Zbiór zadań maturalnych

Równania i nierówności — zadania maturalne

Równania i nierówności: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

58 zadańStrona 3 z 4

Sortuj:

Zadanie 8

Matura 2021 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

65%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Na rysunku obok przedstawiono geometryczną interpretację jednego z niżej zapisanych układów równań. Wskaż ten układ, którego geometryczną interpretację przedstawiono na rysunku.

Układ współrzędnych z dwiema prostymi. Prosta rosnąca przecina oś y w punkcie 1, a prosta malejąca w punkcie 4. Proste przecinają się w punkcie (1, 2).

\(\begin{cases}y=x+1\\y=-2x+4\end{cases}\)

\(\begin{cases}y=x-1\\y=2x+4\end{cases}\)

\(\begin{cases}y=x-1\\y=-2x+4\end{cases}\)

\(\begin{cases}y=x+1\\y=2x+4\end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Równanie prostej rosnącej

Z wykresu odczytujemy punkty (0,1) i (1,2). Przy wzroście x o 1 wartość y rośnie o 1, więc współczynnik kierunkowy wynosi 1.

\[a=\frac{2-1}{1-0}=1,\qquad y=x+1\]

2 Równanie prostej malejącej

Ta prosta przechodzi przez punkty (0,4) i (1,2). Jej współczynnik kierunkowy wynosi −2.

\[a=\frac{2-4}{1-0}=-2,\qquad y=-2x+4\]

Odpowiedź

Układ A.

\[\boxed{\begin{cases}y=x+1\\y=-2x+4\end{cases}}\]

Sprawdzenie

Punkt przecięcia (1,2) spełnia oba równania.

\[2=1+1,\qquad 2=-2\cdot1+4\]

Zadanie 5

Matura 2020 · termin główny — 9 czerwca (na PDF: 5 maja) · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

65%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(3(1-x)>2(3x-1)-12x\) jest przedział

\(\left(-\frac{5}{3},+\infty\right)\)

\(\left(-\infty,\frac{5}{3}\right)\)

\(\left(\frac{5}{3},+\infty\right)\)

\(\left(-\infty,-\frac{5}{3}\right)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Usuń nawiasy

Rozwijamy nawiasy i redukujemy wyrazy podobne, aby uprościć nierówność.

\[3-3x>6x-2-12x\quad\Longrightarrow\quad 3-3x>-6x-2\]

2 Wyznacz x

Dodajemy \(6x\) i odejmujemy 3 po obu stronach. Następnie dzielimy przez dodatnie 3, więc znak nierówności się nie zmienia.

\[3+3x>-2\quad\Longrightarrow\quad 3x>-5\quad\Longrightarrow\quad x>-\frac{5}{3}\]

Odpowiedź

Zbiorem rozwiązań jest przedział \(\left(-\frac{5}{3},+\infty\right)\), czyli odpowiedź A.

\[x\in\left(-\frac{5}{3},+\infty\right)\]

Sprawdzenie

Dla \(x=-\frac{5}{3}\) obie strony nierówności są równe 8, więc koniec przedziału jest wyłączony. Liczba \(x=0\) należy do otrzymanego przedziału i spełnia nierówność \(3>-2\).

\[3\left(1+\frac{5}{3}\right)=8=2\left(3\left(-\frac{5}{3}\right)-1\right)-12\left(-\frac{5}{3}\right)\]

Zadanie 8

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

65%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Równanie \(x(x^2-4)(x^2+4)=0\) z niewiadomą \(x\)

nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.

ma dokładnie dwa rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych.

ma dokładnie trzy rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych.

ma dokładnie pięć rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie zasady iloczynu zerowego

Iloczyn jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy zeru.

\[x=0\quad\text{lub}\quad x^2-4=0\quad\text{lub}\quad x^2+4=0\]

2 Wyznaczenie rozwiązań rzeczywistych

Drugie równanie daje dwa rozwiązania. Trzecie nie ma rozwiązań rzeczywistych, ponieważ kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny.

