Zbiór zadań maturalnych

Liczby rzeczywiste — zadania maturalne

Liczby rzeczywiste: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

140 zadańStrona 7 z 10

Sortuj:

Zadanie 6

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Na początku miesiąca komputer kosztował 3 500 zł. W drugiej dekadzie tego miesiąca cenę komputera obniżono o 10%, a w trzeciej dekadzie cena tego komputera została jeszcze raz obniżona, tym razem o 15%. Innych zmian ceny tego komputera w tym miesiącu już nie było. Cena komputera na koniec miesiąca była równa

3 272,50 zł

2 625 zł

2 677,50 zł

2 800 zł

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Pierwsza obniżka

Po obniżce o 10% komputer kosztuje 90% ceny początkowej.

\[3500\cdot 0{,}90=3150\ \text{zł}\]

2 Druga obniżka

Obniżkę o 15% obliczamy od nowej ceny, czyli 3150 zł. Pozostaje 85% tej kwoty.

\[3150\cdot 0{,}85=2677{,}50\ \text{zł}\]

Odpowiedź

C — 2 677,50 zł

\[2677{,}50\ \text{zł}\]

Sprawdzenie

Po podzieleniu ceny końcowej przez 0,85 otrzymujemy 3150 zł, a po podzieleniu tej kwoty przez 0,90 — cenę początkową 3500 zł.

\[2677{,}50:0{,}85=3150,\qquad 3150:0{,}90=3500\]

Zadanie 2

Matura 2019 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(\frac{\log_{3}27}{\log_{3}\sqrt{27}}\) jest równa

\(-\frac{1}{2}\)

\(2\)

\(-2\)

\(\frac{1}{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie liczb jako potęg trójki

Dzięki temu można zastosować wzór na logarytm potęgi.

\[27=3^3,\qquad \sqrt{27}=3^{\frac32}\]

2 Obliczenie ilorazu

Ponieważ \(\log_3 3^a=a\), licznik wynosi \(3\), a mianownik \(\frac32\).

\[\frac{\log_3 27}{\log_3\sqrt{27}}=\frac{3}{\frac32}=2\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: 2.

\[2\]

Sprawdzenie

Mianownik jest różny od zera, bo logarytm z \(3^{3/2}\) wynosi \(3/2\). Otrzymany wynik odpowiada opcji B.

\[\log_3\sqrt{27}=\frac32\ne 0\]

Zadanie 4

Matura 2019 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba dodatnia \(a\) jest zapisana w postaci ułamka zwykłego. Jeżeli licznik tego ułamka zmniejszymy o 50%, a jego mianownik zwiększymy o 50%, to otrzymamy liczbę \(b\) taką, że

\(b=\frac{1}{4}a\)

\(b=\frac{1}{3}a\)

\(b=\frac{1}{2}a\)

\(b=\frac{2}{3}a\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie liczby jako ułamka

Oznaczamy licznik przez \(m\), a niezerowy mianownik przez \(n\), aby obliczyć wpływ zmian procentowych.

\[a=\frac{m}{n},\quad n\ne 0\]

2 Obliczenie nowej wartości

Zmniejszenie licznika o 50% daje \(\frac{m}{2}\), a zwiększenie mianownika o 50% daje \(\frac{3n}{2}\).

\[b=\frac{\frac{m}{2}}{\frac{3n}{2}}=\frac{m}{3n}=\frac{1}{3}a\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[b=\frac{1}{3}a\]

Sprawdzenie

Nowy licznik stanowi połowę poprzedniego, a nowy mianownik jest półtora raza większy. Ich iloraz stanowi więc jedną trzecią pierwotnej liczby. Ponieważ \(n\ne 0\), przekształcenie jest poprawne.

\[\frac{b}{a}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}}=\frac{1}{3}\]

Zadanie 1

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(\log_{\sqrt{7}} 7\) jest równa

\(2\)

\(7\)

\(\sqrt{7}\)

\(\frac{1}{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie definicji logarytmu

Logarytm wskazuje wykładnik, do którego trzeba podnieść podstawę, aby otrzymać 7. Podstawa \(\sqrt{7}\) jest dodatnia i różna od 1.

\[\log_{\sqrt{7}}7=x\iff(\sqrt{7})^x=7\]

2 Wyznaczenie wykładnika

Ponieważ kwadrat pierwiastka z 7 jest równy 7, szukany wykładnik wynosi 2.

\[(\sqrt{7})^2=7\implies x=2\]

