Zbiór zadań maturalnych

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej — zadania maturalne

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

39 zadańStrona 2 z 3

Sortuj:

Zadanie 20

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

69%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest okrąg o środku \(S=(2,3)\) i promieniu \(r=5\). Który z podanych punktów leży na tym okręgu?

\(A=(-1,7)\)

\(B=(2,-3)\)

\(C=(3,2)\)

\(D=(5,3)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek przynależności do okręgu

Punkt leży na okręgu, gdy jego odległość od środka jest równa promieniowi.

\[(x-2)^2+(y-3)^2=5^2=25\]

2 Sprawdzenie punktu A

Podstawiamy współrzędne punktu A do równania okręgu.

\[(-1-2)^2+(7-3)^2=9+16=25\]

Odpowiedź

Na okręgu leży punkt A = (−1, 7). Odpowiedź: A.

\[A=(-1,7)\]

Sprawdzenie

Pozostałe punkty nie spełniają równania okręgu: dla B otrzymujemy 36, dla C — 2, a dla D — 9, zamiast 25.

\[B:\ 0^2+(-6)^2=36,\quad C:\ 1^2+(-1)^2=2,\quad D:\ 3^2+0^2=9\]

Zadanie 23

Matura 2022 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

68%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Punkty \(K=(4,-10)\) i \(L=(b,2)\) są końcami odcinka \(KL\). Pierwsza współrzędna środka odcinka \(KL\) jest równa \((-12)\). Wynika stąd, że

\(b=-28\)

\(b=-14\)

\(b=-24\)

\(b=-10\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wzór na środek odcinka

Pierwsza współrzędna środka jest średnią pierwszych współrzędnych końców odcinka, więc zapisujemy równanie.

\[\frac{4+b}{2}=-12\]

2 Obliczenie b

Mnożymy obie strony przez 2, a następnie odejmujemy 4.

\[4+b=-24\quad\Rightarrow\quad b=-28\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: b = −28.

\[b=-28\]

Sprawdzenie

Dla b = −28 pierwsza współrzędna środka odcinka wynosi −12, zgodnie z treścią zadania.

\[\frac{4+(-28)}{2}=-12\]

Zadanie 20

Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

68%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dane są punkty \(M=(-2,1)\) i \(N=(-1,3)\). Punkt \(K\) jest środkiem odcinka \(\overline{MN}\). Obrazem punktu \(K\) w symetrii względem początku układu współrzędnych jest punkt

\(K'=\left(2,-\frac{3}{2}\right)\)

\(K'=\left(2,\frac{3}{2}\right)\)

\(K'=\left(\frac{3}{2},2\right)\)

\(K'=\left(\frac{3}{2},-2\right)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie środka odcinka

Współrzędne środka są średnimi odpowiednich współrzędnych końców odcinka.

\[K=\left(\frac{-2+(-1)}{2},\frac{1+3}{2}\right)=\left(-\frac{3}{2},2\right)\]

2 Odbicie względem początku układu

Symetria względem początku zmienia znaki obu współrzędnych.

\[K'=\left(-\left(-\frac{3}{2}\right),-2\right)=\left(\frac{3}{2},-2\right)\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[K'=\left(\frac{3}{2},-2\right)\]

Sprawdzenie

Środek odcinka łączącego punkt K z jego obrazem K′ to początek układu, więc wynik spełnia warunek symetrii.

\[\left(\frac{-\frac{3}{2}+\frac{3}{2}}{2},\frac{2+(-2)}{2}\right)=(0,0)\]

Zadanie 19

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

67%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Na płaszczyźnie z układem współrzędnych proste \(k\) i \(l\) przecinają się pod kątem prostym w punkcie \(A=(-2,4)\). Prosta \(k\) jest określona równaniem \(y=-\frac{1}{4}x+\frac{7}{2}\). Zatem prostą \(l\) opisuje równanie

\(y=\frac{1}{4}x+\frac{7}{2}\)

\(y=-\frac{1}{4}x-\frac{7}{2}\)

\(y=4x-12\)

\(y=4x+12\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie współczynnika kierunkowego

Współczynniki kierunkowe prostych prostopadłych mają iloczyn równy −1. Skoro dla prostej k wynosi on −1/4, to dla prostej l wynosi 4.

\[-\frac{1}{4}\cdot a_l=-1\quad\Rightarrow\quad a_l=4\]

2 Wyznaczenie równania prostej

Prosta l przechodzi przez punkt A=(-2,4), więc podstawiamy jego współrzędne do równania y=4x+b.

\[4=4\cdot(-2)+b\quad\Rightarrow\quad b=12\quad\Rightarrow\quad y=4x+12\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[y=4x+12\]

