Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

420 zadańStrona 18 z 28

Sortuj:

Zadanie 17

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

63%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Obwód trójkąta $ABC$, przedstawionego na rysunku, jest równy

Trójkąt ABC z kątem 30° przy A i kątem prostym przy B. Bok BC oznaczono jako a.

$\left(3+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)a$

$\left(2+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)a$

$(3+\sqrt{3})a$

$(2+\sqrt{2})a$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie przeciwprostokątnej

Trójkąt jest prostokątny, a bok BC leży naprzeciw kąta 30°. Z definicji sinusa wyznaczamy AC.

\[\sin 30^\circ=\frac{BC}{AC}=\frac{a}{AC}=\frac12,\qquad AC=2a\]

2 Obliczenie drugiej przyprostokątnej

Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość AB.

\[AB^2=AC^2-BC^2=(2a)^2-a^2=3a^2,\qquad AB=\sqrt3a\]

3 Obliczenie obwodu

Dodajemy długości trzech boków.

\[P=AB+BC+AC=\sqrt3a+a+2a=(3+\sqrt3)a\]

Odpowiedź

Obwód wynosi (3+√3)a. Poprawna odpowiedź: C.

\[P=(3+\sqrt3)a\quad\text{— C}\]

Sprawdzenie

Dla dodatniej długości a otrzymane boki spełniają twierdzenie Pitagorasa, a stosunek boku naprzeciw kąta 30° do przeciwprostokątnej wynosi 1/2.

\[a^2+(\sqrt3a)^2=(2a)^2,\qquad \frac{a}{2a}=\frac12\]

Zadanie 7

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

62%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Równanie $2x(x+3)(x^2+25)=0$ w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

dwa rozwiązania: $(-3)$ oraz $0$.

dwa rozwiązania: $(-3)$ oraz $2$.

trzy rozwiązania: $(-5)$, $(-3)$ oraz $0$.

cztery rozwiązania: $(-5)$, $(-3)$, $0$ oraz $5$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie zasady iloczynu zerowego

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy zeru. Stała 2 nie jest zerem.

\[2x(x+3)(x^2+25)=0\iff x=0\ \lor\ x+3=0\ \lor\ x^2+25=0\]

2 Wyznaczenie rozwiązań rzeczywistych

Dwa pierwsze równania dają 0 i −3. Ponieważ kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny, trzeci czynnik nie może być zerem.

\[x=0\quad\lor\quad x=-3,\qquad x^2+25\ge 25>0\]

Odpowiedź

Równanie ma dokładnie dwa rozwiązania: −3 oraz 0. Odpowiedź A.

\[\boxed{x\in\{-3,0\}\quad\text{— A}}\]

Sprawdzenie

Dla x = 0 zeruje się czynnik x, a dla x = −3 czynnik x + 3. Dla każdej liczby rzeczywistej czynnik x² + 25 jest dodatni, więc innych rozwiązań nie ma.

\[2\cdot 0\cdot(0+3)(0^2+25)=0,\qquad 2\cdot(-3)\cdot(-3+3)((-3)^2+25)=0\]

Zadanie 12.1

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Funkcje

62%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f$ (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne $(3,6)$. Ta parabola przecina oś $Oy$ w punkcie o współrzędnych $(0,3)$.

Wyznacz wzór funkcji $f$ w postaci kanonicznej. Zapisz obliczenia.

$Fragment wykresu funkcji kwadratowej w układzie współrzędnych, z osiami, podziałką i oznaczeniem $y=f(x)$.$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie postaci kanonicznej

Współrzędne wierzchołka $(3,6)$ wyznaczają postać kanoniczną funkcji; pozostaje obliczyć współczynnik $a$.

\[f(x)=a(x-3)^2+6\]

2 Wyznaczenie współczynnika

Punkt $(0,3)$ należy do paraboli, więc podstawiamy jego współrzędne do wzoru.

\[3=a(0-3)^2+6=9a+6\quad\Rightarrow\quad 9a=-3\quad\Rightarrow\quad a=-\frac{1}{3}\]