Odpowiedź

Wynik to 2, odpowiedź A.

\[\log_{\sqrt{7}}7=2\]

Sprawdzenie

Podniesienie podstawy logarytmu do otrzymanej potęgi daje 7, więc wynik spełnia definicję.

\[(\sqrt{7})^2=7\]

Zadanie 2

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Kwadrat liczby \(8-3\sqrt{7}\) jest równy

\(127+48\sqrt{7}\)

\(127-48\sqrt{7}\)

\(1-48\sqrt{7}\)

\(1+48\sqrt{7}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podnieś liczbę do kwadratu

Stosujemy wzór na kwadrat różnicy, aby uwzględnić wyraz mieszany.

\[(8-3\sqrt{7})^2=8^2-2\cdot8\cdot3\sqrt{7}+(3\sqrt{7})^2\]

2 Oblicz składniki

Korzystamy z równości \((\sqrt{7})^2=7\) i dodajemy liczby całkowite.

\[64-48\sqrt{7}+9\cdot7=127-48\sqrt{7}\]

Odpowiedź

Wynik to \(127-48\sqrt{7}\), czyli odpowiedź B.

\[127-48\sqrt{7}\]

Sprawdzenie

Ponieważ \(3\sqrt{7}<8\), kwadrat jest dodatni. Otrzymany wynik też jest dodatni: \((48\sqrt{7})^2=16128<16129=127^2\), więc \(48\sqrt{7}<127\).

\[0<127-48\sqrt{7}\]

Zadanie 3

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Jeżeli \(75\%\) liczby \(a\) jest równe \(177\) i \(59\%\) liczby \(b\) jest równe \(177\), to

\(b-a=26\)

\(b-a=64\)

\(a-b=26\)

\(a-b=64\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie liczby a

Dzielimy 177 przez 75%, aby znaleźć całą liczbę a.

\[a=\frac{177}{0{,}75}=236\]

2 Obliczenie liczby b

Dzielimy 177 przez 59%, aby znaleźć całą liczbę b.

\[b=\frac{177}{0{,}59}=300\]

3 Porównanie liczb

Odejmujemy mniejszą liczbę od większej, aby wskazać pasującą odpowiedź.

\[b-a=300-236=64\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: b − a = 64.

\[b-a=64\]

Sprawdzenie

Obie liczby spełniają warunki zadania: 75% z 236 i 59% z 300 wynosi 177.

\[0{,}75\cdot236=177,\qquad 0{,}59\cdot300=177\]

Zadanie 9

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczbą większą od \(5\) jest

\(\left(\frac{1}{25}\right)^{-\frac{1}{2}}\)

\(\left(\frac{1}{25}\right)^{-\frac{1}{5}}\)

\(125^{\frac{2}{3}}\)

\(125^{\frac{1}{3}}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie potęg

Sprowadzamy podstawy do potęg liczby 5 i korzystamy z reguły \((a^m)^n=a^{mn}\).

\[A=(5^{-2})^{-\frac12}=5,\quad B=(5^{-2})^{-\frac15}=5^{\frac25},\quad C=(5^3)^{\frac23}=25,\quad D=(5^3)^{\frac13}=5\]

2 Porównanie z 5

Ponieważ \(\frac25<1\), mamy \(5^{\frac25}<5\). Jedynie \(25\) jest większe od \(5\).

\[B<5,\quad A=D=5,\quad C=25>5\]

Odpowiedź

Odpowiedź C: 25.

\[125^{\frac23}=25\]

Sprawdzenie

Sześcian 5 to 125, więc pierwiastek sześcienny z 125 wynosi 5, a jego kwadrat wynosi 25. Pozostałe odpowiedzi są równe 5 lub od niego mniejsze.

\[(125^{\frac13})^2=5^2=25>5\]

Zadanie 1

Matura 2018 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Wyrażenia algebraiczne

Dla \(x=\frac{2}{\sqrt{2}}+1\) oraz \(y=\sqrt{2}-1\) wartość wyrażenia \(x^2-2xy+y^2\) jest równa

\(4\)

\(1\)

\(\sqrt{2}\)

\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Uproszczenie wartości x

Usuwamy niewymierność z mianownika, aby łatwo porównać x i y.

\[x=\frac{2}{\sqrt{2}}+1=\sqrt{2}+1\]

2 Zastosowanie wzoru skróconego mnożenia

Podane wyrażenie jest kwadratem różnicy. Obliczamy tę różnicę i podnosimy ją do kwadratu.

