Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

1468 zadańStrona 37 z 98

Sortuj:

Zadanie 15

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg geometryczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geqslant 1\). Wyrazy trzeci i szósty tego ciągu spełniają warunek \(a_3\cdot a_6=18\).

Iloczyn \(a_2\cdot a_7\) jest równy

\(9\)

\(14\)

\(18\)

\(36\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz wyrazy ciągu

W ciągu geometrycznym każdy wyraz ma postać wynikającą z pierwszego wyrazu i ilorazu.

\[a_n=a_1q^{n-1}\]

2 Porównaj iloczyny

W obu iloczynach suma wykładników przy ilorazie jest równa 7, więc iloczyny są równe.

\[a_3a_6=(a_1q^2)(a_1q^5)=a_1^2q^7,\qquad a_2a_7=(a_1q)(a_1q^6)=a_1^2q^7\]

Odpowiedź

Iloczyn wynosi 18. Odpowiedź C.

\[a_2a_7=a_3a_6=18\]

Sprawdzenie

Warunek zadania daje iloczyn 18, więc oba czynniki są niezerowe. Równość iloczynów wynika z wzoru na ciąg geometryczny dla każdego dopuszczalnego ilorazu.

\[a_3a_6=18\ne 0,\qquad a_2a_7=a_1^2q^7=a_3a_6=18\]

Zadanie 16

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym bok \(AC\) jest przeciwprostokątną oraz \(|BC|=2\) i \(|AC|=2\sqrt{10}\). Oznaczmy kąt \(BCA\) przez \(\gamma\) (zobacz rysunek).

Sinus kąta \(\gamma\) jest równy

Trójkąt prostokątny ABC z kątem prostym przy B, kątem γ przy C oraz oznaczeniami długości AC = 2√10 i BC = 2.

\(\frac{1}{\sqrt{10}}\)

\(\frac{1}{3}\)

\(\frac{3}{\sqrt{10}}\)

\(\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{11}}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie boku AB

Ponieważ AC jest przeciwprostokątną, kąt przy B jest prosty. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy bok leżący naprzeciw kąta γ.

\[|AB|^2=|AC|^2-|BC|^2=(2\sqrt{10})^2-2^2=40-4=36,\quad |AB|=6\]

2 Obliczenie sinusa

Sinus kąta ostrego to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw niego do długości przeciwprostokątnej.

\[\sin\gamma=\frac{|AB|}{|AC|}=\frac{6}{2\sqrt{10}}=\frac{3}{\sqrt{10}}\]

Odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C.

\[\sin\gamma=\frac{3}{\sqrt{10}}\]

Sprawdzenie

Dla tego kąta cosinus wynosi 1/√10. Suma kwadratów obliczonego sinusa i cosinusa jest równa 1.

\[\left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right)^2+\left(\frac{2}{2\sqrt{10}}\right)^2=\frac{9}{10}+\frac{1}{10}=1\]

Zadanie 17

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Kąt \(\alpha\) jest ostry i spełnia warunek \(\frac{3\sin\alpha+4\cos\alpha}{4\cos\alpha}=6\).

Tangens kąta \(\alpha\) jest równy

\(\frac{5}{8}\)

\(\frac{8}{3}\)

\(\frac{32}{5}\)

\(\frac{20}{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Usuń mianownik

Kąt jest ostry, więc \(\cos\alpha>0\) i możemy pomnożyć obie strony równania przez \(4\cos\alpha\).

\[3\sin\alpha+4\cos\alpha=24\cos\alpha\]

2 Oblicz tangens

Przenosimy wyrazy z cosinusem na jedną stronę i dzielimy przez niezerowe \(3\cos\alpha\).

\[3\sin\alpha=20\cos\alpha\quad\Longrightarrow\quad\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{20}{3}\]

Odpowiedź

Tangens kąta \(\alpha\) wynosi \(\frac{20}{3}\). Odpowiedź D.

\[\tan\alpha=\frac{20}{3}\]

Sprawdzenie

Dla kąta ostrego cosinus jest dodatni. Po podstawieniu otrzymanego tangensa do warunku lewa strona wynosi \(6\).

\[\frac{3\sin\alpha+4\cos\alpha}{4\cos\alpha}=\frac{3\tan\alpha+4}{4}=\frac{3\cdot\frac{20}{3}+4}{4}=6\]

Zadanie 18

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Punkty \(A\), \(B\), \(C\) oraz \(D\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(O\). Punkt \(B\) leży na krótszym łuku \(AC\). Kąt \(CDA\) ma miarę \(50^\circ\), a kąt \(COB\) ma miarę \(30^\circ\) (zobacz rysunek).

