Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

1048 zadańStrona 55 z 70

Sortuj:

Zadanie 1

Matura 2018 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Cena pewnego towaru w wyniku obniżki o 10% zmniejszyła się o 2 018 zł. Ten towar po tej obniżce kosztował

20 180 zł

18 162 zł

2 108 zł

2 028 zł

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie ceny przed obniżką

Kwota 2 018 zł stanowi 10% ceny początkowej, więc dzielimy ją przez 0,1.

\[2018:0{,}1=20180\ \text{zł}\]

2 Obliczenie ceny po obniżce

Od ceny początkowej odejmujemy kwotę obniżki.

\[20180-2018=18162\ \text{zł}\]

Odpowiedź

Po obniżce towar kosztował 18 162 zł. Odpowiedź B.

\[\boxed{18162\ \text{zł}}\]

Sprawdzenie

10% ceny początkowej 20 180 zł to 2 018 zł; po odjęciu tej kwoty otrzymujemy 18 162 zł.

\[0{,}1\cdot20180=2018,\qquad 20180-2018=18162\]

Zadanie 2

Matura 2018 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(\sqrt{\sqrt[3]{2}}\) jest równa

\(2^{\frac{1}{6}}\)

\(2^{\frac{1}{5}}\)

\(2^{\frac{1}{3}}\)

\(2^{\frac{2}{3}}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz pierwiastki jako potęgi

Pierwiastek trzeciego stopnia oznacza potęgę o wykładniku \(\frac{1}{3}\), a pierwiastek kwadratowy — o wykładniku \(\frac{1}{2}\).

\[\sqrt{\sqrt[3]{2}}=\left(2^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{2}}\]

2 Pomnóż wykładniki

Przy podnoszeniu potęgi do potęgi mnożymy wykładniki.

\[\left(2^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}}=2^{\frac{1}{6}}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[\sqrt{\sqrt[3]{2}}=2^{\frac{1}{6}}\]

Sprawdzenie

Wynik jest dodatni, a jego szósta potęga wynosi 2, więc jest dodatnim pierwiastkiem szóstego stopnia z 2.

\[\left(2^{\frac{1}{6}}\right)^6=2\]

Zadanie 3

Matura 2018 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Dane są liczby \(x=4{,}5\cdot10^{-8}\) oraz \(y=1{,}5\cdot10^2\). Wtedy iloraz \(\frac{x}{y}\) jest równy

\(3\cdot10^{-10}\)

\(3\cdot10^{-6}\)

\(6{,}75\cdot10^{-10}\)

\(6{,}75\cdot10^{-6}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podziel współczynniki i potęgi

Przy dzieleniu potęg o podstawie 10 odejmujemy wykładniki.

\[\frac{x}{y}=\frac{4{,}5}{1{,}5}\cdot10^{-8-2}=3\cdot10^{-10}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[\frac{x}{y}=3\cdot10^{-10}\]

Sprawdzenie

Mnożąc wynik przez y, otrzymujemy x.

\[(3\cdot10^{-10})(1{,}5\cdot10^2)=4{,}5\cdot10^{-8}\]

Zadanie 4

Matura 2018 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(\log_4 96-\log_4 6\) jest równa

\(\log_4 90\)

\(\log_6 96\)

\(4\)

\(2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie własności logarytmów

Logarytmy mają tę samą podstawę, więc ich różnica jest logarytmem ilorazu dodatnich argumentów.

\[\log_4 96-\log_4 6=\log_4\frac{96}{6}=\log_4 16\]

2 Obliczenie logarytmu

Ponieważ 16 jest kwadratem liczby 4, logarytm wynosi 2.

\[16=4^2\quad\Longrightarrow\quad\log_4 16=2\]

Odpowiedź

D. Wartość wyrażenia wynosi 2.

\[\log_4 96-\log_4 6=2\]

Sprawdzenie

Argumenty logarytmów są dodatnie, a podstawa 4 jest dodatnia i różna od 1. Ponadto 4 do potęgi 2 daje 16, czyli iloraz 96 przez 6.

\[96>0,\quad 6>0,\quad 4^2=16=\frac{96}{6}\]

Zadanie 5

Matura 2018 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Wyrażenia algebraiczne

