Zbiór zadań maturalnych

Trygonometria — zadania maturalne

Trygonometria: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

102 zadańStrona 2 z 7

Sortuj:

Zadanie 15

Matura 2025 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Dany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych \(\alpha\) oraz \(\beta\) (zobacz rysunek).

Sinus kąta \(\alpha\) jest równy \(\frac{4}{7}\).

Cosinus kąta \(\beta\) jest równy

Trójkąt prostokątny z kątem β przy górnym wierzchołku, kątem α przy prawym dolnym wierzchołku i oznaczonym kątem prostym przy lewym dolnym wierzchołku.

\(\frac{3}{7}\)

\(\frac{4}{7}\)

\(\frac{\sqrt{33}}{7}\)

\(\frac{4}{\sqrt{33}}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustal zależność między kątami

W trójkącie prostokątnym kąty ostre sumują się do \(90^\circ\).

\[\alpha+\beta=90^\circ\]

2 Zastosuj tożsamość dla kątów dopełniających

Cosinus jednego kąta ostrego jest sinusem drugiego, więc korzystamy z podanej wartości sinusa \(\alpha\).

\[\cos\beta=\sin\alpha=\frac{4}{7}\]

Odpowiedź

Cosinus kąta \(\beta\) wynosi \(\frac{4}{7}\). Odpowiedź B.

\[\boxed{\cos\beta=\frac{4}{7}}\]

Sprawdzenie

Ponieważ \(\beta=90^\circ-\alpha\), zachodzi \(\cos\beta=\cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha=\frac{4}{7}\).

\[\cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha=\frac{4}{7}\]

Zadanie 16

Matura 2025 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Liczba \(\frac{\sin^3 25^\circ+\sin 25^\circ\cdot\cos^2 25^\circ}{\cos 25^\circ}\) jest równa

\(\sin 25^\circ\)

\(\cos 25^\circ\)

\(\operatorname{tg}25^\circ\)

\(1\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyłącz sinus przed nawias

W obu składnikach licznika występuje \(\sin 25^\circ\), więc można go wyłączyć przed nawias.

\[\frac{\sin^3 25^\circ+\sin 25^\circ\cos^2 25^\circ}{\cos 25^\circ}=\frac{\sin 25^\circ(\sin^2 25^\circ+\cos^2 25^\circ)}{\cos 25^\circ}\]

2 Zastosuj jedynkę trygonometryczną

Suma kwadratów sinusa i cosinusa tego samego kąta wynosi 1. Ponieważ \(\cos 25^\circ\ne 0\), iloraz jest tangensem.

\[\frac{\sin 25^\circ(\sin^2 25^\circ+\cos^2 25^\circ)}{\cos 25^\circ}=\frac{\sin 25^\circ}{\cos 25^\circ}=\operatorname{tg}25^\circ\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[\operatorname{tg}25^\circ\]

Sprawdzenie

Po pomnożeniu wyniku przez mianownik otrzymujemy sinus kąta 25°, a licznik wyrażenia także jest równy temu sinusowi na mocy jedynki trygonometrycznej.

\[\operatorname{tg}25^\circ\cdot\cos 25^\circ=\sin 25^\circ=\sin 25^\circ(\sin^2 25^\circ+\cos^2 25^\circ)\]

Zadanie 23

Matura 2025 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Tworząca stożka ma długość \(6\). Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę \(60^\circ\).

Wysokość tego stożka jest równa

\(3\)

\(2\sqrt{3}\)

\(3\sqrt{3}\)

\(3\sqrt{5}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie kąta w przekroju

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym. Wysokość dzieli kąt rozwarcia na połowy, więc kąt między wysokością a tworzącą ma miarę \(30^\circ\).

\[\frac{60^\circ}{2}=30^\circ\]

2 Obliczenie wysokości

W powstałym trójkącie prostokątnym tworząca jest przeciwprostokątną, a wysokość leży przy kącie \(30^\circ\). Korzystamy z cosinusa tego kąta.

\[\cos 30^\circ=\frac{h}{6},\qquad h=6\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\]

Odpowiedź

Wysokość stożka wynosi \(3\sqrt{3}\). Odpowiedź C.

\[h=3\sqrt{3}\]

Sprawdzenie

Połowa średnicy podstawy ma długość \(6\sin 30^\circ=3\). Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy tworzącą długości \(6\), zgodnie z treścią zadania.

\[\sqrt{(3\sqrt{3})^2+3^2}=\sqrt{27+9}=6\]

Zadanie 13

Matura 2025 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Kąt \(\alpha\) jest ostry i spełnia warunek \(\sqrt{3}\operatorname{tg}\alpha=2\sin\alpha\).