Sprawdzenie

Punkt A należy do obu prostych, a iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi −1.

\[4=4\cdot(-2)+12,\qquad 4=-\frac{1}{4}\cdot(-2)+\frac{7}{2},\qquad 4\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)=-1\]

Zadanie 23

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

66%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) proste \(k\) oraz \(l\) są określone równaniami

\[k:\ y=(m+1)x+7\]

\[l:\ y=-2x+7\]

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Proste \(k\) oraz \(l\) są prostopadłe, gdy liczba \(m\) jest równa

\(\left(-\frac{1}{2}\right)\)

\(\frac{1}{2}\)

\((-3)\)

\(1\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie warunku prostopadłości

Współczynniki kierunkowe prostych to odpowiednio \(m+1\) i \(-2\). Dla prostych prostopadłych ich iloczyn wynosi \(-1\).

\[(m+1)\cdot(-2)=-1\]

2 Obliczenie wartości m

Dzielimy równanie przez \(-2\), a następnie odejmujemy \(1\).

\[m+1=\frac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad m=-\frac{1}{2}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: \(m=-\frac{1}{2}\).

\[m=-\frac{1}{2}\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanej wartości współczynnik kierunkowy prostej \(k\) wynosi \(\frac{1}{2}\). Iloczyn współczynników kierunkowych obu prostych jest równy \(-1\), więc proste są prostopadłe.

\[\left(-\frac{1}{2}+1\right)\cdot(-2)=\frac{1}{2}\cdot(-2)=-1\]

Zadanie 20

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

65%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Proste opisane równaniami \(y=\frac{2}{m-1}x+m-2\) oraz \(y=mx+\frac{1}{m+1}\) są prostopadłe, gdy

\(m=2\)

\(m=\frac{1}{2}\)

\(m=\frac{1}{3}\)

\(m=-2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie warunków

Mianowniki muszą być różne od zera, więc wykluczamy wartości 1 i −1.

\[m-1\ne 0,\quad m+1\ne 0,\quad m\ne 1,\quad m\ne -1\]

2 Warunek prostopadłości

Iloczyn współczynników kierunkowych dwóch prostych prostopadłych wynosi −1. Podstawiamy współczynniki z równań prostych.

\[\frac{2}{m-1}\cdot m=-1\quad\Longrightarrow\quad 2m=-(m-1)\quad\Longrightarrow\quad 3m=1\quad\Longrightarrow\quad m=\frac{1}{3}\]

Odpowiedź

Odpowiedź C: m = 1/3.

\[m=\frac{1}{3}\]

Sprawdzenie

Wartość 1/3 spełnia warunki. Współczynniki kierunkowe wynoszą odpowiednio −3 i 1/3, a ich iloczyn jest równy −1.

\[\frac{2}{\frac{1}{3}-1}=-3,\qquad -3\cdot\frac{1}{3}=-1\]

Zadanie 20

Matura 2020 · termin główny — 9 czerwca (na PDF: 5 maja) · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

64%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Punkt \(B\) jest obrazem punktu \(A=(-3,5)\) w symetrii względem początku układu współrzędnych. Długość odcinka \(AB\) jest równa

\(2\sqrt{34}\)

\(8\)

\(\sqrt{34}\)

\(12\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie punktu B

Symetria względem początku układu zmienia znaki obu współrzędnych.

\[A=(-3,5)\quad\Rightarrow\quad B=(3,-5)\]

2 Obliczenie długości AB

Stosujemy wzór na odległość dwóch punktów i upraszczamy pierwiastek.

\[AB=\sqrt{(3-(-3))^2+(-5-5)^2}=\sqrt{36+100}=\sqrt{136}=2\sqrt{34}\]

Odpowiedź

Długość odcinka AB wynosi 2√34. Odpowiedź A.

\[AB=2\sqrt{34}\]

Sprawdzenie

Środek odcinka AB ma współrzędne (0,0), więc punkty są symetryczne względem początku układu. Ponadto kwadrat otrzymanej długości wynosi 136, tyle samo co suma kwadratów różnic współrzędnych.

\[\left(\frac{-3+3}{2},\frac{5+(-5)}{2}\right)=(0,0),\qquad (2\sqrt{34})^2=136=6^2+(-10)^2\]

Zadanie 18

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

63%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Punkt \(K=(2,2)\) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego \(KLM\), w którym \(|KM|=|LM|\). Odcinek \(MN\) jest wysokością trójkąta i \(N=(4,3)\). Zatem

\(L=(5,3)\)

\(L=(6,4)\)

\(L=(3,5)\)

\(L=(4,6)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie środka podstawy

Ponieważ \(|KM|=|LM|\), odcinek \(KL\) jest podstawą trójkąta równoramiennego. Wysokość poprowadzona z wierzchołka \(M\) dzieli podstawę na połowy, więc \(N\) jest środkiem \(KL\).

