Zbiór zadań maturalnych

Ciągi — zadania maturalne

Ciągi: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

98 zadańStrona 3 z 7

Sortuj:

Zadanie 16

Matura 2024 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\), dane są wyrazy: \(a_1=7\) oraz \(a_2=13\).

Wyraz \(a_{10}\) jest równy

\((-47)\)

\(52\)

\(61\)

\(67\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie różnicy

Różnica ciągu arytmetycznego to różnica kolejnych wyrazów.

\[r=a_2-a_1=13-7=6\]

2 Obliczenie dziesiątego wyrazu

Od pierwszego do dziesiątego wyrazu dodajemy różnicę dziewięć razy.

\[a_{10}=a_1+9r=7+9\cdot6=61\]

Odpowiedź

Wyraz a₁₀ jest równy 61. Odpowiedź C.

\[a_{10}=61\]

Sprawdzenie

Licząc od drugiego wyrazu, dodajemy różnicę osiem razy: otrzymujemy ten sam wynik.

\[a_{10}=a_2+8r=13+8\cdot6=61\]

Zadanie 17

Matura 2024 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Trzywyrazowy ciąg \((-1,\ 2,\ x)\) jest arytmetyczny.

Trzywyrazowy ciąg \((-1,\ 2,\ y)\) jest geometryczny.

Liczby \(x\) oraz \(y\) spełniają warunki

\(x>0\) i \(y>0\)

\(x>0\) i \(y<0\)

\(x<0\) i \(y>0\)

\(x<0\) i \(y<0\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie x

W ciągu arytmetycznym różnica kolejnych wyrazów jest stała. Różnica między pierwszym a drugim wyrazem wynosi 3.

\[2-(-1)=3,\qquad x=2+3=5\]

2 Obliczenie y

W ciągu geometrycznym iloraz kolejnych wyrazów jest stały. Dzielimy przez pierwszy wyraz, który jest różny od zera.

\[q=\frac{2}{-1}=-2,\qquad y=2\cdot(-2)=-4\]

Odpowiedź

x jest dodatnie, a y ujemne. Pasuje odpowiedź B.

\[x=5>0,\qquad y=-4<0\]

Sprawdzenie

Różnice w pierwszym ciągu są równe 3, a ilorazy w drugim są równe −2.

\[2-(-1)=5-2=3,\qquad \frac{2}{-1}=\frac{-4}{2}=-2\]

Zadanie 34

Matura 2024 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Ciągi

Trzywyrazowy ciąg \((4x^2-1,\ 2x^2+1,\ 1-x)\) jest arytmetyczny.

Oblicz \(x\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek ciągu arytmetycznego

W ciągu arytmetycznym środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną skrajnych, więc jego podwojenie równa się ich sumie.

\[2(2x^2+1)=(4x^2-1)+(1-x)\]

2 Obliczenie x

Upraszczamy obie strony równania i odejmujemy \(4x^2\).

\[4x^2+2=4x^2-x\quad\Longrightarrow\quad 2=-x\quad\Longrightarrow\quad x=-2\]

Odpowiedź

\(x=-2\).

\[x=-2\]

Sprawdzenie

Dla \(x=-2\) wyrazy ciągu to \(15,9,3\). Kolejne różnice wynoszą \(-6\), więc ciąg jest arytmetyczny.

\[9-15=3-9=-6\]

Zadanie 16

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\), dane są wyrazy \(a_4=-2\) oraz \(a_6=16\). Piąty wyraz tego ciągu jest równy

\(\frac{7}{2}\)

\(\frac{9}{2}\)

\(7\)

\(9\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie różnicy ciągu

Od czwartego do szóstego wyrazu są dwa kroki, więc różnica ciągu jest połową różnicy tych wyrazów.

\[r=\frac{a_6-a_4}{2}=\frac{16-(-2)}{2}=9\]

2 Obliczenie piątego wyrazu

Do czwartego wyrazu dodajemy jedną różnicę ciągu.

\[a_5=a_4+r=-2+9=7\]

Odpowiedź

Piąty wyraz jest równy 7. Odpowiedź C.

\[a_5=7\]

Sprawdzenie

Dodanie różnicy do piątego wyrazu daje podany szósty wyraz.

\[a_5+r=7+9=16=a_6\]

