Zbiór zadań maturalnych

Liczby rzeczywiste — zadania maturalne

Liczby rzeczywiste: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

140 zadańStrona 9 z 10

Sortuj:

Zadanie 3

Matura 2016 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(\sqrt[3]{3\sqrt{3}}\) jest równa

\(\sqrt[6]{3}\)

\(\sqrt[4]{3}\)

\(\sqrt[3]{3}\)

\(\sqrt{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz liczbę pod pierwiastkiem jako sześcian

Ponieważ \(\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3\), otrzymujemy sześcian liczby \(\sqrt{3}\).

\[3\sqrt{3}=(\sqrt{3})^3\]

2 Oblicz pierwiastek sześcienny

Pierwiastek sześcienny z sześcianu liczby jest tą liczbą.

\[\sqrt[3]{3\sqrt{3}}=\sqrt[3]{(\sqrt{3})^3}=\sqrt{3}\]

Odpowiedź

D. Pierwiastek z 3.

\[\sqrt{3}\]

Sprawdzenie

Sześcian otrzymanego wyniku jest równy liczbie pod pierwiastkiem sześciennym.

\[(\sqrt{3})^3=3\sqrt{3}\]

Zadanie 4

Matura 2016 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Różnica \(50001^{2}-49999^{2}\) jest równa

2 000 000

200 000

20 000

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie wzoru

Korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów, aby obliczyć wynik bez podnoszenia dużych liczb do kwadratu.

\[50001^{2}-49999^{2}=(50001-49999)(50001+49999)\]

2 Obliczenie

Obliczamy różnicę i sumę liczb, a następnie ich iloczyn.

\[(50001-49999)(50001+49999)=2\cdot100000=200000\]

Odpowiedź

200 000, odpowiedź B.

\[200000\]

Sprawdzenie

Liczby są o 1 mniejsza i większa od 50 000. Po rozwinięciu kwadratów składniki kwadratowe i jedynki się redukują, dając ten sam wynik.

\[(50000+1)^2-(50000-1)^2=4\cdot50000=200000\]

Zadanie 6

Matura 2016 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Wartość wyrażenia \(\log_{3}\frac{3}{2}+\log_{3}\frac{2}{9}\) jest równa

\(-1\)

\(-2\)

\(\log_{3}\frac{5}{11}\)

\(\log_{3}\frac{31}{18}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Połącz logarytmy

Oba argumenty są dodatnie, więc sumę logarytmów o tej samej podstawie zapisujemy jako logarytm iloczynu.

\[\log_{3}\frac{3}{2}+\log_{3}\frac{2}{9}=\log_{3}\left(\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{9}\right)=\log_{3}\frac{1}{3}\]

2 Oblicz wartość

Ponieważ \(\frac{1}{3}=3^{-1}\), logarytm jest równy \(-1\).

\[\log_{3}\frac{1}{3}=\log_{3}3^{-1}=-1\]

Odpowiedź

Wynik to −1, odpowiedź A.

\[-1\]

Sprawdzenie

Wynik spełnia definicję logarytmu: podniesienie 3 do potęgi −1 daje otrzymany argument \(\frac{1}{3}\).

\[3^{-1}=\frac{1}{3}\]

Zadanie 15

Matura 2016 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Słoń waży 5 ton, a waga mrówki jest równa 0,5 grama. Ile razy słoń jest cięższy od mrówki?

