Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

1048 zadańStrona 23 z 70

Sortuj:

Zadanie 11

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$.

Zbiorem wartości tej funkcji jest

Wykres funkcji y=f(x) w układzie współrzędnych: punkt pełny (-6,3), punkt pusty (-6,4), odcinek poziomy od (-6,4) do (-1,4), odcinek malejący do (1,1) oraz odcinek poziomy do punktu pełnego (6,1).

$(-6,6\rangle$

$\langle1,4)$

$\langle1,4\rangle$

$\langle-6,6\rangle$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczytanie wartości skrajnych

Najniższa wartość na wykresie to 1, a najwyższa to 4. Obie są przyjmowane przez funkcję.

\[f(1)=1,\qquad f(-1)=4\]

2 Wyznaczenie zbioru wartości

Malejący odcinek wykresu przyjmuje każdą wartość między 4 a 1, więc do zbioru należą także wszystkie wartości pośrednie.

\[W_f=\langle 1,4\rangle\]

Odpowiedź

Zbiór wartości funkcji to ⟨1,4⟩. Odpowiedź C.

\[W_f=\langle 1,4\rangle\]

Sprawdzenie

Wartości 1 i 4 są osiągane, a żaden punkt wykresu nie leży poniżej 1 ani powyżej 4.

\[1\leq f(x)\leq 4\]

Zadanie 12

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=(-2k+3)x+k-1$, gdzie $k\in\mathbb{R}$. Funkcja $f$ jest malejąca dla każdej liczby $k$ należącej do przedziału

$(-\infty,1)$

$(-\infty,-\frac{3}{2})$

$(1,+\infty)$

$(\frac{3}{2},+\infty)$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek malejącości

Funkcja liniowa jest malejąca, gdy współczynnik przy $x$ jest ujemny.

\[-2k+3<0\]

2 Rozwiązanie nierówności

Odejmujemy $3$, a następnie dzielimy przez $-2$, zmieniając zwrot nierówności.

\[-2k<-3\quad\Longrightarrow\quad k>\frac{3}{2}\]

Odpowiedź

Funkcja jest malejąca dla $k\in(\frac{3}{2},+\infty)$. Odpowiedź D.

\[k\in\left(\frac{3}{2},+\infty\right)\]

Sprawdzenie

Dla $k=\frac{3}{2}$ współczynnik przy $x$ wynosi $0$, więc funkcja jest stała. Dla każdego większego $k$ jest ujemny, zgodnie z otrzymanym przedziałem.

\[-2\cdot\frac{3}{2}+3=0\]

Zadanie 13

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcje liniowe $f$ oraz $g$, określone wzorami $f(x)=3x+6$ oraz $g(x)=ax+7$, mają to samo miejsce zerowe. Współczynnik $a$ we wzorze funkcji $g$ jest równy

$-\frac{7}{2}$

$-\frac{2}{7}$

$\frac{2}{7}$

$\frac{7}{2}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wspólnego miejsca zerowego

Ponieważ funkcje mają to samo miejsce zerowe, najpierw rozwiązujemy równanie $f(x)=0$.

\[3x+6=0\quad\Rightarrow\quad x=-2\]

2 Obliczenie współczynnika

W miejscu zerowym $x=-2$ także funkcja $g$ przyjmuje wartość zero.

\[g(-2)=-2a+7=0\quad\Rightarrow\quad a=\frac{7}{2}\]

Odpowiedź

Współczynnik $a$ jest równy $\frac{7}{2}$. Odpowiedź D.

\[a=\frac{7}{2}\]

Sprawdzenie

Dla $a=\frac{7}{2}$ obie funkcje przyjmują wartość zero przy $x=-2$, więc mają wspólne miejsce zerowe.

\[f(-2)=3\cdot(-2)+6=0,\qquad g(-2)=\frac{7}{2}\cdot(-2)+7=0\]

Zadanie 14

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na rysunku przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f$ (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem

$Wykres funkcji $y=f(x)$ w układzie współrzędnych.$

$f(x)=-(x+1)^2-9$

$f(x)=-(x-1)^2+9$

$f(x)=-(x-1)^2-9$

$f(x)=-(x+1)^2+9$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczytanie wierzchołka

Z wykresu odczytujemy wierzchołek $(1,9)$. Dlatego zapisujemy funkcję w postaci kanonicznej.

\[f(x)=a(x-1)^2+9\]

