Zbiór zadań maturalnych

Trygonometria — zadania maturalne

Trygonometria: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

102 zadańStrona 1 z 7

Sortuj:

Zadanie 17

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Dany jest trójkąt prostokątny o takim kącie $\alpha$, że $\sin\alpha=\frac{1}{4}$. Przeciwprostokątna tego trójkąta ma długość $8$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Krótsza przyprostokątna tego trójkąta ma długość

$1$

$2$

$4$

$2\sqrt{15}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie przyprostokątnej

Sinus kąta ostrego to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do długości przeciwprostokątnej. Oznaczając tę przyprostokątną przez $a$, obliczamy jej długość.

\[\sin\alpha=\frac{a}{8}=\frac{1}{4},\qquad a=8\cdot\frac{1}{4}=2\]

2 Porównanie przyprostokątnych

Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy drugą przyprostokątną, aby ustalić, która jest krótsza.

\[b=\sqrt{8^2-2^2}=\sqrt{60}=2\sqrt{15}>2\]

Odpowiedź

Krótsza przyprostokątna ma długość 2. Odpowiedź B.

\[2\]

Sprawdzenie

Dla przyprostokątnej długości 2 i przeciwprostokątnej długości 8 sinus kąta naprzeciw tej przyprostokątnej wynosi $\frac{1}{4}$. Druga przyprostokątna jest dłuższa od 2.

\[\frac{2}{8}=\frac{1}{4},\qquad 2^2+(2\sqrt{15})^2=4+60=64=8^2\]

Zadanie 21

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Kąt o mierze $\alpha$ jest rozwarty oraz $\sin\alpha=\frac{3}{5}$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Cosinus kąta o mierze $\alpha$ jest równy

$\left(-\frac{4}{5}\right)$

$\left(-\frac{3}{4}\right)$

$\frac{3}{4}$

$\frac{4}{5}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie wartości bezwzględnej cosinusa

Korzystamy z tożsamości trygonometrycznej, aby wyznaczyć kwadrat cosinusa.

\[\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1,\quad \cos^2\alpha=1-\left(\frac{3}{5}\right)^2=\frac{16}{25}\]

2 Ustalenie znaku

Cosinus kąta rozwartego jest ujemny, więc wybieramy ujemny pierwiastek.

\[\cos\alpha=-\sqrt{\frac{16}{25}}=-\frac{4}{5}\]

Odpowiedź

A. Cosinus kąta α jest równy −4/5.

\[\cos\alpha=-\frac{4}{5}\]

Sprawdzenie

Otrzymane wartości spełniają tożsamość trygonometryczną, a ujemny znak cosinusa odpowiada kątowi rozwartemu.

\[\left(\frac{3}{5}\right)^2+\left(-\frac{4}{5}\right)^2=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1\]

Zadanie 14

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Dany jest trójkąt prostokątny o takim kącie $\alpha$, że $\sin\alpha=\frac{1}{4}$.

Przeciwprostokątna tego trójkąta ma długość $8$.

Krótsza przyprostokątna tego trójkąta ma długość

$1$

$2$

$4$

$2\sqrt{15}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie przyprostokątnej

Sinus kąta ostrego to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do długości przeciwprostokątnej.

\[\sin\alpha=\frac{a}{8}=\frac14\quad\Rightarrow\quad a=8\cdot\frac14=2\]

2 Porównanie przyprostokątnych

Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy drugą przyprostokątną, aby ustalić, która jest krótsza.

\[b=\sqrt{8^2-2^2}=\sqrt{60}=2\sqrt{15}>2\]

Odpowiedź

Krótsza przyprostokątna ma długość 2. Odpowiedź B.

\[2\quad(\mathrm{B})\]

Sprawdzenie

Przyprostokątne spełniają twierdzenie Pitagorasa, a przyprostokątna długości 2 daje podany sinus.

\[2^2+(2\sqrt{15})^2=64=8^2,\qquad \frac28=\frac14\]

Zadanie 15

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Kąt $\alpha$ jest ostry oraz $\sin\alpha=\frac{3}{5}$.