\[x^2-2xy+y^2=(x-y)^2=((\sqrt{2}+1)-(\sqrt{2}-1))^2=2^2=4\]

Odpowiedź

Wartość wyrażenia wynosi 4. Odpowiedź A.

\[4\]

Sprawdzenie

Różnica x−y wynosi 2, więc jej kwadrat rzeczywiście wynosi 4. Obie podane liczby są określone, ponieważ mianownik √2 jest różny od zera.

\[x-y=2,\quad (x-y)^2=4,\quad \sqrt{2}\ne 0\]

Zadanie 2

Matura 2018 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Dane są liczby: \(a=\log_{\frac{1}{2}}8\), \(b=\log_4 8\), \(c=\log_4\frac{1}{2}\). Liczby te spełniają warunek

\(a>b>c\)

\(b>a>c\)

\(c>b>a\)

\(b>c>a\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie logarytmów

Zapisujemy podstawy i liczby logarytmowane jako potęgi 2, aby wyznaczyć wykładniki.

\[\left(\frac12\right)^{-3}=8\Rightarrow a=-3,\qquad 4^{\frac32}=8\Rightarrow b=\frac32,\qquad 4^{-\frac12}=\frac12\Rightarrow c=-\frac12\]

2 Porównanie liczb

Porównujemy otrzymane wartości i wybieramy odpowiadającą im odpowiedź.

\[\frac32>-\frac12>-3\quad\Rightarrow\quad b>c>a\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: b > c > a.

\[b>c>a\]

Sprawdzenie

Podstawienie wykładników potwierdza wszystkie trzy wartości: odpowiednie potęgi dają 8, 8 oraz 1/2.

\[\left(\frac12\right)^{-3}=8,\qquad 4^{\frac32}=8,\qquad 4^{-\frac12}=\frac12\]

Zadanie 4

Matura 2018 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Po dwukrotnej obniżce, za każdym razem o 10% w stosunku do ceny obowiązującej w chwili obniżki, komputer kosztuje 1944 złote. Stąd wynika, że przed tymi obniżkami ten komputer kosztował

2200 złotych.

2300 złotych.

2400 złotych.

3000 złotych.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie ceny po obniżkach

Każda obniżka o 10% pozostawia 90% aktualnej ceny. Jeśli cena początkowa wynosiła x zł, to po dwóch obniżkach jest równa 1944 zł.

\[x\cdot 0{,}9\cdot 0{,}9=1944\]

2 Obliczenie ceny początkowej

Dzielimy obie strony równania przez 0,81.

\[x=\frac{1944}{0{,}81}=2400\]

Odpowiedź

Komputer kosztował 2400 złotych. Odpowiedź C.

\[x=2400\ \text{zł}\]

Sprawdzenie

Po pierwszej obniżce cena wynosi 2160 zł, a po drugiej 1944 zł, zgodnie z treścią zadania.

\[2400\cdot 0{,}9=2160,\qquad 2160\cdot 0{,}9=1944\]

Zadanie 5

Matura 2018 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Na rysunku przedstawiony jest przedział \((-10,k\rangle\), gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą. Suma wszystkich liczb całkowitych należących do tego przedziału jest równa 21.

Stąd wynika, że

Oś liczbowa z grotem i oznaczeniem x. Przedział zaznaczono od pustego kółka przy −10 do pełnego kółka przy k; nad osią biegnie odcinek łączący jego końce.

\(k=9\)

\(k=11\)

\(k=21\)

\(k=31\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustalenie liczb w przedziale

Koniec −10 jest wyłączony, więc pierwszą liczbą całkowitą w przedziale jest −9. Liczby od −9 do 9 sumują się do zera, ponieważ każda liczba dodatnia ma swoją przeciwną.

\[(-9)+(-8)+\cdots+8+9=0\]

2 Wyznaczenie k

Aby suma wyniosła 21, do tych liczb trzeba dodać 10 i 11. Zatem prawym końcem przedziału jest 11.

\[0+10+11=21,\qquad k=11\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: k = 11.

\[k=11\]

Sprawdzenie

Dla k = 11 przedział zawiera liczby całkowite od −9 do 11. Ich suma wynosi 21, a −10 nie należy do przedziału.

\[\sum_{n=-9}^{11}n=0+10+11=21\]

Zadanie 7

Matura 2018 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczbę \(\frac{224}{1111}\) można zapisać w postaci nieskończonego ułamka dziesiętnego okresowego. Dwudziestą cyfrą po przecinku jego rozwinięcia jest

\(2\)

