Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

420 zadańStrona 23 z 28

Sortuj:

Zadanie 30

Matura 2020 · termin główny — 9 czerwca (na PDF: 5 maja) · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

53%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że co najmniej jeden raz wypadnie ścianka z pięcioma oczkami.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba możliwych wyników

W każdym z dwóch rzutów może wypaść jedna z sześciu ścianek, więc wszystkich jednakowo prawdopodobnych wyników jest 36.

\[6\cdot 6=36\]

2 Obliczenie prawdopodobieństwa

Łatwiej policzyć zdarzenie przeciwne: w żadnym rzucie nie wypada pięć oczek. W każdym rzucie odpowiada mu pięć wyników.

\[P(A)=1-\frac{5\cdot 5}{36}=\frac{11}{36}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo, że co najmniej raz wypadnie pięć oczek, wynosi 11/36.

\[P(A)=\frac{11}{36}\]

Sprawdzenie

Gdy pięć oczek wypada w pierwszym rzucie, mamy 6 wyników, a gdy w drugim — także 6. Wynik (5,5) został policzony dwa razy, więc wyników sprzyjających jest 6+6−1=11.

\[\frac{6+6-1}{36}=\frac{11}{36}\]

Zadanie 22

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

53%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Niech \(p\) oznacza prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie dwóch orłów w tych trzech rzutach. Wtedy

\(0\le p<0{,}2\)

\(0{,}2\le p\le 0{,}35\)

\(0{,}35<p\le 0{,}5\)

\(0{,}5<p\le 1\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Policz wszystkie wyniki

W każdym z trzech rzutów są dwa możliwe wyniki, więc liczba jednakowo prawdopodobnych wyników wynosi osiem.

\[2^3=8\]

2 Policz wyniki sprzyjające

Wybieramy, w których dwóch z trzech rzutów wypadnie orzeł.

\[\binom{3}{2}=3\]

3 Oblicz prawdopodobieństwo

Dzielimy liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich wyników, a otrzymaną wartość porównujemy z przedziałami w odpowiedziach.

\[p=\frac{3}{8}=0{,}375,\qquad 0{,}35<0{,}375\le 0{,}5\]

Odpowiedź

Odpowiedź C: prawdopodobieństwo wynosi 3/8.

\[p=\frac{3}{8}\]

Sprawdzenie

Wyniki sprzyjające to OOR, ORO i ROO. Są trzy spośród ośmiu możliwych wyników, więc otrzymane prawdopodobieństwo i wybór C są poprawne.

\[\frac{3}{8}=0{,}375\in(0{,}35;0{,}5]\]

Zadanie 12

Matura 2021 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

52%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Funkcja kwadratowa \(f\) określona wzorem \(f(x)=-2(x+1)(x-3)\) jest malejąca w przedziale

\(\langle 1,+\infty)\)

\((-\infty,1\rangle\)

\((-\infty,-8\rangle\)

\(\langle -8,+\infty)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie osi symetrii

Miejsca zerowe to \(-1\) i \(3\), więc oś symetrii paraboli leży w połowie między nimi.

\[x_w=\frac{-1+3}{2}=1\]

2 Ustalenie monotoniczności

Współczynnik przy \(x^2\) jest ujemny, dlatego parabola jest skierowana ramionami w dół i maleje od wierzchołka w prawo.

\[a=-2<0,\qquad x\in\langle 1,+\infty)\]

Odpowiedź

Funkcja jest malejąca w przedziale \(\langle 1,+\infty)\). Odpowiedź A.

\[\boxed{\langle 1,+\infty)\text{ — A}}\]

Sprawdzenie

Po przekształceniu wzoru widać, że dla \(x\geq 1\) wartość \((x-1)^2\) rośnie, więc wartość funkcji maleje.

\[f(x)=-2(x-1)^2+8\]

