Zbiór zadań maturalnych

Planimetria — zadania maturalne

Planimetria: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

139 zadańStrona 2 z 10

Sortuj:

Zadanie 18

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Punkty $A$, $B$, $C$ oraz $D$ leżą na okręgu o środku w punkcie $O$. Punkt $B$ leży na krótszym łuku $AC$. Kąt $CDA$ ma miarę $50^\circ$, a kąt $COB$ ma miarę $30^\circ$ (zobacz rysunek).

Miara kąta ostrego $BOA$ jest równa

Okrąg o środku O z punktami A, B, C i D na okręgu. Zaznaczono kąty CDA o mierze 50° i COB o mierze 30° oraz kąt BOA.

$50^\circ$

$60^\circ$

$70^\circ$

$100^\circ$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie kąta środkowego AOC

Kąt środkowy oparty na łuku AC zawierającym punkt B jest dwa razy większy od kąta wpisanego CDA opartego na tym samym łuku.

\[\angle AOC=2\angle CDA=2\cdot50^\circ=100^\circ\]

2 Obliczenie kąta BOA

Ponieważ B leży na krótszym łuku AC, promień OB dzieli kąt AOC na kąty BOA i COB.

\[\angle BOA=\angle AOC-\angle COB=100^\circ-30^\circ=70^\circ\]

Odpowiedź

Miara kąta BOA wynosi 70°, odpowiedź C.

\[\boxed{\angle BOA=70^\circ\quad\text{(C)}}\]

Sprawdzenie

Suma otrzymanego kąta BOA i danego kąta COB wynosi 100°, czyli dwukrotność kąta CDA. Kąt 70° jest ostry.

\[70^\circ+30^\circ=100^\circ=2\cdot50^\circ\]

Zadanie 19

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

W okrąg $O$ o promieniu $9\sqrt{3}$ wpisano trójkąt równoboczny $T$.

Bok trójkąta $T$ ma długość

$\frac{27}{2}$

$\frac{27\sqrt{3}}{2}$

$27$

$27\sqrt{3}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Związek promienia z wysokością

W trójkącie równobocznym środek okręgu opisanego dzieli wysokość w stosunku 2:1, licząc od wierzchołka. Wysokość trójkąta o boku $a$ wynosi $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

\[R=\frac{2}{3}h=\frac{2}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\]

2 Obliczenie boku

Podstawiamy podany promień i rozwiązujemy równanie względem $a$.

\[9\sqrt{3}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\quad\Rightarrow\quad a=27\]

Odpowiedź

Bok trójkąta ma długość 27. Odpowiedź C.

\[a=27\]

Sprawdzenie

Dla boku 27 promień okręgu opisanego wynosi 9√3, zgodnie z treścią zadania.

\[R=\frac{27\sqrt{3}}{3}=9\sqrt{3}\]

Zadanie 20

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Na płaszczyźnie dane są cztery proste: $k$, $l$, $m$ oraz $n$. Proste $k$ oraz $l$ są równoległe. Prosta $m$ przecina proste $k$ oraz $l$ w punktach – odpowiednio – $A$ oraz $C$. Prosta $n$ przecina proste $k$ oraz $l$ w punktach – odpowiednio – $D$ oraz $B$. Odcinki $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $O$. Ponadto $|OA|=12$, $|OB|=6$ oraz $|OC|=8$ (zobacz rysunek).

Odcinek $OD$ ma długość

Dwie proste równoległe k i l przecięte prostymi m i n. Punkty A i D leżą na prostej k, punkty C i B na prostej l. Odcinki AC i BD przecinają się w punkcie O; zaznaczono długości OA równe 12, OB równe 6 i OC równe 8.

$4$

$9$

$10$

$16$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podobieństwo trójkątów

Ponieważ proste k i l są równoległe, kąty przy A i C oraz przy D i B są odpowiednio równe. Kąty przy O są wierzchołkowe, więc trójkąty AOD i COB są podobne.

\[\triangle AOD\sim\triangle COB\]

2 Obliczenie długości OD

Odpowiadające sobie boki trójkątów podobnych są proporcjonalne. Podstawiamy podane długości i rozwiązujemy równanie.

\[\frac{|OD|}{|OB|}=\frac{|OA|}{|OC|},\qquad \frac{|OD|}{6}=\frac{12}{8},\qquad |OD|=6\cdot\frac{12}{8}=9\]

Odpowiedź

Odcinek OD ma długość 9. Odpowiedź B.

\[|OD|=9\]

Sprawdzenie

Stosunki odpowiadających sobie boków są równe: 9 do 6 oraz 12 do 8 dają 3 do 2.

\[\frac{9}{6}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}\]

Zadanie 19.1

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Dany jest trójkąt prostokątny o bokach długości $10$, $24$, $26$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równa

Trójkąt prostokątny z bokami oznaczonymi 10, 24 i 26; kąt prosty przy lewym dolnym wierzchołku.

