Zbiór zadań maturalnych

Równania i nierówności — zadania maturalne

Równania i nierówności: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

58 zadańStrona 1 z 4

Sortuj:

Zadanie 5

Matura 2019 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

90%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Para liczb $x=2$ i $y=2$ jest rozwiązaniem układu równań $\begin{cases}ax+y=4\\-2x+3y=2a\end{cases}$ dla

$a=-1$

$a=1$

$a=-2$

$a=2$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie do pierwszego równania

Podstawiamy podane wartości x i y, aby wyznaczyć a.

\[a\cdot 2+2=4\quad\Rightarrow\quad 2a=2\quad\Rightarrow\quad a=1\]

2 Sprawdzenie drugiego równania

Para liczb musi spełniać oba równania układu.

\[-2\cdot 2+3\cdot 2=2=2\cdot 1\]

Odpowiedź

a = 1, odpowiedź B.

\[a=1\]

Sprawdzenie

Dla a = 1 pierwsze równanie daje 4 = 4, a drugie 2 = 2.

\[1\cdot 2+2=4,\qquad -2\cdot 2+3\cdot 2=2\cdot 1\]

Zadanie 6

Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

85%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Suma wszystkich pierwiastków równania $(x+3)(x+7)(x-11)=0$ jest równa

$-1$

$21$

$1$

$-21$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie pierwiastków

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy zeru.

\[x+3=0\Rightarrow x=-3,\quad x+7=0\Rightarrow x=-7,\quad x-11=0\Rightarrow x=11\]

2 Obliczenie sumy

Dodajemy wszystkie trzy pierwiastki.

\[-3+(-7)+11=1\]

Odpowiedź

Suma pierwiastków wynosi 1. Odpowiedź C.

\[\boxed{1}\]

Sprawdzenie

Liczby −3, −7 i 11 zerują odpowiednio pierwszy, drugi i trzeci czynnik. Każdy czynnik liniowy daje jeden pierwiastek, więc są to wszystkie pierwiastki; ich suma wynosi 1.

\[(-3)+(-7)+11=1\]

Zadanie 8

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Wyrażenia algebraiczne

84%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest wielomian $W(x)=3x^3+6x^2+9x$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Wielomian $W$ jest iloczynem wielomianów $F(x)=3x$ i $G(x)=x^2+2x+3$.	P	F
Liczba $(-1)$ jest rozwiązaniem równania $W(x)=0$.	P	F

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozłóż wielomian na czynniki

Wyłączamy wspólny czynnik 3x, aby porównać iloczyn z pierwszym stwierdzeniem.

\[W(x)=3x(x^2+2x+3)=F(x)G(x)\]

2 Oceń pierwsze stwierdzenie

Otrzymany iloczyn jest dokładnie iloczynem podanych wielomianów, więc stwierdzenie jest prawdziwe.

\[W(x)=F(x)G(x)\]

3 Oceń drugie stwierdzenie

Podstawiamy −1 do wielomianu. Liczba jest rozwiązaniem równania tylko wtedy, gdy wartość wielomianu wynosi zero.

\[W(-1)=3(-1)((-1)^2+2(-1)+3)=-3(1-2+3)=-6\ne 0\]

Odpowiedź

Pierwsze stwierdzenie: P. Drugie stwierdzenie: F.

\[\mathrm{P},\ \mathrm{F}\]

Sprawdzenie

Po wymnożeniu czynników otrzymujemy podany wielomian. Bezpośrednie podstawienie −1 ponownie daje −6, więc nie jest to jego miejsce zerowe.

\[3x(x^2+2x+3)=3x^3+6x^2+9x,\qquad 3(-1)^3+6(-1)^2+9(-1)=-3+6-9=-6\]

Zadanie 7

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

83%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Jednym z rozwiązań równania $\sqrt{3}(x^2-2)(x+3)=0$ jest liczba

$3$

$2$

$\sqrt{3}$

$\sqrt{2}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie zasady iloczynu zerowego

Ponieważ $\sqrt{3}\neq 0$, iloczyn jest równy zeru, gdy zeruje się jeden z pozostałych czynników.