Odpowiedź

Wzór funkcji w postaci kanonicznej:

\[f(x)=-\frac{1}{3}(x-3)^2+6\]

Sprawdzenie

Dla $x=0$ otrzymujemy $f(0)=3$, a dla $x=3$ otrzymujemy $f(3)=6$. Współczynnik przy kwadracie jest ujemny, więc wierzchołek jest maksimum, zgodnie z rysunkiem.

\[f(0)=-\frac{1}{3}\cdot 9+6=3,\qquad f(3)=-\frac{1}{3}\cdot 0+6=6\]

Zadanie 14.3

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

62%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f$ (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla funkcji $f$ prawdziwa jest równość

Wykres funkcji kwadratowej y=f(x) w układzie współrzędnych.

$f(-4)=f(6)$

$f(-4)=f(5)$

$f(-4)=f(4)$

$f(-4)=f(7)$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczytanie osi symetrii

Wierzchołek paraboli ma współrzędne (1, 9), więc osią symetrii jest prosta x=1.

\[x=1\]

2 Wyznaczenie argumentu o tej samej wartości

Punkty wykresu leżące w równej odległości od osi symetrii mają tę samą wartość funkcji. Liczba -4 leży 5 jednostek na lewo od osi, zatem odpowiada jej liczba 6.

\[1-(-4)=5,\qquad 1+5=6,\qquad f(-4)=f(6)\]

Odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A.

\[f(-4)=f(6)\]

Sprawdzenie

Średnia argumentów -4 i 6 wynosi 1, więc punkty o tych argumentach są symetryczne względem osi paraboli.

\[\frac{-4+6}{2}=1\]

Zadanie 19

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

62%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Punkty $A, B, C$ leżą na okręgu o środku w punkcie $O$. Kąt $ACO$ ma miarę $70^\circ$ (zobacz rysunek).

Miara kąta ostrego $ABC$ jest równa

Okrąg o środku O z punktami A, B i C oraz zaznaczonym kątem ACO o mierze 70°.

$10^\circ$

$20^\circ$

$35^\circ$

$40^\circ$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie kąta środkowego

Promienie $OA$ i $OC$ są równe, więc trójkąt $AOC$ jest równoramienny. Oba kąty przy podstawie mają po $70^\circ$.

\[\angle AOC=180^\circ-70^\circ-70^\circ=40^\circ\]

2 Obliczenie kąta wpisanego

Kąt $ABC$ i kąt środkowy $AOC$ są oparte na tym samym łuku $AC$, więc kąt wpisany ma połowę miary kąta środkowego.

\[\angle ABC=\frac{1}{2}\angle AOC=\frac{40^\circ}{2}=20^\circ\]

Odpowiedź

Miara kąta ABC wynosi 20°. Odpowiedź B.

\[\angle ABC=20^\circ\]

Sprawdzenie

Kąt środkowy ma 40°, więc oparty na tym samym łuku kąt wpisany ma 20°. Wynik jest kątem ostrym.

\[2\cdot20^\circ=40^\circ\]

Zadanie 9

Matura 2022 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

62%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$.

Iloczyn $f(-3)\cdot f(0)\cdot f(4)$ jest równy

Wykres funkcji f w układzie współrzędnych: odcinek poziomy od (-8,-3) do (-4,-3), odcinek rosnący do (3,4) i odcinek poziomy do (8,4). Punkty przy x=-8 i x=8 są zamalowane.

