \(f\), jest równa \(3\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Drugim miejscem zerowym funkcji \(f\) jest liczba

\(11\)

\(1\)

\((-1)\)

\((-13)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie drugiego miejsca zerowego

Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli jest średnią arytmetyczną jej miejsc zerowych. Podstawiamy znane wartości i rozwiązujemy równanie.

\[3=\frac{-5+x_2}{2}\quad\Rightarrow\quad 6=-5+x_2\quad\Rightarrow\quad x_2=11\]

Odpowiedź

Drugim miejscem zerowym jest 11. Odpowiedź A.

\[x_2=11\]

Sprawdzenie

Średnia miejsc zerowych −5 i 11 wynosi 3, czyli jest równa podanej pierwszej współrzędnej wierzchołka.

\[\frac{-5+11}{2}=3\]

Zadanie 22

Matura 2022 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

78%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dane są cztery proste \(k, l, m, n\) o równaniach:

\(k:\ y=-x+1\)	\(l:\ y=\frac{2}{3}x+1\)
\(m:\ y=-\frac{3}{2}x+4\)	\(n:\ y=-\frac{2}{3}x-1\)

Wśród tych prostych prostopadłe są

proste \(k\) oraz \(l\).

proste \(k\) oraz \(n\).

proste \(l\) oraz \(m\).

proste \(m\) oraz \(n\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczytanie współczynników kierunkowych

W równaniu \(y=ax+b\) współczynnik \(a\) określa nachylenie prostej.

\[a_k=-1,\quad a_l=\frac{2}{3},\quad a_m=-\frac{3}{2},\quad a_n=-\frac{2}{3}\]

2 Wskazanie prostych prostopadłych

Dwie proste o niezerowych współczynnikach kierunkowych są prostopadłe, gdy iloczyn tych współczynników wynosi \(-1\).

\[a_l\cdot a_m=\frac{2}{3}\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)=-1\]

Odpowiedź

Prostopadłe są proste l oraz m — odpowiedź C.

\[l\perp m\]

Sprawdzenie

Pozostałe pary z odpowiedzi mają iloczyny współczynników różne od \(-1\).

\[a_ka_l=-\frac{2}{3},\quad a_ka_n=\frac{2}{3},\quad a_ma_n=1\]

Zadanie 13

Matura 2020 · termin główny — 9 czerwca (na PDF: 5 maja) · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

78%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Proste o równaniach \(y=(m-2)x\) oraz \(y=\frac{3}{4}x+7\) są równoległe. Wtedy

\(m=-\frac{5}{4}\)

\(m=\frac{2}{3}\)

\(m=\frac{11}{4}\)

\(m=\frac{10}{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Porównanie współczynników kierunkowych

Proste równoległe mają równe współczynniki kierunkowe, więc przyrównujemy współczynniki stojące przy \(x\).

\[m-2=\frac{3}{4}\]

2 Obliczenie parametru

Dodajemy \(2\) do obu stron równania.

\[m=2+\frac{3}{4}=\frac{11}{4}\]

Odpowiedź

\(m=\frac{11}{4}\), odpowiedź C.

\[m=\frac{11}{4}\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanej wartości współczynnik kierunkowy pierwszej prostej wynosi \(\frac{3}{4}\), tak jak drugiej. Różne wyrazy wolne, \(0\) i \(7\), potwierdzają, że są to dwie różne proste równoległe.

\[\frac{11}{4}-2=\frac{3}{4}\]

Zadanie 16

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

78%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest okrąg o środku \(S\). Punkty \(K\), \(L\) i \(M\) leżą na tym okręgu. Na łuku \(KL\) tego okręgu są oparte kąty \(KSL\) i \(KML\) (zobacz rysunek), których miary \(\alpha\) i \(\beta\) spełniają warunek \(\alpha+\beta=111^\circ\). Wynika stąd, że

Okrąg o środku S z punktami K, L i M oraz zaznaczonymi kątami α przy S i β przy M.

\(\alpha=74^\circ\)

\(\alpha=76^\circ\)

\(\alpha=70^\circ\)

\(\alpha=72^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie twierdzenia o kątach

Kąt środkowy i kąt wpisany są oparte na tym samym łuku KL, więc kąt środkowy ma miarę dwa razy większą.

\[\alpha=2\beta\]

2 Obliczenie miar kątów

Podstawiamy tę zależność do podanej sumy miar kątów.

\[2\beta+\beta=111^\circ\quad\Rightarrow\quad\beta=37^\circ\quad\Rightarrow\quad\alpha=74^\circ\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: α = 74°.

\[\boxed{\alpha=74^\circ\;\text{(A)}}\]

Sprawdzenie

Kąt środkowy 74° jest dwa razy większy od kąta wpisanego 37°, a ich suma wynosi 111°.

\[74^\circ=2\cdot37^\circ,\qquad 74^\circ+37^\circ=111^\circ\]

Zadanie 11

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

78%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(1,9)\). Liczby \(-2\) i \(4\) to miejsca zerowe funkcji \(f\).