Cosinus kąta \(\alpha\) jest równy

\(\frac{1}{2}\)

\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie definicji tangensa

Ponieważ kąt jest ostry, jego sinus i cosinus są dodatnie. Możemy więc podstawić definicję tangensa i podzielić równanie przez sinus.

\[\sqrt{3}\,\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=2\sin\alpha\quad\Rightarrow\quad\frac{\sqrt{3}}{\cos\alpha}=2\]

2 Obliczenie cosinusa

Mnożymy równanie przez dodatni cosinus i dzielimy przez 2.

\[\sqrt{3}=2\cos\alpha\quad\Rightarrow\quad\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\]

Sprawdzenie

Dla kąta ostrego o takim cosinusie sinus wynosi 1/2, a tangens wynosi 1/√3. Obie strony warunku są równe 1.

\[\sin\alpha=\sqrt{1-\frac{3}{4}}=\frac12,\qquad\sqrt3\operatorname{tg}\alpha=\sqrt3\cdot\frac{1}{\sqrt3}=1=2\cdot\frac12\]

Zadanie 14

Matura 2025 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym bok \(BC\) jest przeciwprostokątną, punkt \(D\) jest środkiem przyprostokątnej \(AB\) oraz \(|AB|=6\) i \(|CD|=5\). Oznaczmy kąt \(ADC\) przez \(\alpha\), natomiast kąt \(ABC\) – przez \(\beta\) (zobacz rysunek).

Tangens kąta \(\alpha\) jest równy

Trójkąt prostokątny ABC z punktem D na boku AB, odcinkiem CD oraz oznaczonymi kątami α i β.

\(\frac{2}{3}\)

\(\frac{3}{4}\)

\(\frac{4}{5}\)

\(\frac{4}{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie długości AD

Punkt D jest środkiem odcinka AB, więc dzieli go na dwie równe części.

\[|AD|=\frac{|AB|}{2}=\frac{6}{2}=3\]

2 Obliczenie długości AC

Trójkąt ACD jest prostokątny w A. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy drugą przyprostokątną.

\[|AC|^2=|CD|^2-|AD|^2=5^2-3^2=16,\quad |AC|=4\]

3 Obliczenie tangensa

W trójkącie ACD tangens kąta α jest ilorazem przyprostokątnej naprzeciw tego kąta i przyprostokątnej przy nim.

\[\tan\alpha=\frac{|AC|}{|AD|}=\frac{4}{3}\]

Odpowiedź

Tangens kąta α wynosi 4/3. Poprawna odpowiedź: D.

\[\tan\alpha=\frac{4}{3}\]

Sprawdzenie

Otrzymane długości spełniają twierdzenie Pitagorasa, a AD = 3 jest połową AB = 6.

\[3^2+4^2=5^2,\qquad 2\cdot3=6\]

Zadanie 15

Matura 2025 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Sinus kąta \(\beta\) jest równy

Trójkąt prostokątny ABC z kątem prostym przy A; D leży na AB. Odcinek CD ma oznaczenie 5, AB ma oznaczenie 6, kąt ADC oznaczono α, a kąt ABC oznaczono β.

