Zbiór zadań maturalnych

Liczby rzeczywiste — zadania maturalne

Liczby rzeczywiste: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

140 zadańStrona 4 z 10

Sortuj:

Zadanie 1

Matura 2023 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(6^{30}:4^{15}\) jest równa

\((1{,}5)^{15}\)

\((1{,}5)^2\)

\(3^{30}\)

\(3^0\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Sprowadzenie do jednakowych wykładników

Ponieważ \(30=2\cdot15\), zapisujemy obie potęgi z wykładnikiem 15, aby zastosować wzór na iloraz potęg.

\[\frac{6^{30}}{4^{15}}=\frac{(6^2)^{15}}{4^{15}}=\left(\frac{36}{4}\right)^{15}=9^{15}\]

2 Zapis jako potęga liczby 3

Ponieważ \(9=3^2\), mnożymy wykładniki potęg.

\[9^{15}=(3^2)^{15}=3^{30}\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[3^{30}\]

Sprawdzenie

Po zapisaniu podstaw jako iloczynów potęg liczb pierwszych otrzymujemy ten sam wynik.

\[\frac{6^{30}}{4^{15}}=\frac{(2\cdot3)^{30}}{(2^2)^{15}}=\frac{2^{30}3^{30}}{2^{30}}=3^{30}\]

Zadanie 2

Matura 2023 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej \(x\) iloczyn \(\sqrt{x}\cdot\sqrt[3]{x}\cdot\sqrt[6]{x}\) jest równy

\(x\)

\(\sqrt[10]{x}\)

\(\sqrt[18]{x}\)

\(x^2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz pierwiastki jako potęgi

Dla dodatniego \(x\) pierwiastek stopnia \(n\) jest równy \(x^{1/n}\).

\[\sqrt{x}\cdot\sqrt[3]{x}\cdot\sqrt[6]{x}=x^{1/2}\cdot x^{1/3}\cdot x^{1/6}\]

2 Dodaj wykładniki

Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy wykładniki.

\[x^{1/2+1/3+1/6}=x^{3/6+2/6+1/6}=x\]

Odpowiedź

Wynik to x, czyli odpowiedź A.

\[\boxed{\mathrm{A}\colon\ x}\]

Sprawdzenie

Iloczyn jest dodatni. Jego szósta potęga wynosi x do szóstej potęgi, więc dla dodatniego x iloczyn rzeczywiście jest równy x.

\[\left(\sqrt{x}\sqrt[3]{x}\sqrt[6]{x}\right)^6=x^3\cdot x^2\cdot x=x^6\]

Zadanie 3

Matura 2023 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Klient wpłacił do banku 30 000 zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości 7% od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie.
Po dwóch latach oszczędzania łączna wartość doliczonych odsetek na tej lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa

2100 zł

2247 zł

4200 zł

4347 zł

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odsetki po pierwszym roku

Bank nalicza 7% od wpłaconych 30 000 zł, a następnie dolicza odsetki do kapitału.

\[30000\cdot 0{,}07=2100\ \text{zł},\qquad 30000+2100=32100\ \text{zł}\]

2 Odsetki po drugim roku

W drugim roku podstawą naliczenia odsetek jest powiększony kapitał, czyli 32 100 zł.

\[32100\cdot 0{,}07=2247\ \text{zł}\]

3 Suma odsetek

Łączna wartość odsetek to suma kwot doliczonych po obu latach.

\[2100+2247=4347\ \text{zł}\]

Odpowiedź

4347 zł, odpowiedź D.

\[4347\ \text{zł}\]

Sprawdzenie

Po dwóch latach na lokacie jest 34 347 zł. Różnica między tą kwotą a wpłatą wynosi 4347 zł.

\[32100+2247=34347\ \text{zł},\qquad 34347-30000=4347\ \text{zł}\]

Zadanie 4

Matura 2023 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(\log_2\frac{1}{8}+\log_2 4\) jest równa

\((-1)\)

\(\frac{1}{2}\)

\(2\)

\(5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie logarytmów

Z definicji logarytmu odczytujemy wykładniki potęg liczby 2.

\[\frac{1}{8}=2^{-3},\quad 4=2^2,\quad \log_2\frac{1}{8}=-3,\quad \log_2 4=2\]

