Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

1468 zadańStrona 22 z 98

Sortuj:

Zadanie 33

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

56%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Trójkąty prostokątne $T_1$ i $T_2$ są podobne. Przyprostokątne trójkąta $T_1$ mają długości 5 i 12. Przeciwprostokątna trójkąta $T_2$ ma długość 26.

Oblicz pole trójkąta $T_2$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie przeciwprostokątnej

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym $T_1$.

\[c_1=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13\]

2 Wyznaczenie skali podobieństwa

Odpowiadające sobie przeciwprostokątne są w tym samym stosunku co przyprostokątne.

\[k=\frac{26}{13}=2,\qquad a_2=2\cdot5=10,\qquad b_2=2\cdot12=24\]

3 Obliczenie pola

Pole trójkąta prostokątnego jest połową iloczynu jego przyprostokątnych.

\[P_2=\frac{10\cdot24}{2}=120\]

Odpowiedź

Pole trójkąta T₂ wynosi 120 jednostek kwadratowych.

\[P_2=120\]

Sprawdzenie

Przyprostokątne 10 i 24 dają przeciwprostokątną 26, więc wynik spełnia warunek zadania. Pole T₁ wynosi 30, a przy skali 2 pole rośnie czterokrotnie do 120.

\[10^2+24^2=676=26^2,\qquad 2^2\cdot\frac{5\cdot12}{2}=120\]

Zadanie 32

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Planimetria

56%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Jeden z kątów trójkąta jest trzy razy większy od mniejszego z dwóch pozostałych kątów, które różnią się o $50^\circ$. Oblicz kąty tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Oznaczenie kątów

Oznaczmy mniejszy z dwóch kątów różniących się o 50° przez x. Drugi ma wtedy x+50°, a trzeci 3x.

\[x,\quad x+50^\circ,\quad 3x\]

2 Suma kątów

Suma kątów w trójkącie wynosi 180°, więc układamy i rozwiązujemy równanie.

\[x+(x+50^\circ)+3x=180^\circ\quad\Rightarrow\quad 5x=130^\circ\quad\Rightarrow\quad x=26^\circ\]

3 Obliczenie pozostałych kątów

Podstawiamy otrzymaną wartość do oznaczeń.

\[x+50^\circ=76^\circ,\qquad 3x=78^\circ\]

Odpowiedź

Kąty trójkąta mają miary 26°, 76° i 78°.

\[26^\circ,\ 76^\circ,\ 78^\circ\]

Sprawdzenie

Kąty są dodatnie i sumują się do 180°. Dwa wskazane kąty różnią się o 50°, a trzeci jest trzy razy większy od mniejszego z nich.

\[26^\circ+76^\circ+78^\circ=180^\circ,\quad 76^\circ-26^\circ=50^\circ,\quad 78^\circ=3\cdot26^\circ\]

Zadanie 14.4

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte2 pkt

Funkcje

55%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f$ (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.

Funkcje kwadratowe $g$ oraz $h$ są określone za pomocą funkcji $f$ (zobacz rysunek na stronie 13) następująco: $g(x)=f(x+3)$, $h(x)=f(-x)$.

Na rysunkach A–F przedstawiono, w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$, fragmenty wykresów różnych funkcji – w tym fragment wykresu funkcji $g$ oraz fragment wykresu funkcji $h$.

Uzupełnij tabelę. Każdej z funkcji $g$ oraz $h$ przyporządkuj fragment jej wykresu. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A–F.

Fragment wykresu funkcji $y=g(x)$ przedstawiono na rysunku
Fragment wykresu funkcji $y=h(x)$ przedstawiono na rysunku

Wykres funkcji f w układzie współrzędnych.

Wykres paraboli w układzie współrzędnych, wariant A.

Wykres paraboli w układzie współrzędnych, wariant B.

Wykres paraboli w układzie współrzędnych, wariant C.

Wykres paraboli w układzie współrzędnych, wariant D.

Wykres paraboli w układzie współrzędnych, wariant E.