\(\frac{2}{\sqrt{13}}\)

\(\frac{3}{\sqrt{13}}\)

\(\frac{5}{2\sqrt{13}}\)

\(\frac{4}{5}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie przyprostokątnej AC

Punkt D jest środkiem AB, więc AD ma długość 3. Trójkąt ACD jest prostokątny; z twierdzenia Pitagorasa obliczamy AC.

\[AD=\frac{6}{2}=3,\qquad AC^2=CD^2-AD^2=5^2-3^2=16,\qquad AC=4\]

2 Obliczenie sinusa kąta β

W trójkącie ABC obliczamy przeciwprostokątną, a następnie dzielimy długość boku leżącego naprzeciw kąta β przez długość przeciwprostokątnej.

\[BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+4^2}=2\sqrt{13},\qquad \sin\beta=\frac{AC}{BC}=\frac{4}{2\sqrt{13}}=\frac{2}{\sqrt{13}}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[\sin\beta=\frac{2}{\sqrt{13}}\]

Sprawdzenie

Obliczone długości spełniają oba równania Pitagorasa: 3² + 4² = 5² oraz 6² + 4² = (2√13)².

\[3^2+4^2=25=5^2,\qquad 6^2+4^2=52=(2\sqrt{13})^2\]

Zadanie 18

Matura 2025 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Dany jest trójkąt \(ABC\), w którym \(|AB|=11\), \(|BC|=12\) oraz \(|\angle ABC|=60^\circ\) (zobacz rysunek).

Pole trójkąta \(ABC\) jest równe

Trójkąt ABC z bokiem AB oznaczonym 11, bokiem BC oznaczonym 12 i kątem ABC oznaczonym 60°.

\(33\)

\(33\sqrt{3}\)

\(66\)

\(66\sqrt{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie wzoru na pole

Znamy dwa boki i kąt między nimi, więc korzystamy ze wzoru na pole trójkąta.

\[P=\frac{1}{2}|AB|\cdot|BC|\cdot\sin\angle ABC\]

2 Obliczenie pola

Podstawiamy dane oraz wartość sinusa kąta 60°.

\[P=\frac{1}{2}\cdot11\cdot12\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=33\sqrt{3}\]

Odpowiedź

Pole trójkąta wynosi 33√3 jednostek kwadratowych. Odpowiedź B.

\[P=33\sqrt{3}\]

Sprawdzenie

Wysokość opuszczona z C na prostą AB wynosi 12·sin 60° = 6√3, więc pole obliczone z podstawy i wysokości także wynosi 33√3.

\[\frac{1}{2}\cdot11\cdot6\sqrt{3}=33\sqrt{3}\]

Zadanie 19

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(1+\cos^2 27^\circ\) jest równa

\(2-\sin^2 27^\circ\)

\(\sin^2 27^\circ\)

\(2+\sin^2 27^\circ\)

\(2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie jedynki trygonometrycznej

Korzystamy z tożsamości, aby zastąpić kwadrat cosinusa kwadratem sinusa.

\[\sin^2 27^\circ+\cos^2 27^\circ=1,\quad \cos^2 27^\circ=1-\sin^2 27^\circ\]

2 Przekształcenie wyrażenia

Podstawiamy otrzymaną równość i dodajemy jedynki.

\[1+\cos^2 27^\circ=1+(1-\sin^2 27^\circ)=2-\sin^2 27^\circ\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[2-\sin^2 27^\circ\]

Sprawdzenie

Po odjęciu lewej strony od odpowiedzi A otrzymujemy zero na mocy jedynki trygonometrycznej.

\[(2-\sin^2 27^\circ)-(1+\cos^2 27^\circ)=1-(\sin^2 27^\circ+\cos^2 27^\circ)=0\]

Zadanie 20

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Podstawy trapezu prostokątnego \(ABCD\) mają długości: \(|AB|=8\) oraz \(|CD|=5\). Wysokość \(AD\) tego trapezu ma długość \(\sqrt{3}\) (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta ostrego \(ABC\) jest równa

Trapez prostokątny ABCD. Podstawa AB ma długość 8, podstawa CD ma długość 5, a wysokość AD ma długość √3. Zaznaczono kąty proste przy A i D oraz kąt ostry ABC.