Zadanie 21

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

51%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest trójkąt \(ABC\), w którym \(|AB|=11\), \(|BC|=12\) oraz \(|\angle ABC|=60^\circ\) (zobacz rysunek).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Trójkąt \(ABC\) jest równoramienny.	P	F
Pole trójkąta \(ABC\) jest równe \(33\sqrt{3}\).	P	F

Trójkąt ABC: bok AB oznaczony 11, bok BC oznaczony 12, kąt ABC oznaczony 60°.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie trzeciego boku

Znamy dwa boki i kąt między nimi, więc stosujemy twierdzenie cosinusów.

\[|AC|^2=11^2+12^2-2\cdot11\cdot12\cos60^\circ=121+144-132=133,\quad |AC|=\sqrt{133}\]

2 Ocena pierwszego stwierdzenia

Boki o długościach 11 i 12 są różne, a \(121<133<144\), więc trzeci bok także ma inną długość.

\[11<\sqrt{133}<12\quad\Longrightarrow\quad \text{trójkąt nie jest równoramienny (F)}\]

3 Obliczenie pola

Stosujemy wzór na pole z dwóch boków i sinusa kąta między nimi.

\[P=\frac12\cdot11\cdot12\sin60^\circ=66\cdot\frac{\sqrt3}{2}=33\sqrt3\quad\Longrightarrow\quad \text{drugie stwierdzenie jest prawdziwe (P)}\]

Odpowiedź

Pierwsze stwierdzenie: F. Drugie stwierdzenie: P.

\[\boxed{\mathrm{F},\ \mathrm{P}}\]

Sprawdzenie

Wysokość opuszczona z C na prostą AB ma długość \(12\sin60^\circ=6\sqrt3\). Obliczone z niej pole wynosi \(33\sqrt3\), zgodnie z wynikiem.

\[\frac12\cdot11\cdot6\sqrt3=33\sqrt3\]

Zadanie 6

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

51%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(-2(x+3)\leq\frac{2-x}{3}\) jest przedział

\((-\infty,-4\rangle\)

\((-\infty,4\rangle\)

\(\langle-4,\infty)\)

\(\langle4,\infty)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Usunięcie mianownika

Mnożymy obie strony przez dodatnią liczbę 3, więc znak nierówności się nie zmienia.

\[-6(x+3)\leq 2-x\]

2 Wyznaczenie x

Rozwijamy nawias, przenosimy wyrazy i dzielimy przez liczbę ujemną, odwracając znak nierówności.

\[-6x-18\leq 2-x\;\Longleftrightarrow\;-5x\leq 20\;\Longleftrightarrow\;x\geq -4\]

Odpowiedź

Zbiorem rozwiązań jest przedział od −4 włącznie do nieskończoności. Odpowiedź C.

\[x\in\langle-4,\infty)\]

Sprawdzenie

Dla x = −4 obie strony nierówności są równe 2, więc koniec przedziału należy do zbioru rozwiązań. Dla x = −5 nierówność jest fałszywa: 4 ≤ 7/3 nie zachodzi.

\[x=-4:\quad -2(-4+3)=2=\frac{2-(-4)}{3};\qquad x=-5:\quad 4\nleq\frac{7}{3}\]

Zadanie 29

Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Funkcje

51%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej \(f(x)=x^2-6x+3\) w przedziale \(\langle 0,4\rangle\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wierzchołka

Sprowadzamy funkcję do postaci kanonicznej, aby znaleźć jej minimum. Wierzchołek ma odciętą 3, która należy do danego przedziału.

\[f(x)=x^2-6x+3=(x-3)^2-6,\quad x_w=3\in[0,4]\]

2 Porównanie wartości

Ponieważ parabola jest skierowana ramionami w górę, minimum osiąga w wierzchołku. Największą wartość w przedziale domkniętym wyznaczamy przez porównanie wartości na jego końcach.

\[f(3)=-6,\quad f(0)=3,\quad f(4)=16-24+3=-5\]

Odpowiedź

Najmniejsza wartość to −6 dla x=3, a największa to 3 dla x=0.

\[\min_{x\in[0,4]}f(x)=-6,\qquad \max_{x\in[0,4]}f(x)=3\]

Sprawdzenie

Dla x od 0 do 4 wyrażenie (x−3)² przyjmuje wartości od 0 do 9. Zatem f(x) przyjmuje wartości od −6 do 3; oba krańce są osiągane w podanym przedziale.

\[0\le (x-3)^2\le 9\quad\Longrightarrow\quad -6\le f(x)\le 3\]

Zadanie 13

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

50%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W układzie współrzędnych \((x,y)\) narysowano wykres funkcji \(y=f(x)\) (zobacz rysunek).

