Zbiór zadań maturalnych

Ciągi — zadania maturalne

Ciągi: zadania z matury z matematyki i rozwiązania krok po kroku. Powtórz teorię i ćwicz od łatwiejszych do trudniejszych według wyników CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

Filtry zadań

Znajdź zadanie

Więcej filtrów
Wyczyść filtry
98 zadańStrona 2 z 7
Zadanie 15.2
Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Ciągi

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\), dane są wyrazy: \(a_1=52\) oraz \(a_{25}=2\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Suma \(S_{25}\) dwudziestu pięciu początkowych kolejnych wyrazów ciągu \((a_n)\) jest równa

A
\(675\)
B
\(700\)
C
\(1300\)
D
\(1325\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie wzoru na sumę

Suma kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa liczbie wyrazów pomnożonej przez średnią pierwszego i ostatniego wyrazu.

\[S_{25}=\frac{25(a_1+a_{25})}{2}\]

2 Obliczenie sumy

Podstawiamy dane wyrazy i wykonujemy działania.

\[S_{25}=\frac{25(52+2)}{2}=25\cdot27=675\]

Odpowiedź

Suma wynosi 675. Odpowiedź A.

\[S_{25}=675\]

Sprawdzenie

Różnica ciągu wynosi −25/12. Obliczenie sumy z pierwszego wyrazu i różnicy daje ponownie 675.

\[r=\frac{2-52}{24}=-\frac{25}{12},\qquad S_{25}=25\cdot52+\frac{25\cdot24}{2}\left(-\frac{25}{12}\right)=1300-625=675\]
Zadanie 16
Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Ciągi

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Trzywyrazowy ciąg \((4,\ m,\ m-1)\) jest geometryczny, gdy liczba \(m\) jest równa

A
\((-3)\)
B
\((-2)\)
C
\(2\)
D
\(3\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek ciągu geometrycznego

W ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu jest iloczynem wyrazów sąsiednich.

\[m^2=4(m-1)\]

2 Obliczenie wartości m

Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę i zapisujemy trójmian jako kwadrat.

\[m^2-4m+4=0\quad\Longleftrightarrow\quad(m-2)^2=0\quad\Longleftrightarrow\quad m=2\]

Odpowiedź

m = 2, odpowiedź C.

\[m=2\]

Sprawdzenie

Dla m = 2 ciąg ma postać (4, 2, 1). Oba ilorazy kolejnych wyrazów wynoszą 1/2, więc ciąg jest geometryczny.

\[\frac{2}{4}=\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\]
Zadanie 24
Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy
Otwarte4 pkt
Stereometria

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe \(94{,}5\). Długości trzech krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu tworzą ciąg geometryczny o ilorazie równym \(4\).

Oblicz objętość tego prostopadłościanu. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Oznaczenie krawędzi

Ponieważ długości tworzą ciąg geometryczny o ilorazie 4, można zapisać je jako kolejne wyrazy tego ciągu, gdzie a>0.

\[a,\ 4a,\ 16a\]

2 Wyznaczenie krawędzi

Podstawiamy te długości do wzoru na pole całkowite prostopadłościanu i korzystamy z dodatniości a.

\[2(a\cdot4a+4a\cdot16a+a\cdot16a)=94{,}5\quad\Rightarrow\quad168a^2=\frac{189}{2}\quad\Rightarrow\quad a^2=\frac{9}{16}\quad\Rightarrow\quad a=\frac34\]

3 Obliczenie objętości

Objętość jest iloczynem długości trzech krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka.

\[V=a\cdot4a\cdot16a=64\left(\frac34\right)^3=27\]

Odpowiedź

Objętość prostopadłościanu wynosi 27 jednostek sześciennych.

\[V=27\]

Sprawdzenie

Otrzymane krawędzie mają długości 0,75, 3 i 12, więc są dodatnie i każda kolejna jest cztery razy dłuższa od poprzedniej. Ich pole całkowite wynosi 94,5.

\[2(0{,}75\cdot3+3\cdot12+0{,}75\cdot12)=94{,}5\]
Zadanie 13
Matura 2025 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Ciągi

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=3n^2-3n\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\).