Zadanie 17

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg geometryczny \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=2^{n-1}\), dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). Iloraz tego ciągu jest równy

\(\frac{1}{2}\)

\((-2)\)

\(2\)

\(1\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie ilorazu

Iloraz ciągu geometrycznego to stosunek kolejnego wyrazu do poprzedniego. Dzieląc potęgi o tej samej podstawie, odejmujemy wykładniki.

\[q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2^n}{2^{n-1}}=2^{n-(n-1)}=2\]

Odpowiedź

Iloraz wynosi 2. Poprawna odpowiedź: C.

\[q=2\]

Sprawdzenie

Pierwsze dwa wyrazy to 1 i 2, więc ich stosunek również wynosi 2.

\[a_1=2^0=1,\quad a_2=2^1=2,\quad \frac{a_2}{a_1}=2\]

Zadanie 18

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg \((b_n)\) jest określony wzorem \(b_n=(n+2)(7-n)\), dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). Liczba dodatnich wyrazów ciągu \((b_n)\) jest równa

\(6\)

\(7\)

\(8\)

\(9\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie warunku dodatniości

Dla n≥1 czynnik n+2 jest dodatni, więc iloczyn jest dodatni dokładnie wtedy, gdy 7−n>0.

\[b_n>0\iff 7-n>0\iff n<7\]

2 Policzenie wyrazów

Naturalne indeksy spełniające warunek to 1, 2, 3, 4, 5 i 6.

\[n\in\{1,2,3,4,5,6\}\implies 6\text{ wyrazów dodatnich}\]

Odpowiedź

Ciąg ma 6 dodatnich wyrazów. Odpowiedź A.

\[\boxed{6\text{ — A}}\]

Sprawdzenie

Ostatni z nich, b₆, jest dodatni. Następny, b₇, jest równy zero, a dla większych indeksów wyrazy są ujemne.

\[b_6=(6+2)(7-6)=8>0,\quad b_7=(7+2)(7-7)=0\]

Zadanie 33

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Ciągi

Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). Trzeci wyraz tego ciągu jest równy \((-1)\), a suma piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa \((-165)\).

Oblicz różnicę tego ciągu.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz dane za pomocą różnicy

W ciągu arytmetycznym trzeci wyraz otrzymujemy, dodając do pierwszego dwukrotnie różnicę.

\[a_3=a_1+2d=-1\]

2 Wykorzystaj sumę wyrazów

Ze wzoru na sumę piętnastu początkowych wyrazów otrzymujemy drugie równanie.

\[S_{15}=\frac{15}{2}(2a_1+14d)=15(a_1+7d)=-165,\quad a_1+7d=-11\]

3 Oblicz różnicę

Odejmujemy równanie dla trzeciego wyrazu od równania dla sumy, aby wyeliminować pierwszy wyraz.

\[(a_1+7d)-(a_1+2d)=-11-(-1),\quad 5d=-10,\quad d=-2\]

Odpowiedź

Różnica ciągu wynosi −2.

\[d=-2\]

Sprawdzenie

Z pierwszego równania wynika, że pierwszy wyraz to 3. Wtedy trzeci wyraz jest równy −1, a suma piętnastu wyrazów wynosi −165.

\[a_1=-1-2(-2)=3,\quad a_3=3+2(-2)=-1,\quad S_{15}=15(3+7(-2))=-165\]

Zadanie 13

Matura 2023 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=\frac{n-2}{3}\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\).

Liczba wyrazów tego ciągu mniejszych od \(10\) jest równa

\(28\)

\(31\)

\(32\)

\(27\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie indeksów

Szukamy dodatnich liczb całkowitych \(n\), dla których wyraz ciągu jest mniejszy od \(10\). Mnożymy nierówność przez dodatnią liczbę \(3\).

\[\frac{n-2}{3}<10\iff n-2<30\iff n<32\]

2 Policzenie wyrazów

Warunek spełniają indeksy od \(1\) do \(31\), więc takich wyrazów jest \(31\).

\[n\in\{1,2,\ldots,31\}\]

Odpowiedź

31 wyrazów, odpowiedź B.

\[31\]

Sprawdzenie

Wyraz o indeksie 31 jest mniejszy od 10, a następny jest równy 10. To potwierdza granicę liczenia.