Największa wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle-4,1\rangle\) jest równa

Wykres funkcji y=f(x) w układzie współrzędnych, wspólny dla zadań 11–13.

\(0\)

\(1\)

\(2\)

\(5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczyt wykresu

W przedziale od −4 do −3 wykres jest poziomy, więc funkcja przyjmuje wartość 2. W punkcie −3 kółko przy wartości 2 jest puste.

\[f(x)=2\quad\text{dla }x\in[-4,-3)\]

2 Porównanie wartości

Od −3 do 1 wykres rośnie od −3 do 1. Największa wartość na tej części wynosi 1, więc w całym rozpatrywanym przedziale największa jest wartość 2.

\[\max_{x\in[-3,1]}f(x)=f(1)=1<2\]

Odpowiedź

Największa wartość funkcji wynosi 2. Odpowiedź C.

\[\max_{x\in[-4,1]}f(x)=2\]

Sprawdzenie

Wartość 2 jest przyjmowana, na przykład dla x=−4. Na pozostałej części przedziału wartości funkcji nie przekraczają 1.

\[f(-4)=2>f(1)=1\]

Zadanie 19

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

50%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdego kąta ostrego \(\alpha\) wyrażenie \(\sin^4\alpha+\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha\) jest równe

\(\sin^2\alpha\)

\(\sin^6\alpha\cdot\cos^2\alpha\)

\(\sin^4\alpha+1\)

\(\sin^2\alpha\cdot(\sin\alpha+\cos\alpha)\cdot(\sin\alpha-\cos\alpha)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyłącz wspólny czynnik

Oba składniki zawierają \(\sin^2\alpha\), więc wyłączamy je przed nawias.

\[\sin^4\alpha+\sin^2\alpha\cos^2\alpha=\sin^2\alpha(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)\]

2 Zastosuj jedynkę trygonometryczną

Dla każdego kąta zachodzi \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\).

\[\sin^2\alpha(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)=\sin^2\alpha\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: \(\sin^2\alpha\).

\[\sin^2\alpha\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu \(\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha\) składniki z \(\sin^4\alpha\) się redukują, co potwierdza wynik dla każdego kąta ostrego.

\[\sin^4\alpha+\sin^2\alpha(1-\sin^2\alpha)=\sin^2\alpha\]

Zadanie 15

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte3 pkt

Ciągi

49%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Wyznacz wartość \(m\), dla której trzywyrazowy ciąg \((2m+11,\ m^2+3,\ 5-m)\) jest arytmetyczny i malejący. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek arytmetyczności

W ciągu arytmetycznym środkowy wyraz jest średnią skrajnych. Podstawiamy podane wyrazy i rozwiązujemy równanie.

\[2(m^2+3)=(2m+11)+(5-m)\iff 2m^2-m-10=0\iff (2m-5)(m+2)=0\iff m=\frac52\ \text{lub}\ m=-2\]

2 Warunek malejącego ciągu

Sprawdzamy oba rozwiązania, ponieważ ciąg stały jest arytmetyczny, ale nie jest malejący.

\[m=-2:\ (7,7,7);\qquad m=\frac52:\ \left(16,\frac{37}{4},\frac52\right),\quad 16>\frac{37}{4}>\frac52\]

Odpowiedź

Szukana wartość to m = 5/2.

\[m=\frac52\]

Sprawdzenie

Dla m = 5/2 kolejne różnice są równe i ujemne: obie wynoszą −27/4. Ciąg jest więc arytmetyczny i malejący.

\[\frac{37}{4}-16=\frac52-\frac{37}{4}=-\frac{27}{4}<0\]

Zadanie 25

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte3 pkt

Stereometria

49%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Tworząca stożka ma długość \(8\). Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę \(120^\circ\).

