Zbiór zadań maturalnych

Trygonometria — zadania maturalne

Trygonometria: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

102 zadańStrona 3 z 7

Sortuj:

Zadanie 21

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Dany jest równoległobok o bokach długości $3$ i $4$ oraz o kącie między nimi o mierze $120^\circ$. Pole tego równoległoboku jest równe

$6$

$6\sqrt{3}$

$12$

$12\sqrt{3}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie sinusa kąta

Kąty 120° i 60° są dopełniające do 180°, więc mają ten sam sinus.

\[\sin 120^\circ=\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\]

2 Obliczenie pola

Pole równoległoboku jest iloczynem długości sąsiednich boków i sinusa kąta między nimi.

\[P=3\cdot4\cdot\sin 120^\circ=12\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[P=6\sqrt{3}\]

Sprawdzenie

Wysokość opuszczona na bok długości 3 wynosi 2√3. Iloczyn podstawy i wysokości potwierdza obliczone pole.

\[h=4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3},\qquad P=3h=6\sqrt{3}\]

Zadanie 36

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Stereometria

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym o objętości równej $108$ stosunek długości krawędzi podstawy do wysokości graniastosłupa jest równy $\frac{1}{4}$.

Przekątna tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem $\alpha$ (zobacz rysunek).

Oblicz cosinus kąta $\alpha$ oraz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Graniastosłup prawidłowy czworokątny z przekątną i zaznaczonym kątem α między przekątną a płaszczyzną podstawy.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wymiarów

Oznaczamy krawędź kwadratowej podstawy przez $a$, a wysokość przez $h$. Z podanego stosunku mamy $h=4a$. Podstawiamy to do wzoru na objętość.

\[108=a^2h=4a^3,\quad a^3=27,\quad a=3,\quad h=12\]

2 Obliczenie cosinusa

Rzutem przekątnej graniastosłupa na podstawę jest przekątna kwadratu, długości $a\sqrt{2}$. Tworzy ona z wysokością i przekątną graniastosłupa trójkąt prostokątny.

\[\cos\alpha=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{(a\sqrt{2})^2+h^2}}=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{18+144}}=\frac{3\sqrt{2}}{9\sqrt{2}}=\frac13\]

3 Obliczenie pola całkowitego

Pole całkowite to suma pól dwóch kwadratowych podstaw i czterech prostokątnych ścian bocznych.

\[P_c=2a^2+4ah=2\cdot3^2+4\cdot3\cdot12=162\]

Odpowiedź

Cosinus kąta α wynosi 1/3, a pole powierzchni całkowitej wynosi 162.

\[\cos\alpha=\frac13,\qquad P_c=162\]

Sprawdzenie

Wymiary spełniają warunek stosunku i objętości: 3/12 = 1/4 oraz 3² · 12 = 108. Ponadto cosinus 1/3 należy do przedziału od 0 do 1.

\[\frac{a}{h}=\frac{3}{12}=\frac14,\qquad a^2h=3^2\cdot12=108,\qquad 0<\frac13<1\]

Zadanie 17

Matura 2023 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Dla każdego kąta ostrego $\alpha$ wyrażenie $\cos\alpha-\cos\alpha\cdot\sin^2\alpha$ jest równe

$\cos^3\alpha$

$\sin^2\alpha$

$1-\sin^2\alpha$

$\cos\alpha$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyłącz wspólny czynnik

Oba składniki zawierają $\cos\alpha$, więc wyłączamy go przed nawias.

\[\cos\alpha-\cos\alpha\cdot\sin^2\alpha=\cos\alpha(1-\sin^2\alpha)\]

2 Zastosuj jedynkę trygonometryczną

Z równości $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ wynika, że wyrażenie w nawiasie jest równe $\cos^2\alpha$.

\[\cos\alpha(1-\sin^2\alpha)=\cos\alpha\cdot\cos^2\alpha=\cos^3\alpha\]

Odpowiedź

A. Wyrażenie jest równe $\cos^3\alpha$.

\[\cos^3\alpha\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu $\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha$ do wyrażenia z zadania otrzymujemy $\cos^3\alpha$. Tożsamość zachodzi dla każdego kąta ostrego.

\[\cos\alpha-\cos\alpha(1-\cos^2\alpha)=\cos^3\alpha\]