\(10^6\)

\(10^7\)

\(10\)

\(10^8\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zamiana jednostek

Aby porównać masy, wyrażamy je w gramach. Jedna tona to milion gramów.

\[5\,\mathrm{t}=5\cdot10^6\,\mathrm{g}\]

2 Obliczenie ilorazu

Dzielimy masę słonia przez masę mrówki, aby ustalić, ile razy jest większa.

\[\frac{5\cdot10^6\,\mathrm{g}}{0{,}5\,\mathrm{g}}=10^7\]

Odpowiedź

Słoń jest cięższy od mrówki 10⁷ razy. Odpowiedź B.

\[10^7\]

Sprawdzenie

Pomnożenie masy mrówki przez otrzymany wynik daje 5 milionów gramów, czyli 5 ton.

\[0{,}5\,\mathrm{g}\cdot10^7=5\cdot10^6\,\mathrm{g}=5\,\mathrm{t}\]

Zadanie 1

Matura 2016 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Suma pięciu kolejnych liczb całkowitych jest równa 195. Najmniejszą z tych liczb jest

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie sumy

Oznaczamy najmniejszą liczbę przez \(x\). Cztery następne liczby są od niej kolejno większe o 1, 2, 3 i 4.

\[x+(x+1)+(x+2)+(x+3)+(x+4)=195\]

2 Obliczenie najmniejszej liczby

Redukujemy wyrazy podobne i rozwiązujemy równanie.

\[5x+10=195\;\Rightarrow\;5x=185\;\Rightarrow\;x=37\]

Odpowiedź

Najmniejszą liczbą jest 37. Odpowiedź A.

\[37\]

Sprawdzenie

Pięć kolejnych liczb całkowitych od 37 do 41 ma sumę 195.

\[37+38+39+40+41=195\]

Zadanie 2

Matura 2016 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Buty, które kosztowały 220 złotych, przeceniono i sprzedano za 176 złotych. O ile procent obniżono cenę butów?

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie obniżki

Odejmujemy cenę po przecenie od ceny początkowej, aby ustalić kwotę obniżki.

\[220\text{ zł}-176\text{ zł}=44\text{ zł}\]

2 Obliczenie procentu

Porównujemy obniżkę z ceną początkową, ponieważ to od niej liczymy procent.

\[\frac{44}{220}\cdot100\%=20\%\]

Odpowiedź

Cenę obniżono o 20%. Odpowiedź B.

\[20\%\]

Sprawdzenie

Po obniżce o 20% cena wynosi 176 zł, zgodnie z treścią zadania.

\[220\text{ zł}\cdot(1-20\%)=176\text{ zł}\]

Zadanie 3

Matura 2016 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(\frac{4^5\cdot 5^4}{20^4}\) jest równa

\(4^4\)

\(20^{16}\)

\(20^5\)

\(4\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozłóż mianownik

Ponieważ 20=4·5, możemy zastosować wzór na potęgę iloczynu.

\[20^4=(4\cdot5)^4=4^4\cdot5^4\]

2 Skróć ułamek

Skracamy jednakowe czynniki w liczniku i mianowniku.

\[\frac{4^5\cdot5^4}{20^4}=\frac{4^5\cdot5^4}{4^4\cdot5^4}=4^{5-4}=4\]

Odpowiedź

Wynik to 4, czyli odpowiedź D.

\[4\]

Sprawdzenie

Licznik jest czterokrotnością mianownika: 4⁵·5⁴=4·(4⁴·5⁴)=4·20⁴.

\[4^5\cdot5^4=4\cdot20^4\]

Zadanie 4

Matura 2016 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(\frac{\log_3 729}{\log_6 36}\) jest równa

\(\log_6 693\)

\(\log_{\frac{1}{2}}\frac{81}{4}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie logarytmów

Z definicji logarytmu szukamy wykładników, do których trzeba podnieść podstawy, aby otrzymać wskazane liczby.

\[3^6=729,\quad 6^2=36\quad\Rightarrow\quad \log_3 729=6,\quad \log_6 36=2\]

2 Obliczenie ilorazu

Podstawiamy obliczone wartości logarytmów.

\[\frac{\log_3 729}{\log_6 36}=\frac{6}{2}=3\]

Odpowiedź

3, odpowiedź B.

\[3\]

Sprawdzenie

Podstawy logarytmów są dodatnie i różne od 1, a mianownik wynosi 2, więc iloraz jest określony. Równości potęgowe potwierdzają wynik.

