Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

1468 zadańStrona 48 z 98

Sortuj:

Zadanie 2

Matura 2024 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(\log_3\left(\frac{3}{2}\right)+\log_3\left(\frac{2}{9}\right)\) jest równa

\(\log_3\frac{31}{18}\)

\(\log_3\frac{5}{11}\)

\((-1)\)

\(\frac{1}{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Połącz logarytmy

Oba argumenty są dodatnie, więc stosujemy wzór na logarytm iloczynu.

\[\log_3\left(\frac{3}{2}\right)+\log_3\left(\frac{2}{9}\right)=\log_3\left(\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{9}\right)=\log_3\left(\frac{1}{3}\right)\]

2 Oblicz wartość

Ponieważ \(\frac{1}{3}=3^{-1}\), logarytm ma wartość \(-1\).

\[\log_3\left(\frac{1}{3}\right)=\log_3(3^{-1})=-1\]

Odpowiedź

Odpowiedź C: \(-1\).

\[-1\]

Sprawdzenie

Dla podstawy 3 otrzymujemy \(3^{-1}=\frac{1}{3}\), czyli iloczyn argumentów logarytmów.

\[\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{9}=\frac{1}{3}=3^{-1}\]

Zadanie 3

Matura 2024 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(\left(2\sqrt{10}+\sqrt{2}\right)^2\) jest równa

\(22\)

\(42\)

\(42+4\sqrt{5}\)

\(42+8\sqrt{5}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie wzoru na kwadrat sumy

Korzystamy ze wzoru \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\), gdzie \(a=2\sqrt{10}\) i \(b=\sqrt{2}\).

\[(2\sqrt{10}+\sqrt{2})^2=(2\sqrt{10})^2+2\cdot2\sqrt{10}\cdot\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2\]

2 Obliczenie składników

Podnosimy składniki do kwadratu i mnożymy pierwiastki, korzystając z równości \(\sqrt{10}\sqrt{2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\).

\[40+4\sqrt{20}+2=40+8\sqrt{5}+2=42+8\sqrt{5}\]

Odpowiedź

Wynik to \(42+8\sqrt{5}\), czyli odpowiedź D.

\[42+8\sqrt{5}\]

Sprawdzenie

Po wyłączeniu \(\sqrt{2}\) przed nawias otrzymujemy ten sam wynik.

\[(2\sqrt{10}+\sqrt{2})^2=2(2\sqrt{5}+1)^2=2(21+4\sqrt{5})=42+8\sqrt{5}\]

Zadanie 4

Matura 2024 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Dane są dwa prostokąty: \(\mathcal{P}_1\) oraz \(\mathcal{P}_2\).
Długości boków prostokąta \(\mathcal{P}_1\) są równe \(a\) oraz \(b\).
Długości boków prostokąta \(\mathcal{P}_2\) są równe \(0{,}2a\) oraz \(8b\).

Pole prostokąta \(\mathcal{P}_1\) stanowi

\(60\%\) pola prostokąta \(\mathcal{P}_2\).

\(62{,}5\%\) pola prostokąta \(\mathcal{P}_2\).

\(160\%\) pola prostokąta \(\mathcal{P}_2\).

\(162{,}5\%\) pola prostokąta \(\mathcal{P}_2\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie pól

Pole prostokąta jest iloczynem długości jego boków.

\[P_1=ab,\qquad P_2=(0{,}2a)(8b)=1{,}6ab\]

2 Obliczenie procentu

Dzielimy pole pierwszego prostokąta przez pole drugiego i zamieniamy otrzymany ułamek na procent. Ponieważ boki są dodatnie, możemy skrócić przez \(ab\).

\[\frac{P_1}{P_2}=\frac{ab}{1{,}6ab}=\frac{1}{1{,}6}=0{,}625=62{,}5\%\]

Odpowiedź

Pole prostokąta \(\mathcal{P}_1\) stanowi \(62{,}5\%\) pola prostokąta \(\mathcal{P}_2\). Odpowiedź B.

\[62{,}5\%\quad\text{— B}\]

Sprawdzenie

Obliczony procent pola drugiego prostokąta daje pole pierwszego.

\[0{,}625\cdot 1{,}6ab=ab=P_1\]

Zadanie 5

Matura 2024 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Klient wpłacił do banku na trzyletnią lokatę kwotę w wysokości \(K_0\) zł. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości \(6\%\) od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie – zgodnie z procentem składanym.