Najmniejsza wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle-1,2\rangle\) jest równa

Wykres fragmentu paraboli z osiami i oznaczeniami współrzędnych.

\(2\)

\(5\)

\(8\)

\(9\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wzoru funkcji

Z miejsc zerowych zapisujemy postać iloczynową, a współczynnik obliczamy z położenia wierzchołka.

\[f(x)=a(x+2)(x-4),\quad 9=f(1)=a\cdot3\cdot(-3),\quad a=-1\]

2 Wyznaczenie najmniejszej wartości

Parabola ma ramiona skierowane w dół, więc w przedziale \([-1,2]\) najmniejszą wartość przyjmuje na jednym z jego końców.

\[f(-1)=-(1)(-5)=5,\quad f(2)=-(4)(-2)=8,\quad \min_{x\in[-1,2]}f(x)=5\]

Odpowiedź

Najmniejsza wartość wynosi 5. Odpowiedź B.

\[\boxed{5}\]

Sprawdzenie

Wierzchołek leży wewnątrz przedziału i daje wartość 9, większą od wartości 5 i 8 na jego końcach.

\[f(1)=9>8>5\]

Zadanie 1

Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

78%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Wskaż rysunek, na którym przedstawiono przedział, będący zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(-4\leq x-1\leq 4\).

Rysunek odpowiedzi A

Rysunek odpowiedzi B

Rysunek odpowiedzi C

Rysunek odpowiedzi D

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie przedziału

Dodajemy 1 do każdej części nierówności, aby wyznaczyć dopuszczalne wartości x.

\[-4\leq x-1\leq 4\quad\Longleftrightarrow\quad -3\leq x\leq 5\]

2 Wybór rysunku

Obie nierówności są nieostre, więc końce przedziału należą do zbioru rozwiązań. Przedział od −3 do 5 z zamalowanymi końcami przedstawia rysunek C.

\[x\in[-3,5]\]

Odpowiedź

C — przedział domknięty od −3 do 5.

\[[-3,5]\]

Sprawdzenie

Dla końców przedziału wyrażenie x−1 przyjmuje odpowiednio wartości −4 i 4, więc oba końce spełniają nierówność.

\[x=-3\Rightarrow x-1=-4,\qquad x=5\Rightarrow x-1=4\]

Zadanie 15

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

77%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=(-1)^n\cdot(n-5)\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Pierwszy wyraz ciągu \((a_n)\) jest dwa razy większy od trzeciego wyrazu tego ciągu.	P	F
Wszystkie wyrazy ciągu \((a_n)\) są dodatnie.	P	F

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie pierwszego i trzeciego wyrazu

Podstawiamy numery wyrazów do wzoru, aby porównać ich wartości.

\[a_1=(-1)^1(1-5)=4,\qquad a_3=(-1)^3(3-5)=2\]

2 Ocena pierwszego stwierdzenia

Pierwszy wyraz jest dwa razy większy od trzeciego, ponieważ 4 jest równe 2 razy 2.

\[a_1=4=2\cdot 2=2a_3\]

3 Ocena drugiego stwierdzenia

Aby obalić stwierdzenie o wszystkich wyrazach, wystarczy wskazać jeden wyraz, który nie jest dodatni. Piąty wyraz jest równy zeru.

\[a_5=(-1)^5(5-5)=0\]

Odpowiedź

Pierwsze stwierdzenie: P. Drugie stwierdzenie: F.

\[\mathrm{P},\ \mathrm{F}\]

Sprawdzenie

Równość 4 = 2 · 2 potwierdza pierwszą odpowiedź. Ponieważ 0 nie jest liczbą dodatnią, piąty wyraz potwierdza drugą odpowiedź.

\[a_1=2a_3,\qquad a_5=0\not>0\]

Zadanie 21

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

77%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest równoległobok o bokach długości \(3\) i \(4\) oraz o kącie między nimi o mierze \(120^\circ\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole tego równoległoboku jest równe

\(12\)

\(12\sqrt{3}\)

\(6\)

\(6\sqrt{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie pola

Pole równoległoboku o bokach \(a\) i \(b\) oraz kącie \(\alpha\) między nimi wynosi \(ab\sin\alpha\). Ponieważ \(\sin120^\circ=\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}\), podstawiamy dane.

\[P=3\cdot4\cdot\sin120^\circ=12\cdot\frac{\sqrt3}{2}=6\sqrt3\]

Odpowiedź

Pole wynosi \(6\sqrt3\). Poprawna odpowiedź: D.

\[P=6\sqrt3\]

Sprawdzenie

Wysokość opuszczona na bok długości \(4\) wynosi \(3\sin120^\circ=\frac{3\sqrt3}{2}\). Iloczyn podstawy i wysokości daje \(6\sqrt3\), zgodnie z wynikiem.

\[4\cdot\frac{3\sqrt3}{2}=6\sqrt3\]