2 Dodanie wyników

Dodajemy otrzymane wartości.

\[\log_2\frac{1}{8}+\log_2 4=-3+2=-1\]

Odpowiedź

Wynik to −1, odpowiedź A.

\[-1\]

Sprawdzenie

Iloczyn argumentów logarytmów wynosi 1/2, a 2 do potęgi −1 także wynosi 1/2.

\[\frac{1}{8}\cdot 4=\frac{1}{2}=2^{-1}\]

Zadanie 5

Matura 2023 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \((1+\sqrt{5})^2-(1-\sqrt{5})^2\) jest równa

\(0\)

\((-10)\)

\(4\sqrt{5}\)

\(2+2\sqrt{5}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie wzoru na różnicę kwadratów

Wzór \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) pozwala uprościć wyrażenie bez rozwijania obu kwadratów.

\[(1+\sqrt{5})^2-(1-\sqrt{5})^2=[(1+\sqrt{5})-(1-\sqrt{5})][(1+\sqrt{5})+(1-\sqrt{5})]\]

2 Obliczenie czynników

Po redukcji wyrazów podobnych otrzymujemy iloczyn.

\[(2\sqrt{5})\cdot 2=4\sqrt{5}\]

Odpowiedź

Liczba jest równa \(4\sqrt{5}\). Odpowiedź C.

\[4\sqrt{5}\]

Sprawdzenie

Po rozwinięciu kwadratów wyrazy \(6\) się redukują, a pozostałe dają \(4\sqrt{5}\).

\[(6+2\sqrt{5})-(6-2\sqrt{5})=4\sqrt{5}\]

Zadanie 1

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb całkowitych dodatnich spełniających nierówność \(|x+5|<15\) jest

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Usuń wartość bezwzględną

Nierówność \(|a|<15\) oznacza, że \(a\) leży między \(-15\) a \(15\).

\[-15<x+5<15\quad\Longrightarrow\quad -20<x<10\]

2 Policz liczby dodatnie

Dodatnie liczby całkowite z tego przedziału to liczby od 1 do 9.

\[x\in\{1,2,\ldots,9\},\qquad 9-1+1=9\]

Odpowiedź

Jest 9 takich liczb. Odpowiedź A.

\[\boxed{9\text{ — A}}\]

Sprawdzenie

Dla największej z nich, \(x=9\), otrzymujemy \(|9+5|=14<15\). Następna liczba dodatnia, \(x=10\), daje 15, więc już nie spełnia nierówności.

\[|9+5|=14<15,\qquad |10+5|=15\not<15\]

Zadanie 2

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej \(x\) iloczyn \(\sqrt{x}\cdot\sqrt[3]{x}\cdot\sqrt[6]{x}\) jest równy

\(x\)

\(\sqrt[10]{x}\)

\(\sqrt[18]{x}\)

\(x^2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz pierwiastki jako potęgi

Ponieważ \(x>0\), każdy pierwiastek można zapisać jako potęgę o wykładniku ułamkowym.

\[\sqrt{x}\cdot\sqrt[3]{x}\cdot\sqrt[6]{x}=x^{\frac12}\cdot x^{\frac13}\cdot x^{\frac16}\]

2 Dodaj wykładniki

Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy wykładniki.

\[x^{\frac12+\frac13+\frac16}=x^{\frac36+\frac26+\frac16}=x^1=x\]

Odpowiedź

Wynik to \(x\), czyli odpowiedź A.

\[\boxed{x}\]

Sprawdzenie

Suma wykładników wynosi \(1\), więc iloczyn jest równy \(x\) dla każdego \(x>0\).

\[\frac12+\frac13+\frac16=1\]

Zadanie 3

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Liczby rzeczywiste

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej \(k\) reszta z dzielenia liczby \(49k^2+7k-2\) przez \(7\) jest równa \(5\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz liczbę w postaci iloraz razy 7 plus reszta

Wyłączamy wielokrotność 7, aby wskazać resztę z dzielenia.

\[49k^2+7k-2=7(7k^2+k-1)+5\]

2 Uzasadnij wartość reszty

Dla całkowitego k liczba 7k²+k−1 jest całkowita, a 5 należy do przedziału od 0 do 6. Zatem reszta wynosi 5.