\[x^2-4=0\iff x^2=4\iff x=-2\ \text{lub}\ x=2;\qquad x^2+4\geq 4>0\]

Odpowiedź

Równanie ma dokładnie trzy rozwiązania rzeczywiste: −2, 0 i 2. Odpowiedź C.

\[x\in\{-2,0,2\}\]

Sprawdzenie

Dla każdej z liczb −2, 0 i 2 jeden z czynników iloczynu jest zerem. Są to wszystkie rozwiązania, bo czynnik x²+4 nigdy nie jest zerem dla liczby rzeczywistej, a pozostałe czynniki dają tylko te trzy liczby.

\[(-2)^2-4=0,\qquad 0=0,\qquad 2^2-4=0,\qquad x^2+4>0\ \text{dla}\ x\in\mathbb{R}\]

Zadanie 7

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

64%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Jednym z rozwiązań równania \(\sqrt{3}(x^2-2)(x+3)=0\) jest liczba

\(3\)

\(2\)

\(\sqrt{3}\)

\(\sqrt{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozłóż równanie na czynniki

Ponieważ \(\sqrt{3}\neq 0\), iloczyn jest równy zeru wtedy, gdy zeruje się jeden z pozostałych czynników.

\[x^2-2=0\quad\text{lub}\quad x+3=0\]

2 Wyznacz rozwiązania

Z pierwszego równania otrzymujemy dwa pierwiastki, a z drugiego jeden.

\[x^2=2\Rightarrow x=\pm\sqrt{2},\qquad x+3=0\Rightarrow x=-3\]

Odpowiedź

Jednym z rozwiązań jest \(\sqrt{2}\), czyli odpowiedź D.

\[x=\sqrt{2}\quad\text{(D)}\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu \(x=\sqrt{2}\) czynnik \(x^2-2\) jest równy zeru, więc całe wyrażenie także jest równe zeru.

\[\sqrt{3}\bigl((\sqrt{2})^2-2\bigr)(\sqrt{2}+3)=\sqrt{3}(2-2)(\sqrt{2}+3)=0\]

Zadanie 6

Matura 2022 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

64%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Rozwiązaniem układu równań \(\begin{cases}11x-11y=1\\22x+22y=-1\end{cases}\) jest para liczb: \(x=x_0\), \(y=y_0\). Wtedy

\(x_0>0\) i \(y_0>0\)

\(x_0>0\) i \(y_0<0\)

\(x_0<0\) i \(y_0>0\)

\(x_0<0\) i \(y_0<0\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Uproszczenie układu

Dzielimy każde równanie przez współczynnik przy niewiadomych, aby łatwiej je dodać.

\[\begin{cases}x-y=\frac{1}{11}\\x+y=-\frac{1}{22}\end{cases}\]

2 Obliczenie niewiadomych

Po dodaniu równań znika \(y\). Następnie podstawiamy otrzymane \(x\) do drugiego równania.

\[2x=\frac{1}{11}-\frac{1}{22}=\frac{1}{22},\quad x=\frac{1}{44},\quad y=-\frac{1}{22}-\frac{1}{44}=-\frac{3}{44}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: \(x_0>0\) i \(y_0<0\).

\[(x_0,y_0)=\left(\frac{1}{44},-\frac{3}{44}\right)\]

Sprawdzenie

Podstawienie obu liczb daje prawe strony równań układu.

\[11\cdot\frac{1}{44}-11\cdot\left(-\frac{3}{44}\right)=1,\qquad 22\cdot\frac{1}{44}+22\cdot\left(-\frac{3}{44}\right)=-1\]

Zadanie 6

Matura 2020 · termin główny — 9 czerwca (na PDF: 5 maja) · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

64%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Suma wszystkich rozwiązań równania \(x(x-3)(x+2)=0\) jest równa

\(0\)

\(1\)

\(2\)

\(3\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie rozwiązań

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy zeru.

\[x=0\quad\text{lub}\quad x-3=0\quad\text{lub}\quad x+2=0,\quad\text{czyli}\quad x\in\{0,3,-2\}\]

2 Obliczenie sumy

Dodajemy wszystkie trzy rozwiązania.