\[a_{31}=\frac{29}{3}<10,\qquad a_{32}=\frac{30}{3}=10\]

Zadanie 14

Matura 2023 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg \((a_n)\), określony wzorem \(a_n=-2^n\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\), jest

ciągiem arytmetycznym o różnicy \(2\).

ciągiem arytmetycznym o różnicy \((-2)\).

ciągiem geometrycznym o ilorazie \(2\).

ciągiem geometrycznym o ilorazie \((-2)\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie ilorazu

Aby ustalić, czy ciąg jest geometryczny, dzielimy kolejny wyraz przez poprzedni. Każdy wyraz jest różny od zera.

\[\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{-2^{n+1}}{-2^n}=2\]

Odpowiedź

C. Jest to ciąg geometryczny o ilorazie 2.

\[q=2\]

Sprawdzenie

Pierwsze wyrazy to −2, −4, −8. W obu przypadkach iloraz kolejnych wyrazów wynosi 2.

\[\frac{-4}{-2}=\frac{-8}{-4}=2\]

Zadanie 15

Matura 2023 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Trzywyrazowy ciąg \((1,4,a+5)\) jest arytmetyczny. Liczba \(a\) jest równa

\(0\)

\(7\)

\(2\)

\(11\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Równe różnice

W ciągu arytmetycznym różnice kolejnych wyrazów są równe, więc porównujemy je.

\[4-1=(a+5)-4\]

2 Obliczenie liczby a

Upraszczamy równanie i odejmujemy 1 od obu stron.

\[3=a+1\quad\Rightarrow\quad a=2\]

Odpowiedź

a = 2, odpowiedź C.

\[a=2\]

Sprawdzenie

Dla a = 2 ciąg ma wyrazy 1, 4, 7. Obie różnice wynoszą 3.

\[4-1=3,\qquad 7-4=3\]

Zadanie 16

Matura 2023 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg geometryczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). W tym ciągu \(a_1=3{,}75\) oraz \(a_2=-7{,}5\).

Suma trzech początkowych wyrazów ciągu \((a_n)\) jest równa

\(11{,}25\)

\((-18{,}75)\)

\(15\)

\((-15)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie ilorazu

W ciągu geometrycznym każdy kolejny wyraz otrzymujemy przez pomnożenie poprzedniego przez stały iloraz. Ponieważ pierwszy wyraz jest różny od zera, możemy obliczyć iloraz.

\[q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{-7{,}5}{3{,}75}=-2\]

2 Obliczenie sumy

Mnożymy drugi wyraz przez iloraz, a następnie dodajemy trzy początkowe wyrazy.

\[a_3=a_2q=(-7{,}5)\cdot(-2)=15,\qquad a_1+a_2+a_3=3{,}75-7{,}5+15=11{,}25\]

Odpowiedź

Suma wynosi 11,25. Odpowiedź A.

\[S_3=11{,}25\]

Sprawdzenie

Iloraz trzeciego i drugiego wyrazu również wynosi −2, więc obliczony trzeci wyraz jest zgodny z ciągiem geometrycznym. Suma 11,25 odpowiada opcji A.

\[\frac{15}{-7{,}5}=-2,\qquad 3{,}75+(-7{,}5)+15=11{,}25\]

Zadanie 15.2

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte1 pkt

Ciągi

Masa \(m\) leku \(\mathcal{L}\) zażytego przez chorego zmienia się w organizmie zgodnie z zależnością wykładniczą

\[m(t)=m_0\cdot(0{,}6)^{0{,}25t}\]

gdzie:
\(m_0\) – masa (wyrażona w mg) przyjętej w chwili \(t=0\) dawki leku,
\(t\) – czas (wyrażony w godzinach) liczony od momentu \(t=0\) zażycia leku.

Liczby \(m(2{,}5)\), \(m(4{,}5)\), \(m(6{,}5)\) w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny.