Wykres paraboli w układzie współrzędnych, wariant F.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczytanie wykresu funkcji f

Z wykresu odczytujemy miejsca zerowe −2 i 4 oraz punkt przecięcia z osią y równy (0,8). Dzięki temu wyznaczamy współczynnik we wzorze iloczynowym.

\[f(x)=a(x+2)(x-4),\quad 8=f(0)=a\cdot2\cdot(-4),\quad a=-1\]

2 Wyznaczenie wykresu g

Podstawienie x+3 przesuwa wykres funkcji f o 3 jednostki w lewo. Miejsca zerowe przesuwają się z −2 i 4 na −5 i 1; taki wykres jest na rysunku A.

\[g(x)=f(x+3)=-(x+5)(x-1)\]

3 Wyznaczenie wykresu h

Podstawienie −x odbija wykres funkcji f względem osi y. Miejsca zerowe −2 i 4 przechodzą odpowiednio na 2 i −4; taki wykres jest na rysunku E.

\[h(x)=f(-x)=-(-x+2)(-x-4)=-(x-2)(x+4)\]

Odpowiedź

Funkcja g — rysunek A; funkcja h — rysunek E.

\[g\colon A,\qquad h\colon E\]

Sprawdzenie

Na rysunku A parabola przecina oś y na wysokości 5, a na rysunku E na wysokości 8. Zgadza się to z obliczonymi wartościami obu funkcji.

\[g(0)=-(0+5)(0-1)=5,\qquad h(0)=-(0-2)(0+4)=8\]

Zadanie 9

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

55%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Miejscem zerowym funkcji liniowej $f(x)=(2p-1)x+p$ jest liczba $(-4)$. Wtedy

$p=\frac{4}{9}$

$p=\frac{4}{7}$

$p=-4$

$p=-\frac{4}{7}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie miejsca zerowego

Skoro liczba −4 jest miejscem zerowym, to f(−4)=0.

\[(2p-1)(-4)+p=0\quad\Longrightarrow\quad -8p+4+p=0\]

2 Wyznaczenie parametru

Porządkujemy wyrazy i rozwiązujemy równanie.

\[-7p+4=0\quad\Longrightarrow\quad p=\frac{4}{7}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: p = 4/7.

\[p=\frac{4}{7}\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanej wartości współczynnik kierunkowy jest różny od zera, a f(−4)=0.

\[2\cdot\frac{4}{7}-1=\frac{1}{7}\neq 0,\qquad f(-4)=\frac{1}{7}\cdot(-4)+\frac{4}{7}=0\]

Zadanie 19

Matura 2021 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

55%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Pole pewnego trójkąta równobocznego jest równe $\frac{4\sqrt{3}}{9}$. Obwód tego trójkąta jest równy

$4$

$2$

$\frac{4}{3}$

$\frac{2}{3}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie boku

Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta równobocznego. Długość boku jest dodatnia.

\[\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{4\sqrt{3}}{9}\quad\Rightarrow\quad a^2=\frac{16}{9}\quad\Rightarrow\quad a=\frac{4}{3}\]

2 Obliczenie obwodu

Trójkąt równoboczny ma trzy boki tej samej długości.

\[O=3a=3\cdot\frac{4}{3}=4\]

Odpowiedź

Obwód wynosi 4. Odpowiedź A.

\[O=4\]

Sprawdzenie

Dla boku 4/3 pole jest równe polu podanemu w zadaniu.

\[P=\frac{\sqrt{3}}{4}\left(\frac{4}{3}\right)^2=\frac{4\sqrt{3}}{9}\]

Zadanie 14

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

54%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej $f$ jest liczba $(-5)$. Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji $f$, jest równa $3$. Drugim miejscem zerowym funkcji $f$ jest liczba

$11$

$1$

$(-1)$

$(-13)$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie własności osi symetrii

Pierwsza współrzędna wierzchołka jest średnią miejsc zerowych funkcji kwadratowej.

\[3=\frac{-5+x_2}{2}\]

2 Obliczenie drugiego miejsca zerowego

Mnożymy równanie przez 2 i dodajemy 5 do obu stron.

\[6=-5+x_2,\qquad x_2=11\]

Odpowiedź

Drugim miejscem zerowym jest 11. Odpowiedź A.

\[x_2=11\]

Sprawdzenie

Średnia miejsc zerowych −5 i 11 wynosi 3, czyli tyle, ile pierwsza współrzędna wierzchołka.

\[\frac{-5+11}{2}=3\]

Zadanie 7

Matura 2021 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

54%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Na poniższym rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$ określonej w zbiorze $\langle -6,5\rangle$.

Funkcja $g$ jest określona wzorem $g(x)=f(x)-2$ dla $x\in\langle -6,5\rangle$. Wskaż zdanie prawdziwe.