$\frac{10}{3}$

$4$

$5$

$\frac{80}{13}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie pola

Boki 10 i 24 są przyprostokątnymi, więc pole jest połową iloczynu ich długości.

\[P=\frac{10\cdot24}{2}=120\]

2 Obliczenie promienia

Pole trójkąta jest równe iloczynowi promienia okręgu wpisanego i połowy obwodu.

\[s=\frac{10+24+26}{2}=30,\qquad P=rs,\qquad r=\frac{120}{30}=4\]

Odpowiedź

Promień ma długość 4 jednostek długości. Odpowiedź B.

\[r=4\]

Sprawdzenie

Dla promienia 4 iloczyn promienia i połowy obwodu wynosi 120, czyli tyle samo co obliczone pole trójkąta.

\[4\cdot30=120=\frac{10\cdot24}{2}\]

Zadanie 19.2

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Dany jest trójkąt prostokątny o bokach długości $10,\ 24,\ 26$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie jest równa

Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych oznaczonych 10 i 24 oraz przeciwprostokątnej oznaczonej 26.

$\frac{80}{13}$

$\frac{20}{3}$

$12$

$13$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wybór przeciwprostokątnej

W trójkącie prostokątnym najdłuższy bok jest przeciwprostokątną, więc ma długość 26.

\[c=26\]

2 Obliczenie promienia

Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym leży w połowie przeciwprostokątnej. Promień jest zatem połową jej długości.

\[R=\frac{c}{2}=\frac{26}{2}=13\]

Odpowiedź

Promień ma długość 13. Odpowiedź D.

\[R=13\]

Sprawdzenie

Boki spełniają twierdzenie Pitagorasa, a średnica okręgu o promieniu 13 ma długość równą przeciwprostokątnej.

\[10^2+24^2=676=26^2,\qquad 2R=2\cdot13=26\]

Zadanie 20

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Na dziesięciokącie foremnym $ABCDEFGHIJ$ opisano okrąg o środku w punkcie $S$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta wpisanego $AGD$ jest równa

Dziesięciokąt foremny ABCDEFGHIJ wpisany w okrąg o środku S, z odcinkami GA i GD oraz zaznaczonym kątem AGD.

$18^\circ$

$36^\circ$

$54^\circ$

$60^\circ$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie miary łuku AD

W dziesięciokącie foremnym sąsiednie wierzchołki wyznaczają równe łuki. Łuk od A do D przez B i C obejmuje trzy takie części.

\[\frac{360^\circ}{10}=36^\circ,\qquad 3\cdot36^\circ=108^\circ\]

2 Obliczenie kąta wpisanego

Kąt AGD opiera się na łuku AD, który nie zawiera punktu G. Jego miara jest połową miary tego łuku.

\[\angle AGD=\frac{108^\circ}{2}=54^\circ\]

Odpowiedź

Kąt AGD ma miarę 54°. Odpowiedź C.

\[\angle AGD=54^\circ\]

Sprawdzenie

Łuk AD obejmuje trzy z dziesięciu równych części okręgu, więc ma 108°. Podwojona miara otrzymanego kąta wynosi 108°, zgodnie z twierdzeniem o kącie wpisanym.

\[2\cdot54^\circ=108^\circ\]

Zadanie 21

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Kwadrat $\mathcal{K}_2$ jest podobny do kwadratu $\mathcal{K}_1$ w skali $5$ (zobacz rysunek). Suma pól tych kwadratów jest równa $78$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość boku kwadratu $\mathcal{K}_1$ jest równa

$Dwa kwadraty oznaczone $\mathcal{K}_1$ i $\mathcal{K}_2$; kwadrat $\mathcal{K}_2$ jest większy.$