\[x^2-2=0\quad\text{lub}\quad x+3=0\]

2 Wyznaczenie rozwiązań

Rozwiązujemy oba równania i porównujemy wyniki z odpowiedziami.

\[x^2=2\Rightarrow x=\pm\sqrt{2},\qquad x+3=0\Rightarrow x=-3\]

Odpowiedź

Liczba $\sqrt{2}$, odpowiedź D.

\[x=\sqrt{2}\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu $x=\sqrt{2}$ czynnik $x^2-2$ jest równy zeru, więc całe równanie jest spełnione.

\[\sqrt{3}\bigl((\sqrt{2})^2-2\bigr)(\sqrt{2}+3)=\sqrt{3}(2-2)(\sqrt{2}+3)=0\]

Zadanie 7

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

82%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Równanie $\frac{x+1}{(x+2)(x-3)}=0$ w zbiorze liczb rzeczywistych

nie ma rozwiązania.

ma dokładnie jedno rozwiązanie: $(-1)$.

ma dokładnie dwa rozwiązania: $(-2)$ oraz $3$.

ma dokładnie trzy rozwiązania: $(-1)$, $(-2)$ oraz $3$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie dziedziny

Mianownik ułamka musi być różny od zera, więc wykluczamy jego miejsca zerowe.

\[(x+2)(x-3)\neq 0\quad\Longrightarrow\quad x\neq -2\ \text{oraz}\ x\neq 3\]

2 Rozwiązanie równania

Ułamek jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy jego licznik jest równy zeru, a mianownik jest różny od zera.

\[x+1=0\quad\Longrightarrow\quad x=-1\]

Odpowiedź

Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie: −1. Odpowiedź B.

\[x=-1\]

Sprawdzenie

Liczba −1 należy do dziedziny. Po podstawieniu licznik wynosi 0, a mianownik −4, więc równanie jest spełnione.

\[\frac{-1+1}{(-1+2)(-1-3)}=\frac{0}{-4}=0\]

Zadanie 7

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

80%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór wszystkich rozwiązań nierówności $2-3x\geq 4$.

$Oś liczbowa: zamalowany punkt $\frac{2}{3}$, zbiór skierowany w prawo.$

$Oś liczbowa: niezamalowany punkt $\frac{2}{3}$, zbiór skierowany w prawo.$

$Oś liczbowa: niezamalowany punkt $-\frac{2}{3}$, zbiór skierowany w lewo.$

$Oś liczbowa: zamalowany punkt $-\frac{2}{3}$, zbiór skierowany w lewo.$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odejmij 2

Przenosimy wyraz stały na prawą stronę nierówności.

\[2-3x\geq 4\iff -3x\geq 2\]

2 Podziel przez −3

Dzielenie przez liczbę ujemną odwraca znak nierówności.

\[-3x\geq 2\iff x\leq -\frac{2}{3}\]

3 Wybierz rysunek

Do zbioru należą liczba graniczna i wszystkie liczby od niej mniejsze, więc punkt jest zamalowany, a zaznaczenie biegnie w lewo.

\[x\in\left(-\infty,-\frac{2}{3}\right]\]

Odpowiedź

Rysunek D.

\[x\leq -\frac{2}{3}\]

Sprawdzenie

Dla liczby granicznej lewa strona wynosi 4, więc należy ona do zbioru. Dla większej liczby 0 otrzymujemy 2 < 4, więc 0 nie jest rozwiązaniem.

\[2-3\left(-\frac{2}{3}\right)=4\geq 4,\qquad 2-3\cdot 0=2<4\]

Zadanie 9

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte3 pkt

Równania i nierówności

79%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Rozwiąż równanie

$x^3-2x^2-3x+6=0$

Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Grupowanie wyrazów

Łączymy wyrazy tak, aby wyłączyć wspólny czynnik.

\[x^3-2x^2-3x+6=x^2(x-2)-3(x-2)=(x-2)(x^2-3)\]

2 Zasada iloczynu zerowego

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy zeru.

\[(x-2)(x^2-3)=0\iff x-2=0\ \text{lub}\ x^2-3=0\]