Tangens kąta $\alpha$ jest równy

$\frac{3}{4}$

$\frac{4}{3}$

$\frac{4}{5}$

$\frac{5}{4}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie cosinusa

Kąt jest ostry, więc jego cosinus jest dodatni. Korzystamy z jedynki trygonometrycznej.

\[\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}\]

2 Obliczenie tangensa

Tangens to iloraz sinusa i cosinusa tego samego kąta.

\[\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{3/5}{4/5}=\frac{3}{4}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[\operatorname{tg}\alpha=\frac{3}{4}\]

Sprawdzenie

Dla obliczonych wartości sinusa i cosinusa ich kwadraty sumują się do 1, a obie wartości są dodatnie, jak dla kąta ostrego.

\[\left(\frac{3}{5}\right)^2+\left(\frac{4}{5}\right)^2=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1\]

Zadanie 33

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Stereometria

Odcinek $AD$ jest wysokością walca, a odcinek $AB$ jest średnicą podstawy walca. Odcinek $BD$ ma długość $4\sqrt{3}$. Miara kąta $ABD$ jest równa $30^\circ$ (zobacz rysunek).

Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego walca.

Walec z zaznaczonym trójkątem ABD. Odcinek AD jest wysokością, AB średnicą podstawy, BD ma długość 4√3, a kąt ABD ma miarę 30°.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie promienia i wysokości

Ponieważ AD jest wysokością walca, jest prostopadły do płaszczyzny podstawy, a więc także do AB. W trójkącie prostokątnym ABD obliczamy przyprostokątne z sinusa i cosinusa kąta 30°. AB jest średnicą podstawy.

\[AD=BD\sin30^\circ=4\sqrt3\cdot\frac12=2\sqrt3,\quad AB=BD\cos30^\circ=4\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2}=6,\quad r=\frac{AB}{2}=3\]

2 Obliczenie objętości

Objętość walca jest iloczynem pola podstawy i wysokości.

\[V=\pi r^2h=\pi\cdot3^2\cdot2\sqrt3=18\sqrt3\pi\]

3 Obliczenie pola całkowitego

Dodajemy pola dwóch podstaw i pole powierzchni bocznej.

\[P_c=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi\cdot3^2+2\pi\cdot3\cdot2\sqrt3=(18+12\sqrt3)\pi\]

Odpowiedź

Objętość walca wynosi 18√3π jednostek sześciennych, a pole powierzchni całkowitej wynosi (18 + 12√3)π jednostek kwadratowych.

\[V=18\sqrt3\pi,\qquad P_c=(18+12\sqrt3)\pi\]

Sprawdzenie

Otrzymane wymiary spełniają twierdzenie Pitagorasa oraz dają wskazany kąt przy B.

\[AB^2+AD^2=6^2+(2\sqrt3)^2=48=(4\sqrt3)^2,\qquad \frac{AD}{BD}=\frac{2\sqrt3}{4\sqrt3}=\frac12=\sin30^\circ\]

Zadanie 13.2

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=ax+b$, gdzie $a$ i $b$ są pewnymi liczbami rzeczywistymi. W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ przedstawiono fragment wykresu funkcji $f$. Każdy z punktów przecięcia wykresu funkcji $f$ z osiami układu współrzędnych ma obie współrzędne całkowite. Wykres funkcji $f$ jest nachylony do osi $Ox$ układu współrzędnych pod kątem o mierze $\alpha$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Tangens kąta o mierze $\alpha$ jest równy

$Fragment wykresu funkcji $y=f(x)$ w układzie współrzędnych z zaznaczonym kątem $\alpha$.$

$-\frac{3}{2}$

$-\frac{2}{3}$

$\frac{2}{3}$

$\frac{3}{2}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczytanie punktów

Z wykresu odczytujemy całkowite współrzędne punktów przecięcia prostej z osiami.

\[P=(-2,0),\quad Q=(0,-3)\]

2 Obliczenie tangensa

Tangens kąta nachylenia prostej do osi Ox jest równy jej współczynnikowi kierunkowemu.

\[\tan\alpha=a=\frac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P}=\frac{-3-0}{0-(-2)}=-\frac{3}{2}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[\tan\alpha=-\frac{3}{2}\]

Sprawdzenie

Prosta opada w prawo, więc jej współczynnik kierunkowy i tangens zaznaczonego kąta rozwartego są ujemne. Obliczona wartość spełnia ten warunek.

\[-\frac{3}{2}<0\]

Zadanie 18

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$, w którym bok $AC$ jest przeciwprostokątną oraz $|BC|=2$ i $|AC|=2\sqrt{10}$. Oznaczmy kąt $BCA$ przez $\gamma$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Sinus kąta $\gamma$ jest równy

Trójkąt prostokątny ABC z kątem prostym przy B i kątem γ przy C. Przeciwprostokątna AC ma oznaczenie 2√10, a bok BC oznaczenie 2.