$\sqrt{3}$

$3$

$\sqrt{13}$

$13$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie długości boków

Oznaczamy bok kwadratu $\mathcal{K}_1$ przez $x$. Skala podobieństwa równa 5 oznacza, że bok $\mathcal{K}_2$ ma długość $5x$.

\[x>0,\qquad a_2=5x\]

2 Obliczenie boku

Pole kwadratu jest kwadratem długości jego boku, więc z sumy pól otrzymujemy równanie. Wybieramy dodatni pierwiastek, ponieważ długość boku jest dodatnia.

\[x^2+(5x)^2=78\;\Longrightarrow\;26x^2=78\;\Longrightarrow\;x^2=3\;\Longrightarrow\;x=\sqrt{3}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A. Długość boku kwadratu $\mathcal{K}_1$ wynosi $\sqrt{3}$.

\[\boxed{x=\sqrt{3}}\]

Sprawdzenie

Pola kwadratów wynoszą odpowiednio 3 i 75, a ich suma jest równa 78.

\[(\sqrt{3})^2+(5\sqrt{3})^2=3+75=78\]

Zadanie 17

Matura 2025 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Dany jest trójkąt prostokątny o bokach długości $10$, $24$, $26$ (zobacz rysunek).

Długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równa

Trójkąt prostokątny z bokami oznaczonymi 10, 24 i 26 oraz zaznaczonym kątem prostym.

$\frac{10}{3}$

$4$

$5$

$\frac{80}{13}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie pola

Przyprostokątne mają długości 10 i 24, więc pole trójkąta prostokątnego jest połową ich iloczynu.

\[P=\frac{10\cdot24}{2}=120\]

2 Obliczenie promienia

Pole trójkąta jest równe iloczynowi promienia okręgu wpisanego i połowy obwodu.

\[s=\frac{10+24+26}{2}=30,\qquad P=rs,\qquad r=\frac{120}{30}=4\]

Odpowiedź

Promień ma długość 4. Odpowiedź B.

\[r=4\]

Sprawdzenie

Dla promienia 4 iloczyn promienia i połowy obwodu wynosi 120, czyli tyle samo co pole obliczone z przyprostokątnych.

\[4\cdot30=120=\frac{10\cdot24}{2}\]

Zadanie 18

Matura 2025 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Dany jest trójkąt prostokątny o bokach długości $10$, $24$, $26$ (zobacz rysunek).

Długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie jest równa

Trójkąt prostokątny o bokach oznaczonych 10, 24 i 26; kąt prosty oznaczony przy wierzchołku między bokami 10 i 24.

$\frac{80}{13}$

$\frac{20}{3}$

$12$

$13$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wybór własności

W trójkącie prostokątnym środek okręgu opisanego leży w połowie przeciwprostokątnej, więc przeciwprostokątna jest średnicą okręgu.

\[2R=26\]

2 Obliczenie promienia

Dzielimy długość średnicy przez dwa.

\[R=\frac{26}{2}=13\]

Odpowiedź

Promień ma długość 13. Odpowiedź D.

\[R=13\]

Sprawdzenie

Boki spełniają twierdzenie Pitagorasa, więc bok 26 jest przeciwprostokątną. Obliczona średnica ma długość 26.

\[10^2+24^2=100+576=676=26^2,\qquad 2\cdot13=26\]

Zadanie 19

Matura 2025 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Na dziesięciokącie foremnym $ABCDEFGHIJ$ opisano okrąg o środku w punkcie $S$ (zobacz rysunek).

Miara kąta wpisanego $AGD$ jest równa

Dziesięciokąt foremny ABCDEFGHIJ wpisany w okrąg o środku S. Z wierzchołka G poprowadzono odcinki do A i D; zaznaczono kąt AGD.

$18^\circ$

$36^\circ$

$54^\circ$

$60^\circ$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie łuku AD

W dziesięciokącie foremnym kolejne wierzchołki dzielą okrąg na dziesięć równych łuków. Łuk od A do D przez B i C obejmuje trzy takie części.

\[\frac{360^\circ}{10}=36^\circ,\qquad 3\cdot36^\circ=108^\circ\]

2 Obliczenie kąta wpisanego

Kąt AGD jest oparty na łuku AD, który nie zawiera punktu G. Jego miara jest połową miary tego łuku.

\[\angle AGD=\frac{108^\circ}{2}=54^\circ\]

Odpowiedź

54°, odpowiedź C.

\[\angle AGD=54^\circ\]

Sprawdzenie

Łuk AD obejmuje trzy z dziesięciu równych części okręgu, więc stanowi 3/10 pełnego kąta. Połowa 108° to 54°, zgodnie z odpowiedzią C.

\[\frac12\cdot\frac3{10}\cdot360^\circ=54^\circ\]

Zadanie 20

Matura 2025 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Kwadrat $\mathcal{K}_2$ jest podobny do kwadratu $\mathcal{K}_1$ w skali $5$ (zobacz rysunek). Suma pól tych kwadratów jest równa $78$.