Suma \(S_3\) trzech początkowych kolejnych wyrazów ciągu \((a_n)\) jest równa

A
\(18\)
B
\(24\)
C
\(60\)
D
\(90\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie trzech wyrazów

Podstawiamy do wzoru kolejno \(n=1,2,3\), ponieważ są to trzy początkowe wyrazy ciągu.

\[a_1=3\cdot1^2-3\cdot1=0,\quad a_2=3\cdot2^2-3\cdot2=6,\quad a_3=3\cdot3^2-3\cdot3=18\]

2 Obliczenie sumy

Dodajemy otrzymane wyrazy.

\[S_3=a_1+a_2+a_3=0+6+18=24\]

Odpowiedź

Suma wynosi 24. Odpowiedź B.

\[S_3=24\]

Sprawdzenie

Podstawienie sum liczb i ich kwadratów do wzoru na wyrazy daje ten sam wynik.

\[S_3=3(1^2+2^2+3^2)-3(1+2+3)=3\cdot14-3\cdot6=24\]
Zadanie 14
Matura 2025 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Ciągi

Trzywyrazowy ciąg \((4,\ m,\ m-1)\) jest geometryczny, gdy liczba \(m\) jest równa

A
\((-3)\)
B
\((-2)\)
C
\(2\)
D
\(3\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek ciągu geometrycznego

W trzywyrazowym ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu jest iloczynem wyrazów skrajnych.

\[m^2=4(m-1)\]

2 Obliczenie wartości m

Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę i rozkładamy trójmian na kwadrat.

\[m^2-4m+4=0\quad\Longleftrightarrow\quad(m-2)^2=0\quad\Longleftrightarrow\quad m=2\]

Odpowiedź

m = 2, odpowiedź C.

\[m=2\]

Sprawdzenie

Dla m = 2 ciąg ma postać (4, 2, 1). Iloraz drugiego wyrazu przez pierwszy oraz trzeciego przez drugi wynosi 1/2, więc ciąg jest geometryczny.

\[\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\]
Zadanie 29
Matura 2025 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy
Otwarte2 pkt
Ciągi

Ciąg arytmetyczny ma dwadzieścia pięć wyrazów, a suma wszystkich jego wyrazów jest równa 2025. Ostatni wyraz tego ciągu jest 17 razy większy od pierwszego wyrazu tego ciągu.

Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie sumy

Suma 25 wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa liczbie wyrazów pomnożonej przez średnią pierwszego i ostatniego wyrazu.

\[S_{25}=\frac{25(a_1+a_{25})}{2}=2025\]

2 Obliczenie pierwszego wyrazu

Podstawiamy warunek \(a_{25}=17a_1\) i rozwiązujemy równanie.

\[\frac{25(a_1+17a_1)}{2}=2025\quad\Longrightarrow\quad225a_1=2025\quad\Longrightarrow\quad a_1=9\]

Odpowiedź

Pierwszy wyraz ciągu wynosi 9.

\[a_1=9\]

Sprawdzenie

Ostatni wyraz wynosi 153, czyli 17 razy więcej niż pierwszy. Suma obliczona z tych wyrazów jest równa 2025.

\[a_{25}=17\cdot9=153,\qquad S_{25}=\frac{25(9+153)}{2}=2025\]
Zadanie 33
Matura 2025 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy
Otwarte4 pkt
Stereometria

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 94,5. Długości trzech krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu tworzą ciąg geometryczny o ilorazie równym 4.

Oblicz objętość tego prostopadłościanu.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Oznaczenie krawędzi

Krawędzie tworzą ciąg geometryczny o ilorazie 4, więc ich długości można zapisać w tej postaci, gdzie \(a>0\).

\[a,\ 4a,\ 16a\]

2 Obliczenie długości krawędzi

Podstawiamy te długości do wzoru na pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu.

\[2(a\cdot4a+4a\cdot16a+a\cdot16a)=94{,}5\;\Rightarrow\;168a^2=94{,}5\;\Rightarrow\;a^2=\frac{9}{16}\;\Rightarrow\;a=\frac34\]

3 Obliczenie objętości

Objętość jest iloczynem długości trzech krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka.

\[V=a\cdot4a\cdot16a=\frac34\cdot3\cdot12=27\]

Odpowiedź

Objętość prostopadłościanu wynosi 27.

\[V=27\]

Sprawdzenie

Krawędzie mają długości 0,75, 3 i 12, więc ich kolejne ilorazy wynoszą 4. Obliczone z nich pole powierzchni całkowitej jest równe 94,5.

\[\frac{3}{0{,}75}=\frac{12}{3}=4,\qquad 2(0{,}75\cdot3+3\cdot12+0{,}75\cdot12)=94{,}5\]
Zadanie 11
Matura 2025 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Ciągi

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=(n+3)(n-5)\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\).