$\frac{1}{\sqrt{10}}$

$\frac{1}{3}$

$\frac{3}{\sqrt{10}}$

$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{11}}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie boku AB

Ponieważ AC jest przeciwprostokątną, z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość boku leżącego naprzeciw kąta γ.

\[|AB|^2=|AC|^2-|BC|^2=(2\sqrt{10})^2-2^2=40-4=36,\quad |AB|=6\]

2 Obliczenie sinusa

Sinus kąta ostrego to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw niego do długości przeciwprostokątnej.

\[\sin\gamma=\frac{|AB|}{|AC|}=\frac{6}{2\sqrt{10}}=\frac{3}{\sqrt{10}}\]

Odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C.

\[\sin\gamma=\frac{3}{\sqrt{10}}\]

Sprawdzenie

Dla tego kąta cosinus wynosi 1/√10. Suma kwadratów otrzymanego sinusa i cosinusa jest równa 1.

\[\cos\gamma=\frac{2}{2\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{10}},\quad \left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)^2=\frac{9}{10}+\frac{1}{10}=1\]

Zadanie 23

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Kąt $\alpha$ jest ostry i spełnia warunek $\frac{3\sin\alpha+4\cos\alpha}{4\cos\alpha}=6$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Tangens kąta $\alpha$ jest równy

$\frac{5}{8}$

$\frac{8}{3}$

$\frac{32}{5}$

$\frac{20}{3}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przekształcenie równania

Mnożymy obie strony przez $4\cos\alpha$, a następnie przenosimy wyraz z cosinusem na prawą stronę.

\[3\sin\alpha+4\cos\alpha=24\cos\alpha\quad\Rightarrow\quad 3\sin\alpha=20\cos\alpha\]

2 Obliczenie tangensa

Kąt jest ostry, więc $\cos\alpha>0$. Dzielimy przez $3\cos\alpha$ i korzystamy z definicji tangensa.

\[\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{20}{3}\]

Odpowiedź

D. Tangens kąta α jest równy 20/3.

\[\tan\alpha=\frac{20}{3}\]

Sprawdzenie

Dla kąta ostrego o tangensie 20/3 mamy sinus 20/√409 i cosinus 3/√409. Po podstawieniu do warunku otrzymujemy 6.

\[\frac{3\cdot\frac{20}{\sqrt{409}}+4\cdot\frac{3}{\sqrt{409}}}{4\cdot\frac{3}{\sqrt{409}}}=\frac{72}{12}=6\]

Zadanie 27

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Stereometria

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym przekątna podstawy ma długość $8\sqrt{3}$. Krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $30^\circ$.

Oblicz objętość tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wysokości

W ostrosłupie prawidłowym wysokość pada na środek podstawy. Rzut krawędzi bocznej na podstawę ma długość równą połowie przekątnej kwadratu, więc korzystamy z tangensa kąta nachylenia.

\[h=\frac{8\sqrt{3}}{2}\cdot\tan 30^\circ=4\sqrt{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=4\]

2 Obliczenie pola podstawy

Pole kwadratu o przekątnej d wynosi $\frac{d^2}{2}$.

\[P_p=\frac{(8\sqrt{3})^2}{2}=96\]

3 Obliczenie objętości

Objętość ostrosłupa to jedna trzecia iloczynu pola podstawy i wysokości.

\[V=\frac{1}{3}P_ph=\frac{1}{3}\cdot96\cdot4=128\]

Odpowiedź

Objętość ostrosłupa wynosi 128 jednostek sześciennych.

\[V=128\]

Sprawdzenie

Wysokość jest dodatnia, a stosunek wysokości do połowy przekątnej podstawy daje wymagany kąt 30°.

\[\tan 30^\circ=\frac{4}{4\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\]

Zadanie 12

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Informacja do zadań 11.–12. Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=ax+b$, gdzie $a$ i $b$ są pewnymi liczbami rzeczywistymi. W układzie współrzędnych $(x,y)$ przedstawiono fragment wykresu funkcji $f$. Każdy z punktów przecięcia wykresu funkcji $f$ z osiami układu współrzędnych ma obie współrzędne całkowite. Wykres funkcji $f$ jest nachylony do osi $Ox$ układu współrzędnych pod kątem o mierze $\alpha$ (zobacz rysunek).

