Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

1468 zadańStrona 50 z 98

Sortuj:

Zadanie 32

Matura 2024 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq 1\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) prawdziwa jest nierówność

\[x^2+49y^2>2(x+7y-1)\]

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przenieś wyrazy na jedną stronę

Aby wykazać nierówność, wystarczy sprawdzić, czy różnica jej stron jest dodatnia.

\[x^2+49y^2-2(x+7y-1)=x^2-2x+1+49y^2-14y+1\]

2 Zapisz różnicę jako sumę kwadratów

Korzystamy ze wzoru na kwadrat różnicy. Ponieważ \(x\neq 1\), pierwszy kwadrat jest dodatni, a drugi jest nieujemny.

\[(x-1)^2+(7y-1)^2>0\]

Odpowiedź

Nierówność jest prawdziwa dla każdego \(x\neq 1\) i każdego rzeczywistego \(y\).

\[x^2+49y^2>2(x+7y-1)\]

Sprawdzenie

Różnica stron mogłaby być równa zeru tylko dla \(x=1\) oraz \(y=\frac17\). Warunek \(x\neq 1\) wyklucza ten przypadek.

\[(x-1)^2+(7y-1)^2=0\iff x=1\ \land\ y=\frac17\]

Zadanie 33

Matura 2024 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

Bok kwadratu \(ABCD\) ma długość równą 12. Punkt \(S\) jest środkiem boku \(BC\) tego kwadratu. Na odcinku \(AS\) leży punkt \(P\) taki, że odcinek \(BP\) jest prostopadły do odcinka \(AS\).

Oblicz długość odcinka \(BP\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Długość odcinka AS

Trójkąt ABS jest prostokątny w B. Ponieważ S jest środkiem boku BC, mamy BS=6. Stosujemy twierdzenie Pitagorasa.

\[AS=\sqrt{AB^2+BS^2}=\sqrt{12^2+6^2}=6\sqrt{5}\]

2 Długość odcinka BP

BP jest wysokością trójkąta ABS opuszczoną na przeciwprostokątną AS. Porównujemy dwa wzory na pole tego trójkąta.

\[\frac{AB\cdot BS}{2}=\frac{AS\cdot BP}{2},\qquad BP=\frac{12\cdot6}{6\sqrt{5}}=\frac{12\sqrt{5}}{5}\]

Odpowiedź

Odcinek BP ma długość 12√5/5.

\[BP=\frac{12\sqrt{5}}{5}\]

Sprawdzenie

Z twierdzenia o przyprostokątnej otrzymujemy AP=24/√5. Twierdzenie Pitagorasa w trójkącie ABP daje BP²=144/5, co potwierdza wynik.

\[AP=\frac{AB^2}{AS}=\frac{24}{\sqrt{5}},\qquad BP^2=AB^2-AP^2=144-\frac{576}{5}=\frac{144}{5}\]

Zadanie 34

Matura 2024 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Ciągi

Trzywyrazowy ciąg \((4x^2-1,\ 2x^2+1,\ 1-x)\) jest arytmetyczny.

Oblicz \(x\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek ciągu arytmetycznego

W ciągu arytmetycznym środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną skrajnych, więc jego podwojenie równa się ich sumie.

\[2(2x^2+1)=(4x^2-1)+(1-x)\]

2 Obliczenie x

Upraszczamy obie strony równania i odejmujemy \(4x^2\).

\[4x^2+2=4x^2-x\quad\Longrightarrow\quad 2=-x\quad\Longrightarrow\quad x=-2\]

Odpowiedź

\(x=-2\).

\[x=-2\]

Sprawdzenie

Dla \(x=-2\) wyrazy ciągu to \(15,9,3\). Kolejne różnice wynoszą \(-6\), więc ciąg jest arytmetyczny.

\[9-15=3-9=-6\]

Zadanie 35

Matura 2024 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że w pierwszym rzucie wypadnie większa liczba oczek niż w drugim rzucie.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba wszystkich wyników

Każdy z sześciu wyników pierwszego rzutu można połączyć z każdym z sześciu wyników drugiego rzutu. Wszystkie pary są jednakowo prawdopodobne.