Równość \((a+2\sqrt{3})^2=13+4\sqrt{3}\) jest prawdziwa dla

\(a=\sqrt{13}\)

\(a=1\)

\(a=0\)

\(a=\sqrt{13}+1\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie prawej strony jako kwadratu

Rozpoznajemy wzór skróconego mnożenia, aby porównać obie strony równości.

\[13+4\sqrt{3}=1+12+4\sqrt{3}=(1+2\sqrt{3})^2\]

2 Wyznaczenie wartości z odpowiedzi

W każdej podanej odpowiedzi \(a\geq 0\), więc obie podstawy kwadratów są dodatnie. Równość ich kwadratów oznacza równość podstaw.

\[a+2\sqrt{3}=1+2\sqrt{3}\quad\Longrightarrow\quad a=1\]

Odpowiedź

Pasuje odpowiedź B: \(a=1\).

\[a=1\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu \(a=1\) lewa strona jest równa prawej.

\[(1+2\sqrt{3})^2=1+4\sqrt{3}+12=13+4\sqrt{3}\]

Zadanie 6

Matura 2018 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Układy równań

Na rysunku jest przedstawiona graficzna ilustracja układu dwóch równań stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi \(x\) i \(y\).

Wskaż ten układ.

Układ współrzędnych z wykresami dwóch prostych

\(\begin{cases}y=-2x+8\\y=-\frac{3}{2}x+\frac{13}{2}\end{cases}\)

\(\begin{cases}y=2x-4\\y=-\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}\end{cases}\)

\(\begin{cases}y=x-1\\y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\end{cases}\)

\(\begin{cases}y=3x-7\\y=-\frac{2}{3}x+4\end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Prosta rosnąca

Z wykresu odczytujemy punkty \((0,-4)\) i \((2,0)\). Obliczamy współczynnik kierunkowy, aby zapisać równanie prostej.

\[a=\frac{0-(-4)}{2-0}=2,\qquad y=2x-4\]

2 Prosta malejąca

Ta prosta przecina osie w punktach \((0,\frac{7}{2})\) i \((7,0)\). Obliczamy jej współczynnik kierunkowy.

\[a=\frac{0-\frac{7}{2}}{7-0}=-\frac{1}{2},\qquad y=-\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}\]

Odpowiedź

Pasuje układ B.

\[\begin{cases}y=2x-4\\y=-\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}\end{cases}\]

Sprawdzenie

Obie proste przechodzą przez widoczny na wykresie punkt przecięcia \((3,2)\).

\[2\cdot3-4=2,\qquad -\frac{1}{2}\cdot3+\frac{7}{2}=2\]

Zadanie 7

Matura 2018 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Rozwiązaniem równania \(\frac{x-2}{3(x+2)}=\frac{1}{9}\) jest liczba

\(-2\)

\(2\)

\(4\)

\(-4\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie dziedziny

Mianownik nie może być zerem, więc wykluczamy liczbę −2.

\[3(x+2)\neq 0\quad\Rightarrow\quad x\neq -2\]

2 Rozwiązanie równania

Mnożymy obie strony przez 9·3(x+2), a następnie porządkujemy wyrazy.

\[9(x-2)=3(x+2)\quad\Rightarrow\quad 9x-18=3x+6\quad\Rightarrow\quad 6x=24\quad\Rightarrow\quad x=4\]

Odpowiedź

Rozwiązaniem jest liczba 4, czyli odpowiedź C.

\[x=4\]

Sprawdzenie

Liczba 4 należy do dziedziny. Po podstawieniu lewa strona jest równa prawej.

\[\frac{4-2}{3(4+2)}=\frac{2}{18}=\frac{1}{9}\]

Zadanie 8

Matura 2018 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Dane są funkcje \(f(x)=3^x\) oraz \(g(x)=f(-x)\), określone dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\). Punkt wspólny wykresów funkcji \(f\) i \(g\)

nie istnieje.

ma współrzędne \((1,0)\).

ma współrzędne \((0,1)\).

ma współrzędne \((0,0)\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie argumentu

W punkcie wspólnym funkcje mają tę samą wartość. Ponieważ funkcja wykładnicza o podstawie 3 jest różnowartościowa, przyrównujemy wykładniki.

\[3^x=3^{-x}\iff x=-x\iff x=0\]

