Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

1048 zadańStrona 2 z 70

Sortuj:

Zadanie 14.1

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg $(a_n)$ jest określony następująco:

\[\begin{cases}a_1=2\\a_{n+1}=a_n-6\end{cases}\quad\text{dla każdej liczby naturalnej }n\geq 1.\]

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Piąty wyraz ciągu $(a_n)$ jest równy

$(-4)$

$(-16)$

$(-22)$

$(-28)$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie kolejnych wyrazów

Z definicji ciągu każdy następny wyraz jest o 6 mniejszy od poprzedniego. Od pierwszego do piątego wyrazu wykonujemy cztery takie odejmowania.

\[a_2=2-6=-4,\quad a_3=-4-6=-10,\quad a_4=-10-6=-16,\quad a_5=-16-6=-22\]

Odpowiedź

Piąty wyraz ciągu wynosi −22. Odpowiedź C.

\[a_5=-22\]

Sprawdzenie

Różnica między czwartym a piątym wyrazem wynosi −6, zgodnie z definicją ciągu.

\[a_5-a_4=-22-(-16)=-6\]

Zadanie 14.2

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg $(a_n)$ jest określony następująco:

\[\begin{cases}a_1=2\\a_{n+1}=a_n-6\end{cases}\quad\text{dla każdej liczby naturalnej }n\geq 1.\]

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Ciąg $(a_n)$ jest arytmetyczny.	P	F
Ciąg $(a_n)$ jest malejący.	P	F

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rodzaj ciągu

W ciągu arytmetycznym różnica kolejnych wyrazów jest stała. Z podanego wzoru rekurencyjnego wynosi ona zawsze −6.

\[a_{n+1}-a_n=-6\]

2 Monotoniczność

Różnica jest ujemna dla każdego n ≥ 1, więc każdy następny wyraz jest mniejszy od poprzedniego.

\[a_{n+1}=a_n-6<a_n\]

Odpowiedź

Ciąg jest arytmetyczny — P. Ciąg jest malejący — P.

\[\boxed{\text{P, P}}\]

Sprawdzenie

Wzór ogólny daje pierwszy wyraz równy 2 oraz różnicę kolejnych wyrazów równą −6 dla każdego n ≥ 1, co potwierdza obie odpowiedzi.

\[a_n=2-6(n-1),\quad a_1=2,\quad a_{n+1}-a_n=-6<0\]

Zadanie 15

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Ciągi

Czterowyrazowy ciąg $(7, a_2, a_3, a_4)$ jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa $54$.

Oblicz drugi wyraz tego ciągu. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie różnicy ciągu

W ciągu arytmetycznym każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego o tę samą różnicę $r$. Zapisujemy sumę czterech wyrazów i obliczamy $r$.

\[7+(7+r)+(7+2r)+(7+3r)=54\quad\Rightarrow\quad 28+6r=54\quad\Rightarrow\quad r=\frac{13}{3}\]

2 Obliczenie drugiego wyrazu

Do pierwszego wyrazu dodajemy obliczoną różnicę.

\[a_2=7+\frac{13}{3}=\frac{34}{3}\]

Odpowiedź

Drugi wyraz ciągu wynosi $\frac{34}{3}$.

\[a_2=\frac{34}{3}\]

Sprawdzenie

Kolejne wyrazy otrzymane przez dodawanie różnicy $\frac{13}{3}$ sumują się do $54$.

\[7+\frac{34}{3}+\frac{47}{3}+20=54\]

Zadanie 16

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Pięciowyrazowy ciąg $(a_1, a_2, 2, a_4, a_5)$ jest geometryczny.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Iloczyn $a_1\cdot a_2\cdot 2\cdot a_4\cdot a_5$ jest równy

$2$

$16$

$32$

$64$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Połącz wyrazy symetryczne

W ciągu geometrycznym iloczyn wyrazów jednakowo oddalonych od środka jest kwadratem wyrazu środkowego.

\[a_1a_5=a_2a_4=a_3^2=2^2=4\]

2 Oblicz iloczyn

Grupujemy wyrazy w pary i uwzględniamy wyraz środkowy.

\[a_1a_2\cdot2\cdot a_4a_5=(a_1a_5)(a_2a_4)\cdot2=4\cdot4\cdot2=32\]

Odpowiedź

C. Iloczyn jest równy 32.

\[32\]

Sprawdzenie

Ponieważ trzeci wyraz wynosi 2, iloraz ciągu jest niezerowy. Zapisanie wyrazów za pomocą ilorazu potwierdza, że iloczyn zawsze wynosi 32.