Miara kąta ostrego \(BOA\) jest równa

Okrąg o środku O z punktami A, B, C i D na okręgu. Zaznaczono kąty CDA o mierze 50° i COB o mierze 30° oraz kąt BOA.

\(50^\circ\)

\(60^\circ\)

\(70^\circ\)

\(100^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie kąta środkowego AOC

Kąt środkowy oparty na łuku AC zawierającym punkt B jest dwa razy większy od kąta wpisanego CDA opartego na tym samym łuku.

\[\angle AOC=2\angle CDA=2\cdot50^\circ=100^\circ\]

2 Obliczenie kąta BOA

Ponieważ B leży na krótszym łuku AC, promień OB dzieli kąt AOC na kąty BOA i COB.

\[\angle BOA=\angle AOC-\angle COB=100^\circ-30^\circ=70^\circ\]

Odpowiedź

Miara kąta BOA wynosi 70°, odpowiedź C.

\[\boxed{\angle BOA=70^\circ\quad\text{(C)}}\]

Sprawdzenie

Suma otrzymanego kąta BOA i danego kąta COB wynosi 100°, czyli dwukrotność kąta CDA. Kąt 70° jest ostry.

\[70^\circ+30^\circ=100^\circ=2\cdot50^\circ\]

Zadanie 19

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

W okrąg \(O\) o promieniu \(9\sqrt{3}\) wpisano trójkąt równoboczny \(T\).

Bok trójkąta \(T\) ma długość

\(\frac{27}{2}\)

\(\frac{27\sqrt{3}}{2}\)

\(27\)

\(27\sqrt{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Związek promienia z wysokością

W trójkącie równobocznym środek okręgu opisanego dzieli wysokość w stosunku 2:1, licząc od wierzchołka. Wysokość trójkąta o boku \(a\) wynosi \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\).

\[R=\frac{2}{3}h=\frac{2}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\]

2 Obliczenie boku

Podstawiamy podany promień i rozwiązujemy równanie względem \(a\).

\[9\sqrt{3}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\quad\Rightarrow\quad a=27\]

Odpowiedź

Bok trójkąta ma długość 27. Odpowiedź C.

\[a=27\]

Sprawdzenie

Dla boku 27 promień okręgu opisanego wynosi 9√3, zgodnie z treścią zadania.

\[R=\frac{27\sqrt{3}}{3}=9\sqrt{3}\]

Zadanie 20

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Na płaszczyźnie dane są cztery proste: \(k\), \(l\), \(m\) oraz \(n\). Proste \(k\) oraz \(l\) są równoległe. Prosta \(m\) przecina proste \(k\) oraz \(l\) w punktach – odpowiednio – \(A\) oraz \(C\). Prosta \(n\) przecina proste \(k\) oraz \(l\) w punktach – odpowiednio – \(D\) oraz \(B\). Odcinki \(AC\) i \(BD\) przecinają się w punkcie \(O\). Ponadto \(|OA|=12\), \(|OB|=6\) oraz \(|OC|=8\) (zobacz rysunek).

Odcinek \(OD\) ma długość

Dwie proste równoległe k i l przecięte prostymi m i n. Punkty A i D leżą na prostej k, punkty C i B na prostej l. Odcinki AC i BD przecinają się w punkcie O; zaznaczono długości OA równe 12, OB równe 6 i OC równe 8.

\(4\)

\(9\)

\(10\)

\(16\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podobieństwo trójkątów

Ponieważ proste k i l są równoległe, kąty przy A i C oraz przy D i B są odpowiednio równe. Kąty przy O są wierzchołkowe, więc trójkąty AOD i COB są podobne.

\[\triangle AOD\sim\triangle COB\]

2 Obliczenie długości OD

Odpowiadające sobie boki trójkątów podobnych są proporcjonalne. Podstawiamy podane długości i rozwiązujemy równanie.

\[\frac{|OD|}{|OB|}=\frac{|OA|}{|OC|},\qquad \frac{|OD|}{6}=\frac{12}{8},\qquad |OD|=6\cdot\frac{12}{8}=9\]

Odpowiedź

Odcinek OD ma długość 9. Odpowiedź B.

\[|OD|=9\]

Sprawdzenie

Stosunki odpowiadających sobie boków są równe: 9 do 6 oraz 12 do 8 dają 3 do 2.

\[\frac{9}{6}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}\]

Zadanie 21

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W układzie współrzędnych \((x,y)\) dana jest prosta \(k\) o równaniu \(y=-\frac{1}{3}x+2\). Prosta \(l\) jest równoległa do prostej \(k\) i przechodzi przez punkt \((2,-2)\).