\[|\Omega|=6\cdot 6=36\]

2 Liczba wyników sprzyjających

Gdy w drugim rzucie wypadnie kolejno od 1 do 6 oczek, w pierwszym rzucie większą liczbę oczek można uzyskać odpowiednio na 5, 4, 3, 2, 1 lub 0 sposobów.

\[|A|=5+4+3+2+1+0=15\]

3 Obliczenie prawdopodobieństwa

Dzielimy liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich jednakowo prawdopodobnych wyników.

\[P(A)=\frac{15}{36}=\frac{5}{12}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi 5/12.

\[P(A)=\frac{5}{12}\]

Sprawdzenie

W 6 parach liczby oczek są równe. Spośród pozostałych 30 par dokładnie połowa ma większą liczbę oczek w pierwszym rzucie, więc wyników sprzyjających jest 15.

\[6+15+15=36\]

Zadanie 36

Matura 2024 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W układzie współrzędnych \((x,y)\) dane są punkty \(A=(2,8)\) oraz \(B=(10,2)\). Symetralna odcinka \(AB\) przecina oś \(Ox\) układu współrzędnych w punkcie \(P\).

Oblicz współrzędne punktu \(P\) oraz obwód trójkąta \(ABP\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie punktu P

Punkt P leży na osi Ox, więc ma postać (x,0). Jako punkt symetralnej jest jednakowo odległy od A i B. Porównujemy kwadraty tych odległości.

\[(x-2)^2+(0-8)^2=(x-10)^2+(0-2)^2\;\Longrightarrow\;x^2-4x+68=x^2-20x+104\;\Longrightarrow\;16x=36\;\Longrightarrow\;x=\frac94\]

2 Obliczenie długości boków

Stosujemy wzór na odległość punktów. Ponieważ P leży na symetralnej, długości AP i BP są równe.

\[AB=\sqrt{(10-2)^2+(2-8)^2}=10,\qquad AP=BP=\sqrt{\left(\frac94-2\right)^2+(0-8)^2}=\frac{5\sqrt{41}}4\]

3 Obliczenie obwodu

Dodajemy długości trzech boków trójkąta.

\[O=AB+AP+BP=10+2\cdot\frac{5\sqrt{41}}4=10+\frac{5\sqrt{41}}2\]

Odpowiedź

Punkt P ma współrzędne (9/4, 0), a obwód trójkąta ABP wynosi 10 + 5√41/2.

\[P=\left(\frac94,0\right),\qquad O=10+\frac{5\sqrt{41}}2\]

Sprawdzenie

Punkt P leży na osi Ox. Kwadraty jego odległości od A i B są równe, więc P leży na symetralnej AB; użyty obwód jest sumą długości trzech boków.

\[AP^2=\left(\frac14\right)^2+8^2=\frac{1025}{16},\qquad BP^2=\left(\frac{31}4\right)^2+2^2=\frac{1025}{16}\]

Zadanie 1

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Na początku sezonu letniego cenę \(x\) pary sandałów podwyższono o \(20\%\). Po miesiącu nową cenę obniżono o \(10\%\). Po obu tych zmianach ta para sandałów kosztowała 81 zł. Początkowa cena \(x\) pary sandałów była równa

45 zł

73,63 zł

75 zł

87,48 zł

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie zmian ceny

Podwyżka o 20% oznacza pomnożenie ceny przez 1,2, a obniżka nowej ceny o 10% — przez 0,9.

\[x\cdot 1{,}2\cdot 0{,}9=81\]

2 Obliczenie ceny początkowej

Łączny mnożnik wynosi 1,08, więc dzielimy obie strony równania przez 1,08.

\[1{,}08x=81\quad\Rightarrow\quad x=\frac{81}{1{,}08}=75\]

Odpowiedź

Początkowa cena wynosiła 75 zł. Odpowiedź C.

\[x=75\ \text{zł}\]

Sprawdzenie

Po podwyżce cena 75 zł wynosi 90 zł, a po obniżce o 10% wynosi 81 zł, zgodnie z treścią zadania.