\[7k^2+k-1\in\mathbb Z,\qquad 0\leq 5<7\]

Odpowiedź

Dla każdej liczby całkowitej k reszta z dzielenia podanej liczby przez 7 jest równa 5.

\[49k^2+7k-2\equiv 5\pmod 7\]

Sprawdzenie

Po rozwinięciu otrzymujemy wyjściową liczbę, a wskazana reszta jest mniejsza od 7.

\[7(7k^2+k-1)+5=49k^2+7k-2,\qquad 0\leq 5<7\]

Zadanie 4

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Klient wpłacił do banku 30 000 zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości 7% od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Po dwóch latach oszczędzania łączna wartość doliczonych odsetek na tej lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa

\(2100\) zł

\(2247\) zł

\(4200\) zł

\(4347\) zł

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odsetki po pierwszym roku

Bank nalicza 7% od wpłaconych 30 000 zł. Dodajemy odsetki do kapitału, ponieważ od tej kwoty będą naliczane odsetki w drugim roku.

\[30000\cdot 0{,}07=2100\ \text{zł},\qquad 30000+2100=32100\ \text{zł}\]

2 Odsetki po drugim roku

W drugim roku podstawą naliczenia odsetek jest kapitał powiększony po pierwszym roku.

\[32100\cdot 0{,}07=2247\ \text{zł}\]

3 Suma odsetek

Dodajemy odsetki z obu lat.

\[2100+2247=4347\ \text{zł}\]

Odpowiedź

Łączna wartość odsetek wynosi 4347 zł. Odpowiedź D.

\[4347\ \text{zł}\]

Sprawdzenie

Po dwóch latach kapitał wynosi 34 347 zł, czyli o 4347 zł więcej niż wpłacone 30 000 zł.

\[30000\cdot(1{,}07)^2=34347\ \text{zł},\qquad 34347-30000=4347\ \text{zł}\]

Zadanie 5

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(\log_2\frac{1}{8}+\log_2 4\) jest równa

\((-1)\)

\(\frac{1}{2}\)

\(2\)

\(5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz argumenty jako potęgi dwójki

Korzystamy z definicji logarytmu: logarytm przy podstawie 2 jest wykładnikiem potęgi dwójki.

\[\frac{1}{8}=2^{-3},\qquad 4=2^2\]

2 Oblicz sumę

Ponieważ \(\log_2 2^a=a\), oba logarytmy zastępujemy wykładnikami i dodajemy.

\[\log_2\frac{1}{8}+\log_2 4=-3+2=-1\]

Odpowiedź

Wynik to −1, czyli odpowiedź A.

\[-1\]

Sprawdzenie

Iloczyn argumentów wynosi 1/2, a \(2^{-1}=1/2\), więc suma logarytmów jest równa −1.

\[\log_2\left(\frac{1}{8}\cdot4\right)=\log_2\frac{1}{2}=-1\]

Zadanie 6

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \((1+\sqrt{5})^2-(1-\sqrt{5})^2\) jest równa

\(0\)

\((-10)\)

\(4\sqrt{5}\)

\(2+2\sqrt{5}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie wzoru na różnicę kwadratów

Wyrażenie ma postać różnicy kwadratów, więc stosujemy wzór \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\).

\[(1+\sqrt{5})^2-(1-\sqrt{5})^2=\bigl((1+\sqrt{5})-(1-\sqrt{5})\bigr)\bigl((1+\sqrt{5})+(1-\sqrt{5})\bigr)\]

2 Obliczenie iloczynu

W pierwszym nawiasie redukują się jedynki, a w drugim pierwiastki.

\[(2\sqrt{5})\cdot 2=4\sqrt{5}\]

Odpowiedź

Wynik to \(4\sqrt{5}\), czyli odpowiedź C.

\[4\sqrt{5}\]

Sprawdzenie

Po rozwinięciu obu kwadratów składniki \(1\) i \(5\) się odejmują, a składniki z pierwiastkiem dają \(4\sqrt{5}\).

\[(6+2\sqrt{5})-(6-2\sqrt{5})=4\sqrt{5}\]

Zadanie 1

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Dana jest nierówność \(\lvert x-5\rvert<2\).

Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Rysunek osi liczbowej w odpowiedzi A.

Rysunek osi liczbowej w odpowiedzi B.