\[N=\left(\frac{x_K+x_L}{2},\frac{y_K+y_L}{2}\right)\]

2 Obliczenie współrzędnych punktu L

Podstawiamy współrzędne punktów \(K\) i \(N\) do wzoru na środek odcinka.

\[4=\frac{2+x_L}{2}\Rightarrow x_L=6,\qquad 3=\frac{2+y_L}{2}\Rightarrow y_L=4\]

Odpowiedź

B. Punkt L ma współrzędne (6,4).

\[L=(6,4)\]

Sprawdzenie

Środek odcinka o końcach K=(2,2) i L=(6,4) ma współrzędne (4,3), czyli jest punktem N.

\[\left(\frac{2+6}{2},\frac{2+4}{2}\right)=(4,3)=N\]

Zadanie 20

Matura 2019 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

62%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dane są punkty o współrzędnych \(A=(-2,5)\) oraz \(B=(4,-1)\). Średnica okręgu wpisanego w kwadrat o boku \(AB\) jest równa

\(12\)

\(6\)

\(6\sqrt{2}\)

\(2\sqrt{6}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie długości boku

Bok kwadratu ma długość AB, więc obliczamy odległość między podanymi punktami.

\[AB=\sqrt{(4-(-2))^2+(-1-5)^2}=\sqrt{36+36}=6\sqrt{2}\]

2 Wyznaczenie średnicy

Okrąg wpisany w kwadrat jest styczny do dwóch przeciwległych boków, dlatego jego średnica jest równa długości boku.

\[d=AB=6\sqrt{2}\]

Odpowiedź

Średnica wynosi 6√2. Odpowiedź C.

\[d=6\sqrt{2}\]

Sprawdzenie

Kwadrat obliczonej długości boku to 72, czyli suma kwadratów różnic współrzędnych: 36+36. Wynik spełnia więc wzór na odległość punktów.

\[(6\sqrt{2})^2=72=6^2+(-6)^2\]

Zadanie 24

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

61%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) punkt \(P=(0,0)\) leży na okręgu \(\mathcal{O}\) o środku w punkcie \(S=(2,4)\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Okrąg \(\mathcal{O}\) jest określony równaniem

\((x-2)^2+(y-4)^2=2\sqrt{5}\)

\((x-2)^2+(y-4)^2=20\)

\((x+2)^2+(y+4)^2=2\sqrt{5}\)

\((x+2)^2+(y+4)^2=20\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie kwadratu promienia

Punkt P leży na okręgu, więc jego odległość od środka S jest promieniem.

\[r^2=(0-2)^2+(0-4)^2=4+16=20\]

2 Zapisanie równania okręgu

Podstawiamy współrzędne środka i kwadrat promienia do wzoru na równanie okręgu.

\[(x-2)^2+(y-4)^2=20\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[(x-2)^2+(y-4)^2=20\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu współrzędnych punktu P lewa strona wynosi 20, więc punkt P leży na otrzymanym okręgu.

\[(0-2)^2+(0-4)^2=20\]

Zadanie 21

Matura 2022 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

61%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Punkty \(A=(-2,6)\) oraz \(B=(3,b)\) leżą na prostej, która przechodzi przez początek układu współrzędnych. Wtedy \(b\) jest równe

\(9\)

\((-9)\)

\((-4)\)

\(4\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie współczynnika prostej

Prosta przechodzi przez początek układu, więc ma równanie \(y=ax\). Podstawiamy współrzędne punktu \(A\), aby obliczyć \(a\).

\[6=a\cdot(-2)\quad\Rightarrow\quad a=-3\]

2 Obliczenie wartości b

Punkt \(B\) leży na tej samej prostej, więc jego współrzędne spełniają równanie \(y=-3x\).

\[b=-3\cdot3=-9\]

Odpowiedź

\(b=-9\), odpowiedź B.

\[b=-9\]

Sprawdzenie

Dla \(A\) mamy \(6=-3\cdot(-2)\), a dla \(B\) mamy \(-9=-3\cdot3\). Oba punkty leżą więc na prostej \(y=-3x\), która przechodzi przez początek układu.

\[6=-3\cdot(-2),\qquad -9=-3\cdot3\]

Zadanie 23

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

53%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dana jest prosta \(k\) o równaniu \(y=-\frac{1}{3}x+2\).

Prosta o równaniu \(y=ax+b\) jest równoległa do prostej \(k\) i przechodzi przez punkt \(P=(3,5)\), gdy

\(a=3\) i \(b=4\).

\(a=-\frac{1}{3}\) i \(b=4\).

\(a=3\) i \(b=-4\).