Oblicz objętość tego stożka. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie promienia i wysokości

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym. Wysokość dzieli kąt rozwarcia na dwa kąty po 60°, tworząc trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej 8.

\[r=8\sin 60^\circ=4\sqrt{3},\qquad h=8\cos 60^\circ=4\]

2 Obliczenie objętości

Podstawiamy promień i wysokość do wzoru na objętość stożka.

\[V=\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{1}{3}\pi(4\sqrt{3})^2\cdot4=64\pi\]

Odpowiedź

Objętość stożka wynosi \(64\pi\) jednostek sześciennych.

\[V=64\pi\]

Sprawdzenie

Promień i wysokość dają tworzącą długości 8, a stosunek promienia do wysokości odpowiada połowie kąta rozwarcia.

\[\sqrt{(4\sqrt{3})^2+4^2}=8,\qquad \frac{r}{h}=\sqrt{3}=\tan 60^\circ\]

Zadanie 24

Matura 2022 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

49%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Punkty \(A=(-4,4)\) i \(B=(4,0)\) są sąsiednimi wierzchołkami kwadratu \(ABCD\). Przekątna tego kwadratu ma długość

\(4\sqrt{10}\)

\(4\sqrt{2}\)

\(4\sqrt{5}\)

\(4\sqrt{7}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Długość boku

Punkty A i B są sąsiednimi wierzchołkami, więc odcinek AB jest bokiem kwadratu. Obliczamy jego długość ze wzoru na odległość punktów.

\[|AB|=\sqrt{(4-(-4))^2+(0-4)^2}=\sqrt{64+16}=4\sqrt{5}\]

2 Długość przekątnej

Przekątna kwadratu jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o dwóch bokach długości AB.

\[d=|AB|\sqrt{2}=4\sqrt{5}\cdot\sqrt{2}=4\sqrt{10}\]

Odpowiedź

Przekątna ma długość 4√10. Odpowiedź A.

\[d=4\sqrt{10}\]

Sprawdzenie

Kwadrat długości przekątnej wynosi 160, czyli jest sumą kwadratów dwóch boków długości 4√5.

\[(4\sqrt{10})^2=160=2(4\sqrt{5})^2\]

Zadanie 27

Matura 2022 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Kombinatoryka

49%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Wszystkich różnych liczb naturalnych czterocyfrowych nieparzystych podzielnych przez \(5\) jest

\(9\cdot 8\cdot 7\cdot 2\)

\(9\cdot 10\cdot 10\cdot 1\)

\(9\cdot 10\cdot 10\cdot 2\)

\(9\cdot 9\cdot 8\cdot 1\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustalenie cyfry jedności

Liczba podzielna przez 5 kończy się na 0 lub 5. Ponieważ ma być nieparzysta, jej ostatnią cyfrą jest 5.

\[d=5\]

2 Policzenie możliwości

Cyfra tysięcy może być jedną z 9 cyfr od 1 do 9, a cyfry setek i dziesiątek mogą być dowolne. Cyfry mogą się powtarzać, więc mnożymy liczby możliwości.

\[9\cdot 10\cdot 10\cdot 1=900\]

Odpowiedź

Jest 900 takich liczb. Odpowiedź B.

\[900=9\cdot 10\cdot 10\cdot 1\]

Sprawdzenie

Liczby te biegną od 1005 do 9995 co 10, więc jest ich dokładnie 900.

\[\frac{9995-1005}{10}+1=900\]

Zadanie 5

Matura 2021 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

49%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Różnica \(0,(3)-\frac{23}{33}\) jest równa

\(-0,(39)\)

\(-\frac{39}{100}\)

\(-0,36\)