Tangens kąta o mierze $\alpha$ jest równy

Wykres funkcji liniowej w układzie współrzędnych, z zaznaczonym kątem α między wykresem a dodatnią półosią Ox.

$\left(-\frac{3}{2}\right)$

$\left(-\frac{2}{3}\right)$

$\frac{2}{3}$

$\frac{3}{2}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczyt punktów

Z wykresu odczytujemy punkty przecięcia prostej z osiami: (−2, 0) oraz (0, −3).

\[(-2,0),\quad(0,-3)\]

2 Obliczenie tangensa

Tangens kąta nachylenia prostej do dodatniej półosi Ox jest równy jej współczynnikowi kierunkowemu. Obliczamy go z dwóch odczytanych punktów.

\[\operatorname{tg}\alpha=a=\frac{-3-0}{0-(-2)}=-\frac{3}{2}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[\operatorname{tg}\alpha=-\frac{3}{2}\]

Sprawdzenie

Prosta opada w prawo, więc jej współczynnik kierunkowy i tangens zaznaczonego kąta rozwartego są ujemne. Dla przesunięcia o 2 jednostki w prawo wartość funkcji maleje o 3 jednostki, co potwierdza wynik.

\[\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{-3}{2}\]

Zadanie 16

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$, w którym bok $AC$ jest przeciwprostokątną oraz $|BC|=2$ i $|AC|=2\sqrt{10}$. Oznaczmy kąt $BCA$ przez $\gamma$ (zobacz rysunek).

Sinus kąta $\gamma$ jest równy

Trójkąt prostokątny ABC z kątem prostym przy B, kątem γ przy C oraz oznaczeniami długości AC = 2√10 i BC = 2.

$\frac{1}{\sqrt{10}}$

$\frac{1}{3}$

$\frac{3}{\sqrt{10}}$

$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{11}}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie boku AB

Ponieważ AC jest przeciwprostokątną, kąt przy B jest prosty. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy bok leżący naprzeciw kąta γ.

\[|AB|^2=|AC|^2-|BC|^2=(2\sqrt{10})^2-2^2=40-4=36,\quad |AB|=6\]

2 Obliczenie sinusa

Sinus kąta ostrego to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw niego do długości przeciwprostokątnej.

\[\sin\gamma=\frac{|AB|}{|AC|}=\frac{6}{2\sqrt{10}}=\frac{3}{\sqrt{10}}\]

Odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C.

\[\sin\gamma=\frac{3}{\sqrt{10}}\]

Sprawdzenie

Dla tego kąta cosinus wynosi 1/√10. Suma kwadratów obliczonego sinusa i cosinusa jest równa 1.

\[\left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right)^2+\left(\frac{2}{2\sqrt{10}}\right)^2=\frac{9}{10}+\frac{1}{10}=1\]

Zadanie 17

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Kąt $\alpha$ jest ostry i spełnia warunek $\frac{3\sin\alpha+4\cos\alpha}{4\cos\alpha}=6$.

Tangens kąta $\alpha$ jest równy

$\frac{5}{8}$

$\frac{8}{3}$

$\frac{32}{5}$

$\frac{20}{3}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Usuń mianownik

Kąt jest ostry, więc $\cos\alpha>0$ i możemy pomnożyć obie strony równania przez $4\cos\alpha$.

\[3\sin\alpha+4\cos\alpha=24\cos\alpha\]

2 Oblicz tangens

Przenosimy wyrazy z cosinusem na jedną stronę i dzielimy przez niezerowe $3\cos\alpha$.

\[3\sin\alpha=20\cos\alpha\quad\Longrightarrow\quad\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{20}{3}\]

Odpowiedź

Tangens kąta $\alpha$ wynosi $\frac{20}{3}$. Odpowiedź D.

\[\tan\alpha=\frac{20}{3}\]

Sprawdzenie

Dla kąta ostrego cosinus jest dodatni. Po podstawieniu otrzymanego tangensa do warunku lewa strona wynosi $6$.

\[\frac{3\sin\alpha+4\cos\alpha}{4\cos\alpha}=\frac{3\tan\alpha+4}{4}=\frac{3\cdot\frac{20}{3}+4}{4}=6\]

Zadanie 17

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $\frac{\sin^{3}25^{\circ}+\sin25^{\circ}\cdot\cos^{2}25^{\circ}}{\cos25^{\circ}}$ jest równa