$(-12)$

$(-8)$

$0$

$16$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczyt wartości funkcji

Dla x=-3 i x=0 wykres jest odcinkiem prostej przechodzącej przez punkty (-4,-3) i (3,4), więc ma wzór f(x)=x+1. Dla x=4 wykres jest poziomy na wysokości 4.

\[f(-3)=-3+1=-2,\qquad f(0)=0+1=1,\qquad f(4)=4\]

2 Obliczenie iloczynu

Podstawiamy odczytane wartości.

\[f(-3)\cdot f(0)\cdot f(4)=(-2)\cdot1\cdot4=-8\]

Odpowiedź

Iloczyn jest równy -8. Odpowiedź B.

\[-8\]

Sprawdzenie

Punkt wykresu dla x=-3 ma wysokość -2, dla x=0 wysokość 1, a dla x=4 wysokość 4; ich iloczyn wynosi -8.

\[(-2)\cdot1\cdot4=-8\]

Zadanie 6

Matura 2021 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

62%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $\frac{2-x}{2}-2x\geqslant 1$ jest przedział

$\langle 0,+\infty)$

$(-\infty,0\rangle$

$(-\infty,5\rangle$

$(-\infty,\frac{1}{3}\rangle$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Usuń mianownik

Mnożymy obie strony przez dodatnią liczbę 2, więc znak nierówności się nie zmienia.

\[2-x-4x\geqslant 2\]

2 Wyznacz x

Redukujemy wyrazy podobne, a następnie dzielimy przez −5. Przy dzieleniu przez liczbę ujemną odwracamy znak nierówności.

\[-5x\geqslant 0\quad\Longleftrightarrow\quad x\leqslant 0\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: $(-\infty,0\rangle$.

\[x\in(-\infty,0\rangle\]

Sprawdzenie

Dla $x=0$ lewa strona wynosi 1, więc koniec przedziału należy do rozwiązania. Po przekształceniu nierówność ma postać $-5x\geqslant 0$, która zachodzi dokładnie dla $x\leqslant 0$.

\[\frac{2-0}{2}-2\cdot 0=1\geqslant 1\]

Zadanie 23

Matura 2021 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

62%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W każdym $n$-kącie wypukłym ($n\geq 3$) liczba przekątnych jest równa $\frac{n(n-3)}{2}$. Wielokątem wypukłym, w którym liczba przekątnych jest o $25$ większa od liczby boków, jest

siedmiokąt.

dziesięciokąt.

dwunastokąt.

piętnastokąt.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ułożenie równania

Liczba boków wynosi $n$, więc liczba przekątnych większa o 25 to $n+25$. Przyrównujemy ją do podanego wzoru.

\[\frac{n(n-3)}{2}=n+25\]

2 Rozwiązanie równania

Mnożymy obie strony przez 2 i rozkładamy trójmian na czynniki. Odrzucamy wynik ujemny, ponieważ $n\geq 3$.

\[n^2-3n=2n+50\;\Longrightarrow\;n^2-5n-50=0\;\Longrightarrow\;(n-10)(n+5)=0\;\Longrightarrow\;n=10\]

Odpowiedź

B — dziesięciokąt.

\[n=10\]

Sprawdzenie

Dziesięciokąt ma 35 przekątnych i 10 boków; różnica wynosi 25.

\[\frac{10(10-3)}{2}-10=35-10=25\]

Zadanie 27

Matura 2020 · termin główny — 9 czerwca (na PDF: 5 maja) · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

62%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Rozwiąż równanie $(x^{2}-1)(x^{2}-2x)=0$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie zasady iloczynu

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy zeru.

\[x^{2}-1=0\quad\text{lub}\quad x^{2}-2x=0\]

2 Rozwiązanie obu równań

Pierwszy czynnik rozkładamy jako różnicę kwadratów, a z drugiego wyłączamy $x$ przed nawias.

\[(x-1)(x+1)=0\quad\text{lub}\quad x(x-2)=0\]

3 Odczytanie pierwiastków

Każdy z otrzymanych czynników przyrównujemy do zera.

\[x=1\quad\text{lub}\quad x=-1\quad\text{lub}\quad x=0\quad\text{lub}\quad x=2\]

Odpowiedź

Rozwiązaniami równania są −1, 0, 1 i 2.

\[x\in\{-1,0,1,2\}\]

Sprawdzenie

Dla −1 i 1 pierwszy czynnik pierwotnego iloczynu jest zerem, a dla 0 i 2 drugi. Rozkłady obejmują wszystkie możliwości wyzerowania iloczynu.

