Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

1468 zadańStrona 98 z 98

Sortuj:

Zadanie 22

Matura 2015 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Dany jest trójkąt prostokątny o długościach boków \(a\), \(b\), \(c\), gdzie \(a<b<c\). Obracając ten trójkąt wokół prostej zawierającej dłuższą przyprostokątną o kąt \(360^\circ\), otrzymujemy bryłę, której objętość jest równa

\(V=\frac{1}{3}a^2b\pi\)

\(V=a^2b\pi\)

\(V=\frac{1}{3}b^2a\pi\)

\(V=a^2\pi+\pi ac\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustalenie wymiarów bryły

Ponieważ \(c\) jest najdłuższym bokiem trójkąta prostokątnego, jest przeciwprostokątną. Dłuższą przyprostokątną jest więc \(b\). Obrót wokół niej tworzy stożek o wysokości \(b\) i promieniu podstawy \(a\).

\[h=b,\quad r=a\]

2 Obliczenie objętości

Korzystamy ze wzoru na objętość stożka i podstawiamy jego wymiary.

\[V=\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{1}{3}\pi a^2b\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[V=\frac{1}{3}a^2b\pi\]

Sprawdzenie

Wynik jest dodatni, a iloczyn dwóch długości \(a\) i jednej długości \(b\) daje jednostkę objętości. Zgadza się z odpowiedzią A.

\[[a^2b]=\text{jednostka długości}^3\]

Zadanie 23

Matura 2015 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Przekątna przekroju osiowego walca, którego promień podstawy jest równy \(4\) i wysokość jest równa \(6\), ma długość

\(\sqrt{10}\)

\(\sqrt{20}\)

\(\sqrt{52}\)

\(10\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wymiary przekroju

Przekrój osiowy walca jest prostokątem o bokach równych średnicy podstawy i wysokości walca.

\[d=2r=2\cdot4=8,\qquad h=6\]

2 Obliczenie przekątnej

Przekątna jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego, więc stosujemy twierdzenie Pitagorasa.

\[p=\sqrt{d^2+h^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10\]

Odpowiedź

Przekątna ma długość 10. Odpowiedź D.

\[p=10\]

Sprawdzenie

Kwadrat obliczonej przekątnej jest równy sumie kwadratów boków przekroju.

\[10^2=8^2+6^2=64+36=100\]

Zadanie 24

Matura 2015 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

W grupie jest 15 kobiet i 18 mężczyzn. Losujemy jedną osobę z tej grupy. Prawdopodobieństwo tego, że będzie to kobieta, jest równe

\(\frac{1}{15}\)

\(\frac{1}{33}\)

\(\frac{15}{33}\)

\(\frac{15}{18}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba wszystkich osób

Każda osoba może zostać wylosowana, więc dodajemy liczbę kobiet i mężczyzn.

\[15+18=33\]

2 Obliczenie prawdopodobieństwa

Przy losowaniu jednej osoby prawdopodobieństwo to liczba kobiet podzielona przez liczbę wszystkich osób.

\[P(\text{kobieta})=\frac{15}{33}=\frac{5}{11}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo wynosi \(\frac{15}{33}\), czyli \(\frac{5}{11}\). Odpowiedź C.

\[\boxed{\text{C. }\frac{15}{33}=\frac{5}{11}}\]

Sprawdzenie

Pozostałych osób jest 18, więc suma prawdopodobieństw wylosowania kobiety i mężczyzny wynosi 1.

\[\frac{15}{33}+\frac{18}{33}=\frac{33}{33}=1\]

Zadanie 25

Matura 2015 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Kombinatoryka

Ile jest wszystkich liczb czterocyfrowych, większych od 3000, utworzonych wyłącznie z cyfr 1, 2, 3, przy założeniu, że cyfry mogą się powtarzać, ale nie wszystkie z tych cyfr muszą być wykorzystane?