2 Wyznaczenie współczynnika

Parabola przecina oś $y$ w punkcie $(0,8)$. Podstawiamy te współrzędne, aby obliczyć $a$.

\[8=a(0-1)^2+9\quad\Rightarrow\quad a=-1\]

Odpowiedź

Pasuje odpowiedź B.

\[f(x)=-(x-1)^2+9\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanego wzoru miejsca zerowe wynoszą $-2$ i $4$, zgodnie z wykresem. Ponadto $f(0)=8$.

\[-(x-1)^2+9=0\quad\Rightarrow\quad (x-1)^2=9\quad\Rightarrow\quad x=-2\ \text{lub}\ x=4\]

Zadanie 15

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Dla funkcji $f$ prawdziwa jest równość

$Układ współrzędnych z fragmentem paraboli skierowanej ramionami w dół, oznaczonej $y=f(x)$.$

$f(-4)=f(6)$

$f(-4)=f(4)$

$f(-4)=f(5)$

$f(-4)=f(7)$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczytanie osi symetrii

Wierzchołek paraboli ma współrzędną x równą 1, więc oś symetrii ma równanie x=1.

\[x=1\]

2 Wyznaczenie punktu symetrycznego

Argumenty o tej samej wartości funkcji leżą w jednakowej odległości od osi symetrii. Argument symetryczny do −4 to 6.

\[1-(-4)=5,\qquad 1+5=6,\qquad f(-4)=f(6)\]

Odpowiedź

Prawidłowa odpowiedź: A.

\[f(-4)=f(6)\]

Sprawdzenie

Miejsca zerowe odczytane z wykresu to −2 i 4, więc ich środek wynosi 1. Zgadza się to z osią symetrii i wyznaczoną parą argumentów.

\[\frac{-2+4}{2}=1,\qquad \frac{-4+6}{2}=1\]

Zadanie 16

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

W ciągu arytmetycznym $(a_n)$, określonym dla każdej liczby naturalnej $n\geq 1$, dane są wyrazy $a_4=-2$ oraz $a_6=16$. Piąty wyraz tego ciągu jest równy

$\frac{7}{2}$

$\frac{9}{2}$

$7$

$9$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie różnicy ciągu

Od czwartego do szóstego wyrazu są dwa kroki, więc różnica ciągu jest połową różnicy tych wyrazów.

\[r=\frac{a_6-a_4}{2}=\frac{16-(-2)}{2}=9\]

2 Obliczenie piątego wyrazu

Do czwartego wyrazu dodajemy jedną różnicę ciągu.

\[a_5=a_4+r=-2+9=7\]

Odpowiedź

Piąty wyraz jest równy 7. Odpowiedź C.

\[a_5=7\]

Sprawdzenie

Dodanie różnicy do piątego wyrazu daje podany szósty wyraz.

\[a_5+r=7+9=16=a_6\]

Zadanie 17

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg geometryczny $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n=2^{n-1}$, dla każdej liczby naturalnej $n\geq 1$. Iloraz tego ciągu jest równy

$\frac{1}{2}$

$(-2)$

$2$

$1$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie ilorazu

Iloraz ciągu geometrycznego to stosunek kolejnego wyrazu do poprzedniego. Dzieląc potęgi o tej samej podstawie, odejmujemy wykładniki.

\[q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2^n}{2^{n-1}}=2^{n-(n-1)}=2\]

Odpowiedź

Iloraz wynosi 2. Poprawna odpowiedź: C.

\[q=2\]

Sprawdzenie

Pierwsze dwa wyrazy to 1 i 2, więc ich stosunek również wynosi 2.

\[a_1=2^0=1,\quad a_2=2^1=2,\quad \frac{a_2}{a_1}=2\]

Zadanie 18

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg $(b_n)$ jest określony wzorem $b_n=(n+2)(7-n)$, dla każdej liczby naturalnej $n\geq 1$. Liczba dodatnich wyrazów ciągu $(b_n)$ jest równa

$6$

$7$

$8$

$9$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie warunku dodatniości

Dla n≥1 czynnik n+2 jest dodatni, więc iloczyn jest dodatni dokładnie wtedy, gdy 7−n>0.

\[b_n>0\iff 7-n>0\iff n<7\]

2 Policzenie wyrazów

Naturalne indeksy spełniające warunek to 1, 2, 3, 4, 5 i 6.

\[n\in\{1,2,3,4,5,6\}\implies 6\text{ wyrazów dodatnich}\]