\[x^{2}-1=(x-1)(x+1),\qquad x^{2}-2x=x(x-2)\]

Zadanie 15

Matura 2019 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

62%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dane są dwa okręgi: okrąg o środku w punkcie $O$ i promieniu $5$ oraz okrąg o środku w punkcie $P$ i promieniu $3$. Odcinek $OP$ ma długość $16$. Prosta $AB$ jest styczna do tych okręgów w punktach $A$ i $B$. Ponadto prosta $AB$ przecina odcinek $OP$ w punkcie $K$ (zobacz rysunek).

Wtedy

Dwa okręgi o środkach O i P, promienie OA i PB, wspólna styczna AB oraz punkt K przecięcia stycznej z odcinkiem OP.

$|OK|=6$

$|OK|=8$

$|OK|=10$

$|OK|=12$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podobieństwo trójkątów

Promienie poprowadzone do punktów styczności są prostopadłe do prostej AB. Trójkąty OAK i PBK są więc prostokątne, a ich kąty przy K są wierzchołkowe. Z podobieństwa otrzymujemy proporcję odpowiednich boków.

\[\frac{|OK|}{|KP|}=\frac{|OA|}{|PB|}=\frac{5}{3}\]

2 Obliczenie długości OK

Ponieważ K leży na odcinku OP, mamy |KP|=16−|OK|. Podstawiamy tę długość do proporcji i rozwiązujemy równanie.

\[\frac{|OK|}{16-|OK|}=\frac{5}{3}\quad\Longrightarrow\quad 3|OK|=80-5|OK|\quad\Longrightarrow\quad |OK|=10\]

Odpowiedź

Odpowiedź C: |OK|=10.

\[|OK|=10\]

Sprawdzenie

Wówczas |KP|=16−10=6, a 10:6=5:3, zgodnie z proporcją wynikającą z podobieństwa.

\[|KP|=6,\qquad \frac{|OK|}{|KP|}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}\]

Zadanie 20

Matura 2019 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

62%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dane są punkty o współrzędnych $A=(-2,5)$ oraz $B=(4,-1)$. Średnica okręgu wpisanego w kwadrat o boku $AB$ jest równa

$12$

$6$

$6\sqrt{2}$

$2\sqrt{6}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie długości boku

Bok kwadratu ma długość AB, więc obliczamy odległość między podanymi punktami.

\[AB=\sqrt{(4-(-2))^2+(-1-5)^2}=\sqrt{36+36}=6\sqrt{2}\]

2 Wyznaczenie średnicy

Okrąg wpisany w kwadrat jest styczny do dwóch przeciwległych boków, dlatego jego średnica jest równa długości boku.

\[d=AB=6\sqrt{2}\]

Odpowiedź

Średnica wynosi 6√2. Odpowiedź C.

\[d=6\sqrt{2}\]

Sprawdzenie

Kwadrat obliczonej długości boku to 72, czyli suma kwadratów różnic współrzędnych: 36+36. Wynik spełnia więc wzór na odległość punktów.

\[(6\sqrt{2})^2=72=6^2+(-6)^2\]

Zadanie 30

Matura 2019 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

62%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Ze zbioru liczb $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest liczbą nieparzystą.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek nieparzystego iloczynu

Iloczyn dwóch liczb jest nieparzysty wtedy i tylko wtedy, gdy obie liczby są nieparzyste. W podanym zbiorze są trzy takie liczby: 1, 3 i 5.

\[P(\text{liczba nieparzysta})=\frac{3}{5}\]

2 Obliczenie prawdopodobieństwa

Losujemy ze zwracaniem, więc wyniki obu losowań są niezależne. Mnożymy zatem prawdopodobieństwa wylosowania liczby nieparzystej w każdym losowaniu.

\[P(A)=\frac{3}{5}\cdot\frac{3}{5}=\frac{9}{25}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi 9/25.

\[P(A)=\frac{9}{25}\]