Zadanie 18

Matura 2023 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Cosinus kąta ostrego $\alpha$ jest równy $\frac{2}{3}$. Wtedy $\operatorname{tg}\alpha$ jest równy

$\frac{2\sqrt{5}}{5}$

$\frac{\sqrt{5}}{2}$

$2$

$\frac{1}{2}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie sinusa

Kąt jest ostry, więc jego sinus jest dodatni. Korzystamy z jedynki trygonometrycznej.

\[\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\left(\frac{2}{3}\right)^2}=\frac{\sqrt{5}}{3}\]

2 Obliczenie tangensa

Tangens jest ilorazem sinusa i cosinusa.

\[\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\sqrt{5}/3}{2/3}=\frac{\sqrt{5}}{2}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sqrt{5}}{2}\]

Sprawdzenie

Obliczony sinus i podany cosinus spełniają jedynkę trygonometryczną; obie wartości są dodatnie, zgodnie z warunkiem kąta ostrego.

\[\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2+\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{5}{9}+\frac{4}{9}=1\]

Zadanie 20

Matura 2023 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Pole równoległoboku $ABCD$ jest równe $40\sqrt{6}$. Bok $AD$ tego równoległoboku ma długość $10$, a kąt $ABC$ równoległoboku ma miarę $135^\circ$ (zobacz rysunek).

Długość boku $AB$ jest równa

Równoległobok ABCD z oznaczoną długością boku AD równą 10 i kątem ABC równym 135°.

$8\sqrt{3}$

$8\sqrt{2}$

$16\sqrt{2}$

$16\sqrt{3}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustalenie kąta między bokami

Kąty sąsiednie równoległoboku sumują się do $180^\circ$, więc kąt między bokami $AB$ i $AD$ ma miarę $45^\circ$.

\[\angle DAB=180^\circ-135^\circ=45^\circ\]

2 Obliczenie długości boku

Pole równoległoboku jest iloczynem długości sąsiednich boków i sinusa kąta między nimi. Podstawiamy dane i wyznaczamy $AB$.

\[40\sqrt{6}=AB\cdot10\cdot\sin45^\circ=AB\cdot5\sqrt{2},\qquad AB=\frac{40\sqrt{6}}{5\sqrt{2}}=8\sqrt{3}\]

Odpowiedź

Długość boku $AB$ wynosi $8\sqrt{3}$. Odpowiedź A.

\[AB=8\sqrt{3}\]

Sprawdzenie

Bok ma dodatnią długość, a po podstawieniu otrzymujemy podane pole.

\[10\cdot8\sqrt{3}\cdot\sin45^\circ=80\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=40\sqrt{6}\]

Zadanie 27

Matura 2023 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Dany jest graniastosłup prawidłowy sześciokątny $ABCDEFA'B'C'D'E'F'$, w którym krawędź podstawy ma długość $5$. Przekątna $AD'$ tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $45^\circ$ (zobacz rysunek).

Pole ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe

Graniastosłup prawidłowy sześciokątny z oznaczonymi wierzchołkami, przekątną AD', kątem 45° przy wierzchołku A oraz krawędzią podstawy o długości 5.

$12{,}5$

$25$

$50$

$100$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Długość przekątnej podstawy

W sześciokącie foremnym odcinek łączący przeciwległe wierzchołki ma długość dwóch boków.

\[AD=2\cdot 5=10\]

2 Wysokość graniastosłupa

Rzutem przekątnej $AD'$ na płaszczyznę podstawy jest $AD$. W trójkącie prostokątnym $ADD'$ korzystamy z tangensa kąta nachylenia.

\[\tan 45^\circ=\frac{DD'}{AD}=\frac{h}{10}=1\quad\Rightarrow\quad h=10\]

3 Pole ściany bocznej

Ściana boczna jest prostokątem o bokach równych krawędzi podstawy i wysokości graniastosłupa.

\[P=5\cdot 10=50\]

Odpowiedź

Pole ściany bocznej wynosi 50. Odpowiedź C.

\[P=50\]

Sprawdzenie

Dla wysokości 10 i rzutu przekątnej długości 10 tangens kąta nachylenia wynosi 1, więc kąt ma 45°.

\[\frac{DD'}{AD}=\frac{10}{10}=1=\tan 45^\circ\]

Zadanie 19

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdego kąta ostrego $\alpha$ wyrażenie $\cos\alpha-\cos\alpha\cdot\sin^2\alpha$ jest równe