$\sin25^{\circ}$

$\cos25^{\circ}$

$\operatorname{tg}25^{\circ}$

$1$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyłącz wspólny czynnik

W liczniku obu składników występuje sinus tego samego kąta, więc wyłączamy go przed nawias.

\[\frac{\sin^{3}25^{\circ}+\sin25^{\circ}\cos^{2}25^{\circ}}{\cos25^{\circ}}=\frac{\sin25^{\circ}(\sin^{2}25^{\circ}+\cos^{2}25^{\circ})}{\cos25^{\circ}}\]

2 Zastosuj jedynkę trygonometryczną

Suma kwadratów sinusa i cosinusa wynosi 1, a iloraz sinusa przez cosinus jest tangensem.

\[\frac{\sin25^{\circ}(\sin^{2}25^{\circ}+\cos^{2}25^{\circ})}{\cos25^{\circ}}=\frac{\sin25^{\circ}}{\cos25^{\circ}}=\operatorname{tg}25^{\circ}\]

Odpowiedź

C. Tangens 25°.

\[\operatorname{tg}25^{\circ}\]

Sprawdzenie

Mianownik jest różny od zera, ponieważ kąt 25° jest ostry. Po wstawieniu jedynki trygonometrycznej do licznika otrzymujemy iloraz definiujący tangens, więc wynik jest określony i odpowiada opcji C.

\[\cos25^{\circ}>0,\qquad \sin^{2}25^{\circ}+\cos^{2}25^{\circ}=1\]

Zadanie 18

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Dany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych $\alpha$ oraz $\beta$ (zobacz rysunek). Sinus kąta $\alpha$ jest równy $\frac{4}{7}$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Cosinus kąta $\alpha$ jest równy $\frac{3}{7}$.	P	F
Cosinus kąta $\beta$ jest równy $\frac{4}{7}$.	P	F

Trójkąt prostokątny z kątem prostym przy lewym dolnym wierzchołku, kątem β przy lewym górnym wierzchołku i kątem α przy prawym dolnym wierzchołku.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie cosinusa kąta α

Kąt α jest ostry, więc jego cosinus jest dodatni. Korzystamy z jedynki trygonometrycznej.

\[\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-\left(\frac{4}{7}\right)^2=\frac{33}{49},\qquad \cos\alpha=\frac{\sqrt{33}}{7}\]

2 Obliczenie cosinusa kąta β

Kąty ostre w trójkącie prostokątnym sumują się do 90°, dlatego cosinus kąta β jest równy sinusowi kąta α.

\[\alpha+\beta=90^\circ,\qquad \cos\beta=\sin\alpha=\frac{4}{7}\]

Odpowiedź

Pierwsze stwierdzenie: F. Drugie stwierdzenie: P.

\[\cos\alpha=\frac{\sqrt{33}}{7}\ne\frac{3}{7},\qquad \cos\beta=\frac{4}{7}\]

Sprawdzenie

Obliczony cosinus kąta α jest dodatni, a kwadraty sinusa i cosinusa sumują się do 1.

\[\left(\frac{4}{7}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{33}}{7}\right)^2=\frac{16}{49}+\frac{33}{49}=1\]

Zadanie 26

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Tworząca stożka ma długość $6$. Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę $60^\circ$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wysokość tego stożka jest równa

$3$

$2\sqrt{3}$

$3\sqrt{3}$

$3\sqrt{5}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przekrój osiowy

W przekroju osiowym wysokość dzieli kąt rozwarcia na dwa kąty po 30°. Powstaje trójkąt prostokątny, w którym tworząca jest przeciwprostokątną.

\[\frac{60^\circ}{2}=30^\circ\]

2 Obliczenie wysokości

Wysokość leży przy kącie 30°, więc korzystamy z cosinusa tego kąta.

\[\cos 30^\circ=\frac{h}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\Rightarrow\quad h=3\sqrt{3}\]

Odpowiedź

Wysokość stożka wynosi 3√3. Odpowiedź C.

\[h=3\sqrt{3}\]

Sprawdzenie

Promień podstawy wynosi 3. Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy tworzącą długości 6, zgodną z treścią zadania.

\[r=6\sin 30^\circ=3,\qquad h^2+r^2=(3\sqrt{3})^2+3^2=36=6^2\]

Cosinus kąta \(\alpha\) jest równy \(\frac{3}{7}\).	P	F
Cosinus kąta \(\beta\) jest równy \(\frac{4}{7}\).	P	F