\(-\frac{4}{11}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zamiana ułamka okresowego

Ponieważ cyfra 3 powtarza się bez końca, zapisujemy liczbę jako ułamek zwykły.

\[0,(3)=\frac{1}{3}=\frac{11}{33}\]

2 Obliczenie różnicy

Ułamki mają ten sam mianownik, więc odejmujemy liczniki i skracamy wynik.

\[\frac{11}{33}-\frac{23}{33}=\frac{-12}{33}=-\frac{4}{11}\]

Odpowiedź

Wynik to −4/11, odpowiedź D.

\[-\frac{4}{11}\]

Sprawdzenie

Po dodaniu odjętego ułamka do wyniku otrzymujemy liczbę początkową: −4/11 + 23/33 = 1/3 = 0,(3).

\[-\frac{4}{11}+\frac{23}{33}=-\frac{12}{33}+\frac{23}{33}=\frac{11}{33}=\frac{1}{3}\]

Zadanie 3

Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

49%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Kwotę 1000 zł ulokowano w banku na roczną lokatę oprocentowaną w wysokości 4% w stosunku rocznym. Po zakończeniu lokaty od naliczonych odsetek odprowadzany jest podatek w wysokości 19%. Maksymalna kwota, jaką po upływie roku będzie można wypłacić z banku, jest równa

\(1000\cdot\left(1-\frac{81}{100}\cdot\frac{4}{100}\right)\)

\(1000\cdot\left(1+\frac{19}{100}\cdot\frac{4}{100}\right)\)

\(1000\cdot\left(1+\frac{81}{100}\cdot\frac{4}{100}\right)\)

\(1000\cdot\left(1-\frac{19}{100}\cdot\frac{4}{100}\right)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie odsetek

Oprocentowanie 4% w skali roku daje po roku odsetki równe 4% wpłaconej kwoty.

\[1000\cdot\frac{4}{100}=40\ \text{zł}\]

2 Odliczenie podatku

Podatek wynosi 19% odsetek, więc do wypłaty pozostaje 81% odsetek oraz cały wpłacony kapitał.

\[1000+40\cdot\frac{81}{100}=1000+32{,}40=1032{,}40\ \text{zł}\]

Odpowiedź

Maksymalna kwota wypłaty to 1032,40 zł. Odpowiedź C.

\[1000\cdot\left(1+\frac{81}{100}\cdot\frac{4}{100}\right)=1032{,}40\ \text{zł}\]

Sprawdzenie

Podatek od 40 zł odsetek wynosi 7,60 zł. Po jego odjęciu od kapitału z odsetkami otrzymujemy tę samą kwotę.

\[40\cdot\frac{19}{100}=7{,}60\ \text{zł},\qquad 1000+40-7{,}60=1032{,}40\ \text{zł}\]

Zadanie 17

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Ciągi

48%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Pan Stanisław spłacił pożyczkę w wysokości 8910 zł w osiemnastu ratach. Każda kolejna rata była mniejsza od poprzedniej o 30 zł.

Oblicz kwotę pierwszej raty. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie sumy rat

Raty tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy −30 zł. Korzystamy ze wzoru na sumę 18 początkowych wyrazów.

\[8910=\frac{18}{2}\bigl(2a_1+17\cdot(-30)\bigr)=9(2a_1-510)\]

2 Obliczenie pierwszej raty

Rozwiązujemy otrzymane równanie względem kwoty pierwszej raty.

\[2a_1-510=990,\quad 2a_1=1500,\quad a_1=750\ \text{zł}\]

Odpowiedź

Pierwsza rata wynosiła 750 zł.

\[a_1=750\ \text{zł}\]

Sprawdzenie

Ostatnia rata wynosiła 240 zł. Średnia pierwszej i ostatniej raty to 495 zł, więc suma 18 rat wynosi 8910 zł. Wszystkie raty są dodatnie.

\[a_{18}=750-17\cdot30=240\ \text{zł},\qquad 18\cdot\frac{750+240}{2}=8910\ \text{zł}\]