\[\frac{2}{q^2}\cdot\frac{2}{q}\cdot2\cdot2q\cdot2q^2=32\quad(q\ne0)\]

Zadanie 17

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Dany jest trójkąt prostokątny o takim kącie $\alpha$, że $\sin\alpha=\frac{1}{4}$. Przeciwprostokątna tego trójkąta ma długość $8$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Krótsza przyprostokątna tego trójkąta ma długość

$1$

$2$

$4$

$2\sqrt{15}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie przyprostokątnej

Sinus kąta ostrego to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do długości przeciwprostokątnej. Oznaczając tę przyprostokątną przez $a$, obliczamy jej długość.

\[\sin\alpha=\frac{a}{8}=\frac{1}{4},\qquad a=8\cdot\frac{1}{4}=2\]

2 Porównanie przyprostokątnych

Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy drugą przyprostokątną, aby ustalić, która jest krótsza.

\[b=\sqrt{8^2-2^2}=\sqrt{60}=2\sqrt{15}>2\]

Odpowiedź

Krótsza przyprostokątna ma długość 2. Odpowiedź B.

\[2\]

Sprawdzenie

Dla przyprostokątnej długości 2 i przeciwprostokątnej długości 8 sinus kąta naprzeciw tej przyprostokątnej wynosi $\frac{1}{4}$. Druga przyprostokątna jest dłuższa od 2.

\[\frac{2}{8}=\frac{1}{4},\qquad 2^2+(2\sqrt{15})^2=4+60=64=8^2\]

Zadanie 18

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Punkty $A$, $B$, $C$ oraz $D$ leżą na okręgu o środku w punkcie $S$. Odcinek $BD$ jest średnicą tego okręgu oraz $|\angle ABD|=18^\circ$. Punkt $D$ leży na krótszym łuku $CA$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta ostrego $BCA$ jest równa

Okrąg o środku S z punktami B, C, D i A na obwodzie. Odcinek BD jest średnicą; zaznaczono kąt ABD równy 18° oraz kąt BCA.

$36^\circ$

$60^\circ$

$72^\circ$

$81^\circ$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Kąt oparty na średnicy

Kąt wpisany BAD opiera się na średnicy BD, więc jest prosty.

\[|\angle BAD|=90^\circ\]

2 Kąt w trójkącie ABD

Suma kątów w trójkącie wynosi 180°, zatem obliczamy kąt BDA.

\[|\angle BDA|=180^\circ-90^\circ-18^\circ=72^\circ\]

3 Kąty oparte na tym samym łuku

Kąty BDA i BCA są oparte na tym samym łuku BA, więc mają równe miary.

\[|\angle BCA|=|\angle BDA|=72^\circ\]

Odpowiedź

Kąt BCA ma miarę 72°. Poprawna odpowiedź: C.

\[|\angle BCA|=72^\circ\]

Sprawdzenie

Obliczone kąty trójkąta ABD sumują się do 180°, a wynik 72° jest kątem ostrym.

\[90^\circ+18^\circ+72^\circ=180^\circ\]

Zadanie 19

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Ramiona kąta o wierzchołku w punkcie $A$ przecięto dwiema prostymi równoległymi $k$ oraz $l$. Prosta $k$ przecina ramiona tego kąta w punktach $B$ oraz $C$. Prosta $l$ przecina ramiona tego kąta w punktach $D$ oraz $E$. Punkty $B$ oraz $D$ leżą na jednym ramieniu tego kąta, a punkty $C$ oraz $E$ leżą na drugim ramieniu tego kąta. Ponadto $|AB|=6$, $|BC|=4$ oraz $|BD|=2$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Odcinek $DE$ ma długość

Rysunek kąta o wierzchołku A przeciętego równoległymi prostymi k i l. Na ramionach zaznaczono punkty B, C, D, E oraz długości AB = 6, BC = 4 i BD = 2.