Liczba wszystkich ujemnych wyrazów tego ciągu jest równa

A
\(4\)
B
\(5\)
C
\(6\)
D
\(7\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustalenie warunku ujemności

Ponieważ dla każdego n≥1 czynnik n+3 jest dodatni, iloczyn jest ujemny dokładnie wtedy, gdy n−5<0.

\[a_n<0\iff n-5<0\iff n<5\]

2 Policzenie wyrazów

Warunek spełniają cztery dopuszczalne indeksy: 1, 2, 3 i 4.

\[n\in\{1,2,3,4\}\quad\Rightarrow\quad 4\text{ wyrazy ujemne}\]

Odpowiedź

Cztery wyrazy ujemne — odpowiedź A.

\[4\]

Sprawdzenie

Dla n od 1 do 4 drugi czynnik jest ujemny. Dla n=5 wyraz wynosi 0, a dla n>5 oba czynniki są dodatnie, więc innych wyrazów ujemnych nie ma.

\[a_5=(5+3)(5-5)=0\]
Zadanie 12
Matura 2025 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Ciągi

Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\) określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\), w którym \(a_1=27\) oraz \(a_2=9\).

Czwarty wyraz ciągu \((a_n)\) jest równy

A
\(\frac{1}{3}\)
B
\(1\)
C
\(3\)
D
\(729\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie ilorazu

W ciągu geometrycznym każdy wyraz otrzymujemy, mnożąc poprzedni przez ten sam iloraz.

\[q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{9}{27}=\frac{1}{3}\]

2 Obliczenie czwartego wyrazu

Aby przejść od pierwszego wyrazu do czwartego, mnożymy trzy razy przez iloraz.

\[a_4=a_1q^3=27\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^3=1\]

Odpowiedź

Czwarty wyraz wynosi 1. Odpowiedź B.

\[a_4=1\]

Sprawdzenie

Kolejne wyrazy to 27, 9, 3, 1. Każdy jest jedną trzecią poprzedniego, więc wynik spełnia warunek ciągu geometrycznego.

\[\frac{9}{27}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}=\frac{a_4}{3}\]
Zadanie 29
Matura 2025 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Otwarte2 pkt
Ciągi

Wyznacz wszystkie wartości \(m\), dla których trzywyrazowy ciąg

\((2m+11,\;m^2+3,\;5-m)\)

jest arytmetyczny.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek ciągu arytmetycznego

W ciągu arytmetycznym środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną skrajnych, więc układamy równanie.

\[2(m^2+3)=(2m+11)+(5-m)\]

2 Rozwiązanie równania

Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę i rozkładamy trójmian na czynniki.

\[2m^2-m-10=0\iff(2m-5)(m+2)=0\iff m=\frac52\ \text{lub}\ m=-2\]

Odpowiedź

Ciąg jest arytmetyczny dla \(m=-2\) lub \(m=\frac52\).

\[m\in\left\{-2,\frac52\right\}\]

Sprawdzenie

Dla \(m=-2\) otrzymujemy \((7,7,7)\). Dla \(m=\frac52\) oba kolejne wyrazy różnią się o \(-\frac{27}{4}\), więc obie wartości spełniają warunek.

\[\frac{37}{4}-16=-\frac{27}{4},\qquad \frac52-\frac{37}{4}=-\frac{27}{4}\]
Zadanie 16.1
Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Ciągi

Ciąg \( (a_n) \) jest określony wzorem \(a_n=2\cdot(-1)^{n+1}+5\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Suma dziesięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa

A
\(3\)
B
\(7\)
C
\(50\)
D
\(100\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wyrazów

Dla nieparzystego n potęga ma wartość 1, a dla parzystego −1, więc wyrazy przyjmują naprzemiennie wartości 7 i 3.

\[a_1=2\cdot1+5=7,\qquad a_2=2\cdot(-1)+5=3\]

2 Obliczenie sumy

Dziesięć początkowych wyrazów tworzy pięć par o sumie 10.

\[S_{10}=5(7+3)=50\]

Odpowiedź

C. Suma wynosi 50.

\[S_{10}=50\]

Sprawdzenie

Składniki z potęgą (−1) znoszą się parami, a dziesięć składników równych 5 daje 50.

\[\sum_{n=1}^{10}a_n=2(1-1+1-1+1-1+1-1+1-1)+10\cdot5=50\]
Zadanie 16.2
Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Ciągi

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=2\cdot(-1)^{n+1}+5\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Ciąg \((a_n)\) jest malejący.PF
Ciąg \((a_n)\) jest geometryczny.PF
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie początkowych wyrazów

Obliczamy trzy kolejne wyrazy, aby ocenić oba stwierdzenia.

\[a_1=2\cdot1+5=7,\quad a_2=2\cdot(-1)+5=3,\quad a_3=2\cdot1+5=7\]