\[0+3+(-2)=1\]

Odpowiedź

Suma rozwiązań wynosi 1. Odpowiedź B.

\[1\]

Sprawdzenie

Dla każdej z liczb 0, 3 i −2 jeden z czynników równania jest zerem. Są to wszystkie możliwości, więc ich suma wynosi 1.

\[0+3-2=1\]

Zadanie 6

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

64%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Do zbioru rozwiązań nierówności \((x^4+1)(2-x)>0\) nie należy liczba

\(-3\)

\(-1\)

\(1\)

\(3\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustal znak pierwszego czynnika

Czwarta potęga liczby rzeczywistej jest nieujemna, więc pierwszy czynnik jest zawsze dodatni.

\[x^4\ge 0\quad\Rightarrow\quad x^4+1>0\]

2 Rozwiąż nierówność

Ponieważ pierwszy czynnik jest dodatni, iloczyn jest dodatni dokładnie wtedy, gdy drugi czynnik jest dodatni.

\[(x^4+1)(2-x)>0\quad\Longleftrightarrow\quad 2-x>0\quad\Longleftrightarrow\quad x<2\]

3 Wybierz liczbę spoza zbioru

Spośród podanych liczb tylko 3 nie spełnia warunku x<2.

\[-3<2,\quad -1<2,\quad 1<2,\quad 3>2\]

Odpowiedź

Do zbioru rozwiązań nie należy liczba 3 — odpowiedź D.

\[\boxed{\mathrm{D}:\ 3}\]

Sprawdzenie

Dla x=3 drugi czynnik wynosi −1, a pierwszy jest dodatni, więc iloczyn jest ujemny i nierówność nie zachodzi.

\[(3^4+1)(2-3)=82\cdot(-1)=-82<0\]

Zadanie 21

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

64%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, w którym wysokość jest 3 razy dłuższa od krawędzi podstawy, jest równe 140. Zatem krawędź podstawy tego graniastosłupa jest równa

\(\sqrt{10}\)

\(3\sqrt{10}\)

\(\sqrt{42}\)

\(3\sqrt{42}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Oznaczenie krawędzi

Oznaczamy krawędź kwadratowej podstawy przez \(a>0\). Z treści wynika, że wysokość wynosi \(3a\).

\[h=3a\]

2 Obliczenie pola całkowitego

Pole całkowite to suma pól dwóch kwadratowych podstaw i czterech prostokątnych ścian bocznych.

\[140=2a^2+4a\cdot 3a=14a^2\]

3 Wyznaczenie krawędzi

Dzielimy równanie przez 14 i wybieramy dodatni pierwiastek, ponieważ długość krawędzi jest dodatnia.

\[a^2=10\quad\Rightarrow\quad a=\sqrt{10}\]

Odpowiedź

Krawędź podstawy jest równa \(\sqrt{10}\). Odpowiedź A.

\[a=\sqrt{10}\]

Sprawdzenie

Dla \(a=\sqrt{10}\) wysokość wynosi \(3\sqrt{10}\), a pole całkowite jest równe 140, zgodnie z treścią zadania.

\[2(\sqrt{10})^2+4\sqrt{10}\cdot 3\sqrt{10}=20+120=140\]

Zadanie 6

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

63%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

\(1-\frac{3}{2}x<\frac{2}{3}-x\)

jest przedział

\((−\infty,−\frac{2}{3})\)

\((−\infty,\frac{2}{3})\)

\((−\frac{2}{3},+\infty)\)

\((\frac{2}{3},+\infty)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przenieś wyrazy

Dodajemy \(\frac{3}{2}x\) do obu stron i odejmujemy \(\frac{2}{3}\), aby oddzielić liczby od wyrazów z \(x\).

\[1-\frac{3}{2}x<\frac{2}{3}-x\quad\Longleftrightarrow\quad\frac{1}{3}<\frac{1}{2}x\]

2 Wyznacz x

Mnożymy obie strony przez dodatnią liczbę 2, więc znak nierówności się nie zmienia.

\[\frac{2}{3}<x\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: przedział \((\frac{2}{3},+\infty)\).