\[3^6=729,\quad 6^2=36,\quad \frac{6}{2}=3\]

Zadanie 13

Matura 2016 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(\frac{|3-9|}{-3}\) jest równa

\(2\)

\(-2\)

\(0\)

\(-4\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie wartości bezwzględnej

Wartość bezwzględna liczby ujemnej jest liczbą przeciwną.

\[|3-9|=|-6|=6\]

2 Wykonanie dzielenia

Dzielimy otrzymaną liczbę przez \(-3\).

\[\frac{|3-9|}{-3}=\frac{6}{-3}=-2\]

Odpowiedź

Wynik to \(-2\), odpowiedź B.

\[-2\]

Sprawdzenie

Ponieważ \(|3-9|=6\) oraz \((-2)\cdot(-3)=6\), iloraz wynosi \(-2\).

\[(-2)\cdot(-3)=6\]

Zadanie 1

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(2\sqrt{18}-\sqrt{32}\) jest równa

\(2^{-\frac{3}{2}}\)

\(2^{-\frac{1}{2}}\)

\(2^{\frac{1}{2}}\)

\(2^{\frac{3}{2}}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Uproszczenie pierwiastków

Wyłączamy największe kwadraty spod pierwiastków, aby otrzymać wyrazy podobne.

\[2\sqrt{18}-\sqrt{32}=2\sqrt{9\cdot2}-\sqrt{16\cdot2}=6\sqrt2-4\sqrt2\]

2 Obliczenie i zapis jako potęgi

Odejmujemy współczynniki przy pierwiastku, a następnie korzystamy z równości \(\sqrt2=2^{\frac12}\).

\[6\sqrt2-4\sqrt2=2\sqrt2=2^1\cdot2^{\frac12}=2^{\frac32}\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[2^{\frac32}\]

Sprawdzenie

Ponieważ \(2^{\frac32}=2\sqrt2\), wynik jest równy obliczonej różnicy \(6\sqrt2-4\sqrt2\).

\[2^{\frac32}=2\sqrt2=6\sqrt2-4\sqrt2\]

Zadanie 2

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Wartość wyrażenia \(\frac{\sqrt[5]{-32}\cdot 2^{-1}}{4}\cdot 2^2\) jest równa

\(-\frac{1}{2}\)

\(\frac{1}{2}\)

\(1\)

\(-1\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie pierwiastka

Ponieważ piąta potęga liczby −2 jest równa −32, pierwiastek ma wartość −2.

\[\sqrt[5]{-32}=-2\]

2 Obliczenie wartości wyrażenia

Podstawiamy obliczony pierwiastek oraz wartości potęg liczby 2.

\[\frac{(-2)\cdot 2^{-1}}{4}\cdot 2^2=\frac{(-2)\cdot\frac{1}{2}}{4}\cdot 4=-1\]

Odpowiedź

Wartość wyrażenia wynosi −1. Odpowiedź D.

\[-1\]

Sprawdzenie

Podstawienie −2 za pierwiastek daje w liczniku −1, a dzielenie przez 4 i mnożenie przez 4 się znoszą. Wynik to −1.

\[\frac{-1}{4}\cdot 4=-1\]

Zadanie 3

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Przy 23-procentowej stawce podatku VAT cena brutto samochodu jest równa 45 018 zł. Jaka jest cena netto tego samochodu?

34 663,86 zł

36 600 zł

44 995 zł

55 372,14 zł

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie zależności

Cena brutto stanowi 123% ceny netto, ponieważ zawiera cenę netto i 23% podatku VAT.

\[45018=1{,}23\cdot C_{\mathrm{netto}}\]

2 Obliczenie ceny netto

Dzielimy cenę brutto przez 1,23, aby otrzymać cenę przed doliczeniem podatku.

\[C_{\mathrm{netto}}=\frac{45018}{1{,}23}=36600\ \mathrm{zł}\]

Odpowiedź

Cena netto samochodu wynosi 36 600 zł. Odpowiedź B.