Długość boku kwadratu $\mathcal{K}_1$ jest równa

Dwa kwadraty różnej wielkości: mniejszy oznaczony 𝒦₁ i większy oznaczony 𝒦₂.

$\sqrt{3}$

$3$

$\sqrt{13}$

$13$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Oznaczenie boków

Oznaczamy bok mniejszego kwadratu przez dodatnią liczbę $x$. Skala podobieństwa równa 5 oznacza, że bok większego kwadratu ma długość $5x$.

\[x>0,\qquad a_{\mathcal K_1}=x,\qquad a_{\mathcal K_2}=5x\]

2 Obliczenie długości boku

Pole kwadratu jest kwadratem długości jego boku. Korzystamy z podanej sumy pól i rozwiązujemy równanie.

\[x^2+(5x)^2=78\;\Longrightarrow\;26x^2=78\;\Longrightarrow\;x^2=3\;\Longrightarrow\;x=\sqrt{3}\]

Odpowiedź

Długość boku kwadratu $\mathcal K_1$ wynosi $\sqrt{3}$. Odpowiedź A.

\[\boxed{\mathrm{A}:\ \sqrt{3}}\]

Sprawdzenie

Dla boku $\sqrt{3}$ pola kwadratów wynoszą odpowiednio 3 i 75, więc ich suma to 78. Długość boku jest dodatnia.

\[(\sqrt{3})^2+(5\sqrt{3})^2=3+75=78\]

Zadanie 34

Matura 2025 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W układzie współrzędnych $(x,y)$ punkty $A=(0,1)$ oraz $C=(6,4)$ są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu $ABCD$. Prosta $k$ o równaniu $y=ax+b$ przechodzi przez wierzchołki $B$ oraz $D$ tego kwadratu.

Oblicz pole tego kwadratu oraz wyznacz współczynniki $a$ oraz $b$ w równaniu prostej $k$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Długość przekątnej

Punkty A i C są końcami przekątnej, więc obliczamy jej długość ze wzoru na odległość punktów.

\[|AC|^2=(6-0)^2+(4-1)^2=36+9=45\]

2 Pole kwadratu

Pole kwadratu jest równe połowie kwadratu długości jego przekątnej.

\[P=\frac{|AC|^2}{2}=\frac{45}{2}\]

3 Współczynniki prostej

Przekątne kwadratu przecinają się w połowie i są prostopadłe. Środek AC leży więc na prostej k, a jej współczynnik kierunkowy jest przeciwną odwrotnością współczynnika kierunkowego AC.

\[S=\left(\frac{0+6}{2},\frac{1+4}{2}\right)=\left(3,\frac52\right),\quad a_{AC}=\frac{4-1}{6-0}=\frac12,\quad a=-2,\quad \frac52=-2\cdot3+b\Rightarrow b=\frac{17}{2}\]

Odpowiedź

Pole kwadratu wynosi 45/2, a współczynniki prostej k to a = −2 oraz b = 17/2.

\[P=\frac{45}{2},\qquad k:\ y=-2x+\frac{17}{2}\]

Sprawdzenie

Punkt przecięcia przekątnych należy do wyznaczonej prostej, a iloczyn jej współczynnika kierunkowego i współczynnika kierunkowego AC wynosi −1. Zatem prosta przechodzi przez środek AC i jest do niej prostopadła, jak wymaga tego przekątna BD kwadratu.

\[-2\cdot3+\frac{17}{2}=\frac52,\qquad (-2)\cdot\frac12=-1\]

Zadanie 16

Matura 2025 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Punkty $A$, $B$ oraz $C$ leżą na okręgu o środku w punkcie $O$. Miara kąta $BCA$ jest równa $50^\circ$ (zobacz rysunek).