Prosta \(l\) przecina oś \(Oy\) w punkcie

\((0,-3)\)

\(\left(0,-\frac{1}{2}\right)\)

\((0,-1)\)

\(\left(0,-\frac{4}{3}\right)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie współczynnika kierunkowego

Proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy, więc prosta l ma równanie o postaci podanej we wzorze.

\[y=-\frac{1}{3}x+b\]

2 Obliczenie wyrazu wolnego

Podstawiamy współrzędne punktu, przez który przechodzi prosta l, aby obliczyć b.

\[-2=-\frac{1}{3}\cdot 2+b=-\frac{2}{3}+b\quad\Longrightarrow\quad b=-\frac{4}{3}\]

3 Wyznaczenie punktu przecięcia

Na osi Oy współrzędna x jest równa zeru. Po jej podstawieniu otrzymujemy współrzędną y.

\[x=0\quad\Longrightarrow\quad y=-\frac{1}{3}\cdot 0-\frac{4}{3}=-\frac{4}{3}\]

Odpowiedź

Prosta l przecina oś Oy w punkcie (0, −4/3). Odpowiedź D.

\[D:\ \left(0,-\frac{4}{3}\right)\]

Sprawdzenie

Punkt (2, −2) należy do wyznaczonej prostej, a jej współczynnik kierunkowy jest równy współczynnikowi prostej k.

\[-\frac{1}{3}\cdot 2-\frac{4}{3}=-2\]

Zadanie 22

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe \(12\).

Długość przekątnej tego sześcianu jest równa

\(\sqrt{2}\)

\(2\)

\(2\sqrt{2}\)

\(\sqrt{6}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie krawędzi

Sześcian ma sześć jednakowych ścian, więc jego pole całkowite wynosi \(6a^2\).

\[6a^2=12\quad\Rightarrow\quad a^2=2\quad\Rightarrow\quad a=\sqrt{2}\]

2 Obliczenie przekątnej

Z twierdzenia Pitagorasa w trzech prostopadłych kierunkach kwadrat przekątnej sześcianu jest sumą kwadratów trzech krawędzi.

\[d^2=a^2+a^2+a^2=3\cdot2=6\quad\Rightarrow\quad d=\sqrt{6}\]

Odpowiedź

Przekątna ma długość \(\sqrt{6}\). Odpowiedź D.

\[d=\sqrt{6}\]

Sprawdzenie

Dla krawędzi \(\sqrt{2}\) pole całkowite wynosi \(6(\sqrt{2})^2=12\), zgodnie z treścią zadania.

\[6(\sqrt{2})^2=12\]

Zadanie 23

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Stożek i walec mają równe wysokości. Promień podstawy stożka jest dwa razy większy od promienia podstawy walca.

Stosunek objętości stożka do objętości walca jest równy

\(\frac{1}{12}\)

\(\frac{1}{6}\)

\(\frac{2}{3}\)

\(\frac{4}{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Oznaczenie wymiarów

Ponieważ wysokości są równe, oznaczamy je przez h. Jeśli promień walca wynosi r, to promień stożka wynosi 2r.

\[r>0,\quad h>0,\quad R=2r\]

2 Obliczenie stosunku objętości

Objętość stożka jest równa jednej trzeciej iloczynu pola podstawy i wysokości, a objętość walca — całemu takiemu iloczynowi. Podstawiamy wymiary i skracamy wspólne czynniki.

\[\frac{V_s}{V_w}=\frac{\frac13\pi(2r)^2h}{\pi r^2h}=\frac{4\pi r^2h}{3\pi r^2h}=\frac43\]

Odpowiedź

Stosunek objętości stożka do objętości walca wynosi 4/3. Odpowiedź D.

\[\frac{V_s}{V_w}=\frac43\]