\[75\cdot 1{,}2=90,\qquad 90\cdot 0{,}9=81\]

Zadanie 2

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(\left(\frac{1}{16}\right)^8\cdot 8^{16}\) jest równa

\(2^{24}\)

\(2^{16}\)

\(2^{12}\)

\(2^8\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie liczb jako potęg dwójki

Liczby 16 i 8 są potęgami dwójki, więc można zastosować prawa działań na potęgach.

\[\left(\frac{1}{16}\right)^8\cdot 8^{16}=(2^{-4})^8\cdot(2^3)^{16}\]

2 Obliczenie wykładnika

Przy potęgowaniu potęgi mnożymy wykładniki, a przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy je.

\[(2^{-4})^8\cdot(2^3)^{16}=2^{-32}\cdot2^{48}=2^{16}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[2^{16}\]

Sprawdzenie

Kontrola: zapisując 8¹⁶ jako (2⁴)¹², otrzymujemy 16¹²/16⁸ = 16⁴ = 2¹⁶.

\[\left(\frac{1}{16}\right)^8\cdot 8^{16}=\frac{(2^3)^{16}}{(2^4)^8}=\frac{2^{48}}{2^{32}}=2^{16}\]

Zadanie 3

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(\log_{\sqrt{3}}9\) jest równa

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie logarytmu jako wykładnika

Logarytm wskazuje wykładnik, do którego trzeba podnieść podstawę, aby otrzymać 9.

\[\log_{\sqrt{3}}9=x\iff(\sqrt{3})^x=9\]

2 Sprowadzenie do tej samej podstawy

Zapisujemy obie strony jako potęgi liczby 3, aby porównać wykładniki.

\[(3^{\frac12})^x=3^2\iff\frac{x}{2}=2\iff x=4\]

Odpowiedź

C. Liczba jest równa 4.

\[\log_{\sqrt{3}}9=4\]

Sprawdzenie

Podstawa logarytmu jest dodatnia i różna od 1. Ponadto jej czwarta potęga wynosi 9.

\[\sqrt{3}>0,\quad\sqrt{3}\ne1,\quad(\sqrt{3})^4=9\]

Zadanie 4

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Wyrażenia algebraiczne

Dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(b\) wartość wyrażenia \((2a+b)^2-(2a-b)^2\) jest równa wartości wyrażenia

\(8a^2\)

\(8ab\)

\(-8ab\)

\(2b^2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozwiń kwadraty

Stosujemy wzory na kwadrat sumy i różnicy, aby zapisać wyrażenie jako sumę wyrazów podobnych.

\[(2a+b)^2=4a^2+4ab+b^2,\qquad (2a-b)^2=4a^2-4ab+b^2\]

2 Odejmij wyrażenia

Po odjęciu wyrazy z \(a^2\) i \(b^2\) się redukują.

\[(4a^2+4ab+b^2)-(4a^2-4ab+b^2)=8ab\]

Odpowiedź

Wynik to \(8ab\), czyli odpowiedź B.

\[8ab\]

Sprawdzenie

Wzór na różnicę kwadratów daje ten sam wynik dla dowolnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\).

\[(2a+b)^2-(2a-b)^2=((2a+b)-(2a-b))((2a+b)+(2a-b))=2b\cdot4a=8ab\]

Zadanie 5

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

\[1-\frac{3}{2}x<\frac{2}{3}-x\]

jest przedział

\(\left(-\infty,-\frac{2}{3}\right)\)

\(\left(-\infty,\frac{2}{3}\right)\)

\(\left(-\frac{2}{3},+\infty\right)\)

\(\left(\frac{2}{3},+\infty\right)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zbierz wyrazy

Przenosimy wyrazy z niewiadomą na prawą stronę, a liczby na lewą.

\[1-\frac{2}{3}<\frac{3}{2}x-x\quad\Longrightarrow\quad\frac{1}{3}<\frac{1}{2}x\]

2 Wyznacz x

Mnożymy obie strony przez dodatnią liczbę 2, więc znak nierówności się nie zmienia.