Miara kąta ostrego $ABO$ jest równa

Okrąg o środku O z punktami A, B i C na okręgu. Kąt BCA ma 50°, a kąt ABO jest zaznaczony.

$20^\circ$

$35^\circ$

$40^\circ$

$50^\circ$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie kąta środkowego

Kąt środkowy AOB i kąt wpisany BCA są oparte na tym samym łuku AB, więc kąt środkowy ma dwa razy większą miarę.

\[\angle AOB=2\cdot 50^\circ=100^\circ\]

2 Obliczenie kąta ABO

Promienie OA i OB są równe, zatem trójkąt AOB jest równoramienny. Jego kąty przy podstawie AB są równe.

\[\angle ABO=\frac{180^\circ-100^\circ}{2}=40^\circ\]

Odpowiedź

Kąt ABO ma miarę 40°, odpowiedź C.

\[\angle ABO=40^\circ\quad\text{(C)}\]

Sprawdzenie

Kąty trójkąta AOB sumują się do 180°, a 40° jest kątem ostrym.

\[40^\circ+40^\circ+100^\circ=180^\circ\]

Zadanie 17

Matura 2025 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

W trójkącie równoramiennym $ABC$ dane są: $|AC|=|BC|=4$ i $|AB|=3$. Na boku $BC$, między punktami $B$ i $C$, wybrano taki punkt $D$, że trójkąty $ABC$ i $BDA$ są podobne (zobacz rysunek).

Odcinek $BD$ ma długość

Trójkąt ABC z punktem D na boku BC i odcinkiem AD; bok AC oznaczony liczbą 4, a bok AB liczbą 3.

$2$

$2{,}25$

$2{,}5$

$3$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustalenie odpowiadających boków

Trójkąty mają wspólny kąt przy B. Ponieważ D leży wewnątrz BC, bok BD jest krótszy od BC, więc w podobieństwie bokowi BC odpowiada AB, a bokowi AB odpowiada BD.

\[BC\leftrightarrow AB,\qquad AB\leftrightarrow BD\]

2 Obliczenie BD

Z proporcji odpowiednich boków wyznaczamy szukaną długość.

\[\frac{BD}{AB}=\frac{AB}{BC}=\frac{3}{4},\qquad BD=3\cdot\frac{3}{4}=\frac{9}{4}=2{,}25\]

Odpowiedź

Odcinek BD ma długość 2,25. Odpowiedź B.

\[BD=\frac{9}{4}=2{,}25\]

Sprawdzenie

Otrzymana długość jest dodatnia i mniejsza od BC = 4, więc D może leżeć między B i C. Skala podobieństwa wynosi 3/4.

\[0<\frac{9}{4}<4,\qquad \frac{BD}{AB}=\frac{9/4}{3}=\frac{3}{4}=\frac{AB}{BC}\]

Zadanie 20

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Podstawy trapezu prostokątnego $ABCD$ mają długości: $|AB|=8$ oraz $|CD|=5$. Wysokość $AD$ tego trapezu ma długość $\sqrt{3}$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta ostrego $ABC$ jest równa

Trapez prostokątny ABCD. Podstawa AB ma długość 8, podstawa CD ma długość 5, a wysokość AD ma długość √3. Zaznaczono kąty proste przy A i D oraz kąt ostry ABC.

$15^\circ$

$30^\circ$

$45^\circ$

$60^\circ$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie przyprostokątnej

Opuszczamy z punktu C prostopadłą na AB i oznaczamy jej podstawę przez E. Czworokąt ADCE jest prostokątem, więc AE=CD=5, a CE=AD=√3. Stąd obliczamy BE.

\[BE=AB-AE=8-5=3\]

2 Obliczenie kąta

W trójkącie prostokątnym BCE kąt CBE jest kątem ABC. Korzystamy z definicji tangensa kąta ostrego.

\[\tan\angle ABC=\frac{CE}{BE}=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan 30^\circ\]

Odpowiedź

Kąt ABC ma miarę 30°. Odpowiedź B.

\[\angle ABC=30^\circ\]

Sprawdzenie

Dla kąta 30° stosunek przeciwległej przyprostokątnej do przyległej wynosi √3/3, dokładnie tyle co CE/BE=√3/3. Kąt jest ostry, zgodnie z rysunkiem.

\[\frac{CE}{BE}=\frac{\sqrt{3}}{3}\]