Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

1048 zadańStrona 6 z 70

Sortuj:

Zadanie 7

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Liczby rzeczywiste

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $n$ liczba $7n^2+21n$ jest podzielna przez $14$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyłącz 7 przed nawias

Aby wykazać podzielność przez 14, wystarczy wykazać, że pozostały czynnik jest parzysty.

\[7n^2+21n=7n(n+3)\]

2 Wykaż parzystość iloczynu

Liczby całkowite n i n+3 mają różną parzystość, więc jedna z nich jest parzysta. Ich iloczyn można zatem zapisać jako 2k dla pewnej liczby całkowitej k.

\[n(n+3)=2k\quad(k\in\mathbb{Z})\]

3 Zapisz liczbę jako wielokrotność 14

Po podstawieniu otrzymujemy liczbę podzielną przez 14.

\[7n^2+21n=7\cdot2k=14k\]

Odpowiedź

Dla każdej liczby całkowitej n liczba 7n²+21n jest podzielna przez 14.

\[14\mid(7n^2+21n)\quad\text{dla każdego }n\in\mathbb{Z}\]

Sprawdzenie

Jeśli n jest parzyste, parzysty jest czynnik n. Jeśli n jest nieparzyste, parzysty jest czynnik n+3. Obejmuje to każdą liczbę całkowitą, więc w obu przypadkach n(n+3) jest parzyste.

\[n\equiv0\pmod 2\ \lor\ n+3\equiv0\pmod 2\]

Zadanie 8

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Dane jest równanie $3(x+3)(x-m)(2x+4)=0$, gdzie $x$ jest niewiadomą, natomiast $m$ jest pewną liczbą rzeczywistą.

Suma wszystkich rozwiązań tego równania jest równa $0$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $m$ jest równa

$-7$

$2$

$5$

$7$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie rozwiązań

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden jego czynnik jest równy zeru.

\[x+3=0\ \lor\ x-m=0\ \lor\ 2x+4=0\quad\Longrightarrow\quad x=-3\ \lor\ x=m\ \lor\ x=-2\]

2 Obliczenie parametru

Suma rozwiązań wynosi zero. Dla wartości z odpowiedzi są to trzy różne liczby.

\[-3+m-2=0\quad\Longrightarrow\quad m=5\]

Odpowiedź

Liczba m jest równa 5. Odpowiedź C.

\[m=5\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu m = 5 rozwiązania to −3, −2 i 5. Są różne, a ich suma wynosi 0.

\[-3+(-2)+5=0\]

Zadanie 9

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Rozwiązaniem równania $\frac{x+2}{3x-1}=\frac{2}{5}$ jest liczba

$\frac{1}{3}$

$\frac{8}{11}$

$3$

$12$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek

Mianownik nie może być zerem.

\[3x-1\ne 0\quad\Longrightarrow\quad x\ne\frac{1}{3}\]

2 Rozwiązanie równania

Mnożymy obie strony przez $5(3x-1)$, a następnie rozwiązujemy równanie liniowe.

\[5(x+2)=2(3x-1)\quad\Longrightarrow\quad 5x+10=6x-2\quad\Longrightarrow\quad x=12\]

Odpowiedź

Rozwiązaniem jest liczba 12, czyli odpowiedź D.

\[x=12\]

Sprawdzenie

Liczba 12 spełnia warunek. Po podstawieniu obie strony równania są równe.

\[3\cdot12-1=35\ne0,\qquad \frac{12+2}{3\cdot12-1}=\frac{14}{35}=\frac{2}{5}\]

Zadanie 10

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

Rozwiąż nierówność $3x^2+4x\geq 6x+8$.

Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przenieś wyrazy na jedną stronę

Odejmujemy $6x+8$ od obu stron, aby porównać trójmian z zerem.

\[3x^2+4x\geq 6x+8\iff 3x^2-2x-8\geq 0\]

2 Rozłóż trójmian na czynniki

Iloczyn pozwala wyznaczyć miejsca zerowe i znak wyrażenia.

\[3x^2-2x-8=(3x+4)(x-2),\qquad x_1=-\frac{4}{3},\quad x_2=2\]

3 Wyznacz przedziały rozwiązania

Iloczyn jest nieujemny, gdy oba czynniki mają ten sam znak. Włączamy miejsca zerowe, ponieważ nierówność jest nieostra.