Po trzech latach oszczędzania w tym banku kwota na lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa

\(K_0\cdot(1{,}06)^3\)

\(K_0\cdot(1{,}02)^3\)

\(K_0\cdot(1{,}03)^6\)

\(K_0\cdot1{,}18\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie rocznego mnożnika

Bank co roku dopisuje 6% od bieżącego kapitału, więc po każdym roku kwotę mnożymy przez 1,06.

\[K_{n+1}=K_n+0{,}06K_n=1{,}06K_n\]

2 Kapitał po trzech latach

Stosujemy ten sam mnożnik trzy razy, ponieważ odsetki są dopisywane po każdym z trzech lat.

\[K_3=K_0\cdot1{,}06\cdot1{,}06\cdot1{,}06=K_0\cdot(1{,}06)^3\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[K_0\cdot(1{,}06)^3\ \text{zł}\]

Sprawdzenie

Po pierwszym roku kapitał wynosi 1,06K₀, a po drugim 1,06²K₀. Doliczenie kolejnych 6% daje 1,06³K₀, zgodnie z odpowiedzią A.

\[K_2=1{,}06^2K_0,\qquad K_3=1{,}06K_2=1{,}06^3K_0\]

Zadanie 6

Matura 2024 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Liczba wszystkich całkowitych dodatnich rozwiązań nierówności \(\frac{3x-5}{12}<\frac{1}{3}\) jest równa

\(2\)

\(3\)

\(5\)

\(6\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozwiąż nierówność

Mnożymy obie strony przez dodatnie 12, więc znak nierówności się nie zmienia. Następnie wyznaczamy x.

\[\frac{3x-5}{12}<\frac13\iff 3x-5<4\iff 3x<9\iff x<3\]

2 Policz rozwiązania

Dodatnie liczby całkowite mniejsze od 3 to 1 i 2, zatem są dwa rozwiązania.

\[x\in\{1,2\},\qquad |\{1,2\}|=2\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: 2.

\[2\]

Sprawdzenie

Dla x=1 i x=2 lewa strona wynosi odpowiednio −1/6 i 1/12, więc jest mniejsza od 1/3. Dla x=3 wynosi 1/3; dla większych x rośnie, więc nie daje dalszych rozwiązań.

\[\frac{3\cdot1-5}{12}=-\frac16<\frac13,\quad \frac{3\cdot2-5}{12}=\frac1{12}<\frac13,\quad \frac{3\cdot3-5}{12}=\frac13\]

Zadanie 7

Matura 2024 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Układy równań

Układ równań \(\begin{cases}x-2y=3\\-4x+8y=-12\end{cases}\)

nie ma rozwiązań.

ma dokładnie jedno rozwiązanie.

ma dokładnie dwa rozwiązania.

ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Porównanie równań

Mnożymy pierwsze równanie przez \(-4\), aby sprawdzić, czy drugie wnosi nowy warunek.

\[-4(x-2y)=-4\cdot3\quad\Longrightarrow\quad -4x+8y=-12\]

2 Wyznaczenie rozwiązań

Oba równania opisują tę samą prostą. Dla dowolnej wartości \(y=t\) wyznaczamy \(x\) z pierwszego równania.

\[y=t,\quad x-2t=3\quad\Longrightarrow\quad x=3+2t,\qquad t\in\mathbb{R}\]

Odpowiedź

Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. Odpowiedź D.

\[(x,y)=(3+2t,t),\qquad t\in\mathbb{R}\]

Sprawdzenie

Dla każdego \(t\) otrzymana para spełnia oba równania, więc rzeczywiście daje nieskończenie wiele rozwiązań.

\[(3+2t)-2t=3,\qquad -4(3+2t)+8t=-12\]

Zadanie 8

Matura 2024 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Jednym z rozwiązań równania \(\frac{3x\cdot(2x+8)}{x-2}=0\) jest liczba

\((-8)\)

\((-4)\)

\(2\)

\(3\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie dziedziny

Mianownik nie może być równy zeru.

\[x-2\neq 0\quad\Rightarrow\quad x\neq 2\]

2 Wyzerowanie licznika

Ułamek jest równy zeru, gdy jego licznik jest zerem, a mianownik jest różny od zera.

\[3x(2x+8)=0\quad\Rightarrow\quad x=0\ \text{lub}\ 2x+8=0\quad\Rightarrow\quad x=0\ \text{lub}\ x=-4\]

Odpowiedź

Jednym z rozwiązań jest −4, czyli odpowiedź B.

\[\boxed{\text{B: }-4}\]

Sprawdzenie

Liczba −4 spełnia warunek dziedziny, a po podstawieniu licznik jest równy zeru.

\[-4-2=-6\neq 0,\qquad \frac{3\cdot(-4)\cdot(2\cdot(-4)+8)}{-4-2}=\frac{0}{-6}=0\]

Zadanie 9

Matura 2024 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja \(y=f(x)\) jest określona za pomocą tabeli.

\(x\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)
\(y\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(0\)	\(3\)

Wskaż zdanie prawdziwe.