3 Rozwiązanie równań

Pierwsze równanie daje 2, a z drugiego otrzymujemy dwa pierwiastki kwadratowe liczby 3.

\[x=2\ \text{lub}\ x^2=3\iff x=2\ \text{lub}\ x=\sqrt{3}\ \text{lub}\ x=-\sqrt{3}\]

Odpowiedź

Rozwiązania równania to 2, √3 i −√3.

\[x\in\{-\sqrt{3},\sqrt{3},2\}\]

Sprawdzenie

Dla x = 2 zeruje się pierwszy czynnik, a dla x = ±√3 drugi czynnik. Każda z tych liczb spełnia więc równanie. Innych rozwiązań nie ma, ponieważ oba czynniki zostały rozwiązane.

\[(2-2)(2^2-3)=0,\qquad (\pm\sqrt{3}-2)((\pm\sqrt{3})^2-3)=0\]

Zadanie 9

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte3 pkt

Równania i nierówności

77%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Rozwiąż równanie

$3x^3 - 2x^2 - 12x + 8 = 0$

Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Grupowanie wyrazów

Wyłączamy wspólne czynniki, aby otrzymać ten sam nawias w obu grupach.

\[3x^3-2x^2-12x+8=x^2(3x-2)-4(3x-2)=(3x-2)(x^2-4)\]

2 Rozkład i rozwiązanie

Korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów, a następnie z zasady, że iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden czynnik jest równy zeru.

\[(3x-2)(x-2)(x+2)=0\quad\Longleftrightarrow\quad 3x-2=0\ \lor\ x-2=0\ \lor\ x+2=0\]

Odpowiedź

Rozwiązaniami są −2, 2/3 i 2.

\[x\in\left\{-2,\frac{2}{3},2\right\}\]

Sprawdzenie

Każda z podanych liczb zeruje jeden z czynników iloczynu, więc spełnia równanie. Rozkład obejmuje wszystkie czynniki wielomianu, zatem innych rozwiązań nie ma.

\[(3x-2)(x-2)(x+2)=0\]

Zadanie 10

Matura 2020 · termin główny — 9 czerwca (na PDF: 5 maja) · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

77%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Równanie $x(x-2)=(x-2)^2$ w zbiorze liczb rzeczywistych

nie ma rozwiązań.

ma dokładnie jedno rozwiązanie: $x=2$.

ma dokładnie jedno rozwiązanie: $x=0$.

ma dwa różne rozwiązania: $x=1$ i $x=2$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przenieś wyrazy na jedną stronę

Aby wyznaczyć miejsca zerowe, odejmujemy prawą stronę równania od obu stron i wyłączamy wspólny czynnik.

\[x(x-2)-(x-2)^2=(x-2)[x-(x-2)]=2(x-2)=0\]

2 Wyznacz rozwiązanie

Ponieważ 2 jest różne od zera, iloczyn jest zerem dokładnie wtedy, gdy x-2=0.

\[x-2=0\quad\Longrightarrow\quad x=2\]

Odpowiedź

Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie: x=2. Odpowiedź B.

\[x=2\]

Sprawdzenie

Dla x=2 obie strony równania są równe zeru. Przekształcenia nie wymagały dzielenia przez wyrażenie zależne od x, więc nie pominięto żadnego rozwiązania.

\[2(2-2)=(2-2)^2=0\]

Zadanie 8

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

76%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Równanie $\frac{(x+1)(x-1)^2}{(x-1)(x+1)^2}=0$ w zbiorze liczb rzeczywistych

nie ma rozwiązania.

ma dokładnie jedno rozwiązanie: $-1$.

ma dokładnie jedno rozwiązanie: $1$.

ma dokładnie dwa rozwiązania: $-1$ oraz $1$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie dziedziny

Mianownik nie może być równy zeru, więc wykluczamy obie liczby zerujące jego czynniki.

\[(x-1)(x+1)^2\ne 0\quad\Longrightarrow\quad x\ne 1\ \text{i}\ x\ne -1\]