Wykres funkcji f w układzie współrzędnych. Odcinek poziomy na wysokości 3 od punktu pełnego przy x = −6 do punktu pustego przy x = −3. Druga część wykresu zaczyna się punktem pełnym (−3, 1), przechodzi przez (0, −2) i (3, 1), a następnie biegnie poziomo do punktu pełnego (5, 1).

Liczba $f(2)+g(2)$ jest równa $(-2)$.

Zbiory wartości funkcji $f$ i $g$ są równe.

Funkcje $f$ i $g$ mają te same miejsca zerowe.

Punkt $P=(0,-2)$ należy do wykresów funkcji $f$ i $g$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczyt wartości funkcji

Wykres funkcji f przecina oś x w punkcie o pierwszej współrzędnej 2, więc w tym punkcie wartość funkcji wynosi zero.

\[f(2)=0\]

2 Obliczenie sumy

Korzystamy z podanego wzoru funkcji g i podstawiamy odczytaną wartość f(2).

\[g(2)=f(2)-2=0-2=-2,\qquad f(2)+g(2)=0+(-2)=-2\]

Odpowiedź

Prawdziwe jest zdanie A.

\[f(2)+g(2)=-2\]

Sprawdzenie

Pozostałe zdania są fałszywe: zbiór wartości g jest przesunięty o 2 w dół względem zbioru wartości f; f ma miejsca zerowe −2 i 2, a g nie ma miejsc zerowych, ponieważ f nigdzie nie przyjmuje wartości 2; ponadto f(0)=−2, lecz g(0)=−4.

\[W_f=[-2,1]\cup\{3\},\quad W_g=[-4,-1]\cup\{1\},\quad f(-2)=f(2)=0,\quad g(0)=f(0)-2=-4\]

Zadanie 5

Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

54%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Układ równań $\begin{cases}x-y=3\\2x+0{,}5y=4\end{cases}$ opisuje w układzie współrzędnych na płaszczyźnie

zbiór pusty.

dokładnie jeden punkt.

dokładnie dwa różne punkty.

zbiór nieskończony.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie x

Z pierwszego równania wyrażamy x przez y, aby podstawić je do drugiego równania.

\[x-y=3\quad\Rightarrow\quad x=y+3\]

2 Obliczenie y

Po podstawieniu otrzymujemy równanie z jedną niewiadomą.

\[2(y+3)+0{,}5y=4\quad\Rightarrow\quad 2{,}5y=-2\quad\Rightarrow\quad y=-\frac45\]

3 Obliczenie x

Podstawiamy obliczone y do pierwszego przekształcenia.

\[x=-\frac45+3=\frac{11}{5}\]

Odpowiedź

Układ opisuje dokładnie jeden punkt — odpowiedź B.

\[\left(\frac{11}{5},-\frac45\right)\]

Sprawdzenie

Otrzymana para spełnia oba równania. Ponieważ podstawienie dało jednoznaczne wartości y i x, jest to jedyne rozwiązanie.

\[\frac{11}{5}-\left(-\frac45\right)=3,\qquad 2\cdot\frac{11}{5}+0{,}5\cdot\left(-\frac45\right)=4\]

Zadanie 20

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

53%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W trójkącie równoramiennym $ABC$ dane są: $|AC|=|BC|=4$ i $|AB|=3$. Na boku $BC$, między punktami $B$ i $C$, wybrano taki punkt $D$, że trójkąty $ABC$ i $BDA$ są podobne (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Odcinek $BD$ ma długość

Trójkąt ABC z punktem D na boku BC i odcinkiem AD. Bok AC oznaczono liczbą 4, a bok AB liczbą 3.

$2$

$2{,}25$

$2{,}5$

$3$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustalenie odpowiadających boków

W podobnych trójkątach bokowi AC długości 4 odpowiada bok AB długości 3, a bokowi AB długości 3 odpowiada bok BD. Zapisujemy proporcję tych boków.

\[\frac{BD}{AB}=\frac{AB}{AC}\]

2 Obliczenie długości BD

Podstawiamy dane i mnożymy obie strony przez 3.

\[\frac{BD}{3}=\frac{3}{4}\quad\Longrightarrow\quad BD=\frac{9}{4}=2{,}25\]

Odpowiedź

Odcinek BD ma długość 2,25. Odpowiedź B.

\[BD=2{,}25\]

Sprawdzenie

Skala podobieństwa wynosi 3/4, więc bokowi AB długości 3 odpowiada BD długości 9/4. Ponadto 0 < 9/4 < 4, zatem D leży między B i C.

\[\frac{BD}{AB}=\frac{9/4}{3}=\frac{3}{4}=\frac{AB}{AC},\qquad 0<\frac{9}{4}<4\]

Zadanie 14.1

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte1 pkt

Funkcje

53%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiedni przedział w wykropkowanym miejscu tak, aby zdanie było prawdziwe.