\[(3x+4)(x-2)\geq 0\iff x\leq-\frac{4}{3}\ \text{lub}\ x\geq 2\]

Odpowiedź

Rozwiązaniem jest suma dwóch przedziałów.

\[x\in\left(-\infty,-\frac{4}{3}\right]\cup[2,\infty)\]

Sprawdzenie

Dla obu końców przedziałów iloczyn wynosi zero. Dla $x=0$, leżącego między miejscami zerowymi, wynosi $-8<0$; poza nimi czynniki mają jednakowe znaki, więc iloczyn jest dodatni.

\[(3x+4)(x-2)=0\ \text{dla}\ x=-\frac{4}{3}\ \text{i}\ x=2;\qquad (3\cdot0+4)(0-2)=-8<0\]

Zadanie 11

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Układy równań

Na przedstawienie w pewnym teatrze sprzedawano bilety według poniższego cennika.

CENNIK BILETÓW
Rodzaj biletu	Cena w złotych
Normalny	35
Ulgowy	25

Na to przedstawienie sprzedano łącznie $200$ biletów. Po opłaceniu kosztów związanych z organizacją przedstawienia w wysokości $25\%$ wpływów ze sprzedaży biletów organizatorom pozostało $4665$ zł.

Oblicz liczbę biletów ulgowych sprzedanych na to przedstawienie. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie wpływów

Po opłaceniu kosztów pozostało 75% wpływów, więc z tej kwoty obliczamy całe wpływy.

\[W=\frac{4665}{0{,}75}=6220\ \text{zł}\]

2 Ułożenie równania

Jeśli sprzedano x biletów ulgowych, to normalnych sprzedano 200-x. Suma kwot za oba rodzaje biletów wynosi 6220 zł.

\[25x+35(200-x)=6220\]

3 Rozwiązanie równania

Upraszczamy równanie, aby wyznaczyć liczbę biletów ulgowych.

\[25x+7000-35x=6220\quad\Longrightarrow\quad 10x=780\quad\Longrightarrow\quad x=78\]

Odpowiedź

Sprzedano 78 biletów ulgowych.

\[x=78\]

Sprawdzenie

Pozostałe 122 bilety były normalne. Wpływy wyniosły 6220 zł, a po odjęciu 25% kosztów pozostało 4665 zł.

\[78+122=200,\quad 78\cdot25+122\cdot35=6220,\quad 0{,}75\cdot6220=4665\]

Zadanie 12.1

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Funkcje

Funkcja $f$ jest określona następująco:

\[f(x)=\begin{cases}x+2 & \text{dla }x\in[-4,2]\\-x+5 & \text{dla }x\in(2,5)\end{cases}\]

Wykres funkcji $y=f(x)$ przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ na rysunku poniżej.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

Rozwiązaniem równania $f(x)=3$ jest liczba ……… .
Największa wartość funkcji $f$ w przedziale $[2,3]$ jest równa ……… .

Wykres funkcji y=f(x) w układzie współrzędnych, z zaznaczonymi końcami obu odcinków.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozwiązanie równania

Rozwiązujemy równanie osobno dla każdej części definicji i sprawdzamy, czy otrzymane liczby należą do odpowiednich przedziałów.

\[x+2=3\Rightarrow x=1\in[-4,2];\qquad -x+5=3\Rightarrow x=2\notin(2,5).\]

2 Największa wartość

Dla x=2 obowiązuje pierwszy wzór, więc f(2)=4. Na pozostałej części przedziału [2,3] obowiązuje wzór -x+5, który przy x>2 daje wartości mniejsze od 3.

\[f(2)=2+2=4,\qquad 2<x\leq 3\Rightarrow f(x)=-x+5<3<4.\]

Odpowiedź

W puste miejsca należy wpisać kolejno 1 i 4.

\[1.\ x=1;\qquad 2.\ \max_{x\in[2,3]}f(x)=4\]

Sprawdzenie

Liczba 1 należy do dziedziny i f(1)=3. Liczba 2 nie należy do drugiego przedziału, a f(2)=4. Dla każdego x z (2,3] wartość funkcji jest mniejsza od 3, więc 4 jest największą wartością na [2,3].

\[f(1)=1+2=3,\qquad f(2)=2+2=4,\qquad x\in(2,3]\Rightarrow f(x)<3<4.\]

Zadanie 12.2

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Funkcje

Funkcja $f$ jest określona następująco:

\[f(x)=\begin{cases}x+2 & \text{dla } x\in[-4,2],\\-x+5 & \text{dla } x\in(2,5).\end{cases}\]

Wykres funkcji $y=f(x)$ przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ na rysunku poniżej.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział ………………… .
Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartości większe od $1$, jest przedział ………………… .