2 Sprawdzenie warunku równości zeru

Ułamek jest równy zeru tylko wtedy, gdy jego licznik jest zerem, a mianownik jest różny od zera. Oba miejsca zerowe licznika są wykluczone z dziedziny.

\[(x+1)(x-1)^2=0\quad\Longrightarrow\quad x=-1\ \text{lub}\ x=1\]

Odpowiedź

Równanie nie ma rozwiązania. Odpowiedź A.

\[\varnothing\]

Sprawdzenie

Dla x = −1 oraz x = 1 mianownik jest równy zeru, więc żadna z tych liczb nie spełnia równania. Dla pozostałych liczb licznik jest różny od zera.

\[x\in\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}\quad\Longrightarrow\quad (x+1)(x-1)^2\ne 0\]

Zadanie 27

Matura 2019 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

76%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Rozwiąż nierówność $3x^2-16x+16>0$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie miejsc zerowych

Miejsca zerowe dzielą oś liczbową na przedziały, w których trójmian ma stały znak. Obliczamy je ze wzoru kwadratowego.

\[\Delta=(-16)^2-4\cdot3\cdot16=64,\quad x_1=\frac{16-8}{6}=\frac43,\quad x_2=\frac{16+8}{6}=4\]

2 Ustalenie znaku

Współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, więc trójmian jest dodatni poza miejscami zerowymi. Nierówność jest ostra, dlatego końce przedziałów wykluczamy.

\[3x^2-16x+16>0\iff x<\frac43\ \text{lub}\ x>4\]

Odpowiedź

Rozwiązaniem jest suma przedziałów od minus nieskończoności do 4/3 oraz od 4 do plus nieskończoności, bez końców.

\[x\in\left(-\infty,\frac43\right)\cup(4,\infty)\]

Sprawdzenie

Dla x = 0 i x = 5 trójmian jest dodatni, a dla x = 2 ujemny. W obu miejscach zerowych ma wartość 0, więc ich wykluczenie jest konieczne.

\[f(0)=16>0,\quad f(2)=-4<0,\quad f(5)=11>0,\quad f\left(\frac43\right)=f(4)=0\]

Zadanie 26

Matura 2019 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

74%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Rozwiąż równanie $(x^3-8)(x^2-4x-5)=0$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie zasady iloczynu zerowego

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy zeru.

\[x^3-8=0\quad\text{lub}\quad x^2-4x-5=0\]

2 Rozwiązanie pierwszego równania

Jedyną liczbą rzeczywistą, której sześcian wynosi 8, jest 2.

\[x^3=8\quad\Longrightarrow\quad x=2\]

3 Rozwiązanie drugiego równania

Rozkładamy trójmian na czynniki i ponownie stosujemy zasadę iloczynu zerowego.

\[x^2-4x-5=(x-5)(x+1)=0\quad\Longrightarrow\quad x=5\ \text{lub}\ x=-1\]

Odpowiedź

Rozwiązaniami równania są −1, 2 i 5.

\[x\in\{-1,2,5\}\]

Sprawdzenie

Dla −1 i 5 drugi czynnik równania wynosi zero, a dla 2 pierwszy czynnik wynosi zero. Każda z tych liczb spełnia więc równanie; rozpatrzenie obu czynników daje wszystkie rozwiązania.

\[(-1)^2-4(-1)-5=0,\quad 2^3-8=0,\quad 5^2-4\cdot5-5=0\]

Zadanie 6

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

73%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dana jest nierówność

$3-2(1-2x)\geq 2x-17$

Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Oś liczbowa z zamalowanym punktem 3 i zaznaczonym obszarem na lewo od niego; oznaczenia 0, 1, 3 oraz x.

Oś liczbowa z zamalowanym punktem 3 i zaznaczonym obszarem na prawo od niego; oznaczenia 0, 1, 3 oraz x.

Oś liczbowa z zamalowanym punktem −9 i zaznaczonym obszarem na lewo od niego; oznaczenia −9, 0, 1 oraz x.