$\frac{8}{3}$

$\frac{16}{3}$

$6$

$8$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie długości AD

Punkty A, B i D leżą kolejno na jednym ramieniu kąta, więc dodajemy długości odcinków AB i BD.

\[|AD|=|AB|+|BD|=6+2=8\]

2 Zastosowanie podobieństwa trójkątów

Ponieważ k i l są równoległe, trójkąty ABC i ADE są podobne. Odpowiadające sobie boki są proporcjonalne.

\[\frac{|DE|}{|BC|}=\frac{|AD|}{|AB|},\qquad |DE|=4\cdot\frac{8}{6}=\frac{16}{3}\]

Odpowiedź

Odcinek DE ma długość 16/3. Odpowiedź B.

\[|DE|=\frac{16}{3}\]

Sprawdzenie

Stosunek długości DE do BC wynosi 4/3, tyle samo co stosunek AD do AB.

\[\frac{\frac{16}{3}}{4}=\frac{4}{3}=\frac{8}{6}\]

Zadanie 20

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

W trójkącie ostrokątnym $ABC$ punkt $D$ leży na boku $AB$, a punkt $E$ leży na boku $AC$. Odcinek $BE$ jest środkową trójkąta $ABC$, a odcinek $CD$ jest wysokością tego trójkąta. Ponadto odcinki $DB$ oraz $DE$ mają równe długości (zobacz rysunek).

Wykaż, że $|\angle CAB|=2\cdot|\angle ABE|$.

Trójkąt ABC z punktami D na boku AB i E na boku AC; zaznaczono odcinki BE, CD, DE i DB oraz kąty przy A i B.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Równe odcinki w trójkącie ACD

Ponieważ CD jest wysokością, trójkąt ACD jest prostokątny. Punkt E jest środkiem przeciwprostokątnej AC, gdyż BE jest środkową. Zatem E jest jednakowo odległy od A, C i D.

\[AE=DE=CE\]

2 Kąt przy D

Z równości AE=DE wynika, że trójkąt ADE jest równoramienny. Jeśli oznaczymy kąt CAB przez \alpha, to kąt ADE również ma miarę \alpha.

\[|\angle ADE|=|\angle EAD|=|\angle CAB|=\alpha\]

3 Kąty w trójkącie BDE

Z założenia DB=DE, więc kąty przy podstawie BE są równe. Kąt EBD to kąt ABE; oznaczmy jego miarę przez \beta. Kąty ADE i BDE są przyległe.

4 Suma kątów

Dodajemy kąty trójkąta BDE i upraszczamy otrzymaną równość.

\[\beta+\beta+(180^\circ-\alpha)=180^\circ\quad\Longrightarrow\quad\alpha=2\beta\]

Odpowiedź

Wykazano, że miara kąta CAB jest dwukrotnością miary kąta ABE.

\[|\angle CAB|=2|\angle ABE|\]

Sprawdzenie

Ponieważ trójkąt ABC jest ostrokątny, α leży między 0° a 90°, więc β=α/2 leży między 0° a 45°. Wyznaczone kąty trójkąta BDE są dodatnie i ich suma wynosi 180°.

\[\frac{\alpha}{2}+\frac{\alpha}{2}+(180^\circ-\alpha)=180^\circ\]

Zadanie 21

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Kąt o mierze $\alpha$ jest rozwarty oraz $\sin\alpha=\frac{3}{5}$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Cosinus kąta o mierze $\alpha$ jest równy

$\left(-\frac{4}{5}\right)$

$\left(-\frac{3}{4}\right)$

$\frac{3}{4}$

$\frac{4}{5}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie wartości bezwzględnej cosinusa

Korzystamy z tożsamości trygonometrycznej, aby wyznaczyć kwadrat cosinusa.

\[\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1,\quad \cos^2\alpha=1-\left(\frac{3}{5}\right)^2=\frac{16}{25}\]

2 Ustalenie znaku

Cosinus kąta rozwartego jest ujemny, więc wybieramy ujemny pierwiastek.

\[\cos\alpha=-\sqrt{\frac{16}{25}}=-\frac{4}{5}\]

Odpowiedź

A. Cosinus kąta α jest równy −4/5.

\[\cos\alpha=-\frac{4}{5}\]

Sprawdzenie

Otrzymane wartości spełniają tożsamość trygonometryczną, a ujemny znak cosinusa odpowiada kątowi rozwartemu.

\[\left(\frac{3}{5}\right)^2+\left(-\frac{4}{5}\right)^2=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1\]

Zadanie 22

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte3 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ dany jest równoległobok $ABCD$, w którym $D=(6,19)$. Bok $AB$ tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu $y=\frac{1}{2}x+9$, a bok $AD$ zawiera się w prostej o równaniu $y=4x-5$. Punkt $K=(10,14)$ jest środkiem odcinka $AB$. Przekątne równoległoboku $ABCD$ przecinają się w punkcie $S$.