2 Obliczenie wartości

Podstawiamy otrzymany argument do funkcji, aby znaleźć drugą współrzędną.

\[f(0)=3^0=1\]

Odpowiedź

Punkt wspólny ma współrzędne (0,1). Odpowiedź C.

\[(0,1)\]

Sprawdzenie

Dla x=0 obie funkcje mają wartość 1. Równość wykładników ma tylko jedno rozwiązanie, więc innych punktów wspólnych nie ma.

\[f(0)=1,\qquad g(0)=f(-0)=1\]

Zadanie 9

Matura 2018 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Punkt \((1,\sqrt{3})\) należy do wykresu funkcji \(y=2\sqrt{3}x+b\). Wtedy współczynnik \(b\) jest równy

\(7\)

\(3\sqrt{3}\)

\(-5\)

\(-\sqrt{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie współrzędnych

Punkt należy do wykresu, więc jego współrzędne spełniają równanie funkcji.

\[\sqrt{3}=2\sqrt{3}\cdot 1+b\]

2 Obliczenie współczynnika

Odejmujemy \(2\sqrt{3}\) od obu stron równania.

\[b=\sqrt{3}-2\sqrt{3}=-\sqrt{3}\]

Odpowiedź

Współczynnik \(b\) wynosi \(-\sqrt{3}\). Odpowiedź D.

\[b=-\sqrt{3}\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu \(x=1\) i obliczonego \(b\) otrzymujemy wymaganą współrzędną \(y=\sqrt{3}\).

\[2\sqrt{3}\cdot 1-\sqrt{3}=\sqrt{3}\]

Zadanie 10

Matura 2018 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Wykresem funkcji kwadratowej \(f(x)=x^2-2x-11\) jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych

\((-2,-3)\)

\((-2,-12)\)

\((1,-8)\)

\((1,-12)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Sprowadzenie do postaci kanonicznej

Uzupełniamy kwadrat, aby odczytać współrzędne wierzchołka paraboli.

\[f(x)=x^2-2x-11=(x-1)^2-1-11=(x-1)^2-12\]

2 Odczytanie wierzchołka

W postaci \(f(x)=(x-p)^2+q\) wierzchołek ma współrzędne \((p,q)\).

\[W=(1,-12)\]

Odpowiedź

Wierzchołek ma współrzędne \((1,-12)\). Odpowiedź D.

\[W=(1,-12)\]

Sprawdzenie

Dla \(x=1\) kwadrat \((x-1)^2\) jest równy zeru, więc funkcja osiąga tam wartość \(-12\).

\[f(1)=1^2-2\cdot1-11=-12\]

Zadanie 11

Matura 2018 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja kwadratowa jest określona wzorem \(f(x)=-3(x-2)(x-9)\). Liczby \(x_1\), \(x_2\) są różnymi miejscami zerowymi funkcji \(f\). Zatem

\(x_1+x_2=11\)

\(x_1+x_2=-11\)

\(x_1+x_2=33\)

\(x_1+x_2=-33\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie miejsc zerowych

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy zeru. Współczynnik −3 jest różny od zera.

\[-3(x-2)(x-9)=0\iff x-2=0\ \text{lub}\ x-9=0\iff x=2\ \text{lub}\ x=9\]

2 Obliczenie sumy

Miejscami zerowymi są 2 i 9, więc dodajemy te liczby.

\[x_1+x_2=2+9=11\]

Odpowiedź

A. Suma miejsc zerowych wynosi 11.

\[x_1+x_2=11\]

Sprawdzenie

Dla x = 2 i x = 9 jeden z czynników jest równy zeru, więc f(2) = f(9) = 0. Są to różne liczby, a ich suma wynosi 11.

\[f(2)=-3(2-2)(2-9)=0,\quad f(9)=-3(9-2)(9-9)=0\]

Zadanie 12

Matura 2018 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Największą wartością funkcji \(y=-(x-2)^2+4\) w przedziale \(\langle 3,5\rangle\) jest

\(0\)

\(5\)

\(4\)

\(3\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie położenia wierzchołka

Parabola jest skierowana ramionami w dół, a jej wierzchołek ma pierwszą współrzędną 2. Cały przedział leży na prawo od wierzchołka, gdzie funkcja maleje.