Sprawdzenie

Dla r=1 i h=3 objętość stożka wynosi 4π, a walca 3π, więc ich stosunek to 4/3.

\[\frac{\frac13\pi\cdot 2^2\cdot 3}{\pi\cdot 1^2\cdot 3}=\frac{4\pi}{3\pi}=\frac43\]

Zadanie 24

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Kombinatoryka

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry \(0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\) (np.: \(321,\ 555\)), jest

\(6\cdot 7\cdot 3\)

\(6\cdot 7\cdot 7\)

\(7\cdot 7\cdot 3\)

\(7\cdot 7\cdot 7\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wybór cyfr

Cyfra setek nie może być zerem, cyfra dziesiątek może być dowolną z podanych cyfr, a cyfra jedności musi być nieparzysta.

\[6\text{ możliwości na setki},\quad 7\text{ na dziesiątki},\quad 3\text{ na jedności }(1,3,5)\]

2 Obliczenie liczby zapisów

Wybory cyfr są niezależne, więc mnożymy liczby możliwości.

\[6\cdot 7\cdot 3=126\]

Odpowiedź

Takich liczb jest 126. Odpowiedź A.

\[126=6\cdot 7\cdot 3\]

Sprawdzenie

Dla każdej z trzech możliwych cyfr jedności istnieje 6·7=42 zapisów dwóch pierwszych cyfr. Łącznie daje to 3·42=126; każdy zapis jest trzycyfrowy i nieparzysty.

\[3\cdot(6\cdot 7)=126\]

Zadanie 25

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Średnia arytmetyczna trzech liczb: \(a,\ b,\ c\), jest równa \(2\).
Średnia arytmetyczna czterech liczb: \(d,\ e,\ f,\ g\), jest równa \(5{,}5\).

Średnia arytmetyczna siedmiu liczb: \(a,\ b,\ c,\ d,\ e,\ f,\ g\), jest równa

\(3{,}5\)

\(3{,}75\)

\(4\)

\(4{,}25\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie sum

Sumę liczb otrzymujemy, mnożąc ich średnią przez liczbę składników.

\[a+b+c=3\cdot2=6,\qquad d+e+f+g=4\cdot5{,}5=22\]

2 Średnia siedmiu liczb

Dodajemy obie sumy i dzielimy przez 7.

\[\frac{a+b+c+d+e+f+g}{7}=\frac{6+22}{7}=4\]

Odpowiedź

C. Średnia wynosi 4.

\[4\]

Sprawdzenie

Średnia 4 oznacza sumę 28; obliczone sumy grup dają 6 + 22 = 28.

\[7\cdot4=28=6+22\]

Zadanie 26

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

Rozwiąż nierówność

\(3x^2+4x\geq 6x+8\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przenieś wyrazy na jedną stronę

Aby wyznaczyć, kiedy różnica stron jest nieujemna, sprowadzamy nierówność do postaci z zerem po prawej stronie.

\[3x^2+4x\geq 6x+8\iff 3x^2-2x-8\geq 0\]

2 Rozłóż trójmian na czynniki

Postać iloczynowa pozwala odczytać miejsca zerowe i znak wyrażenia.

\[3x^2-2x-8=(3x+4)(x-2),\qquad x=-\frac{4}{3}\ \text{lub}\ x=2\]

3 Wyznacz przedziały rozwiązań

Iloczyn jest nieujemny, gdy oba czynniki mają ten sam znak; uwzględniamy też miejsca zerowe.

\[(3x+4)(x-2)\geq 0\iff x\leq-\frac{4}{3}\ \text{lub}\ x\geq 2\]

Odpowiedź

Zbiorem rozwiązań jest suma dwóch przedziałów.

\[x\in\left(-\infty,-\frac{4}{3}\right]\cup[2,\infty)\]

Sprawdzenie

Dla obu końców przedziałów iloczyn wynosi zero. Między nimi, na przykład dla x=0, wynosi −8, więc ten przedział nie należy do rozwiązania.

\[\left(3\cdot 0+4\right)(0-2)=-8<0\]

Zadanie 27

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Wyrażenia algebraiczne

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(b\) prawdziwa jest nierówność

\(a(a-b)\geq b(a-3b)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przenieś wyrazy na jedną stronę

Nierówność jest równoważna temu, że różnica lewej i prawej strony jest nieujemna.

\[a(a-b)-b(a-3b)=a^2-2ab+3b^2\]