\(a=-\frac{1}{3}\) i \(b=6\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie współczynnika kierunkowego

Proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy, więc odczytujemy go z równania prostej k.

\[a=-\frac{1}{3}\]

2 Wyznaczenie wyrazu wolnego

Podstawiamy współrzędne punktu P=(3,5) do równania szukanej prostej.

\[5=-\frac{1}{3}\cdot 3+b=-1+b\quad\Rightarrow\quad b=6\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: a = −1/3 i b = 6.

\[y=-\frac{1}{3}x+6\]

Sprawdzenie

Dla x = 3 otrzymujemy y = 5, więc prosta przechodzi przez P. Jej współczynnik kierunkowy jest taki sam jak prostej k, więc proste są równoległe.

\[-\frac{1}{3}\cdot 3+6=5\]

Zadanie 24

Matura 2022 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

49%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Punkty \(A=(-4,4)\) i \(B=(4,0)\) są sąsiednimi wierzchołkami kwadratu \(ABCD\). Przekątna tego kwadratu ma długość

\(4\sqrt{10}\)

\(4\sqrt{2}\)

\(4\sqrt{5}\)

\(4\sqrt{7}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Długość boku

Punkty A i B są sąsiednimi wierzchołkami, więc odcinek AB jest bokiem kwadratu. Obliczamy jego długość ze wzoru na odległość punktów.

\[|AB|=\sqrt{(4-(-4))^2+(0-4)^2}=\sqrt{64+16}=4\sqrt{5}\]

2 Długość przekątnej

Przekątna kwadratu jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o dwóch bokach długości AB.

\[d=|AB|\sqrt{2}=4\sqrt{5}\cdot\sqrt{2}=4\sqrt{10}\]

Odpowiedź

Przekątna ma długość 4√10. Odpowiedź A.

\[d=4\sqrt{10}\]

Sprawdzenie

Kwadrat długości przekątnej wynosi 160, czyli jest sumą kwadratów dwóch boków długości 4√5.

\[(4\sqrt{10})^2=160=2(4\sqrt{5})^2\]

Zadanie 19

Matura 2019 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

47%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej \(f\). Na wykresie tej funkcji leżą punkty \(A=(0,4)\) i \(B=(2,2)\).

Obrazem prostej \(AB\) w symetrii względem początku układu współrzędnych jest wykres funkcji \(g\) określonej wzorem

Wykres funkcji liniowej w układzie współrzędnych, z zaznaczonymi punktami A i B

\(g(x)=x+4\)

\(g(x)=x-4\)

\(g(x)=-x-4\)

\(g(x)=-x+4\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie punktów po symetrii

Symetria względem początku układu zmienia znaki obu współrzędnych każdego punktu.

\[(x,y)\mapsto(-x,-y),\quad A'=(0,-4),\quad B'=(-2,-2)\]

2 Wyznaczenie wzoru funkcji

Obraz prostej przechodzi przez punkty A' i B'. Z ich współrzędnych obliczamy współczynnik kierunkowy, a z punktu A' odczytujemy wyraz wolny.

\[a=\frac{-2-(-4)}{-2-0}=-1,\quad b=-4,\quad g(x)=-x-4\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[g(x)=-x-4\]

Sprawdzenie

Oba obrazy punktów leżą na wykresie otrzymanej funkcji.

\[g(0)=-4,\qquad g(-2)=2-4=-2\]

Zadanie 25

Matura 2021 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

43%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Punkt \(A=(3,-5)\) jest wierzchołkiem kwadratu \(ABCD\), a punkt \(M=(1,3)\) jest punktem przecięcia się przekątnych tego kwadratu. Wynika stąd, że pole kwadratu \(ABCD\) jest równe

\(68\)

\(136\)

\(2\sqrt{34}\)

\(8\sqrt{34}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie odległości wierzchołka od środka

Punkt przecięcia przekątnych kwadratu jest ich środkiem, więc odcinek AM stanowi połowę przekątnej. Obliczamy jego długość ze wzoru na odległość punktów.

\[AM^2=(3-1)^2+(-5-3)^2=4+64=68\]

2 Obliczenie pola

Przekątna ma długość 2AM, a pole kwadratu jest równe połowie kwadratu długości przekątnej.

\[P=\frac{(2AM)^2}{2}=2AM^2=2\cdot68=136\]

Odpowiedź

Pole kwadratu wynosi 136. Odpowiedź B.

\[P=136\]

Sprawdzenie

Dla pola 136 połowa kwadratu przekątnej daje 136, a kwadrat odległości od jej środka do wierzchołka wynosi 136/2=68, zgodnie z obliczoną wartością AM².

\[AM^2=\frac{P}{2}=\frac{136}{2}=68\]