Oblicz iloraz tego ciągu. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Różnica czasu

Kolejne wartości masy odpowiadają chwilom oddalonym o 2 godziny, więc w ilorazie potęg wykładniki różnią się o \(0{,}25\cdot2\).

\[4{,}5-2{,}5=6{,}5-4{,}5=2\]

2 Iloraz ciągu

Dzielimy drugą masę przez pierwszą. Korzystamy z reguły dzielenia potęg o tej samej podstawie; masa dawki \(m_0>0\) się skraca.

\[q=\frac{m(4{,}5)}{m(2{,}5)}=(0{,}6)^{0{,}25(4{,}5-2{,}5)}=(0{,}6)^{0{,}5}=\sqrt{\frac35}=\frac{\sqrt{15}}5\]

Odpowiedź

Iloraz ciągu wynosi \(\frac{\sqrt{15}}5\).

\[q=\frac{\sqrt{15}}5\]

Sprawdzenie

Iloraz trzeciej masy i drugiej ma tę samą wartość, ponieważ także te chwile dzielą 2 godziny. Iloraz jest bez jednostki.

\[\frac{m(6{,}5)}{m(4{,}5)}=(0{,}6)^{0{,}25(6{,}5-4{,}5)}=\frac{\sqrt{15}}5\]

Zadanie 16

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=\frac{n-2}{3}\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba wyrazów tego ciągu mniejszych od \(10\) jest równa

\(28\)

\(31\)

\(32\)

\(27\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie indeksów

Szukamy wyrazów mniejszych od 10, więc rozwiązujemy nierówność dla indeksu n. Mnożymy przez dodatnią liczbę 3, dlatego znak nierówności się nie zmienia.

\[\frac{n-2}{3}<10\iff n-2<30\iff n<32\]

2 Policzenie wyrazów

Indeks n jest liczbą naturalną nie mniejszą niż 1, więc możliwe są wszystkie indeksy od 1 do 31.

\[n\in\{1,2,\ldots,31\}\quad\Rightarrow\quad 31\text{ wyrazów}\]

Odpowiedź

Liczba takich wyrazów wynosi 31. Odpowiedź B.

\[31\quad\text{— B}\]

Sprawdzenie

Wyraz o indeksie 31 jest mniejszy od 10, a następny jest równy 10. Zatem ostatnim spełniającym warunek jest wyraz o indeksie 31.

\[a_{31}=\frac{31-2}{3}=\frac{29}{3}<10,\qquad a_{32}=\frac{32-2}{3}=10\]

Zadanie 17

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Trzywyrazowy ciąg \((1,4,a+5)\) jest arytmetyczny.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(a\) jest równa

\(0\)

\(7\)

\(2\)

\(11\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Porównanie różnic

W ciągu arytmetycznym różnice kolejnych wyrazów są równe, więc porównujemy różnice między podanymi wyrazami.

\[4-1=(a+5)-4\]

2 Obliczenie a

Upraszczamy równanie i odejmujemy 1 od obu stron.

\[3=a+1\quad\Rightarrow\quad a=2\]

Odpowiedź

Liczba a jest równa 2. Odpowiedź C.

\[a=2\]

Sprawdzenie

Dla a równego 2 trzeci wyraz wynosi 7. Obie różnice są równe 3, więc ciąg jest arytmetyczny.

\[(1,4,7),\qquad 4-1=7-4=3\]

Zadanie 18

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg geometryczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). W tym ciągu \(a_1=3{,}75\) oraz \(a_2=-7{,}5\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Suma trzech początkowych wyrazów ciągu \((a_n)\) jest równa

\(11{,}25\)

\((-18{,}75)\)

\(15\)

\((-15)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie ilorazu

W ciągu geometrycznym iloraz kolejnych wyrazów jest stały, więc dzielimy drugi wyraz przez pierwszy.

\[q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{-7{,}5}{3{,}75}=-2\]

2 Obliczenie sumy

Mnożymy drugi wyraz przez iloraz, aby otrzymać trzeci wyraz, a następnie dodajemy trzy wyrazy.

\[a_3=a_2q=(-7{,}5)\cdot(-2)=15,\qquad a_1+a_2+a_3=3{,}75-7{,}5+15=11{,}25\]

Odpowiedź

Suma wynosi 11,25. Odpowiedź A.

\[S_3=11{,}25\]

Sprawdzenie

Trzeci wyraz spełnia warunek ciągu geometrycznego: jego iloraz przez drugi wyraz wynosi −2. Otrzymana suma odpowiada odpowiedzi A.

\[\frac{15}{-7{,}5}=-2=\frac{-7{,}5}{3{,}75}\]