\(3\)

\(6\)

\(9\)

\(27\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustalenie cyfry tysięcy

Liczba ma być większa od 3000, więc spośród dozwolonych cyfr na miejscu tysięcy musi stać 3.

\[\text{cyfra tysięcy}=3\]

2 Policzenie możliwości

Na każdym z trzech pozostałych miejsc można niezależnie wybrać jedną z trzech cyfr. Z zasady mnożenia otrzymujemy liczbę możliwości.

\[3\cdot 3\cdot 3=27\]

Odpowiedź

Takich liczb jest 27. Odpowiedź D.

\[27\]

Sprawdzenie

Najmniejsza otrzymana liczba to 3111, więc każda z policzonych liczb jest większa od 3000. Każdy wybór trzech ostatnich cyfr daje inną liczbę.

\[3111>3000\]

Zadanie 26

Matura 2015 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

Rozwiąż równanie \(\frac{2x-4}{x}=\frac{x}{2x-4}\), gdzie \(x\neq 0\) i \(x\neq 2\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunki

Mianowniki muszą być różne od zera, więc korzystamy z podanych warunków.

\[x\neq 0,\qquad 2x-4\neq 0\iff x\neq 2\]

2 Mnożenie na krzyż

Ponieważ oba mianowniki są niezerowe, mnożymy równanie przez \(x(2x-4)\).

\[\frac{2x-4}{x}=\frac{x}{2x-4}\iff (2x-4)^2=x^2\]

3 Rozwiązanie

Różnica kwadratów jest zerem, gdy co najmniej jeden z jej czynników jest zerem.

\[(2x-4)^2-x^2=0\iff (x-4)(3x-4)=0\iff x=4\ \text{lub}\ x=\frac{4}{3}\]

Odpowiedź

Rozwiązaniami są \(x=4\) i \(x=\frac{4}{3}\).

\[x\in\left\{\frac{4}{3},4\right\}\]

Sprawdzenie

Obie liczby spełniają warunki. Dla \(x=4\) obie strony równania są równe \(1\), a dla \(x=\frac{4}{3}\) obie są równe \(-1\).

\[x=4:\ \frac{2x-4}{x}=\frac{x}{2x-4}=1;\qquad x=\frac{4}{3}:\ \frac{2x-4}{x}=\frac{x}{2x-4}=-1\]

Zadanie 27

Matura 2015 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Mamy dwa pudełka: w pierwszym znajduje się 6 kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od 1 do 6, a w drugim – 8 kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od 1 do 8. Losujemy po jednej kuli z każdego pudełka i tworzymy liczbę dwucyfrową w ten sposób, że numer kuli wylosowanej z pierwszego pudełka jest cyfrą dziesiątek, a numer kuli wylosowanej z drugiego – cyfrą jedności tej liczby. Oblicz prawdopodobieństwo, że utworzona liczba jest podzielna przez 11.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba możliwych wyników

Wybieramy jedną z 6 kul z pierwszego pudełka i jedną z 8 kul z drugiego, więc mnożymy liczby możliwości.

\[|\Omega|=6\cdot 8=48\]

2 Liczby podzielne przez 11

Dwucyfrowa liczba jest podzielna przez 11, gdy jej cyfra dziesiątek jest równa cyfrze jedności. Obie cyfry mogą przyjąć wartości od 1 do 6.

\[11,\ 22,\ 33,\ 44,\ 55,\ 66\quad\Rightarrow\quad |A|=6\]

3 Obliczenie prawdopodobieństwa

Wszystkie pary kul są jednakowo prawdopodobne, dlatego dzielimy liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich wyników.

\[P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{6}{48}=\frac18\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo wynosi 1/8.

\[P(A)=\frac18\]

Sprawdzenie

Dla każdej z 6 możliwych cyfr dziesiątek dokładnie jedna z 8 cyfr jedności daje liczbę podzielną przez 11, więc prawdopodobieństwo wynosi 1/8.

\[6\cdot\frac16\cdot\frac18=\frac18\]

Zadanie 28

Matura 2015 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

Rozwiąż nierówność \(20x \geq 4x^2 + 24\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przenieś wyrazy na jedną stronę