Wykres funkcji y=f(x) w układzie współrzędnych, z oznaczonymi końcami odcinków.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zbiór wartości

Pierwsza część funkcji rośnie od wartości −2 do 4, a druga przyjmuje wartości od 0 do 3 bez końców. Razem daje to przedział od −2 do 4 z oboma końcami.

\[f([-4,2])=[-2,4],\quad f((2,5))=(0,3),\quad W_f=[-2,4]\]

2 Wartości większe od 1

Rozwiązujemy nierówność osobno dla każdego wzoru i uwzględniamy jego dziedzinę. Następnie łączymy otrzymane przedziały.

\[\begin{aligned}x+2>1&\iff x>-1 &&\Rightarrow x\in(-1,2],\\-x+5>1&\iff x<4 &&\Rightarrow x\in(2,4).\end{aligned}\quad (-1,2]\cup(2,4)=(-1,4)\]

Odpowiedź

1. Zbiór wartości: [−2, 4]. 2. Argumenty, dla których f(x) > 1: (−1, 4).

\[W_f=[-2,4],\qquad \{x:f(x)>1\}=(-1,4)\]

Sprawdzenie

Wartości −2 i 4 są osiągane odpowiednio dla x = −4 i x = 2. Na granicach drugiego przedziału argumentów, x = −1 i x = 4, funkcja ma wartość 1, więc nie należą one do rozwiązania nierówności.

\[f(-4)=-2,\quad f(2)=4,\quad f(-1)=1,\quad f(4)=1\]

Zadanie 13.1

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=ax+b$, gdzie $a$ i $b$ są pewnymi liczbami rzeczywistymi. W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ przedstawiono fragment wykresu funkcji $f$. Każdy z punktów przecięcia wykresu funkcji $f$ z osiami układu współrzędnych ma obie współrzędne całkowite. Wykres funkcji $f$ jest nachylony do osi $Ox$ układu współrzędnych pod kątem o mierze $\alpha$ (zobacz rysunek).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Współczynnik $a$ we wzorze funkcji $f$ jest liczbą dodatnią.	P	F
Współczynnik $b$ we wzorze funkcji $f$ jest liczbą dodatnią.	P	F

Fragment wykresu funkcji liniowej y=f(x) w układzie współrzędnych, z oznaczonym kątem α.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczyt punktów przecięcia

Aby wyznaczyć współczynniki funkcji, odczytujemy z wykresu jej przecięcia z osiami.

\[(-2,0),\quad(0,-3)\]

2 Wyznaczenie współczynników

Współczynnik kierunkowy obliczamy z dwóch punktów, a wyraz wolny jest wartością funkcji dla x=0.

\[a=\frac{-3-0}{0-(-2)}=-\frac{3}{2}<0,\qquad b=f(0)=-3<0\]

Odpowiedź

Oba stwierdzenia są fałszywe: 1. F, 2. F.

\[a=-\frac{3}{2}<0,\qquad b=-3<0\]

Sprawdzenie

Funkcja o wyznaczonych współczynnikach przecina oś Ox w punkcie (-2,0), a oś Oy w punkcie (0,-3), zgodnie z wykresem.

\[f(-2)=-\frac{3}{2}\cdot(-2)-3=0,\qquad f(0)=-3\]

Zadanie 13.2

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Tangens kąta o mierze $\alpha$ jest równy

$Fragment wykresu funkcji $y=f(x)$ w układzie współrzędnych z zaznaczonym kątem $\alpha$.$

$-\frac{3}{2}$

$-\frac{2}{3}$

$\frac{2}{3}$

$\frac{3}{2}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczytanie punktów

Z wykresu odczytujemy całkowite współrzędne punktów przecięcia prostej z osiami.

\[P=(-2,0),\quad Q=(0,-3)\]

2 Obliczenie tangensa

Tangens kąta nachylenia prostej do osi Ox jest równy jej współczynnikowi kierunkowemu.