\[C_{\mathrm{netto}}=36600\ \mathrm{zł}\]

Sprawdzenie

23% z 36 600 zł to 8 418 zł. Po doliczeniu podatku otrzymujemy podaną cenę brutto: 36 600 zł + 8 418 zł = 45 018 zł.

\[36600+0{,}23\cdot36600=36600+8418=45018\ \mathrm{zł}\]

Zadanie 11

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Liczba niewymiernych rozwiązań równania \(x^2(x+5)(2x-3)(x^2-7)=0\) jest równa

\(0\)

\(1\)

\(5\)

\(2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie rozwiązań

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy zeru.

\[x^2=0\Rightarrow x=0,\quad x+5=0\Rightarrow x=-5,\quad 2x-3=0\Rightarrow x=\frac32,\quad x^2-7=0\Rightarrow x=\pm\sqrt7\]

2 Policzenie rozwiązań niewymiernych

Liczby 0, −5 i 3/2 są wymierne. Ponieważ 7 nie jest kwadratem liczby całkowitej, obie liczby ±√7 są niewymierne.

\[\sqrt7,\ -\sqrt7\quad\Rightarrow\quad 2\text{ rozwiązania niewymierne}\]

Odpowiedź

D. Liczba rozwiązań niewymiernych wynosi 2.

\[D\;\text{—}\;2\]

Sprawdzenie

Dla obu wskazanych liczb czynnik x²−7 jest równy zeru, więc spełniają równanie. Pozostałe rozwiązania są wymierne.

\[(\pm\sqrt7)^2-7=7-7=0\]

Zadanie 22

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(0{,}3\) jest jednym z przybliżeń liczby \(\frac{5}{16}\). Błąd względny tego przybliżenia, wyrażony w procentach, jest równy

\(4\%\)

\(0{,}04\%\)

\(2{,}5\%\)

\(0{,}025\%\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie błędu bezwzględnego

Odejmujemy przybliżenie od dokładnej wartości i bierzemy wartość bezwzględną.

\[\left|\frac{5}{16}-0{,}3\right|=\left|\frac{5}{16}-\frac{3}{10}\right|=\frac{1}{80}\]

2 Obliczenie błędu względnego

Dzielimy błąd bezwzględny przez dokładną wartość liczby, a następnie zamieniamy wynik na procenty.

\[\frac{\frac{1}{80}}{\frac{5}{16}}=\frac{1}{25}=0{,}04=4\%\]

Odpowiedź

Błąd względny wynosi 4%, więc poprawna odpowiedź to A.

\[4\%\]

Sprawdzenie

Dokładna wartość to 0,3125, a różnica względem 0,3 wynosi 0,0125. Iloraz 0,0125 przez 0,3125 daje 0,04, czyli 4%.

\[\frac{0{,}0125}{0{,}3125}=0{,}04=4\%\]

Zadanie 24

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Kombinatoryka

Ile jest wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez 6 i niepodzielnych przez 9?

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Policz wielokrotności 6

Dwucyfrowe wielokrotności 6 tworzą ciąg od 12 do 96, o różnicy 6. Liczymy jego wyrazy.

\[\frac{96-12}{6}+1=15\]

2 Odejmij wielokrotności 9

Liczba podzielna jednocześnie przez 6 i 9 jest podzielna przez ich najmniejszą wspólną wielokrotność, czyli 18. Dwucyfrowych wielokrotności 18 jest pięć.

\[\operatorname{NWW}(6,9)=18,\qquad \frac{90-18}{18}+1=5,\qquad 15-5=10\]

Odpowiedź

Takich liczb jest 10. Odpowiedź B.

\[10\]

Sprawdzenie

Są to liczby 12, 24, 30, 42, 48, 60, 66, 78, 84 i 96. Każda jest dwucyfrowa i podzielna przez 6; żadna nie jest podzielna przez 9. Lista zawiera 10 liczb.

\[10\]