\[x\in\left(\frac{2}{3},+\infty\right)\]

Sprawdzenie

Dla \(x=1\) nierówność jest prawdziwa. Dla \(x=\frac{2}{3}\) obie strony są równe 0, więc koniec przedziału nie należy do zbioru rozwiązań.

\[x=1:\;-\frac{1}{2}<-\frac{1}{3},\qquad x=\frac{2}{3}:\;0=0\]

Zadanie 7

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

62%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Równanie \(2x(x+3)(x^2+25)=0\) w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

dwa rozwiązania: \((-3)\) oraz \(0\).

dwa rozwiązania: \((-3)\) oraz \(2\).

trzy rozwiązania: \((-5)\), \((-3)\) oraz \(0\).

cztery rozwiązania: \((-5)\), \((-3)\), \(0\) oraz \(5\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie zasady iloczynu zerowego

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy zeru. Stała 2 nie jest zerem.

\[2x(x+3)(x^2+25)=0\iff x=0\ \lor\ x+3=0\ \lor\ x^2+25=0\]

2 Wyznaczenie rozwiązań rzeczywistych

Dwa pierwsze równania dają 0 i −3. Ponieważ kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny, trzeci czynnik nie może być zerem.

\[x=0\quad\lor\quad x=-3,\qquad x^2+25\ge 25>0\]

Odpowiedź

Równanie ma dokładnie dwa rozwiązania: −3 oraz 0. Odpowiedź A.

\[\boxed{x\in\{-3,0\}\quad\text{— A}}\]

Sprawdzenie

Dla x = 0 zeruje się czynnik x, a dla x = −3 czynnik x + 3. Dla każdej liczby rzeczywistej czynnik x² + 25 jest dodatni, więc innych rozwiązań nie ma.

\[2\cdot 0\cdot(0+3)(0^2+25)=0,\qquad 2\cdot(-3)\cdot(-3+3)((-3)^2+25)=0\]

Zadanie 6

Matura 2021 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

62%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(\frac{2-x}{2}-2x\geqslant 1\) jest przedział

\(\langle 0,+\infty)\)

\((-\infty,0\rangle\)

\((-\infty,5\rangle\)

\((-\infty,\frac{1}{3}\rangle\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Usuń mianownik

Mnożymy obie strony przez dodatnią liczbę 2, więc znak nierówności się nie zmienia.

\[2-x-4x\geqslant 2\]

2 Wyznacz x

Redukujemy wyrazy podobne, a następnie dzielimy przez −5. Przy dzieleniu przez liczbę ujemną odwracamy znak nierówności.

\[-5x\geqslant 0\quad\Longleftrightarrow\quad x\leqslant 0\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: \((-\infty,0\rangle\).

\[x\in(-\infty,0\rangle\]

Sprawdzenie

Dla \(x=0\) lewa strona wynosi 1, więc koniec przedziału należy do rozwiązania. Po przekształceniu nierówność ma postać \(-5x\geqslant 0\), która zachodzi dokładnie dla \(x\leqslant 0\).

\[\frac{2-0}{2}-2\cdot 0=1\geqslant 1\]

Zadanie 23

Matura 2021 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

62%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W każdym \(n\)-kącie wypukłym (\(n\geq 3\)) liczba przekątnych jest równa \(\frac{n(n-3)}{2}\). Wielokątem wypukłym, w którym liczba przekątnych jest o \(25\) większa od liczby boków, jest

siedmiokąt.

dziesięciokąt.

dwunastokąt.

piętnastokąt.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ułożenie równania

Liczba boków wynosi \(n\), więc liczba przekątnych większa o 25 to \(n+25\). Przyrównujemy ją do podanego wzoru.

\[\frac{n(n-3)}{2}=n+25\]

2 Rozwiązanie równania

Mnożymy obie strony przez 2 i rozkładamy trójmian na czynniki. Odrzucamy wynik ujemny, ponieważ \(n\geq 3\).

\[n^2-3n=2n+50\;\Longrightarrow\;n^2-5n-50=0\;\Longrightarrow\;(n-10)(n+5)=0\;\Longrightarrow\;n=10\]