$\cos^3\alpha$

$\sin^2\alpha$

$1-\sin^2\alpha$

$\cos\alpha$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyłączenie wspólnego czynnika

W obu składnikach występuje $\cos\alpha$, więc wyłączamy go przed nawias.

\[\cos\alpha-\cos\alpha\cdot\sin^2\alpha=\cos\alpha(1-\sin^2\alpha)\]

2 Zastosowanie tożsamości trygonometrycznej

Z tożsamości $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ wynika, że $1-\sin^2\alpha=\cos^2\alpha$.

\[\cos\alpha(1-\sin^2\alpha)=\cos\alpha\cdot\cos^2\alpha=\cos^3\alpha\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[\cos^3\alpha\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu $\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha$ do otrzymanego wyniku wracamy do wyrażenia z treści zadania. Tożsamość obowiązuje dla każdego kąta ostrego $\alpha$.

\[\cos^3\alpha=\cos\alpha(1-\sin^2\alpha)=\cos\alpha-\cos\alpha\sin^2\alpha\]

Zadanie 20

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte2 pkt

Trygonometria

Dany jest trójkąt, którego kąty mają miary $30^\circ$, $45^\circ$ oraz $105^\circ$. Długości boków trójkąta, leżących naprzeciwko tych kątów są równe – odpowiednio – $a$, $b$ oraz $c$ (zobacz rysunek).

Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.

Pole tego trójkąta poprawnie określają wyrażenia oznaczone literami: .................... oraz .................... .

Trójkąt z kątami 45° przy lewym dolnym wierzchołku, 30° przy prawym dolnym wierzchołku i 105° przy górnym wierzchołku; boki oznaczone a, b oraz c.

$\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot a\cdot c$

$\frac{1}{4}\cdot a\cdot c$

$\frac{\sqrt{2}}{4}\cdot a\cdot c$

$\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot b\cdot c$

$\frac{1}{2}\cdot b\cdot c$

$\frac{1}{4}\cdot b\cdot c$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Pole z boków a i c

Boki a i c tworzą kąt 45°. Korzystamy ze wzoru na pole z dwóch boków i sinusa kąta między nimi.

\[P=\frac12 ac\sin45^\circ=\frac12 ac\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt2}{4}ac\]

2 Pole z boków b i c

Boki b i c tworzą kąt 30°. Ten sam wzór daje drugie wyrażenie na pole.

\[P=\frac12 bc\sin30^\circ=\frac12 bc\cdot\frac12=\frac14bc\]

Odpowiedź

Poprawne odpowiedzi: C oraz F.

\[P=\frac{\sqrt2}{4}ac=\frac14bc\]

Sprawdzenie

Z twierdzenia sinusów wynika b=√2a, więc oba wskazane wyrażenia są równe.

\[\frac{b}{a}=\frac{\sin45^\circ}{\sin30^\circ}=\sqrt2,\qquad \frac14bc=\frac{\sqrt2}{4}ac\]

Zadanie 25

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Pole równoległoboku $ABCD$ jest równe $40\sqrt{6}$. Bok $AD$ tego równoległoboku ma długość $10$, a kąt $ABC$ równoległoboku ma miarę $135^\circ$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość boku $AB$ jest równa

Równoległobok ABCD z bokiem AD oznaczonym jako 10 i kątem ABC oznaczonym jako 135°.

$8\sqrt{3}$

$8\sqrt{2}$

$16\sqrt{2}$

$16\sqrt{3}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie wzoru na pole

W równoległoboku pole jest iloczynem długości sąsiednich boków i sinusa kąta między nimi. Bok BC ma taką samą długość jak AD, więc BC = 10.

\[P=AB\cdot BC\cdot\sin\angle ABC=AB\cdot10\cdot\sin135^\circ\]

2 Obliczenie długości boku

Ponieważ sinus kąta 135° wynosi √2/2, podstawiamy dane do wzoru i dzielimy przez 5√2.

\[40\sqrt6=AB\cdot10\cdot\frac{\sqrt2}{2}=5\sqrt2\cdot AB,\qquad AB=\frac{40\sqrt6}{5\sqrt2}=8\sqrt3\]

Odpowiedź

Długość boku AB wynosi 8√3. Odpowiedź A.