Rysunek osi liczbowej w odpowiedzi C.

Rysunek osi liczbowej w odpowiedzi D.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozwiązanie nierówności

Wartość bezwzględna jest mniejsza od 2 wtedy, gdy wyrażenie pod nią leży między −2 a 2. Dodajemy 5 do każdej strony.

\[|x-5|<2\iff -2<x-5<2\iff 3<x<7\]

2 Wybór rysunku

Szukamy odcinka między 3 a 7 z niezamalowanymi końcami, ponieważ nierówność jest ostra. Tak zaznaczono przedział na rysunku D.

\[x\in(3,7)\]

Odpowiedź

Odpowiedź D — przedział otwarty od 3 do 7.

\[(3,7)\]

Sprawdzenie

Liczba 5 spełnia nierówność, bo |5−5|=0<2. Końce 3 i 7 jej nie spełniają, bo w obu przypadkach wartość bezwzględna wynosi 2.

\[|5-5|=0<2,\qquad |3-5|=|7-5|=2\]

Zadanie 2

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(3\sqrt{45}-\sqrt{20}\) jest równa

\((7\cdot5)^{\frac{1}{2}}\)

\(5^{\frac{1}{2}}\)

\(7\)

\(7\cdot5^{\frac{1}{2}}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Uproszczenie pierwiastków

Wyłączamy kwadraty liczb naturalnych przed pierwiastek, aby otrzymać wyrazy z tym samym pierwiastkiem.

\[\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot5}=3\sqrt5,\qquad \sqrt{20}=\sqrt{4\cdot5}=2\sqrt5\]

2 Redukcja wyrazów podobnych

Odejmujemy współczynniki przy \(\sqrt5\).

\[3\sqrt{45}-\sqrt{20}=3\cdot3\sqrt5-2\sqrt5=7\sqrt5\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[7\sqrt5\]

Sprawdzenie

W odpowiedzi D zapis \(7\cdot5^{\frac12}\) jest równy \(7\sqrt5\), więc pasuje do otrzymanego wyniku.

\[7\cdot5^{\frac12}=7\sqrt5\]

Zadanie 3

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(\log_{25}1-\frac{1}{2}\log_{25}5\) jest równa

\(-\frac{1}{4}\)

\(-\frac{1}{2}\)

\(\frac{1}{4}\)

\(\frac{1}{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie logarytmów

Logarytm z 1 wynosi 0, a ponieważ \(25^{1/2}=5\), logarytm z 5 przy podstawie 25 wynosi \(\frac{1}{2}\).

\[\log_{25}1=0,\qquad \log_{25}5=\frac{1}{2}\]

2 Podstawienie wartości

Podstawiamy obliczone logarytmy do wyrażenia i wykonujemy mnożenie.

\[\log_{25}1-\frac{1}{2}\log_{25}5=0-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[-\frac{1}{4}\]

Sprawdzenie

Ponieważ \(25^0=1\) i \(25^{1/2}=5\), obie użyte wartości logarytmów są poprawne.

\[0-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}\]

Zadanie 4

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Liczby rzeczywiste

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\) liczba \(3n^3+18n^2+15n\) jest podzielna przez \(6\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozłóż wyrażenie na czynniki

Wyłączamy 3n przed nawias i rozkładamy otrzymany trójmian.

\[3n^3+18n^2+15n=3n(n^2+6n+5)=3n(n+1)(n+5)\]

2 Wykorzystaj parzystość

Liczby n i n+1 są kolejne, więc jedna z nich jest parzysta. Ich iloczyn jest zatem podzielny przez 2, a całe wyrażenie przez 6.

\[n(n+1)=2k\quad\text{dla pewnego }k\in\mathbb{Z},\qquad 3n(n+1)(n+5)=6k(n+5)\]

Odpowiedź

Dla każdej liczby naturalnej n≥1 podana liczba jest podzielna przez 6.

\[6\mid(3n^3+18n^2+15n)\]

Sprawdzenie

Po podzieleniu przez 6 otrzymujemy liczbę całkowitą: połowa iloczynu kolejnych liczb n i n+1 jest całkowita.

\[\frac{3n^3+18n^2+15n}{6}=\frac{n(n+1)}{2}(n+5)\in\mathbb{Z}\]