\[\tan\alpha=a=\frac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P}=\frac{-3-0}{0-(-2)}=-\frac{3}{2}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[\tan\alpha=-\frac{3}{2}\]

Sprawdzenie

Prosta opada w prawo, więc jej współczynnik kierunkowy i tangens zaznaczonego kąta rozwartego są ujemne. Obliczona wartość spełnia ten warunek.

\[-\frac{3}{2}<0\]

Zadanie 14

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Funkcje

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ wykresem funkcji kwadratowej $f$ jest parabola o wierzchołku w punkcie $W=(3,-2)$. Funkcja kwadratowa $g$ jest określona za pomocą funkcji $f$ wzorem $g(x)=f(x+1)$. Jednym z miejsc zerowych funkcji $g$ jest liczba $0$.

Wyznacz wzór funkcji $f$ w postaci ogólnej. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Postać kanoniczna

Wierzchołek paraboli ma współrzędne $W=(3,-2)$, więc zapisujemy funkcję w postaci kanonicznej.

\[f(x)=a(x-3)^2-2\]

2 Wyznaczenie współczynnika

Skoro $0$ jest miejscem zerowym funkcji $g$, to $g(0)=f(1)=0$. Podstawiamy $x=1$, aby obliczyć $a$.

\[0=a(1-3)^2-2=4a-2\quad\Longrightarrow\quad a=\frac12\]

3 Postać ogólna

Rozwijamy kwadrat i porządkujemy wyrazy.

\[f(x)=\frac12(x-3)^2-2=\frac12(x^2-6x+9)-2=\frac12x^2-3x+\frac52\]

Odpowiedź

Wzór funkcji f w postaci ogólnej to:

\[f(x)=\frac12x^2-3x+\frac52\]

Sprawdzenie

Po zapisaniu otrzymanej funkcji w postaci kanonicznej widać, że jej wierzchołek to $W=(3,-2)$. Ponadto $g(0)=f(1)=0$, więc podane miejsce zerowe się zgadza.

\[f(x)=\frac12(x-3)^2-2,\qquad g(0)=f(1)=\frac12(1-3)^2-2=0\]

Zadanie 15

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte3 pkt

Ciągi

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n=3n+5$ dla każdej liczby naturalnej $n\geq 1$. Trzywyrazowy ciąg $(a_1,a_9,a_k)$ jest geometryczny.

Oblicz $k$. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie znanych wyrazów

Podstawiamy indeksy 1 i 9 do wzoru ciągu.

\[a_1=3\cdot1+5=8,\qquad a_9=3\cdot9+5=32\]

2 Wyznaczenie trzeciego wyrazu

W ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu jest iloczynem wyrazów skrajnych.

\[a_9^2=a_1a_k,\qquad 32^2=8a_k,\qquad a_k=128\]

3 Obliczenie indeksu

Korzystamy ze wzoru na wyraz o indeksie k.

\[3k+5=128,\qquad 3k=123,\qquad k=41\]

Odpowiedź

k = 41

\[k=41\]

Sprawdzenie

Dla k = 41 trzeci wyraz wynosi 128. Ilorazy kolejnych wyrazów są równe 4, a indeks 41 jest liczbą naturalną większą od 1.

\[a_{41}=3\cdot41+5=128,\qquad \frac{32}{8}=\frac{128}{32}=4\]

Zadanie 16

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg arytmetyczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\geq 1$. W tym ciągu $a_1=1$ oraz $a_5=17$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dziewiąty wyraz ciągu $(a_n)$ jest równy

$29$

$33$

$34$

$37$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie różnicy ciągu

W ciągu arytmetycznym każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego o tę samą liczbę. Od pierwszego do piątego wyrazu są cztery takie przyrosty.

\[a_5=a_1+4r,\quad 17=1+4r,\quad r=4\]

2 Obliczenie dziewiątego wyrazu

Od pierwszego do dziewiątego wyrazu są osiem przyrostów równych 4.

\[a_9=a_1+8r=1+8\cdot4=33\]

Odpowiedź

Dziewiąty wyraz wynosi 33. Odpowiedź B.

\[a_9=33\]

Sprawdzenie

Przy różnicy 4 piąty wyraz wynosi 17, zgodnie z treścią zadania.

\[a_5=1+4\cdot4=17\]

Zadanie 17

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte1 pkt

Ciągi

Ciąg geometryczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\geq 1$. Wyrazy trzeci i szósty tego ciągu spełniają warunek $a_3\cdot a_6=18$.

Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.

Iloczyn $a_2\cdot a_7$ jest równy ……… .

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz wyrazy ciągu

W ciągu geometrycznym każdy wyraz ma postać $a_n=a_1q^{n-1}$.

\[a_3a_6=(a_1q^2)(a_1q^5)=a_1^2q^7=18\]

2 Oblicz szukany iloczyn

Suma wykładników dla wyrazów drugiego i siódmego również wynosi $7$, więc ich iloczyn jest taki sam.

\[a_2a_7=(a_1q)(a_1q^6)=a_1^2q^7=18\]

Odpowiedź

W wykropkowanym miejscu należy wpisać 18.

\[a_2a_7=18\]

Sprawdzenie

W obu iloczynach czynnikami są dwa razy $a_1$, a wykładniki ilorazu sumują się do $7$: odpowiednio $2+5$ i $1+6$. Zatem oba iloczyny są równe dla każdego ciągu spełniającego podany warunek.

\[a_3a_6=a_1^2q^{2+5}=a_1^2q^{1+6}=a_2a_7=18\]

Zadanie 18

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$, w którym bok $AC$ jest przeciwprostokątną oraz $|BC|=2$ i $|AC|=2\sqrt{10}$. Oznaczmy kąt $BCA$ przez $\gamma$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Sinus kąta $\gamma$ jest równy

Trójkąt prostokątny ABC z kątem prostym przy B i kątem γ przy C. Przeciwprostokątna AC ma oznaczenie 2√10, a bok BC oznaczenie 2.

$\frac{1}{\sqrt{10}}$

$\frac{1}{3}$

$\frac{3}{\sqrt{10}}$

$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{11}}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie boku AB

Ponieważ AC jest przeciwprostokątną, z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość boku leżącego naprzeciw kąta γ.

\[|AB|^2=|AC|^2-|BC|^2=(2\sqrt{10})^2-2^2=40-4=36,\quad |AB|=6\]

2 Obliczenie sinusa

Sinus kąta ostrego to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw niego do długości przeciwprostokątnej.

\[\sin\gamma=\frac{|AB|}{|AC|}=\frac{6}{2\sqrt{10}}=\frac{3}{\sqrt{10}}\]

Odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C.

\[\sin\gamma=\frac{3}{\sqrt{10}}\]

Sprawdzenie

Dla tego kąta cosinus wynosi 1/√10. Suma kwadratów otrzymanego sinusa i cosinusa jest równa 1.

\[\cos\gamma=\frac{2}{2\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{10}},\quad \left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)^2=\frac{9}{10}+\frac{1}{10}=1\]

Zadanie 19

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Punkty $A$, $B$, $C$ oraz $D$ leżą na okręgu o środku w punkcie $O$. Punkt $B$ leży na krótszym łuku $AC$. Kąt $CDA$ ma miarę $50^\circ$, a kąt $COB$ ma miarę $30^\circ$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta ostrego $BOA$ jest równa

Okrąg o środku O z punktami A, B, C i D. Zaznaczono kąt CDA równy 50°, kąt COB równy 30° oraz zacieniowano kąt BOA.

$50^\circ$

$60^\circ$

$70^\circ$

$100^\circ$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie kąta środkowego AOC

Kąt środkowy oparty na łuku AC jest dwa razy większy od kąta wpisanego CDA opartego na tym samym łuku.

\[\angle AOC=2\angle CDA=2\cdot50^\circ=100^\circ\]

2 Obliczenie kąta BOA

Punkt B leży na krótszym łuku AC, więc kąt AOC jest sumą kątów AOB i BOC.

\[\angle BOA=\angle AOC-\angle COB=100^\circ-30^\circ=70^\circ\]

Odpowiedź

Kąt BOA ma miarę 70°. Odpowiedź C.

\[\boxed{70^\circ\text{ — C}}\]

Sprawdzenie

Suma otrzymanego kąta BOA i danego kąta COB wynosi 100°, czyli tyle, ile kąt AOC. Kąt 70° jest ostry.

\[70^\circ+30^\circ=100^\circ\]

Współczynnik \(a\) we wzorze funkcji \(f\) jest liczbą dodatnią.	P	F
Współczynnik \(b\) we wzorze funkcji \(f\) jest liczbą dodatnią.	P	F