Zadanie 9

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte3 pkt

Równania i nierówności

77%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Rozwiąż równanie

\(3x^3 - 2x^2 - 12x + 8 = 0\)

Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Grupowanie wyrazów

Wyłączamy wspólne czynniki, aby otrzymać ten sam nawias w obu grupach.

\[3x^3-2x^2-12x+8=x^2(3x-2)-4(3x-2)=(3x-2)(x^2-4)\]

2 Rozkład i rozwiązanie

Korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów, a następnie z zasady, że iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden czynnik jest równy zeru.

\[(3x-2)(x-2)(x+2)=0\quad\Longleftrightarrow\quad 3x-2=0\ \lor\ x-2=0\ \lor\ x+2=0\]

Odpowiedź

Rozwiązaniami są −2, 2/3 i 2.

\[x\in\left\{-2,\frac{2}{3},2\right\}\]

Sprawdzenie

Każda z podanych liczb zeruje jeden z czynników iloczynu, więc spełnia równanie. Rozkład obejmuje wszystkie czynniki wielomianu, zatem innych rozwiązań nie ma.

\[(3x-2)(x-2)(x+2)=0\]

Zadanie 14

Matura 2022 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

77%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\), \(a_5=-31\) oraz \(a_{10}=-66\). Różnica tego ciągu jest równa

\((-7)\)

\((-19{,}4)\)

\(7\)

\(19{,}4\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz zależność między wyrazami

Od piątego do dziesiątego wyrazu jest pięć kroków, więc różnica ich wartości jest pięciokrotnością różnicy ciągu.

\[a_{10}=a_5+5r\]

2 Oblicz różnicę

Podstawiamy dane i dzielimy obie strony równania przez 5.

\[-66=-31+5r\quad\Rightarrow\quad 5r=-35\quad\Rightarrow\quad r=-7\]

Odpowiedź

Różnica ciągu wynosi −7. Odpowiedź A.

\[r=-7\]

Sprawdzenie

Po dodaniu pięciu różnic do piątego wyrazu otrzymujemy podany dziesiąty wyraz.

\[a_5+5r=-31+5\cdot(-7)=-66=a_{10}\]

Zadanie 22

Matura 2021 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

77%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W równoległoboku \(ABCD\), przedstawionym na rysunku, kąt \(\alpha\) ma miarę \(70^\circ\).

Wtedy kąt \(\beta\) ma miarę

Równoległobok ABCD z kątami α przy A i β przy B, dwoma dodatkowymi odcinkami oraz dwoma kątami oznaczonymi łukiem i kropką.

\(80^\circ\)

\(70^\circ\)

\(60^\circ\)

\(50^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Oznaczenie punktów i kąta przy D

Niech E leży na AD i jest początkiem odcinka EB, a F leży na DC i jest końcem odcinka FB. Kąty sąsiednie równoległoboku sumują się do 180°.

\[\angle EDF=\angle ADC=180^\circ-70^\circ=110^\circ\]

2 Kąty oznaczone kropkami

Oba zaznaczone kąty są równe. Oznaczmy ich miarę przez γ. Ponieważ D, F i C leżą na jednej prostej, kąt czworokąta E D F B przy F jest przyległy do zaznaczonego kąta.

\[\angle DEB=\angle BFC=\gamma,\qquad \angle DFB=180^\circ-\gamma\]

3 Suma kątów czworokąta

Suma kątów wewnętrznych czworokąta E D F B wynosi 360°. Po podstawieniu miary γ się redukują.

\[\gamma+110^\circ+(180^\circ-\gamma)+\beta=360^\circ\quad\Rightarrow\quad\beta=70^\circ\]

Odpowiedź

Kąt β ma miarę 70°. Odpowiedź B.

\[\beta=70^\circ\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu β = 70° suma czterech kątów czworokąta wynosi 360° dla każdej miary γ zgodnej z rysunkiem.

\[\gamma+110^\circ+(180^\circ-\gamma)+70^\circ=360^\circ\]

Zadanie 28

Matura 2021 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

77%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Sześciowyrazowy ciąg liczbowy \((1, 2, 2x, x+2, 5, 6)\) jest niemalejący. Mediana wyrazów tego ciągu jest równa \(4\). Wynika stąd, że

\(x=1\)

\(x=\frac{3}{2}\)

\(x=2\)

\(x=\frac{8}{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie mediany

Ciąg jest niemalejący i ma sześć wyrazów, więc mediana jest średnią trzeciego i czwartego wyrazu.

\[\frac{2x+(x+2)}{2}=4\]

2 Wyznaczenie x

Mnożymy równanie przez 2 i rozwiązujemy je.

\[3x+2=8\quad\Rightarrow\quad 3x=6\quad\Rightarrow\quad x=2\]

Odpowiedź

Odpowiedź C: \(x=2\).

\[x=2\]

Sprawdzenie

Dla \(x=2\) ciąg ma postać \((1,2,4,4,5,6)\). Jest niemalejący, a średnia dwóch środkowych wyrazów wynosi \(4\).

\[\frac{4+4}{2}=4\]