Dzięki temu nierówność można sprowadzić do iloczynu. Dzielimy przez dodatnią liczbę 4, więc znak nierówności się nie zmienia.

\[20x\geq 4x^2+24\iff 4x^2-20x+24\leq 0\iff x^2-5x+6\leq 0\]

2 Rozłóż trójmian na czynniki

Liczby 2 i 3 mają sumę 5 i iloczyn 6, więc są miejscami zerowymi trójmianu.

\[x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\]

3 Wyznacz przedział

Iloczyn jest niedodatni między miejscami zerowymi, wraz z końcami przedziału.

\[(x-2)(x-3)\leq 0\iff x\in[2,3]\]

Odpowiedź

Rozwiązaniem jest przedział od 2 do 3, wraz z końcami.

\[x\in[2,3]\]

Sprawdzenie

Dla x = 2 i x = 3 zachodzi równość. Między nimi czynniki mają przeciwne znaki, a poza tym przedziałem ten sam znak, więc iloczyn jest niedodatni dokładnie dla x od 2 do 3.

\[(2-2)(2-3)=0,\quad(3-2)(3-3)=0\]

Zadanie 29

Matura 2015 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Trygonometria

Kąt \(\alpha\) jest ostry i spełnia równość \(\operatorname{tg}\alpha+\frac{1}{\operatorname{tg}\alpha}=\frac{7}{2}\). Oblicz wartość wyrażenia \(\sin\alpha\cdot\cos\alpha\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie równania przez sinus i cosinus

Ponieważ kąt jest ostry, sinus i cosinus są dodatnie. Korzystamy z definicji tangensa oraz z jedynki trygonometrycznej.

\[\operatorname{tg}\alpha+\frac{1}{\operatorname{tg}\alpha}=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}=\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}\]

2 Obliczenie iloczynu

Przyrównujemy otrzymany ułamek do wartości podanej w zadaniu i odwracamy obie dodatnie strony równania.

\[\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}=\frac{7}{2}\quad\Longrightarrow\quad\sin\alpha\cos\alpha=\frac{2}{7}\]

Odpowiedź

Wartość wyrażenia wynosi \(\frac{2}{7}\).

\[\sin\alpha\cos\alpha=\frac{2}{7}\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu otrzymanego iloczynu lewa strona równania z zadania wynosi \(\frac{1}{2/7}=\frac{7}{2}\). Ponadto \(0<\frac{2}{7}<\frac{1}{2}\), co jest zgodne z tym, że kąt jest ostry.

\[\operatorname{tg}\alpha+\frac{1}{\operatorname{tg}\alpha}=\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}=\frac{1}{2/7}=\frac{7}{2}\]

Zadanie 30

Matura 2015 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Wyrażenia algebraiczne

Wykaż, że dla wszystkich nieujemnych liczb rzeczywistych \(x\), \(y\) prawdziwa jest nierówność \(x^3+y^3\geq x^2y+xy^2\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przenieś wyrazy na jedną stronę

Aby wykazać nierówność, wystarczy sprawdzić, czy różnica jej stron jest nieujemna.

\[x^3+y^3-x^2y-xy^2\geq 0\]

2 Wyłącz wspólny czynnik

Grupujemy wyrazy, aby otrzymać kwadrat różnicy.

\[x^3+y^3-x^2y-xy^2=(x+y)(x^2-2xy+y^2)=(x+y)(x-y)^2\]

3 Ustal znak iloczynu

Ponieważ \(x,y\geq 0\), mamy \(x+y\geq 0\). Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc cały iloczyn jest nieujemny.

\[(x+y)(x-y)^2\geq 0\]

Odpowiedź

Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich nieujemnych \(x\) i \(y\). Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy \(x=y\).

\[x^3+y^3\geq x^2y+xy^2\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu \(x=y=t\geq 0\) obie strony wynoszą \(2t^3\). Gdy \(x\ne y\), kwadrat \((x-y)^2\) i suma \(x+y\) są dodatnie, więc nierówność jest ostra.

\[t^3+t^3=t^2t+tt^2=2t^3\]

Zadanie 31

Matura 2015 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

W prostokącie \(ABCD\) punkt \(P\) jest środkiem boku \(BC\), a punkt \(R\) jest środkiem boku \(CD\). Wykaż, że pole trójkąta \(APR\) jest równe sumie pól trójkątów \(ADR\) oraz \(PCR\).