\[x_w=2<3\leq x\leq5\]

2 Obliczenie największej wartości

Funkcja malejąca przyjmuje w tym przedziale największą wartość na lewym końcu, czyli dla x=3.

\[f(3)=-(3-2)^2+4=3\]

Odpowiedź

Największa wartość wynosi 3. Odpowiedź D.

\[\max_{x\in[3,5]}f(x)=3\]

Sprawdzenie

Dla x od 3 do 5 wartość (x−2)² jest co najmniej 1, więc f(x) jest co najwyżej 3. Równość zachodzi dla x=3, który należy do przedziału.

\[x\in[3,5]\Rightarrow(x-2)^2\geq1\Rightarrow f(x)=4-(x-2)^2\leq3\]

Zadanie 13

Matura 2018 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg arytmetyczny \((a_n)\), określony dla \(n\geq 1\), spełnia warunek \(a_3+a_4+a_5=15\). Wtedy

\(a_4=5\)

\(a_4=6\)

\(a_4=3\)

\(a_4=4\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz wyrazy sąsiednie

W ciągu arytmetycznym różnica między kolejnymi wyrazami jest stała. Oznaczając ją przez \(r\), wyrażamy skrajne wyrazy przez środkowy.

\[a_3=a_4-r,\qquad a_5=a_4+r\]

2 Oblicz czwarty wyraz

Po podstawieniu do podanej sumy składniki z \(r\) się redukują.

\[(a_4-r)+a_4+(a_4+r)=15\quad\Rightarrow\quad 3a_4=15\quad\Rightarrow\quad a_4=5\]

Odpowiedź

Czwarty wyraz wynosi 5. Odpowiedź A.

\[a_4=5\]

Sprawdzenie

Dla dowolnej różnicy \(r\) suma trzeciego, czwartego i piątego wyrazu jest równa 15, więc wynik spełnia warunek zadania.

\[(5-r)+5+(5+r)=15\]

Zadanie 14

Matura 2018 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Dla pewnej liczby \(x\) ciąg \((x,x+4,16)\) jest geometryczny. Liczba \(x\) jest równa

\(8\)

\(4\)

\(2\)

\(0\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek ciągu geometrycznego

W trzech kolejnych wyrazach ciągu geometrycznego kwadrat wyrazu środkowego jest iloczynem wyrazów skrajnych.

\[(x+4)^2=x\cdot16\]

2 Rozwiązanie równania

Rozwijamy kwadrat i sprowadzamy równanie do postaci iloczynowej.

\[x^2+8x+16=16x\quad\Longleftrightarrow\quad x^2-8x+16=0\quad\Longleftrightarrow\quad(x-4)^2=0\quad\Longleftrightarrow\quad x=4\]

Odpowiedź

Liczba x jest równa 4. Odpowiedź B.

\[x=4\]

Sprawdzenie

Dla x=4 otrzymujemy ciąg (4,8,16). Ilorazy kolejnych wyrazów są równe 2, więc ciąg jest geometryczny.

\[\frac{8}{4}=\frac{16}{8}=2\]

Zadanie 15

Matura 2018 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma długość 3, a długość przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta \(\alpha\) jest równa \(\sqrt{3}\). Zatem

\(\alpha=60^\circ\)

\(\alpha\in(40^\circ,60^\circ)\)

\(\alpha\in(30^\circ,40^\circ)\)

\(\alpha=30^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie sinusa kąta

Sinus kąta ostrego to stosunek długości przeciwległej przyprostokątnej do przeciwprostokątnej.

\[\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}\]

2 Wyznaczenie przedziału

Kąt jest ostry, więc z obliczonego sinusa wyznaczamy jego przybliżoną miarę.

\[\alpha=\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\approx35{,}26^\circ\]

Odpowiedź

C. Kąt α należy do przedziału od 30° do 40°, bez końców.

\[\alpha\in(30^\circ,40^\circ)\]

Sprawdzenie

Otrzymana miara leży między 30° a 40°. Ponadto sin 35,26° ≈ 0,577, zgodnie z wartością √3/3 ≈ 0,577.

\[30^\circ<35{,}26^\circ<40^\circ,\qquad \sin35{,}26^\circ\approx\frac{\sqrt{3}}{3}\]