\(0\)

\(1\)

\(6\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie okresu

Mnożymy licznik i mianownik przez 9, aby otrzymać mianownik 9999. Ułamek o takim mianowniku ma czterocyfrowy okres.

\[\frac{224}{1111}=\frac{2016}{9999}=0{,}\overline{2016}\]

2 Odczytanie dwudziestej cyfry

Okres ma cztery cyfry. Ponieważ 20 jest wielokrotnością 4, szukana cyfra jest ostatnią cyfrą okresu.

\[20=5\cdot4,\qquad \overline{2016}\ \Rightarrow\ 6\]

Odpowiedź

Dwudziestą cyfrą po przecinku jest 6. Odpowiedź D.

\[6\]

Sprawdzenie

Pięć pełnych okresów zawiera 20 cyfr i kończy się cyfrą 6. Ponadto zapis okresowy daje wyjściowy ułamek.

\[0{,}\overline{2016}=\frac{2016}{9999}=\frac{224}{1111}\]

Zadanie 8

Matura 2018 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(\frac{8^{20}-2\cdot 4^{20}}{2^{20}\cdot 4^{10}}\) jest równa

\(0\)

\(2^{20}-2\)

\(2^{19}\)

\(4-2^{10}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Sprowadzenie potęg do podstawy 2

Ponieważ 8 i 4 są potęgami liczby 2, zapisujemy wszystkie czynniki z tą samą podstawą.

\[\frac{8^{20}-2\cdot4^{20}}{2^{20}\cdot4^{10}}=\frac{2^{60}-2^{41}}{2^{20}\cdot2^{20}}=\frac{2^{60}-2^{41}}{2^{40}}\]

2 Podzielenie składników licznika

Mianownik jest różny od zera, więc dzielimy przez niego każdy składnik licznika i odejmujemy wykładniki potęg.

\[\frac{2^{60}}{2^{40}}-\frac{2^{41}}{2^{40}}=2^{20}-2\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[2^{20}-2\]

Sprawdzenie

Po pomnożeniu wyniku przez mianownik otrzymujemy wyjściowy licznik.

\[(2^{20}-2)\cdot2^{40}=2^{60}-2^{41}=8^{20}-2\cdot4^{20}\]

Zadanie 28

Matura 2018 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Liczby rzeczywiste

Wykaż, że reszta z dzielenia sumy kwadratów czterech kolejnych liczb naturalnych przez 8 jest równa 6.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie sumy

Oznaczamy kolejne liczby przez n, n+1, n+2, n+3 i rozwijamy ich kwadraty.

\[n^2+(n+1)^2+(n+2)^2+(n+3)^2=4n(n+3)+14\]

2 Ustalenie podzielności

Liczby n i n+3 mają różną parzystość, więc ich iloczyn jest parzysty. Zatem 4n(n+3) jest podzielne przez 8.

\[n(n+3)=2k\quad\text{dla pewnego }k\in\mathbb{Z}\]

3 Wyznaczenie reszty

Podstawiamy 2k za iloczyn i zapisujemy sumę jako wielokrotność 8 powiększoną o 6.

\[4n(n+3)+14=8k+14=8(k+1)+6\]

Odpowiedź

Reszta z dzielenia sumy przez 8 wynosi 6.

\[r=6\]

Sprawdzenie

Liczba k+1 jest całkowita, a 6 należy do przedziału od 0 do 7, więc otrzymany zapis jest poprawnym dzieleniem z resztą przez 8.

\[0\leq 6<8\]

Zadanie 1

Matura 2018 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Cena pewnego towaru w wyniku obniżki o 10% zmniejszyła się o 2 018 zł. Ten towar po tej obniżce kosztował

20 180 zł

18 162 zł

2 108 zł

2 028 zł

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie ceny przed obniżką

Kwota 2 018 zł stanowi 10% ceny początkowej, więc dzielimy ją przez 0,1.

\[2018:0{,}1=20180\ \text{zł}\]

2 Obliczenie ceny po obniżce

Od ceny początkowej odejmujemy kwotę obniżki.

\[20180-2018=18162\ \text{zł}\]

Odpowiedź

Po obniżce towar kosztował 18 162 zł. Odpowiedź B.

\[\boxed{18162\ \text{zł}}\]

Sprawdzenie

10% ceny początkowej 20 180 zł to 2 018 zł; po odjęciu tej kwoty otrzymujemy 18 162 zł.

\[0{,}1\cdot20180=2018,\qquad 20180-2018=18162\]