Funkcja \(f\) ma dokładnie jedno miejsce zerowe.

W układzie współrzędnych \((x,y)\) wykres funkcji \(f\) jest symetryczny względem osi \(Oy\).

Największa wartość funkcji \(f\) jest równa \(3\).

Najmniejsza wartość funkcji \(f\) jest równa \((-2)\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczyt wartości

Porównujemy wszystkie wartości funkcji podane w tabeli. Największą z nich jest 3, osiągana dla x=2.

\[\max\{-1,0,1,0,3\}=3\]

2 Wybór odpowiedzi

Zatem prawdziwe jest zdanie C.

\[\max f(x)=f(2)=3\]

Odpowiedź

C. Największa wartość funkcji f jest równa 3.

\[\max f(x)=3\]

Sprawdzenie

A jest fałszywe, bo funkcja ma dwa miejsca zerowe: −1 i 1. B jest fałszywe, bo f(−2)≠f(2). D jest fałszywe, bo najmniejsza wartość wynosi −1.

\[f(-1)=f(1)=0,\quad f(-2)=-1\ne 3=f(2),\quad \min f(x)=-1\]

Zadanie 10

Matura 2024 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Liczba \(2\) jest miejscem zerowym funkcji liniowej \(f(x)=(3-m)x+4\).

Liczba \(m\) jest równa

\(0\)

\(3\)

\(4\)

\(5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie miejsca zerowego

Ponieważ 2 jest miejscem zerowym, wartość funkcji dla tego argumentu wynosi 0.

\[f(2)=0\quad\Longrightarrow\quad 2(3-m)+4=0\]

2 Obliczenie m

Rozwiązujemy otrzymane równanie liniowe.

\[6-2m+4=0\quad\Longrightarrow\quad 10-2m=0\quad\Longrightarrow\quad m=5\]

Odpowiedź

m = 5, odpowiedź D.

\[m=5\]

Sprawdzenie

Dla m = 5 wartość funkcji w punkcie 2 rzeczywiście wynosi 0.

\[f(2)=(3-5)\cdot 2+4=-4+4=0\]

Zadanie 11

Matura 2024 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Informacja do zadań 11.–13.

Na rysunku 1., w układzie współrzędnych \((x,y)\), przedstawiono wykres funkcji \(f\).

Największa wartość funkcji \(f\) jest równa

Rysunek 1. Wykres funkcji y=f(x) w układzie współrzędnych.

\(2\)

\(4\)

\(6\)

\(7\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczyt wartości

Najwyżej położone punkty wykresu mają współrzędną y równą 4. Są to punkty końcowe, więc funkcja przyjmuje tę wartość.

\[f(-1)=f(7)=4\]

2 Wyznaczenie maksimum

Wszystkie pozostałe punkty wykresu leżą nie wyżej niż te punkty.

\[\max f(x)=4\]

Odpowiedź

Największa wartość funkcji f wynosi 4. Odpowiedź B.

\[\boxed{4}\]

Sprawdzenie

Wykres osiąga wysokość 4 na obu końcach i nigdzie jej nie przekracza.

\[f(-1)=f(7)=4\]

Zadanie 12

Matura 2024 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na rysunku 1., w układzie współrzędnych \((x,y)\), przedstawiono wykres funkcji \(f\).

Funkcja \(f\) jest malejąca w zbiorze

Rysunek 1. Wykres funkcji f w układzie współrzędnych.

\(\langle -1,1\rangle\)

\(\langle 0,4\rangle\)

\(\langle 1,7\rangle\)

\(\langle 4,7\rangle\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczyt wykresu

Funkcja jest malejąca tam, gdzie przy wzroście x wartości y maleją. Dzieje się tak na odcinku od punktu (-1,4) do punktu (1,0).

\[f(-1)=4>f(1)=0\]

2 Wyznaczenie przedziału

Końce odcinka należą do wykresu, więc przedział jest domknięty.

\[x\in\langle -1,1\rangle\]

Odpowiedź

A. Funkcja f jest malejąca w przedziale od -1 do 1, z końcami.

\[\boxed{\mathrm{A}:\ \langle -1,1\rangle}\]

Sprawdzenie

Na tym odcinku wykres jest prostą o ujemnym współczynniku kierunkowym, więc dla każdej pary argumentów z przedziału większemu argumentowi odpowiada mniejsza wartość funkcji.

\[\frac{0-4}{1-(-1)}=-2<0\]

Zadanie 13

Matura 2024 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na rysunku 1., w układzie współrzędnych \((x,y)\), przedstawiono wykres funkcji \(f\).

Na rysunku 2., w układzie współrzędnych \((x,y)\), przedstawiono wykres funkcji \(g\), powstałej w wyniku przesunięcia równoległego wykresu funkcji \(f\) wzdłuż osi \(Ox\) o \(4\) jednostki w lewo.