Oś liczbowa z zamalowanym punktem −9 i zaznaczonym obszarem na prawo od niego; oznaczenia −9, 0, 1 oraz x.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Uproszczenie nierówności

Usuwamy nawias i redukujemy wyrazy podobne.

\[3-2(1-2x)\geq 2x-17\iff 1+4x\geq 2x-17\]

2 Wyznaczenie x

Przenosimy wyrazy z x na jedną stronę, a liczby na drugą. Dzielenie przez dodatnie 2 nie zmienia zwrotu nierówności.

\[1+4x\geq 2x-17\iff 2x\geq -18\iff x\geq -9\]

3 Wybór rysunku

Do zbioru rozwiązań należy −9 oraz wszystkie liczby większe od −9, co przedstawia rysunek D.

\[x\in[-9,\infty)\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: wszystkie liczby rzeczywiste większe lub równe −9.

\[x\in[-9,\infty)\]

Sprawdzenie

Dla granicznej wartości x = −9 obie strony początkowej nierówności są równe −35, więc zamalowany punkt należy do zbioru rozwiązań.

\[3-2(1-2(-9))=-35=2(-9)-17\]

Zadanie 6

Matura 2019 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

73%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Równanie $\frac{(x-1)(x+2)}{x-3}=0$

ma trzy różne rozwiązania: $x=1$, $x=3$, $x=-2$.

ma trzy różne rozwiązania: $x=-1$, $x=-3$, $x=2$.

ma dwa różne rozwiązania: $x=1$, $x=-2$.

ma dwa różne rozwiązania: $x=-1$, $x=2$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie dziedziny

Mianownik ułamka nie może być równy zeru.

\[x-3\neq 0\quad\Longrightarrow\quad x\neq 3\]

2 Wyzerowanie licznika

Ułamek jest równy zeru wtedy, gdy jego licznik jest zerem, a mianownik jest różny od zera. Korzystamy z zasady iloczynu równego zeru.

\[(x-1)(x+2)=0\quad\Longrightarrow\quad x-1=0\ \text{lub}\ x+2=0\quad\Longrightarrow\quad x=1\ \text{lub}\ x=-2\]

Odpowiedź

Równanie ma dwa różne rozwiązania: $x=1$ i $x=-2$. Odpowiedź C.

\[\{1,-2\}\]

Sprawdzenie

Obie liczby należą do dziedziny i zerują licznik: dla $x=1$ mianownik wynosi $-2$, a dla $x=-2$ wynosi $-5$. W obu przypadkach wartość ułamka jest równa zero.

\[\frac{(1-1)(1+2)}{1-3}=0,\qquad\frac{(-2-1)(-2+2)}{-2-3}=0\]

Zadanie 26

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

73%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Rozwiąż nierówność $2x^2-3x>5$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przeniesienie wyrazów

Przenosimy 5 na lewą stronę, aby porównać trójmian kwadratowy z zerem.

\[2x^2-3x>5\iff 2x^2-3x-5>0\]

2 Rozkład na czynniki

Rozkład pozwala wyznaczyć miejsca zerowe trójmianu.

\[2x^2-3x-5=(2x-5)(x+1),\qquad x=-1\ \text{lub}\ x=\frac52\]

3 Wyznaczenie przedziałów

Iloczyn jest dodatni, gdy oba czynniki mają ten sam znak.

\[(2x-5)(x+1)>0\iff x<-1\ \text{lub}\ x>\frac52\]

Odpowiedź

Zbiorem rozwiązań jest $(-\infty,-1)\cup(\frac52,\infty)$.

\[x\in(-\infty,-1)\cup\left(\frac52,\infty\right)\]

Sprawdzenie

Dla $x=-2$ i $x=3$ nierówność jest prawdziwa, a dla $x=0$ fałszywa. W punktach $-1$ i $\frac52$ zachodzi równość, więc nie należą do rozwiązania.

\[2(-2)^2-3(-2)=14>5,\quad 2\cdot0^2-3\cdot0=0<5,\quad 2\cdot3^2-3\cdot3=9>5\]

Wielomian \(W\) jest iloczynem wielomianów \(F(x)=3x\) i \(G(x)=x^2+2x+3\).	P	F
Liczba \((-1)\) jest rozwiązaniem równania \(W(x)=0\).	P	F