\[\frac{2}{3}<x\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: przedział \(\left(\frac{2}{3},+\infty\right)\).

\[x\in\left(\frac{2}{3},+\infty\right)\]

Sprawdzenie

Dla \(x=\frac{2}{3}\) obie strony początkowej nierówności są równe 0, więc koniec przedziału nie należy do zbioru rozwiązań. Dla \(x=1\) otrzymujemy \(-\frac{1}{2}<-\frac{1}{3}\), zgodnie z wynikiem.

\[1-\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{3}=0=\frac{2}{3}-\frac{2}{3},\qquad 1-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}<\frac{2}{3}-1=-\frac{1}{3}\]

Zadanie 6

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Największą liczbą będącą rozwiązaniem rzeczywistym równania \(x(x+2)(x^2+9)=0\) jest

\(-2\)

\(0\)

\(2\)

\(3\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie rozwiązań rzeczywistych

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest zerem. Ponieważ kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny, czynnik \(x^2+9\) nie może być zerem.

\[x(x+2)(x^2+9)=0\iff x=0\ \text{lub}\ x+2=0\iff x=0\ \text{lub}\ x=-2\]

2 Wybór największego rozwiązania

Spośród otrzymanych liczb większa jest \(0\), co odpowiada odpowiedzi B.

\[0>-2\]

Odpowiedź

Największym rozwiązaniem rzeczywistym jest 0. Odpowiedź B.

\[\boxed{0}\]

Sprawdzenie

Dla 0 i −2 iloczyn wynosi 0. Dla każdej liczby rzeczywistej czynnik \(x^2+9\) jest dodatni, więc innych rozwiązań rzeczywistych nie ma.

\[0(0+2)(0^2+9)=0,\quad (-2)(-2+2)((-2)^2+9)=0,\quad x^2+9\geq 9>0\]

Zadanie 7

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Równanie \(\frac{x+1}{(x+2)(x-3)}=0\) w zbiorze liczb rzeczywistych

nie ma rozwiązania.

ma dokładnie jedno rozwiązanie: \(-1\).

ma dokładnie dwa rozwiązania: \(-2\) oraz \(3\).

ma dokładnie trzy rozwiązania: \(-1\), \(-2\) oraz \(3\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie dziedziny

Mianownik ułamka nie może być równy zeru, więc wykluczamy jego miejsca zerowe.

\[(x+2)(x-3)\neq 0\quad\Longrightarrow\quad x\neq -2\ \text{oraz}\ x\neq 3\]

2 Wyzerowanie licznika

Ułamek jest równy zeru, gdy jego licznik jest równy zeru, a mianownik jest różny od zera.

\[x+1=0\quad\Longrightarrow\quad x=-1\]

Odpowiedź

Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie: −1. Odpowiedź B.

\[x=-1\]

Sprawdzenie

Liczba −1 należy do dziedziny. Po podstawieniu licznik wynosi 0, a mianownik −4, więc równanie jest spełnione.

\[\frac{-1+1}{(-1+2)(-1-3)}=\frac{0}{-4}=0\]

Zadanie 8

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Układy równań

W październiku 2022 roku założono dwa sady, w których posadzono łącznie \(1960\) drzew. Po roku stwierdzono, że uschło \(5\%\) drzew w pierwszym sadzie i \(10\%\) drzew w drugim sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano.

Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła \(60\%\) liczby drzew, które pozostały w pierwszym sadzie.

Niech \(x\) oraz \(y\) oznaczają liczby drzew posadzonych – odpowiednio – w pierwszym i drugim sadzie.