Funkcje \(f\) i \(g\) są powiązane zależnością

Rysunek 1. Wykres funkcji f w układzie współrzędnych.

Rysunek 2. Wykres funkcji g w układzie współrzędnych.

\(g(x)=f(x+4)\)

\(g(x)=f(x-4)\)

\(g(x)=f(x)+4\)

\(g(x)=f(x)-4\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustal przesunięcie

Wierzchołek wykresu funkcji \(f\) ma współrzędne \((1,0)\), a odpowiadający mu wierzchołek wykresu \(g\) ma współrzędne \((-3,0)\). Wykres przesunięto więc o \(4\) jednostki w lewo.

\[1-4=-3\]

2 Zapisz zależność funkcji

Po przesunięciu w lewo wartość funkcji w punkcie \(x\) jest równa wcześniejszej wartości w punkcie \(x+4\).

\[g(x)=f(x+4)\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[g(x)=f(x+4)\]

Sprawdzenie

Dla wierzchołka wykresu \(g\) otrzymujemy \(g(-3)=f(1)=0\), zgodnie z rysunkami. Końce dziedziny funkcji \(f\), czyli \(-1\) i \(7\), przesuwają się odpowiednio na \(-5\) i \(3\).

\[-1-4=-5,\qquad 7-4=3\]

Zadanie 14

Matura 2024 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=-(x+1)^2+4\).

Fragment wykresu funkcji \(y=f(x)\) przedstawiono na rysunku

Wykres paraboli w układzie współrzędnych, wariant A.

Wykres paraboli w układzie współrzędnych, wariant B.

Wykres paraboli w układzie współrzędnych, wariant C.

Wykres paraboli w układzie współrzędnych, wariant D.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wierzchołka

Wzór jest zapisany w postaci kanonicznej, więc odczytujemy z niego wierzchołek. Ujemny współczynnik przed kwadratem oznacza, że ramiona paraboli są skierowane w dół.

\[f(x)=-(x-(-1))^2+4,\qquad W=(-1,4)\]

2 Wyznaczenie miejsc zerowych

Miejsca zerowe wskazują, gdzie wykres przecina oś \(x\).

\[-(x+1)^2+4=0\iff(x+1)^2=4\iff x+1=\pm2\iff x=-3\ \text{lub}\ x=1\]

Odpowiedź

Pasuje wykres B.

\[\boxed{B}\]

Sprawdzenie

Na wykresie B wierzchołek leży w punkcie \((-1,4)\), a przecięcia z osią \(x\) są w punktach \((-3,0)\) i \((1,0)\). Zgadza się też przecięcie z osią \(y\).

\[f(0)=-(0+1)^2+4=3\]

Zadanie 15

Matura 2024 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=2\cdot(-1)^{n+1}+5\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\).

Suma dziesięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa

\(3\)

\(7\)

\(50\)

\(100\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wyrazów parzystych i nieparzystych

Potęga liczby −1 zmienia znak zależnie od parzystości wykładnika, więc wyrazy ciągu mają naprzemiennie wartości 7 i 3.

\[a_{2k-1}=2\cdot(-1)^{2k}+5=7,\qquad a_{2k}=2\cdot(-1)^{2k+1}+5=3\]

2 Obliczenie sumy

Wśród dziesięciu początkowych wyrazów jest pięć par, a suma każdej pary wynosi 10.

\[a_1+a_2+\ldots+a_{10}=5\cdot(7+3)=50\]

Odpowiedź

Suma wynosi 50. Odpowiedź C.

\[50\]

Sprawdzenie

Pierwszych dziesięć wyrazów to pięć siódemek i pięć trójek, zatem ich suma wynosi 35+15=50.

\[5\cdot7+5\cdot3=35+15=50\]

Zadanie 16

Matura 2024 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\), dane są wyrazy: \(a_1=7\) oraz \(a_2=13\).

Wyraz \(a_{10}\) jest równy

\((-47)\)

\(52\)

\(61\)

\(67\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie różnicy

Różnica ciągu arytmetycznego to różnica kolejnych wyrazów.

\[r=a_2-a_1=13-7=6\]

2 Obliczenie dziesiątego wyrazu

Od pierwszego do dziesiątego wyrazu dodajemy różnicę dziewięć razy.

\[a_{10}=a_1+9r=7+9\cdot6=61\]

Odpowiedź

Wyraz a₁₀ jest równy 61. Odpowiedź C.

\[a_{10}=61\]

Sprawdzenie

Licząc od drugiego wyrazu, dodajemy różnicę osiem razy: otrzymujemy ten sam wynik.

\[a_{10}=a_2+8r=13+8\cdot6=61\]