2 Ocena monotoniczności

Ciąg malejący musi spełniać nierówność \(a_{n+1}<a_n\) dla każdego \(n\). Tutaj trzeci wyraz jest większy od drugiego.

\[a_3=7>3=a_2\]

3 Ocena geometryczności

W ciągu geometrycznym o niezerowych wyrazach iloraz kolejnych wyrazów jest stały. Otrzymane ilorazy są różne.

\[\frac{a_2}{a_1}=\frac{3}{7},\qquad \frac{a_3}{a_2}=\frac{7}{3}\]

Odpowiedź

Ciąg jest malejący: F. Ciąg jest geometryczny: F.

\[\mathrm{F},\ \mathrm{F}\]

Sprawdzenie

Dla parzystych indeksów wyraz wynosi 3, a dla nieparzystych 7. Wartości powtarzają się naprzemiennie, więc ciąg nie jest malejący, a jego kolejne ilorazy nie są jednakowe.

\[a_{2k}=3,\qquad a_{2k-1}=7\quad(k\geq1)\]
Zadanie 17
Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Ciągi

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\), dane są wyrazy: \(a_1=7\) oraz \(a_2=13\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wyraz \(a_{10}\) jest równy

A
\((-47)\)
B
\(52\)
C
\(61\)
D
\(67\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie różnicy

W ciągu arytmetycznym różnica kolejnych wyrazów jest stała, więc odejmujemy pierwszy wyraz od drugiego.

\[r=a_2-a_1=13-7=6\]

2 Obliczenie dziesiątego wyrazu

Od pierwszego do dziesiątego wyrazu dodajemy różnicę dziewięć razy.

\[a_{10}=a_1+9r=7+9\cdot6=61\]

Odpowiedź

Wyraz a₁₀ jest równy 61. Odpowiedź C.

\[a_{10}=61\]

Sprawdzenie

Licząc od drugiego wyrazu, do dziesiątego dodajemy różnicę osiem razy i również otrzymujemy 61.

\[a_{10}=a_2+8r=13+8\cdot6=61\]
Zadanie 18
Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Ciągi

Trzywyrazowy ciąg \((-1,\ 2,\ x)\) jest arytmetyczny.

Trzywyrazowy ciąg \((-1,\ 2,\ y)\) jest geometryczny.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczby \(x\) oraz \(y\) spełniają warunki

A
\(x>0\) i \(y>0\)
B
\(x>0\) i \(y<0\)
C
\(x<0\) i \(y>0\)
D
\(x<0\) i \(y<0\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie x

W ciągu arytmetycznym różnica kolejnych wyrazów jest stała, więc od 2 odejmujemy −1 i dodajemy tę różnicę do 2.

\[2-(-1)=3,\qquad x=2+3=5\]

2 Obliczenie y

W ciągu geometrycznym iloraz kolejnych wyrazów jest stały. Ponieważ pierwszy wyraz jest różny od zera, obliczamy iloraz i mnożymy przez niego drugi wyraz.

\[q=\frac{2}{-1}=-2,\qquad y=2\cdot(-2)=-4\]

Odpowiedź

x jest dodatnie, a y ujemne. Odpowiedź B.

\[x=5>0,\qquad y=-4<0\]

Sprawdzenie

Różnice w pierwszym ciągu wynoszą 3, a ilorazy w drugim wynoszą −2, więc oba obliczone wyrazy spełniają warunki zadania.

\[2-(-1)=5-2=3,\qquad \frac{2}{-1}=\frac{-4}{2}=-2\]
Zadanie 15
Matura 2024 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Ciągi

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=2\cdot(-1)^{n+1}+5\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\).

Suma dziesięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa

A
\(3\)
B
\(7\)
C
\(50\)
D
\(100\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wyrazów parzystych i nieparzystych

Potęga liczby −1 zmienia znak zależnie od parzystości wykładnika, więc wyrazy ciągu mają naprzemiennie wartości 7 i 3.

\[a_{2k-1}=2\cdot(-1)^{2k}+5=7,\qquad a_{2k}=2\cdot(-1)^{2k+1}+5=3\]

2 Obliczenie sumy

Wśród dziesięciu początkowych wyrazów jest pięć par, a suma każdej pary wynosi 10.

\[a_1+a_2+\ldots+a_{10}=5\cdot(7+3)=50\]

Odpowiedź

Suma wynosi 50. Odpowiedź C.

\[50\]

Sprawdzenie

Pierwszych dziesięć wyrazów to pięć siódemek i pięć trójek, zatem ich suma wynosi 35+15=50.

\[5\cdot7+5\cdot3=35+15=50\]

2026 Utworzone przez zespół MaturaPodKlucz