Oblicz współrzędne punktu $S$. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie punktu A

Punkt A należy do obu prostych zawierających boki AB i AD, więc jego współrzędne spełniają oba równania.

\[\frac{1}{2}x+9=4x-5\quad\Rightarrow\quad 14=\frac{7}{2}x\quad\Rightarrow\quad x=4,\qquad y=4\cdot4-5=11.\]

2 Wyznaczenie punktu B

Punkt K jest środkiem odcinka AB, dlatego z jego współrzędnych i współrzędnych A obliczamy B.

\[\left(\frac{4+x_B}{2},\frac{11+y_B}{2}\right)=(10,14)\quad\Rightarrow\quad x_B=16,\ y_B=17.\]

3 Wyznaczenie punktu S

Przekątne równoległoboku dzielą się na połowy, więc S jest środkiem przekątnej BD.

\[S=\left(\frac{16+6}{2},\frac{17+19}{2}\right)=(11,18).\]

Odpowiedź

Punkt S ma współrzędne (11,18).

\[S=(11,18)\]

Sprawdzenie

Punkt B=(16,17) leży na prostej AB, ponieważ połowa z 16 plus 9 daje 17. Środek odcinka BD o końcach (16,17) i (6,19) ma współrzędne (11,18).

\[\frac{1}{2}\cdot16+9=17,\qquad \left(\frac{16+6}{2},\frac{17+19}{2}\right)=(11,18).\]

Zadanie 23

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ punkty $A=(-3,1)$ oraz $B=(1,-3)$ są kolejnymi wierzchołkami kwadratu $ABCD$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Obwód kwadratu $ABCD$ jest równy

$4\sqrt{2}$

$16\sqrt{2}$

$16$

$32$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie długości boku

Punkty A i B są kolejnymi wierzchołkami, więc odcinek AB jest bokiem kwadratu. Jego długość obliczamy ze wzoru na odległość punktów.

\[|AB|=\sqrt{(1-(-3))^2+(-3-1)^2}=\sqrt{4^2+(-4)^2}=4\sqrt{2}\]

2 Obliczenie obwodu

Kwadrat ma cztery boki jednakowej długości, więc mnożymy długość AB przez 4.

\[O=4|AB|=4\cdot4\sqrt{2}=16\sqrt{2}\]

Odpowiedź

Obwód wynosi 16√2. Odpowiedź B.

\[O=16\sqrt{2}\]

Sprawdzenie

Różnice współrzędnych wynoszą 4 i −4, zatem kwadrat długości boku to 16+16=32. Obliczona długość 4√2 również ma kwadrat równy 32.

\[(4\sqrt{2})^2=32=4^2+(-4)^2\]

Zadanie 24

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ odcinek o końcach $A=(1,1)$ oraz $B=(3,-1)$ jest średnicą okręgu $O$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Okrąg $O$ jest określony równaniem

$(x-1)^2+(y-1)^2=8$

$x^2+(y-2)^2=2$

$(x-2)^2+y^2=2$

$(x-2)^2+y^2=8$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie środka

Środek okręgu jest środkiem odcinka będącego średnicą.

\[S=\left(\frac{1+3}{2},\frac{1+(-1)}{2}\right)=(2,0)\]

2 Obliczenie promienia

Promień jest odległością środka od końca średnicy.

\[r^2=(1-2)^2+(1-0)^2=2\]

3 Zapisanie równania

Podstawiamy współrzędne środka i kwadrat promienia do równania okręgu.

\[(x-2)^2+y^2=2\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[(x-2)^2+y^2=2\]

Sprawdzenie

Oba końce średnicy spełniają otrzymane równanie.

\[A:\ (1-2)^2+1^2=2,\qquad B:\ (3-2)^2+(-1)^2=2\]

Zadanie 25

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Każda z krawędzi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość $12$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wysokość tego ostrosłupa jest równa

$2\sqrt{3}$

$3\sqrt{2}$

$2\sqrt{6}$

$6\sqrt{2}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie odległości środka podstawy od wierzchołka kwadratu

Jest to połowa przekątnej kwadratu o boku 12.

\[d=12\sqrt{2},\qquad r=\frac{d}{2}=6\sqrt{2}\]

2 Obliczenie wysokości

Wysokość, odcinek o długości r i krawędź boczna tworzą trójkąt prostokątny. Stosujemy twierdzenie Pitagorasa.

\[h^2+(6\sqrt{2})^2=12^2,\qquad h=\sqrt{144-72}=6\sqrt{2}\]

Odpowiedź

Wysokość wynosi $6\sqrt{2}$. Odpowiedź D.