\[AB=8\sqrt3\quad\text{(A)}\]

Sprawdzenie

Dla obliczonej długości wzór daje pole 40√6, zgodne z treścią zadania.

\[8\sqrt3\cdot10\cdot\sin135^\circ=8\sqrt3\cdot10\cdot\frac{\sqrt2}{2}=40\sqrt6\]

Zadanie 29.2

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Dany jest ostrosłup, którego podstawą jest kwadrat o boku $6$. Jedna z krawędzi bocznych tego ostrosłupa ma długość $12$ i jest prostopadła do płaszczyzny podstawy.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Tangens kąta nachylenia najdłuższej krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy jest równy

$\sqrt{2}$

$\frac{\sqrt{6}}{3}$

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie rzutu krawędzi

Wierzchołek ostrosłupa leży nad wierzchołkiem kwadratu, ponieważ krawędź długości 12 jest prostopadła do podstawy. Najdłuższa krawędź boczna prowadzi do przeciwległego wierzchołka kwadratu, więc jej rzutem na podstawę jest przekątna kwadratu.

\[d=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}\]

2 Obliczenie tangensa

Kąt nachylenia krawędzi do podstawy jest kątem między krawędzią a jej rzutem. W powstałym trójkącie prostokątnym przyprostokątna naprzeciw tego kąta ma długość 12.

\[\tan\alpha=\frac{12}{6\sqrt{2}}=\sqrt{2}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[\tan\alpha=\sqrt{2}\]

Sprawdzenie

Odległości w podstawie od wierzchołka pod prostopadłą wynoszą 0, 6, 6 i 6√2. Ponieważ wysokość 12 jest wspólna, największej odległości odpowiada najdłuższa krawędź boczna. Otrzymany tangens pasuje do odpowiedzi A.

\[\sqrt{12^2+(6\sqrt{2})^2}=6\sqrt{6}>\sqrt{12^2+6^2}=6\sqrt{5}\]

Zadanie 30

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe

$Rysunek graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego z oznaczonymi wierzchołkami, przekątną $AD'$, jej rzutem $AD$ na podstawę i kątem $45^\circ$ między nimi.$

$12{,}5$

$25$

$50$

$100$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przekątna podstawy

W sześciokącie foremnym odcinek łączący przeciwległe wierzchołki jest dwa razy dłuższy od boku.

\[AD=2\cdot 5=10\]

2 Wysokość graniastosłupa

Rzutem przekątnej $AD'$ na podstawę jest $AD$. Trójkąt $ADD'$ jest prostokątny, więc z tangensa kąta nachylenia wyznaczamy wysokość.

\[\tan 45^\circ=\frac{DD'}{AD}=\frac{DD'}{10}=1\quad\Rightarrow\quad DD'=10\]

3 Pole ściany bocznej

Ściana boczna jest prostokątem o bokach równych krawędzi podstawy i wysokości graniastosłupa.

\[P=5\cdot 10=50\]

Odpowiedź

Pole ściany bocznej wynosi 50. Odpowiedź C.

\[P=50\]

Sprawdzenie

Dla wysokości 10 stosunek wysokości do rzutu przekątnej wynosi 1, zatem kąt nachylenia rzeczywiście ma 45°.

\[\tan\angle DAD'=\frac{DD'}{AD}=\frac{10}{10}=1=\tan45^\circ\]

Zadanie 19

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\cos\alpha=\frac{2\sqrt{6}}{7}$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Sinus kąta $\alpha$ jest równy

$\frac{24}{49}$

$\frac{5}{7}$

$\frac{25}{49}$

$\frac{\sqrt{6}}{7}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie tożsamości trygonometrycznej

Z tożsamości $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ obliczamy kwadrat sinusa.

\[\sin^2\alpha=1-\left(\frac{2\sqrt{6}}{7}\right)^2=1-\frac{24}{49}=\frac{25}{49}\]

2 Wybór pierwiastka

Kąt $\alpha$ jest ostry, więc jego sinus jest dodatni.

\[\sin\alpha=\sqrt{\frac{25}{49}}=\frac{5}{7}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[\sin\alpha=\frac{5}{7}\]

Sprawdzenie

Otrzymany sinus jest dodatni, a suma kwadratów sinusa i podanego cosinusa wynosi 1.

\[\left(\frac{5}{7}\right)^2+\left(\frac{2\sqrt{6}}{7}\right)^2=\frac{25}{49}+\frac{24}{49}=1\]

Zadanie 24

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

Dany jest trapez równoramienny $ABCD$, w którym podstawa $CD$ ma długość $6$, ramię $AD$ ma długość $4$, a kąty $BAD$ oraz $ABC$ mają miarę $60^\circ$ (zobacz rysunek).