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $f(x)\geq 0$ jest przedział ……………………… .

$Fragment wykresu paraboli oznaczonej $y=f(x)$ w układzie współrzędnych.$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczyt miejsc zerowych

Wykres przecina oś x w punktach, w których wartość funkcji wynosi zero.

\[f(-2)=0,\qquad f(4)=0\]

2 Wyznaczenie przedziału

Parabola jest skierowana ramionami w dół, więc leży na osi x lub nad nią między miejscami zerowymi. Końce przedziału należą do rozwiązania, ponieważ nierówność jest nieostra.

\[f(x)\geq 0\iff -2\leq x\leq 4\]

Odpowiedź

Zbiorem rozwiązań jest przedział od −2 do 4 wraz z końcami.

\[[-2,4]\]

Sprawdzenie

Między miejscami zerowymi wykres leży nad osią x, na końcach ją przecina, a poza tym przedziałem leży pod osią x.

\[f(-2)=f(4)=0,\qquad f(0)=8>0\]

Zadanie 23

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

53%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dana jest prosta $k$ o równaniu $y=-\frac{1}{3}x+2$.

Prosta o równaniu $y=ax+b$ jest równoległa do prostej $k$ i przechodzi przez punkt $P=(3,5)$, gdy

$a=3$ i $b=4$.

$a=-\frac{1}{3}$ i $b=4$.

$a=3$ i $b=-4$.

$a=-\frac{1}{3}$ i $b=6$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie współczynnika kierunkowego

Proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy, więc odczytujemy go z równania prostej k.

\[a=-\frac{1}{3}\]

2 Wyznaczenie wyrazu wolnego

Podstawiamy współrzędne punktu P=(3,5) do równania szukanej prostej.

\[5=-\frac{1}{3}\cdot 3+b=-1+b\quad\Rightarrow\quad b=6\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: a = −1/3 i b = 6.

\[y=-\frac{1}{3}x+6\]

Sprawdzenie

Dla x = 3 otrzymujemy y = 5, więc prosta przechodzi przez P. Jej współczynnik kierunkowy jest taki sam jak prostej k, więc proste są równoległe.

\[-\frac{1}{3}\cdot 3+6=5\]

Zadanie 30

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

53%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Rozwiąż nierówność

$x(x-2)>2x^2-3$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przenieś wyrazy na jedną stronę

Rozwijamy nawias i odejmujemy prawą stronę nierówności od obu stron.

\[x^2-2x>2x^2-3\iff x^2+2x-3<0\]

2 Rozłóż trójmian na czynniki

Postać iloczynowa pozwala wyznaczyć miejsca zerowe i znak wyrażenia.

\[x^2+2x-3=(x+3)(x-1),\quad x=-3\ \text{lub}\ x=1\]

3 Wyznacz przedział rozwiązań

Iloczyn dwóch czynników liniowych jest ujemny między miejscami zerowymi. Końce przedziału nie należą do rozwiązania, bo nierówność jest ostra.

\[(x+3)(x-1)<0\iff -3<x<1\]

Odpowiedź

Zbiorem rozwiązań jest przedział $(-3,1)$.

\[x\in(-3,1)\]

Sprawdzenie

Dla liczby 0 z otrzymanego przedziału zachodzi $0>-3$. Dla liczb spoza przedziału, na przykład −4 i 2, nierówność nie zachodzi; na końcach −3 i 1 strony są równe.

\[x=0:\ 0>-3;\qquad x=-4:\ 24\not>29;\qquad x=2:\ 0\not>5\]

Zadanie 26

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

53%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $30^\circ$ i ma długość równą $6$ (zobacz rysunek).

Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

Ostrosłup prawidłowy czworokątny z zaznaczoną wysokością ściany bocznej długości 6 i kątem 30° między tą wysokością a płaszczyzną podstawy.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wysokość ostrosłupa

Rzut wysokości ściany bocznej na podstawę biegnie od środka kwadratu do środka jego boku. Tworzy z wysokością ostrosłupa trójkąt prostokątny, więc korzystamy z sinusa kąta nachylenia.

\[H=6\sin 30^\circ=6\cdot\frac12=3\]

2 Bok podstawy

Długość rzutu wynosi połowę boku kwadratu. Obliczamy ją z cosinusa kąta nachylenia.

\[\frac a2=6\cos 30^\circ=6\cdot\frac{\sqrt3}{2}=3\sqrt3,\qquad a=6\sqrt3\]

3 Objętość

Podstawa jest kwadratem, więc jej pole wynosi $a^2$. Stosujemy wzór na objętość ostrosłupa.

\[P_p=(6\sqrt3)^2=108,\qquad V=\frac13P_pH=\frac13\cdot108\cdot3=108\]

4 Pole powierzchni całkowitej

Cztery ściany boczne są jednakowymi trójkątami o podstawie $a$ i wysokości $6$. Dodajemy ich pola do pola podstawy.

\[P_c=P_p+4\cdot\frac{a\cdot6}{2}=108+4\cdot\frac{6\sqrt3\cdot6}{2}=108+72\sqrt3\]

Odpowiedź

Objętość wynosi 108 jednostek sześciennych, a pole powierzchni całkowitej wynosi $108+72\sqrt3$ jednostek kwadratowych.

\[V=108,\qquad P_c=108+72\sqrt3\]

Sprawdzenie

Obliczona wysokość i połowa boku podstawy tworzą z wysokością ściany bocznej trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej 6. Obie długości są dodatnie.

\[3^2+(3\sqrt3)^2=9+27=36=6^2\]

Zadanie 31.2

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

53%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Właściciel pewnej apteki przeanalizował dane dotyczące liczby obsługiwanych klientów z 30 kolejnych dni. Przyjmijmy, że liczbę $L$ obsługiwanych klientów $n$-tego dnia opisuje funkcja \[L(n)=-n^2+22n+279\] gdzie $n$ jest liczbą naturalną spełniającą warunki $n\geq 1$ i $n\leq 30$.

Którego dnia analizowanego okresu w aptece obsłużono największą liczbę klientów? Oblicz liczbę klientów obsłużonych tego dnia. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie postaci kanonicznej

Zapisujemy funkcję jako kwadrat, aby ustalić, kiedy przyjmuje największą wartość.

\[L(n)=-n^2+22n+279=-(n-11)^2+400\]

2 Wyznaczenie dnia i liczby klientów

Kwadrat jest nieujemny, więc największą wartość otrzymujemy, gdy jest równy zeru. Liczba 11 należy do przedziału dni od 1 do 30.

\[(n-11)^2=0\iff n=11,\qquad L(11)=400\]

Odpowiedź

Najwięcej klientów, 400, obsłużono jedenastego dnia.

\[n=11,\qquad L(11)=400\]

Sprawdzenie

Dla każdego dopuszczalnego dnia kwadrat liczby n−11 jest nieujemny, więc liczba klientów nie przekracza 400. W jedenastym dniu osiąga 400.

\[1\leq n\leq 30\implies L(n)=400-(n-11)^2\leq 400\]

Zadanie 33

Matura 2021 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

53%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Trójkąt równoboczny $ABC$ ma pole równe $9\sqrt{3}$. Prosta równoległa do boku $BC$ przecina boki $AB$ i $AC$ – odpowiednio – w punktach $K$ i $L$. Trójkąty $ABC$ i $AKL$ są podobne, a stosunek długości boków tych trójkątów jest równy $\frac{3}{2}$. Oblicz długość boku trójkąta $AKL$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie boku trójkąta ABC

Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta równobocznego. Długość boku jest dodatnia.

\[\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}\quad\Longrightarrow\quad a^2=36\quad\Longrightarrow\quad a=6\]

2 Wyznaczenie boku trójkąta AKL

Stosunek odpowiadających sobie boków trójkątów ABC i AKL wynosi 3 do 2.

\[\frac{6}{AK}=\frac{3}{2}\quad\Longrightarrow\quad AK=4\]

Odpowiedź

Bok trójkąta AKL ma długość 4.

\[4\]

Sprawdzenie

Bok długości 6 daje podane pole, a stosunek boków 6 i 4 wynosi 3 do 2.

\[\frac{6^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3},\qquad\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\]

Fragment wykresu funkcji \(y=g(x)\) przedstawiono na rysunku
Fragment wykresu funkcji \(y=h(x)\) przedstawiono na rysunku