Odpowiedź

Ciąg ma 6 dodatnich wyrazów. Odpowiedź A.

\[\boxed{6\text{ — A}}\]

Sprawdzenie

Ostatni z nich, b₆, jest dodatni. Następny, b₇, jest równy zero, a dla większych indeksów wyrazy są ujemne.

\[b_6=(6+2)(7-6)=8>0,\quad b_7=(7+2)(7-7)=0\]

Zadanie 19

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Liczba $\sin^3 20^\circ+\cos^2 20^\circ\cdot\sin 20^\circ$ jest równa

$\cos 20^\circ$

$\sin 20^\circ$

$\operatorname{tg}20^\circ$

$\sin 20^\circ\cdot\cos 20^\circ$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyłącz wspólny czynnik

W obu składnikach występuje $\sin 20^\circ$, więc wyłączamy go przed nawias.

\[\sin^3 20^\circ+\cos^2 20^\circ\cdot\sin 20^\circ=\sin 20^\circ(\sin^2 20^\circ+\cos^2 20^\circ)\]

2 Zastosuj jedynkę trygonometryczną

Suma kwadratów sinusa i cosinusa tego samego kąta jest równa 1.

\[\sin 20^\circ(\sin^2 20^\circ+\cos^2 20^\circ)=\sin 20^\circ\cdot 1=\sin 20^\circ\]

Odpowiedź

B. $\sin 20^\circ$

\[\sin 20^\circ\]

Sprawdzenie

Po ponownym wymnożeniu $\sin 20^\circ$ przez $\sin^2 20^\circ+\cos^2 20^\circ$ otrzymujemy dokładnie wyrażenie z zadania.

\[\sin 20^\circ(\sin^2 20^\circ+\cos^2 20^\circ)=\sin^3 20^\circ+\cos^2 20^\circ\sin 20^\circ\]

Zadanie 20

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Kąt $\alpha$ jest ostry oraz $\cos\alpha=\frac{5}{13}$. Wtedy

$\operatorname{tg}\alpha=\frac{12}{13}$

$\operatorname{tg}\alpha=\frac{12}{5}$

$\operatorname{tg}\alpha=\frac{5}{12}$

$\operatorname{tg}\alpha=\frac{13}{12}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie sinusa

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej. Ponieważ kąt jest ostry, jego sinus jest dodatni.

\[\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\frac{25}{169}}=\frac{12}{13}\]

2 Obliczenie tangensa

Dzielimy sinus przez cosinus.

\[\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{12/13}{5/13}=\frac{12}{5}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[\operatorname{tg}\alpha=\frac{12}{5}\]

Sprawdzenie

Otrzymany sinus i podany cosinus spełniają jedynkę trygonometryczną; obie wartości są dodatnie, zgodnie z warunkiem, że kąt jest ostry.

\[\left(\frac{12}{13}\right)^2+\left(\frac{5}{13}\right)^2=\frac{144+25}{169}=1\]

Zadanie 21

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Dany jest równoległobok o bokach długości $3$ i $4$ oraz o kącie między nimi o mierze $120^\circ$. Pole tego równoległoboku jest równe

$6$

$6\sqrt{3}$

$12$

$12\sqrt{3}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie sinusa kąta

Kąty 120° i 60° są dopełniające do 180°, więc mają ten sam sinus.

\[\sin 120^\circ=\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\]

2 Obliczenie pola

Pole równoległoboku jest iloczynem długości sąsiednich boków i sinusa kąta między nimi.

\[P=3\cdot4\cdot\sin 120^\circ=12\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[P=6\sqrt{3}\]

Sprawdzenie

Wysokość opuszczona na bok długości 3 wynosi 2√3. Iloczyn podstawy i wysokości potwierdza obliczone pole.

\[h=4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3},\qquad P=3h=6\sqrt{3}\]

Zadanie 22

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

W trójkącie $MKC$ bok $MK$ ma długość $24$. Prosta równoległa do boku $MK$ przecina boki $MC$ i $KC$ – odpowiednio – w punktach $A$ oraz $B$ takich, że $|AB|=6$ i $|AC|=3$ (zobacz rysunek).

Długość odcinka $MA$ jest równa

Trójkąt MKC z odcinkiem AB równoległym do boku MK; oznaczono AC=3, AB=6 i MK=24.