Układem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia liczby \(x\) drzew posadzonych w pierwszym sadzie oraz liczby \(y\) drzew posadzonych w drugim sadzie, jest

\(\begin{cases}x+y=1960\\0{,}6\cdot0{,}95x=0{,}9y\end{cases}\)

\(\begin{cases}x+y=1960\\0{,}95x=0{,}6\cdot0{,}9y\end{cases}\)

\(\begin{cases}x+y=1960\\0{,}05x=0{,}6\cdot0{,}1y\end{cases}\)

\(\begin{cases}x+y=1960\\0{,}4\cdot0{,}95x=0{,}9y\end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Łączna liczba drzew

Suma drzew posadzonych w obu sadach wynosiła 1960.

\[x+y=1960\]

2 Drzewa pozostałe po roku

W pierwszym sadzie pozostało 95% drzew, a w drugim 90%. Liczba pozostałych drzew w drugim sadzie stanowiła 60% liczby pozostałych w pierwszym.

\[0{,}9y=0{,}6\cdot0{,}95x\]

3 Wybór odpowiedzi

Oba otrzymane równania tworzą układ podany w odpowiedzi A.

\[\begin{cases}x+y=1960\\0{,}6\cdot0{,}95x=0{,}9y\end{cases}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[\begin{cases}x+y=1960\\0{,}6\cdot0{,}95x=0{,}9y\end{cases}\]

Sprawdzenie

Z układu otrzymujemy x=1200 i y=760. Po roku pozostało odpowiednio 1140 i 684 drzew; 684 stanowi 60% z 1140, a 1200+760=1960.

\[0{,}95\cdot1200=1140,\quad 0{,}9\cdot760=684=0{,}6\cdot1140\]

Zadanie 9

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Średnia arytmetyczna trzech liczb: \(a\), \(b\), \(c\), jest równa \(9\).

Średnia arytmetyczna sześciu liczb: \(a\), \(a\), \(b\), \(b\), \(c\), \(c\), jest równa

\(9\)

\(6\)

\(4{,}5\)

\(18\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Suma trzech liczb

Średnia to suma liczb podzielona przez ich liczbę, więc z podanej średniej wyznaczamy sumę.

\[\frac{a+b+c}{3}=9\quad\Rightarrow\quad a+b+c=27\]

2 Średnia sześciu liczb

Każda z liczb występuje dwa razy, dlatego sumę podwajamy i dzielimy przez sześć.

\[\frac{a+a+b+b+c+c}{6}=\frac{2(a+b+c)}{6}=\frac{2\cdot27}{6}=9\]

Odpowiedź

Średnia wynosi 9. Odpowiedź A.

\[9\]

Sprawdzenie

Podwojenie sumy i liczby składników nie zmienia średniej: 54 podzielone przez 6 daje 9.

\[\frac{54}{6}=9\]

Zadanie 10

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Układy równań

Na rysunku przedstawiono dwie proste równoległe, które są interpretacją geometryczną jednego z poniższych układów równań A–D.

Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest

Układ współrzędnych z dwiema malejącymi prostymi równoległymi; osie x i y, początek układu oraz oznaczenia jednostek na osiach.

\(\begin{cases}y=-\frac{3}{2}x+3\\y=-\frac{3}{2}x-1\end{cases}\)

\(\begin{cases}y=\frac{3}{2}x+3\\y=-\frac{2}{3}x-1\end{cases}\)

\(\begin{cases}y=\frac{3}{2}x+3\\y=\frac{3}{2}x-1\end{cases}\)

\(\begin{cases}y=-\frac{3}{2}x-3\\y=\frac{3}{2}x+1\end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczytanie kierunku prostych

Obie proste opadają, gdy przesuwamy się w prawo, więc ich współczynniki kierunkowe są ujemne. Są równoległe, zatem mają ten sam współczynnik kierunkowy.

\[a_1=a_2<0\]

2 Odczytanie przecięć z osią y

Górna prosta przecina oś y w punkcie o rzędnej 3, a dolna w punkcie o rzędnej −1. Spośród podanych układów oba te warunki spełnia A.

\[\begin{cases}y=-\frac{3}{2}x+3\\y=-\frac{3}{2}x-1\end{cases}\]

Odpowiedź

\[\boxed{\mathrm{A}}\]

Sprawdzenie

Oba równania mają współczynnik kierunkowy −3/2, więc opisują proste równoległe i malejące. Dla x=0 otrzymujemy odpowiednio y=3 oraz y=−1, zgodnie z rysunkiem.

\[x=0\quad\Longrightarrow\quad y_1=3,\qquad y_2=-1\]