2 Zapisz różnicę jako sumę kwadratów

Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc otrzymana suma jest nieujemna dla wszystkich rzeczywistych a i b.

\[a^2-2ab+3b^2=(a-b)^2+2b^2\geq 0\]

Odpowiedź

Nierówność jest prawdziwa dla każdej pary liczb rzeczywistych a i b. Równość zachodzi tylko dla a=b=0.

\[a(a-b)\geq b(a-3b)\quad\text{dla wszystkich }a,b\in\mathbb{R}\]

Sprawdzenie

Po rozwinięciu kwadratu otrzymujemy dokładnie różnicę stron nierówności. Suma jest równa zeru tylko wtedy, gdy b=0 oraz a-b=0, czyli a=b=0; wówczas obie strony nierówności wynoszą zero.

\[(a-b)^2+2b^2=a^2-2ab+3b^2=a(a-b)-b(a-3b)\]

Zadanie 28

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Na przedstawienie w pewnym teatrze sprzedawano bilety według poniższego cennika.

CENNIK BILETÓW
Rodzaj biletu	Cena w złotych
Normalny	35
Ulgowy	25

Na to przedstawienie sprzedano łącznie 200 biletów.
Po opłaceniu kosztów związanych z organizacją przedstawienia w wysokości \(25\%\) wpływów ze sprzedaży biletów organizatorom pozostało 4665 zł.

Oblicz liczbę biletów ulgowych sprzedanych na to przedstawienie.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie wpływów

Organizatorom pozostało 75% wpływów, ponieważ koszty wyniosły 25%.

\[0{,}75W=4665\quad\Rightarrow\quad W=\frac{4665}{0{,}75}=6220\ \text{zł}\]

2 Ułożenie równania

Jeśli sprzedano x biletów ulgowych, to biletów normalnych sprzedano 200−x. Suma przychodów z obu rodzajów biletów wynosi 6220 zł.

\[25x+35(200-x)=6220\]

3 Rozwiązanie równania

Upraszczamy równanie, aby wyznaczyć liczbę biletów ulgowych.

\[25x+7000-35x=6220\quad\Rightarrow\quad 10x=780\quad\Rightarrow\quad x=78\]

Odpowiedź

Sprzedano 78 biletów ulgowych.

\[78\]

Sprawdzenie

Sprzedano też 122 bilety normalne. Wpływy wyniosły 6220 zł, a po odjęciu 25% kosztów pozostało 4665 zł. Liczby biletów sumują się do 200.

\[78+122=200,\quad 78\cdot25+122\cdot35=6220,\quad 6220\cdot0{,}75=4665\]

Zadanie 29

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Dany jest trójkąt \(KLM\), w którym \(|KM|=a\) oraz \(|LM|=b\). Dwusieczna kąta \(LMK\) przecina bok \(KL\) w punkcie \(N\) (zobacz rysunek).

Wykaż, że stosunek pola trójkąta \(KNM\) do pola trójkąta \(NLM\) jest równy \(\frac{a}{b}\).

Trójkąt KLM z punktem N na boku KL. Odcinek MN jest dwusieczną kąta LMK. Bok KM oznaczono a, a bok LM oznaczono b.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie pól

Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta z dwóch boków i sinusa kąta między nimi. Kąty przy wierzchołku M są równe, ponieważ MN jest dwusieczną.

\[\angle KMN=\angle NML=\alpha,\qquad P_{KNM}=\frac12 a\cdot |MN|\sin\alpha,\qquad P_{NLM}=\frac12 b\cdot |MN|\sin\alpha\]

2 Obliczenie stosunku

Dzielimy pola i skracamy wspólny, dodatni czynnik.

\[\frac{P_{KNM}}{P_{NLM}}=\frac{\frac12 a|MN|\sin\alpha}{\frac12 b|MN|\sin\alpha}=\frac{a}{b}\]

Odpowiedź

Stosunek pola trójkąta KNM do pola trójkąta NLM wynosi \(\frac{a}{b}\).

\[\frac{P_{KNM}}{P_{NLM}}=\frac{a}{b}\]

Sprawdzenie

W trójkącie niedegenerowanym \(|MN|>0\) oraz \(0<\alpha<\pi\), więc \(\sin\alpha>0\). Skrócony czynnik jest zatem niezerowy, a oba pola są dodatnie.

\[\frac12|MN|\sin\alpha>0\]