Oblicz pole tego trapezu. Zapisz obliczenia.

Trapez równoramienny ABCD. Podstawa CD ma oznaczenie 6, ramię AD ma oznaczenie 4, a kąty przy A i B mają oznaczenia 60°.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie wysokości

Po opuszczeniu wysokości z wierzchołka D powstaje trójkąt prostokątny, w którym ramię AD jest przeciwprostokątną.

\[h=AD\sin 60^\circ=4\cdot\frac{\sqrt3}{2}=2\sqrt3\]

2 Obliczenie dolnej podstawy

Rzut poziomy każdego ramienia ma długość 2. W trapezie równoramiennym dodajemy oba rzuty do górnej podstawy.

\[AB=CD+2\cdot AD\cos 60^\circ=6+2\cdot4\cdot\frac12=10\]

3 Obliczenie pola

Pole trapezu jest iloczynem połowy sumy podstaw i wysokości.

\[P=\frac{AB+CD}{2}\cdot h=\frac{10+6}{2}\cdot2\sqrt3=16\sqrt3\]

Odpowiedź

Pole trapezu wynosi 16√3 jednostek kwadratowych.

\[P=16\sqrt3\]

Sprawdzenie

Różnica podstaw wynosi 4, więc na każde ramię przypada rzut długości 2. Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy tę samą wysokość.

\[AB-CD=10-6=4=2\cdot2,\qquad h=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt3\]

Zadanie 29.2

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte1 pkt

Stereometria

Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość równą $6$.

Oblicz cosinus kąta nachylenia dłuższej przekątnej tego graniastosłupa do płaszczyzny podstawy graniastosłupa. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rzut przekątnej

Rzut dłuższej przekątnej graniastosłupa na podstawę łączy przeciwległe wierzchołki sześciokąta foremnego. Ma długość dwóch boków sześciokąta.

\[d=2\cdot 6=12\]

2 Długość przekątnej graniastosłupa

Rzut, krawędź boczna i przekątna graniastosłupa tworzą trójkąt prostokątny, więc stosujemy twierdzenie Pitagorasa.

\[D=\sqrt{12^2+6^2}=\sqrt{180}=6\sqrt{5}\]

3 Cosinus kąta nachylenia

Kąt między przekątną a płaszczyzną podstawy jest kątem między przekątną a jej rzutem. Cosinus to stosunek długości rzutu do długości przekątnej.

\[\cos\alpha=\frac{12}{6\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\]

Odpowiedź

Cosinus kąta nachylenia wynosi $\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

\[\cos\alpha=\frac{2\sqrt{5}}{5}\]

Sprawdzenie

Obliczona przekątna spełnia twierdzenie Pitagorasa, a otrzymany cosinus należy do przedziału $(0,1)$.

\[(6\sqrt{5})^2=12^2+6^2=180,\qquad 0<\frac{2\sqrt{5}}{5}<1\]

Zadanie 18

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\cos\alpha=\frac{2\sqrt{6}}{7}$. Sinus kąta $\alpha$ jest równy

$\frac{24}{49}$

$\frac{5}{7}$

$\frac{25}{49}$

$\frac{\sqrt{6}}{7}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie kwadratu sinusa

Korzystamy z tożsamości $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$.

\[\sin^2\alpha=1-\left(\frac{2\sqrt{6}}{7}\right)^2=1-\frac{24}{49}=\frac{25}{49}\]

2 Wyznaczenie sinusa

Kąt $\alpha$ jest ostry, więc jego sinus jest dodatni.

\[\sin\alpha=\sqrt{\frac{25}{49}}=\frac{5}{7}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[\sin\alpha=\frac{5}{7}\]

Sprawdzenie

Otrzymana wartość jest dodatnia, a suma kwadratów sinusa i podanego cosinusa wynosi 1.

\[\left(\frac{5}{7}\right)^2+\left(\frac{2\sqrt{6}}{7}\right)^2=\frac{25}{49}+\frac{24}{49}=1\]