$18$

$15$

$9$

$12$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podobieństwo trójkątów

Ponieważ AB jest równoległy do MK, trójkąty CAB i CMK są podobne. Stosunki odpowiadających sobie boków są równe.

\[\frac{AC}{MC}=\frac{AB}{MK}=\frac{6}{24}=\frac14\]

2 Obliczenie MA

Z proporcji wyznaczamy MC, a następnie odejmujemy AC.

\[\frac{3}{MC}=\frac14\implies MC=12,\qquad MA=MC-AC=12-3=9\]

Odpowiedź

Długość odcinka MA wynosi 9. Odpowiedź C.

\[|MA|=9\]

Sprawdzenie

Otrzymane długości dają ten sam stosunek odpowiadających boków: 3 do 12 oraz 6 do 24.

\[\frac{AC}{MC}=\frac{3}{12}=\frac14=\frac{6}{24}=\frac{AB}{MK}\]

Zadanie 23

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

W trójkącie $ABC$, wpisanym w okrąg o środku w punkcie $S$, kąt $ACB$ ma miarę $42^\circ$ (zobacz rysunek).

Miara kąta ostrego $BAS$ jest równa

Trójkąt ABC wpisany w okrąg o środku S; zaznaczono kąt ACB równy 42° oraz kąt BAS.

$42^\circ$

$45^\circ$

$48^\circ$

$69^\circ$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie kąta środkowego

Kąt środkowy ASB i kąt wpisany ACB są oparte na tym samym łuku AB, więc kąt środkowy jest dwa razy większy.

\[\angle ASB=2\angle ACB=2\cdot42^\circ=84^\circ\]

2 Obliczenie kąta BAS

Odcinki SA i SB są promieniami okręgu, dlatego trójkąt ASB jest równoramienny, a kąty przy A i B są równe.

\[\angle BAS=\frac{180^\circ-84^\circ}{2}=48^\circ\]

Odpowiedź

Kąt BAS ma miarę 48°. Odpowiedź C.

\[\angle BAS=48^\circ\]

Sprawdzenie

Kąty trójkąta ASB sumują się do 180°, a otrzymany kąt BAS jest ostry.

\[48^\circ+48^\circ+84^\circ=180^\circ\]

Zadanie 24

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Proste $k$ oraz $l$ są określone równaniami

$k:\ y=(m+1)x+7$

$l:\ y=-2x+7$

Proste $k$ oraz $l$ są prostopadłe, gdy liczba $m$ jest równa

$\left(-\frac{1}{2}\right)$

$\frac{1}{2}$

$(-3)$

$1$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie współczynników kierunkowych

W równaniu prostej $y=ax+b$ współczynnikiem kierunkowym jest liczba stojąca przy $x$.

\[a_k=m+1,\qquad a_l=-2\]

2 Warunek prostopadłości

Iloczyn współczynników kierunkowych prostych prostopadłych wynosi $-1$. Rozwiązujemy otrzymane równanie.

\[-2(m+1)=-1\quad\Longrightarrow\quad m+1=\frac{1}{2}\quad\Longrightarrow\quad m=-\frac{1}{2}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[m=-\frac{1}{2}\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanej wartości współczynnik kierunkowy prostej $k$ wynosi $\frac{1}{2}$, a iloczyn współczynników obu prostych jest równy $-1$.

\[\left(-\frac{1}{2}+1\right)\cdot(-2)=\frac{1}{2}\cdot(-2)=-1\]

Zadanie 25

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Na prostej $l$ o współczynniku kierunkowym $\frac{1}{2}$ leżą punkty $A=(2,-4)$ oraz $B=(0,b)$. Wtedy liczba $b$ jest równa

$(-5)$

$10$

$(-2)$

$0$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie współczynnika kierunkowego

Ponieważ oba punkty leżą na tej samej prostej, współczynnik kierunkowy obliczony z ich współrzędnych wynosi $\frac{1}{2}$.

\[\frac{-4-b}{2-0}=\frac{1}{2}\]

2 Wyznaczenie liczby b

Mnożymy równanie przez 2 i rozwiązujemy je względem $b$.

\[-4-b=1\quad\Rightarrow\quad b=-5\]

Odpowiedź

Liczba $b$ jest równa $-5$. Odpowiedź A.

\[b=-5\]

Sprawdzenie

Dla punktów $A=(2,-4)$ i $B=(0,-5)$ współczynnik kierunkowy rzeczywiście wynosi $\frac{1}{2}$.

\[\frac{-4-(-5)}{2-0}=\frac{1}{2}\]