Prostokąt ABCD z punktami P na boku BC i R na boku CD oraz odcinkami AP, AR i PR.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Oznaczenie boków

Oznaczamy długości boków prostokąta. Ponieważ P i R są środkami boków, znamy długości połówek tych boków.

\[AB=CD=a,\quad BC=AD=b,\quad BP=PC=\frac b2,\quad CR=RD=\frac a2\]

2 Pola trzech trójkątów

Trójkąty ABP, ADR i PCR są prostokątne, więc ich pola obliczamy jako połowę iloczynu przyprostokątnych.

\[P_{ABP}=\frac12\cdot a\cdot\frac b2=\frac{ab}{4},\quad P_{ADR}=\frac12\cdot b\cdot\frac a2=\frac{ab}{4},\quad P_{PCR}=\frac12\cdot\frac b2\cdot\frac a2=\frac{ab}{8}\]

3 Pole trójkąta APR

Te trzy trójkąty wraz z APR wypełniają prostokąt, więc odejmujemy ich pola od pola prostokąta.

\[P_{APR}=ab-\frac{ab}{4}-\frac{ab}{4}-\frac{ab}{8}=\frac{3ab}{8}\]

Odpowiedź

Pole trójkąta APR jest równe sumie pól trójkątów ADR i PCR.

\[P_{APR}=\frac{3ab}{8}=\frac{ab}{4}+\frac{ab}{8}=P_{ADR}+P_{PCR}\]

Sprawdzenie

Suma pól czterech trójkątów wynosi ab, czyli pole całego prostokąta; rachunek uwzględnia więc cały podział figury.

\[\frac{3ab}{8}+\frac{ab}{4}+\frac{ab}{4}+\frac{ab}{8}=ab\]

Zadanie 32

Matura 2015 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Wyznacz równanie osi symetrii trójkąta o wierzchołkach \(A=(-2,2)\), \(B=(6,-2)\), \(C=(10,6)\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustalenie równych boków

Oś symetrii trójkąta równoramiennego przechodzi przez wierzchołek, przy którym spotykają się równe boki.

\[|AB|^2=(6+2)^2+(-2-2)^2=80,\quad |BC|^2=(10-6)^2+(6+2)^2=80\]

2 Środek podstawy

Ponieważ \(AB=BC\), podstawą jest \(AC\). Jej środek należy do osi symetrii.

\[M=\left(\frac{-2+10}{2},\frac{2+6}{2}\right)=(4,4)\]

3 Równanie osi

Prosta przechodzi przez \(B=(6,-2)\) i \(M=(4,4)\), więc jej współczynnik kierunkowy wynosi \(-3\).

\[a=\frac{4-(-2)}{4-6}=-3,\qquad y+2=-3(x-6),\qquad y=-3x+16\]

Odpowiedź

Oś symetrii ma równanie \(y=-3x+16\).

\[y=-3x+16\]

Sprawdzenie

Punkty \(B\) i \(M\) spełniają otrzymane równanie. Prosta \(AC\) ma współczynnik kierunkowy \(\frac13\), więc jest prostopadła do osi o współczynniku \(-3\). Oś przechodzi zatem przez wierzchołek trójkąta i jest symetralną jego podstawy.

\[-2=-3\cdot6+16,\quad 4=-3\cdot4+16,\quad \frac{6-2}{10-(-2)}\cdot(-3)=\frac13\cdot(-3)=-1\]

Zadanie 33

Matura 2015 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Stereometria

Podstawą ostrosłupa \(ABCDS\) jest prostokąt, którego boki pozostają w stosunku \(3:4\), a pole jest równe \(192\) (zobacz rysunek). Punkt \(E\) jest wyznaczzony przez przecinające się przekątne podstawy, a odcinek \(SE\) jest wysokością ostrosłupa. Każda krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(30^\circ\). Oblicz objętość ostrosłupa.