Sprawdzenie

Możliwych uporządkowanych par jest 5·5=25, a par złożonych z dwóch liczb nieparzystych jest 3·3=9. Daje to ten sam wynik.

\[\frac{3\cdot 3}{5\cdot 5}=\frac{9}{25}\]

Zadanie 27

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

62%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Rozwiąż równanie $(x^3+125)(x^2-64)=0$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie zasady iloczynu

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zeru.

\[(x^3+125)(x^2-64)=0\iff x^3+125=0\ \lor\ x^2-64=0\]

2 Rozwiązanie obu równań

Korzystamy z tego, że $(-5)^3=-125$, a liczby o kwadracie równym $64$ to $-8$ i $8$.

\[x^3=-125\iff x=-5;\qquad x^2=64\iff x=-8\ \lor\ x=8\]

Odpowiedź

Rozwiązania: $x=-8$, $x=-5$, $x=8$.

\[x\in\{-8,-5,8\}\]

Sprawdzenie

Dla $x=-5$ pierwszy czynnik wynosi $0$. Dla $x=-8$ i $x=8$ drugi czynnik wynosi $0$, więc każda z tych liczb spełnia równanie.

\[(-5)^3+125=0;\qquad (-8)^2-64=0;\qquad 8^2-64=0\]

Zadanie 18

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

62%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Na rysunku przedstawiona jest prosta $k$, przechodząca przez punkt $A=(2,-3)$ i przez początek układu współrzędnych, oraz zaznaczony jest kąt $\alpha$ nachylenia tej prostej do osi $Ox$.

Zatem

Układ współrzędnych z prostą k przechodzącą przez początek układu i punkt A=(2,-3). Zaznaczono kąt α nachylenia prostej do osi Ox.

$\operatorname{tg}\alpha=-\frac{2}{3}$

$\operatorname{tg}\alpha=-\frac{3}{2}$

$\operatorname{tg}\alpha=\frac{2}{3}$

$\operatorname{tg}\alpha=\frac{3}{2}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie współczynnika kierunkowego

Z dwóch punktów prostej obliczamy iloraz zmiany współrzędnej y i zmiany współrzędnej x.

\[a=\frac{-3-0}{2-0}=-\frac{3}{2}\]

2 Wyznaczenie tangensa kąta

Tangens kąta nachylenia prostej do osi Ox jest równy jej współczynnikowi kierunkowemu.

\[\operatorname{tg}\alpha=a=-\frac{3}{2}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[\operatorname{tg}\alpha=-\frac{3}{2}\]

Sprawdzenie

Prosta ma równanie y=−3x/2, więc dla x=2 otrzymujemy y=−3, zgodnie z położeniem punktu A. Zaznaczony kąt jest rozwarty, zatem jego tangens jest ujemny.

\[-\frac{3}{2}\cdot 2=-3\]

Zadanie 25

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

62%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Ze zbioru dwudziestu czterech kolejnych liczb naturalnych od 1 do 24 losujemy jedną liczbę. Niech $A$ oznacza zdarzenie, że wylosowana liczba będzie dzielnikiem liczby 24. Wtedy prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ jest równe

$\frac{1}{4}$

$\frac{1}{3}$

$\frac{1}{8}$

$\frac{1}{6}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczymy wyniki sprzyjające

Wypisujemy wszystkie dzielniki liczby 24 należące do zbioru, z którego losujemy.

\[A=\{1,2,3,4,6,8,12,24\},\quad |A|=8\]

2 Obliczamy prawdopodobieństwo

Każda z 24 liczb ma jednakową szansę wylosowania, więc dzielimy liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich wyników.

\[P(A)=\frac{8}{24}=\frac{1}{3}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[P(A)=\frac{1}{3}\]

Sprawdzenie

Ponieważ 24 ma postać $2^3\cdot3$, liczba jej dodatnich dzielników wynosi $(3+1)(1+1)=8$. Potwierdza to liczbę wyników sprzyjających.

\[24=2^3\cdot3,\quad (3+1)(1+1)=8\]