\[h=6\sqrt{2}\]

Sprawdzenie

Otrzymana wysokość jest dodatnia, a suma kwadratów przyprostokątnych równa się kwadratowi krawędzi bocznej.

\[(6\sqrt{2})^2+(6\sqrt{2})^2=72+72=144=12^2\]

Zadanie 26

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Tworząca stożka o promieniu podstawy $3$ ma długość $6$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Pole powierzchni bocznej tego stożka jest dwukrotnie większe od pola jego podstawy.	P	F
Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę $60^\circ$.	P	F

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Porównanie pól

Pole powierzchni bocznej stożka obliczamy ze wzoru $P_b=\pi rl$, a pole podstawy ze wzoru $P_p=\pi r^2$. Ich iloraz pozwala ocenić pierwsze stwierdzenie.

\[P_b=\pi\cdot3\cdot6=18\pi,\quad P_p=\pi\cdot3^2=9\pi,\quad P_b=2P_p\]

2 Kąt rozwarcia

Przekrój osiowy tworzy trójkąt równoramienny. Jego wysokość dzieli kąt rozwarcia $\alpha$ na połowy, a w powstałym trójkącie prostokątnym promień jest przyprostokątną naprzeciw kąta $\frac{\alpha}{2}$.

\[\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{r}{l}=\frac{3}{6}=\frac12,\quad \frac{\alpha}{2}=30^\circ,\quad \alpha=60^\circ\]

Odpowiedź

Pierwsze stwierdzenie: P. Drugie stwierdzenie: P.

\[P_b=2P_p,\quad \alpha=60^\circ\]

Sprawdzenie

Iloraz pól wynosi 2. W przekroju osiowym połowa kąta 60° wynosi 30°, a sinus tego kąta jest równy stosunkowi promienia do tworzącej, czyli 1/2.

\[\frac{18\pi}{9\pi}=2,\quad \sin30^\circ=\frac12=\frac36\]

Zadanie 27

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Stereometria

Odcinek $AD$ jest wysokością walca, a odcinek $AB$ jest średnicą podstawy walca. Odcinek $BD$ ma długość $4\sqrt{3}$. Miara kąta $ABD$ jest równa $30^\circ$ (zobacz rysunek).

Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego walca. Zapisz obliczenia.

$Walec z zaznaczonym trójkątem ABD. AD jest wysokością walca, AB średnicą podstawy, BD ma długość $4\sqrt{3}$, a kąt ABD ma miarę $30^\circ$.$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wysokości i promienia

Wysokość walca AD jest prostopadła do średnicy podstawy AB, więc trójkąt ABD jest prostokątny w A. Z definicji sinusa i cosinusa kąta 30° obliczamy jego przyprostokątne, a promień jest połową średnicy.

\[AD=BD\sin 30^\circ=4\sqrt{3}\cdot\frac12=2\sqrt{3},\quad AB=BD\cos 30^\circ=4\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}2=6,\quad r=\frac{AB}{2}=3\]

2 Obliczenie objętości

Objętość walca to pole podstawy pomnożone przez wysokość.

\[V=\pi r^2h=\pi\cdot 3^2\cdot 2\sqrt{3}=18\sqrt{3}\pi\]

3 Obliczenie pola powierzchni całkowitej

Dodajemy pola dwóch podstaw i powierzchni bocznej walca.

\[P_c=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi\cdot 3^2+2\pi\cdot 3\cdot 2\sqrt{3}=(18+12\sqrt{3})\pi\]

Odpowiedź

Objętość walca wynosi $18\sqrt{3}\pi$ jednostek sześciennych, a pole powierzchni całkowitej wynosi $(18+12\sqrt{3})\pi$ jednostek kwadratowych.

\[V=18\sqrt{3}\pi,\qquad P_c=(18+12\sqrt{3})\pi\]

Sprawdzenie

Obliczone długości spełniają twierdzenie Pitagorasa, a stosunek wysokości do średnicy daje wymagany kąt 30°.

\[(2\sqrt{3})^2+6^2=12+36=48=(4\sqrt{3})^2,\qquad \frac{AD}{BD}=\frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}=\frac12=\sin 30^\circ\]

Ciąg \((a_n)\) jest arytmetyczny.	P	F
Ciąg \((a_n)\) jest malejący.	P	F

Pole powierzchni bocznej tego stożka jest dwukrotnie większe od pola jego podstawy.	P	F
Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę \(60^\circ\).	P	F