Ostrosłup ABCDS o prostokątnej podstawie ABCD. Przekątne podstawy przecinają się w punkcie E, a odcinek SE jest wysokością ostrosłupa.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie boków podstawy

Boki prostokąta mają stosunek 3:4, więc oznaczamy je przez 3x i 4x. Z pola wyznaczamy dodatnie x.

\[3x\cdot4x=192\;\Rightarrow\;12x^2=192\;\Rightarrow\;x=4,\quad a=12,\quad b=16\]

2 Obliczenie odległości wierzchołka od środka podstawy

Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy przekątną prostokąta. Przekątne prostokąta dzielą się na połowy, więc AE jest połową przekątnej.

\[AC=\sqrt{12^2+16^2}=20,\qquad AE=\frac{AC}{2}=10\]

3 Obliczenie wysokości

Rzutem krawędzi SA na podstawę jest AE. W trójkącie prostokątnym SAE kąt między SA a AE ma 30°, dlatego stosujemy tangens.

\[\tan30^\circ=\frac{SE}{AE}=\frac{SE}{10}\;\Rightarrow\;SE=\frac{10\sqrt3}{3}\]

4 Obliczenie objętości

Objętość ostrosłupa to jedna trzecia iloczynu pola podstawy i wysokości.

\[V=\frac13\cdot192\cdot\frac{10\sqrt3}{3}=\frac{640\sqrt3}{3}\]

Odpowiedź

Objętość ostrosłupa wynosi \(\frac{640\sqrt3}{3}\) jednostek sześciennych.

\[V=\frac{640\sqrt3}{3}\]

Sprawdzenie

Boki 12 i 16 dają pole 192 oraz stosunek 3:4. Ponadto \(SE/AE=\sqrt3/3=\tan30^\circ\), więc obliczona wysokość spełnia warunek kąta nachylenia.

\[12\cdot16=192,\qquad 12:16=3:4,\qquad \frac{SE}{AE}=\frac{10\sqrt3/3}{10}=\frac{\sqrt3}{3}=\tan30^\circ\]

Zadanie 34

Matura 2015 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Funkcje

Funkcja kwadratowa \(f\) określona jest wzorem \(f(x)=ax^2+bx+c\). Zbiorem rozwiązań nierówności \(f(x)>0\) jest przedział \((0,12)\). Największa wartość funkcji \(f\) jest równa \(9\). Oblicz współczynniki \(a\), \(b\) i \(c\) funkcji \(f\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie miejsc zerowych

Funkcja jest dodatnia dokładnie między 0 a 12, więc w tych punktach ma miejsca zerowe, a jej ramiona są skierowane w dół.

\[f(x)=a x(x-12),\quad a<0\]

2 Obliczenie współczynnika a

Wierzchołek leży w połowie między miejscami zerowymi, czyli dla x=6. Podstawiamy największą wartość funkcji.

\[f(6)=a\cdot6\cdot(6-12)=-36a=9,\quad a=-\frac14\]

3 Odczytanie współczynników

Rozwijamy wzór funkcji i porównujemy go z postacią ax²+bx+c.

\[f(x)=-\frac14x(x-12)=-\frac14x^2+3x\]

Odpowiedź

Współczynniki wynoszą a=−1/4, b=3, c=0.

\[a=-\frac14,\quad b=3,\quad c=0\]

Sprawdzenie

Parabola ma ramiona skierowane w dół i miejsca zerowe 0 oraz 12, więc jest dodatnia dokładnie w przedziale (0,12). W wierzchołku przy x=6 osiąga wartość 9.

\[f(x)=-\frac14x(x-12),\quad f(6)=9\]