\(15^\circ\)

\(30^\circ\)

\(45^\circ\)

\(60^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie przyprostokątnej

Opuszczamy z punktu C prostopadłą na AB i oznaczamy jej podstawę przez E. Czworokąt ADCE jest prostokątem, więc AE=CD=5, a CE=AD=√3. Stąd obliczamy BE.

\[BE=AB-AE=8-5=3\]

2 Obliczenie kąta

W trójkącie prostokątnym BCE kąt CBE jest kątem ABC. Korzystamy z definicji tangensa kąta ostrego.

\[\tan\angle ABC=\frac{CE}{BE}=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan 30^\circ\]

Odpowiedź

Kąt ABC ma miarę 30°. Odpowiedź B.

\[\angle ABC=30^\circ\]

Sprawdzenie

Dla kąta 30° stosunek przeciwległej przyprostokątnej do przyległej wynosi √3/3, dokładnie tyle co CE/BE=√3/3. Kąt jest ostry, zgodnie z rysunkiem.

\[\frac{CE}{BE}=\frac{\sqrt{3}}{3}\]

Zadanie 27

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości \(4\). Przekątna tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\alpha\) takim, że \(\operatorname{tg}\alpha=2\) (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wysokość tego graniastosłupa jest równa

Graniastosłup prawidłowy czworokątny z bokami podstawy oznaczonymi 4, zaznaczoną przekątną graniastosłupa, jej rzutem na podstawę i kątem α między nimi.

\(2\)

\(8\)

\(8\sqrt{2}\)

\(16\sqrt{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przekątna podstawy

Rzut przekątnej graniastosłupa na płaszczyznę podstawy jest przekątną kwadratu. Obliczamy ją z twierdzenia Pitagorasa.

\[d=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}\]

2 Wysokość graniastosłupa

Kąt między przekątną graniastosłupa a jej rzutem na podstawę ma miarę \(\alpha\). W powstałym trójkącie prostokątnym tangens jest ilorazem wysokości i przekątnej podstawy.

\[\operatorname{tg}\alpha=\frac{h}{d}=2\quad\Rightarrow\quad h=2\cdot4\sqrt{2}=8\sqrt{2}\]

Odpowiedź

Wysokość graniastosłupa wynosi \(8\sqrt{2}\). Odpowiedź C.

\[h=8\sqrt{2}\]

Sprawdzenie

Iloraz obliczonej wysokości i przekątnej podstawy wynosi \(2\), zgodnie z warunkiem zadania.

\[\frac{8\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}=2=\operatorname{tg}\alpha\]

Zadanie 18

Matura 2024 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Liczba \(1+\cos^2 27^\circ\) jest równa

\(2-\sin^2 27^\circ\)

\(\sin^2 27^\circ\)

\(2+\sin^2 27^\circ\)

\(2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie jedynki trygonometrycznej

Korzystamy z tożsamości \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\), aby zapisać wyrażenie za pomocą sinusa.

\[1+\cos^2 27^\circ=1+(1-\sin^2 27^\circ)=2-\sin^2 27^\circ\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[2-\sin^2 27^\circ\]

Sprawdzenie

Po zastąpieniu \(\sin^2 27^\circ\) wyrażeniem \(1-\cos^2 27^\circ\) otrzymujemy liczbę z treści zadania.

\[2-\sin^2 27^\circ=2-(1-\cos^2 27^\circ)=1+\cos^2 27^\circ\]

Zadanie 19

Matura 2024 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Podstawy trapezu prostokątnego \(ABCD\) mają długości: \(|AB|=8\) oraz \(|CD|=5\). Wysokość \(AD\) tego trapezu ma długość \(\sqrt{3}\) (zobacz rysunek).

Miara kąta ostrego \(ABC\) jest równa

Trapez prostokątny ABCD. Podstawa AB jest oznaczona liczbą 8, podstawa CD liczbą 5, a wysokość AD symbolem √3. Zaznaczono kąty proste przy A i D oraz kąt ostry przy B.

\(15^\circ\)

\(30^\circ\)

\(45^\circ\)

\(60^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie przyprostokątnych

Opuszczamy z C prostopadłą na AB i oznaczamy jej koniec przez E. Prostokąt ADCE daje AE=CD i CE=AD, więc w trójkącie prostokątnym BCE znamy obie przyprostokątne.

\[BE=AB-AE=8-5=3,\qquad CE=AD=\sqrt{3}\]

2 Obliczenie kąta

Kąt CBE jest kątem ABC. Stosunek przyprostokątnej naprzeciw tego kąta do przyprostokątnej przy nim to tangens.

\[\tan\angle ABC=\frac{CE}{BE}=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan 30^\circ\]