Odpowiedź

B — dziesięciokąt.

\[n=10\]

Sprawdzenie

Dziesięciokąt ma 35 przekątnych i 10 boków; różnica wynosi 25.

\[\frac{10(10-3)}{2}-10=35-10=25\]

Zadanie 27

Matura 2020 · termin główny — 9 czerwca (na PDF: 5 maja) · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

62%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Rozwiąż równanie \((x^{2}-1)(x^{2}-2x)=0\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie zasady iloczynu

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy zeru.

\[x^{2}-1=0\quad\text{lub}\quad x^{2}-2x=0\]

2 Rozwiązanie obu równań

Pierwszy czynnik rozkładamy jako różnicę kwadratów, a z drugiego wyłączamy \(x\) przed nawias.

\[(x-1)(x+1)=0\quad\text{lub}\quad x(x-2)=0\]

3 Odczytanie pierwiastków

Każdy z otrzymanych czynników przyrównujemy do zera.

\[x=1\quad\text{lub}\quad x=-1\quad\text{lub}\quad x=0\quad\text{lub}\quad x=2\]

Odpowiedź

Rozwiązaniami równania są −1, 0, 1 i 2.

\[x\in\{-1,0,1,2\}\]

Sprawdzenie

Dla −1 i 1 pierwszy czynnik pierwotnego iloczynu jest zerem, a dla 0 i 2 drugi. Rozkłady obejmują wszystkie możliwości wyzerowania iloczynu.

\[x^{2}-1=(x-1)(x+1),\qquad x^{2}-2x=x(x-2)\]

Zadanie 27

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

62%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Rozwiąż równanie \((x^3+125)(x^2-64)=0\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie zasady iloczynu

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zeru.

\[(x^3+125)(x^2-64)=0\iff x^3+125=0\ \lor\ x^2-64=0\]

2 Rozwiązanie obu równań

Korzystamy z tego, że \((-5)^3=-125\), a liczby o kwadracie równym \(64\) to \(-8\) i \(8\).

\[x^3=-125\iff x=-5;\qquad x^2=64\iff x=-8\ \lor\ x=8\]

Odpowiedź

Rozwiązania: \(x=-8\), \(x=-5\), \(x=8\).

\[x\in\{-8,-5,8\}\]

Sprawdzenie

Dla \(x=-5\) pierwszy czynnik wynosi \(0\). Dla \(x=-8\) i \(x=8\) drugi czynnik wynosi \(0\), więc każda z tych liczb spełnia równanie.

\[(-5)^3+125=0;\qquad (-8)^2-64=0;\qquad 8^2-64=0\]

Zadanie 30

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

60%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość 26 cm, a jedna z przyprostokątnych jest o 14 cm dłuższa od drugiej. Oblicz obwód tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Oznaczenie przyprostokątnych

Niech krótsza przyprostokątna ma długość x cm. Dłuższa ma wtedy długość (x+14) cm, przy czym x>0.

\[x>0,\qquad x+14\]

2 Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa

W trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

\[x^2+(x+14)^2=26^2\;\Longrightarrow\;x^2+14x-240=0\]

3 Wyznaczenie długości boków

Rozkładamy trójmian na czynniki. Odrzucamy ujemny wynik, ponieważ długość boku musi być dodatnia.

\[(x+24)(x-10)=0\;\Longrightarrow\;x=10\;\text{lub}\;x=-24,\qquad x=10\]

4 Obliczenie obwodu

Przyprostokątne mają długości 10 cm i 24 cm. Dodajemy długości wszystkich trzech boków.

\[10+24+26=60\ \text{cm}\]

Odpowiedź

Obwód trójkąta wynosi 60 cm.

\[60\ \text{cm}\]

Sprawdzenie

Boki spełniają podane warunki: różnica przyprostokątnych wynosi 14 cm, a ich kwadraty sumują się do kwadratu przeciwprostokątnej.

\[24-10=14,\qquad 10^2+24^2=100+576=676=26^2\]