Odpowiedź

Kąt ABC ma miarę 30°, zatem poprawna jest odpowiedź B.

\[\angle ABC=30^\circ\]

Sprawdzenie

Kąt ABC jest ostry, więc wartość tangensa jednoznacznie wyznacza jego miarę. Dla 30° otrzymujemy wymaganą wysokość.

\[3\tan 30^\circ=3\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}\]

Zadanie 24

Matura 2024 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Wysokość tego graniastosłupa jest równa

Graniastosłup prawidłowy czworokątny z zaznaczoną przekątną, kątem α i bokami podstawy oznaczonymi 4

\(2\)

\(8\)

\(8\sqrt{2}\)

\(16\sqrt{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie przekątnej podstawy

Rzut przekątnej graniastosłupa na płaszczyznę podstawy jest przekątną kwadratu. Jej długość obliczamy z twierdzenia Pitagorasa.

\[d=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}\]

2 Obliczenie wysokości

Tangens kąta nachylenia przekątnej do podstawy jest stosunkiem wysokości graniastosłupa do długości rzutu przekątnej.

\[\operatorname{tg}\alpha=\frac{h}{d}=2,\qquad h=2\cdot4\sqrt{2}=8\sqrt{2}\]

Odpowiedź

Wysokość wynosi 8√2. Odpowiedź C.

\[h=8\sqrt{2}\]

Sprawdzenie

Stosunek otrzymanej wysokości do przekątnej podstawy wynosi 2, zgodnie z podanym tangensem kąta.

\[\frac{8\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}=2=\operatorname{tg}\alpha\]

Zadanie 19

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Liczba \(\sin^3 20^\circ+\cos^2 20^\circ\cdot\sin 20^\circ\) jest równa

\(\cos 20^\circ\)

\(\sin 20^\circ\)

\(\operatorname{tg}20^\circ\)

\(\sin 20^\circ\cdot\cos 20^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyłącz wspólny czynnik

W obu składnikach występuje \(\sin 20^\circ\), więc wyłączamy go przed nawias.

\[\sin^3 20^\circ+\cos^2 20^\circ\cdot\sin 20^\circ=\sin 20^\circ(\sin^2 20^\circ+\cos^2 20^\circ)\]

2 Zastosuj jedynkę trygonometryczną

Suma kwadratów sinusa i cosinusa tego samego kąta jest równa 1.

\[\sin 20^\circ(\sin^2 20^\circ+\cos^2 20^\circ)=\sin 20^\circ\cdot 1=\sin 20^\circ\]

Odpowiedź

B. \(\sin 20^\circ\)

\[\sin 20^\circ\]

Sprawdzenie

Po ponownym wymnożeniu \(\sin 20^\circ\) przez \(\sin^2 20^\circ+\cos^2 20^\circ\) otrzymujemy dokładnie wyrażenie z zadania.

\[\sin 20^\circ(\sin^2 20^\circ+\cos^2 20^\circ)=\sin^3 20^\circ+\cos^2 20^\circ\sin 20^\circ\]

Zadanie 20

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Kąt \(\alpha\) jest ostry oraz \(\cos\alpha=\frac{5}{13}\). Wtedy

\(\operatorname{tg}\alpha=\frac{12}{13}\)

\(\operatorname{tg}\alpha=\frac{12}{5}\)

\(\operatorname{tg}\alpha=\frac{5}{12}\)

\(\operatorname{tg}\alpha=\frac{13}{12}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie sinusa

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej. Ponieważ kąt jest ostry, jego sinus jest dodatni.

\[\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\frac{25}{169}}=\frac{12}{13}\]

2 Obliczenie tangensa

Dzielimy sinus przez cosinus.

\[\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{12/13}{5/13}=\frac{12}{5}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[\operatorname{tg}\alpha=\frac{12}{5}\]

Sprawdzenie

Otrzymany sinus i podany cosinus spełniają jedynkę trygonometryczną; obie wartości są dodatnie, zgodnie z warunkiem, że kąt jest ostry.

\[\left(\frac{12}{13}\right)^2+\left(\frac{5}{13}\right)^2=\frac{144+25}{169}=1\]